Este documento presenta una propuesta para una solución de series e integrales. Contiene ejemplos de series convergentes y divergentes, incluyendo series geométricas, telescópicas y otras. También incluye ejercicios resueltos sobre la convergencia de series y cálculo de límites, y una demostración de que si una serie es convergente, entonces la serie recíproca es divergente.

1. Propuesta Solucionario Series
Ing. Electrónica
*
David Steven Hoyos - Andrés Fermín Mella
ƒu™esiones y ƒeries €ágs IIR y IPH
in este t—ller d—remos un— ide— de ™ómo interpret—r el término enésimo de un— su™eE
siónD pero re™uerden que siempre h—y in(nit—s form—s de h—ll—r el término enésimoF
IF hetermine l— ™onvergen™i— de ™—d— un— de l—s su™esiones d—d—s ™—l™ul—ndo el límiteD
si existeF hig— ™uáles son ™re™ientes o de™re™ientesF
IA
1, −1, −1, 1, −1, −1, 1, · · ·
cos [ 2π (n−1)]
an = 3
|cos [ 2π (n−1)]|
3
l´ an = ∅
ım
n→∞
PA
−1, 2 , − 3 , 7 , − 5 · · ·
3 5
4
9
n
an = (−1)n . 2n−1
l´ an = ∅
ım
n→∞
RA
1 1 1 1 1
1, 1− 1 , 1− 2 , 2− 1 , 3− 1 , 4− 1 · · ·
2 3 2 3 4
ist— su™esión es muy ™ompli™—d— —si que p—r— f—™ilit—r su ™omprensión l— reEes™ri˜iremos
—síX
2 3 4
1, 2, 3, 3 , 8 , 15 · · ·
a1 = 1 a2 = 2 a3 = 3
n−2
an = (n−2)2 −1
l´ an = 0
ım
n→∞
* David Steven Hoyos Gil - Andrés Fermín Mella
I

2. TA
√
3
n2 + 2n + 3 n3
2
an = √ 3 l´ an
ım l´
ım 3 =0
4n + 2n2 + 3 n→∞ n→∞ 4n 2
UA
1
1 n2
bn =
n+1
1
1 n2
l´
ım
n→∞ n + 1
1 1
l´
ım . ln
en→∞ n2 n+1
1
ln n+1
l´
ım
n2
e n→∞
€or v¢ ropit—l
−(n+1)−2
1
n+1
l´
ım 2n
e n→∞
−1
n+1
l´
ım
n→∞ 2n
e
−1
l´
ım 2
e n→∞ 2(n +n) =1
VA
cos nπ
an = −1 ≤ cos nπ ≤ 1
2n + 1
−1 cos nπ 1
2n+1
≤ 2n+1
≤ 2n+1
l´ an = 0
ım
n→∞
IIA in este ejer™i™io h—rémos un ™—m˜io de v—ri—˜le p—r— que l— ide— se— más ™l—r—F
3
2 n
an = 1 + 2
n
3
2 n 9
l´
ım 1 + 2 3
n
= y n2 =
n→∞ n y2
2 y
2y
l´
ım 1 + =1
y→0 9
xot—X ‚e™uerden que est—mos tr—˜—j—ndo ™on su™esionesD es de™irD l— v—ri—˜le siempre
es un número n—tur—lF il límite es en ˜—se — l— fun™ionD l— su™esión es en ˜—se — un ™onE
junto de puntosF
in otr—s p—l—˜r—sD si el límite de l— fun™ión existe l— su™esión ™onvergeF €or otro l—do
si el límite no existeD l— su™esión puede que ™onverg— o puede que noF

3. PF †eri(que l—s igu—ld—des indi™—d—s
IA ist— es un— serie geométri™—F
∞ n
1 2 43
n
+ − =
n=0 4 5 21
1
4
−2
5
1+ 1 +1+
1− 4
1+ 25
1 2
4 5
2+ 3 − 7
4 5
1 2 43
2+ − =
3 7 21
QA ist— es un— serie teles™ópi™—F
∞
1
=1
n=1 (n + 2)(n + 3)
∞
1 1
−
n=1 n + 2 n+3
1 1 1 1 1 1
+ + + ··· − + + · · · =⇒
3 4 5 4 5 3
RA ist— es otr— serie teles™ópi™—F
∞
2n + 1
n=1 + 1)2 n2 (n
∞
1 1
2
−
n=1 n (n + 1)2
1 1 1 1
1 + + + ··· − + + · · · =⇒ 1
4 9 4 9
QF …n— pelot— de hule se suelt— desde un— —ltur— de R metros y re˜ot— — l— mit—d de
su —ltur— luego de ™—d— ™—íd—F ƒi l— pelot— ™ontinú— re˜ot—ndo inde(nid—menteD ™—l™ule l—
dist—n™i— tot—l que re™orreF
v— ide— es est—X l— pelot— en su primer— ™—íd— re™orre R metrosD luego re˜ot— P metros
h—™i— —rri˜— y ™—e otros P metrosD después re˜ot— I metro — —sí su™esiv—menteF inton™es
l— su™esión es —lgo ™omo estoX
1 1 1 1 1
4, 2, 2, 1, 1, , , , , , ···
2 2 4 4 8
vos ™in™o primeros términos sum—n IH metrosF ƒi o˜serv—mos los fr—™™ion—rios vemos que
l— serie se ™omport— ™omo un— serie geométri™— de r—zón 1 F €or lo t—nto l— dist—n™i—
2
re™orrid— es igu—l —X
∞
1
10 + 2 n
= 12 metros
n=1 2

4. RF iste punto lo resolvio el profesor en ™l—seF
SF hemuestre que si l— serie an D an = 0 es ™onvergenteD enton™es l— serie 1
an
es diverE
genteF
…n— de l—s ™ondi™iones p—r— que un— serie se— ™onvergente es que an tiend— — ™ero en
el in(nitoF h—do que an es ™onvergente an es ™—d— vez más pequeñoD enton™es re—liz—r
l— serie propuest— a1 es dividir — uno por ™—ntid—des ™—d— vez más y más pequeñ—sF ƒin
n
dud— t—l ™os— se disp—r— — ∞ o — −∞ y por lo t—nto l— serie divergeF
gu—lquier dud— o ™oment—rio por f—vor m—nd—rlo — los ™orreosX d—vidhoyosgilPHHVdgm—ilF™om
—ndresfmell—dgm—ilF™om