1. ´
TERCER MATERIAL PRACTICO DE
´
ANALISIS REAL I
(Sucesiones reales)
1. Demuestre por definici´n:
o
2n+1
(a) lim =2
n→∞ n+3
1
(b) lim =0
n→∞ n!
√ √
(c) lim n+1− n−1=0
n→∞
√
3 3
√ 3 3
√ √
2. Probar que la sucesi´n
o 3, 3 3 3, 3 3 3 3, . . . , converge a 3.
∞
3. Sea (an )n=1 una sucesi´n de n´meros reales definida por
o u
an−2 + an−1
a1 = 1, a2 = 2, . . . , an = , n≥3
2
∞
Probar que (an )n=1 es convergente y que lim an = 5 .
3 n→∞
∞
4. Si (an )n=1 es una sucesi´n de n´meros reales que satisface la condici´n de
o u o
∞ ∞
cauchy, considere (anj )j=1 una subsucesi´n de (an )n=1 tal que:
o
lim anj = b pruebe entonces que lim an = b.
j→∞ n→∞
∞ ∞
5. Sea (an )n=1 una sucesi´n tal que si a0 = 0 y (an − an−1 )n=1 es conver-
o
gente, demostrar que:
an
lim = lim {an − an−1 }
n→∞ n n→∞
+
6. Si ai ∈ para i = 1, . . . , p entonces pruebe que
1
p n
lim an
i = m´x{ai : i = 1, . . . , p}
a
n→∞
i=1
7. En los sigueintes ejercicios halle el l´
ımite inferior y superior, si existen.
(−1)n n
(a) an = .
1+n
1

2. nπ
(b) an = nsen( ).
3
∞
8. Probar que: Si (an )n=1 es una sucesi´n de t´rminos positivos
o e
an+1 √ √ an+1
lim inf lim inf n
an lim sup n
an lim sup
an an
∞ ∞
9. Sean (an )n=1 , (cn )n=1 dos sucesiones convergentes tales que :
an = cn an−1
Demostrar que:
| lim cn | 1.
n→∞
10. Pruebe que para todo r ∈ Q se verifica que:
r n
lim 1+ = er
n→∞ n
Individualmente... nada somos.
Helmuth villavicencio f ern´ndez
a
(30/04/10)
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