1. RESUMEN DE CRITERIOS SOBRE CONVERGENCIA
Y DIVERGENCIA DE SERIES INFINITAS
A fin de adquirir destreza en el reconocimiento y aplicación del criterio apropiado, se requiere de práctica considerable, la cual
se obtendrá realizando los ejercicios de la guía respectiva. Como ayuda, se listan a continuación los criterios y se aconseja que sean
aplicados en el orden indicado. Si un paso en particular no es aplicable o no puede inferirse ninguna conclusión, continúe con el
siguiente. En ocasiones pueden aplicarse más de un criterio, sin embargo, es importante que elija el más eficaz.
1 . − C a lc u le lim ( u n ). S i lim ( u n ) ≠ 0 , e n to n c e s la s e rie d ive rg e . S i lim ( u n ) = 0, n o p u e d e in fe rirse n in g u n a c o n c lu s ió n .
n → +∞ n→ +∞ n → +∞
2 .- E x a m in e la se rie a fin d e d e term in a r si c o rre sp o n d e a u n o d e lo s sig u ie n te s tip o s e sp e c ia le s:
+∞
a
( i ) U n a se rie g e o m é tric a : ∑ a .r
n =1
n −1
. C o n ve rg e a la su m a
1− r
si r < 1; d iv e rg e si r ≥ 1 .
+∞
1
( ii ) U n a se rie p : ∑
n =1 np
(d o n d e p e s u n a c o n s ta n te ). C o n v e rg e s i p > 1 ; d ive rg e si p ≤ 1 .
+∞ +∞
∑ (− 1) ∑ (− 1)
n +1
S i an > 0, y a n +1 < a n
n
( iii ) U n a s e rie a lte rn a n te : .a n ó .a n
n =1 n =1
p a ra to d o s lo s n ú m e ro s e n te ro s p o sitivo s n , y si lim a n = 0 , e n to n c e s la s e rie a lte rn a n te e s c o n v e rg e n te .
n → +∞
+∞
3 . − A p liq u e e l c rite rio d e la ra z ó n , S e a ∑u
n =1
n u n a se rie in fin ita p a ra la c u a l u n e s d ife re n te d e c e ro :
u n +1
( i ) s i lim = L < 1, la se rie e s a b s o lu ta m e n te c o n ve rg e n te ;
n → +∞ un
u n +1 u
( ii ) si lim = L > 1, o si lim n + 1 = + ∞ , la se rie e s d iv erg e n te ;
n → +∞ un n → +∞ un
u n +1
( iii ) si lim = 1, n a d a se p u e d e in fe rir a c e rc a d e la c o n ve rg en c ia a p artir d e e ste c rite rio .
n → +∞ un
+∞
4 .- A p liq u e e l c rite rio d e la ra íz : S e a ∑u
n =1
n u n a se rie in fin ita p a ra la c u a l ca d a U n e s d ife re n te d e c e ro :
( i ) s i lim n u n = L < 1, la se rie e s a b s o lu ta m e n te c o n ve rg e n te ;
n → +∞
( ii ) si lim n u n = L > 1, o si lim n u n = + ∞ la s e rie e s d iv e rg e n te ;
n → +∞ n→ +∞
( iii ) si lim n u n = 1, n a d a se p u e d e in ferir a ce rc a d e la c o n ve rg e n c ia a p a rtir d e e ste c rite rio .
n → +∞
5 .- A p liq u e e l crite rio d e la in teg ra l: S e a f u n a fu n c ió n q u e e s c o n tin u a , d e c re c ie n te y d e va lo re s p o sitiv o s p a ra to d a
+∞
x ≥ 1 . E n to n c e s la s e rie in fin ita ∑n =1
f ( n ) = f (1) + f ( 2 ) + f (3) + ... + f ( n ) + ... e s c o n v e rg e n te si la in te g ra l
+∞ b
im p ro p ia ∫
1
f ( x ). d x e x iste , y e s d iv e rg e n te si lim
b → +∞ ∫1
f ( x ).d x = + ∞ .
+∞
6 .- A p liq u e e l c rite rio d e c o m p a ra c ió n : S e a la se rie ∑u
n =1
n u n a s e rie d e té rm in o s p o sitiv o s.
+∞
(i ) S i ∑v
n =1
n e s u n a se rie d e té rm in o s p o s itiv o s d e la c u a l se sa b e q u e c o n v e rg e , y si U n ≤ V n p a ra
+∞
to d o n ú m e ro e n te ro p o s itiv o n , e n to n c e s ∑u
n =1
n e s c o n v erg e n te .
+∞
( ii ) S i ∑w
n =1
n e s u n a s e rie d e té rm in o s p o sitivo s d e la c u a l se s a b e q u e d iv e rg e , y s i U n ≥ W n p ara
+∞
to d o n ú m e ro e n te ro p o s itiv o n , e n to n c e s ∑u
n =1
n e s d iv e rg e n te .
+∞ +∞
o a p liq u e el c riterio d e c o m p ra c ió n p o r p a s o a l lím ite : S e a n ∑u
n =1
n y ∑v
n =1
n d o s se rie s d e té rm in o s p o s itiv o s.
un
( i ) S i lim = c > 0, e n to n c e s la s d o s se rie s so n c o n ve rg e n te s o a m b a s se rie s so n d iv e rg e n te s .
n → +∞ vn
+∞ +∞
un
( ii ) S i lim
n → +∞ vn
= 0 y si ∑v
n =1
n c o n ve rg e, e n to n c e s ∑u
n =1
n co n v e rg e .
+∞ +∞
un
( iii ) S i lim
n → +∞ vn
= + ∞ y si ∑v
n =1
n d iv e rg e , en to n c e s ∑un =1
n d iv e rg e .
Adaptado por: Prof. José Gregorio Páez Veracierta Fuente: Luois Leithold, Cálculo con Geometría Analítica, 7ma. Edición.