Este documento presenta varios criterios para determinar la convergencia o divergencia de series infinitas, incluyendo el criterio de la integral, el criterio del cociente, el criterio de las P-series y el criterio de la raíz. También discute la convergencia absoluta de series alternantes. Proporciona definiciones de cada criterio y ejemplos para aplicarlos. Al final, asigna ejercicios para que los estudiantes practiquen los diferentes métodos.

1. UNIVERSIDAD COOPERATIVA DE COLOMBIA
SEGUNDA GUIA PARAEVIDENCIAR CONOCIMIENTOS EN
MATEMATICAS ESPECIALES.
Profesor: Jorge Alejandro Obando Bastidas
Criterio de la Integral
DEFINICIÓN: Dada { f n } n∈N ( f n : A → R, ∀n ∈ N ), llamamos SERIE FUNCIONAL
ASOCIADA a { f n } n∈N a la sucesión de sumas parciales { S n } n∈N , donde
S n ( x) = f 1 ( x) + f 2 ( x) +  + f n ( x ) .
2. Criterio de la Integral: Planteo y definición
Si ∑ a n es una serie de términos positivos y decrecientes y f n , serie funcional asociada
n ≥1
n ∞
a {Sn}, si ∫ f ( x)dx , converge entonces la serie ∑a
n =1
n , también converge.
1
Ejercicio para resolver en clase:
Determine por medio del criterio de la integral las siguientes series
∞ ∞ ∞
1 n 1
1. ∑ 2. ∑ 3. ∑ 2
n =1 n n =1 n + 1 n =1 n
Ejercicios para resolver en la casa
∞ ∞ ∞ ∞ ∞
1 n n2 1
1. ∑ 2 2. ∑ 2 3. ∑ 3 4 .∑e ∑n
−n
5.
n =1 n + 1 n =1 n + 1 n =1 n + 1 n =1 n =1 ln n
Criterio del cociente:
Dada la serie sea
Si serie absolutamente convergente.
Si serie divergente.
Si no sirve el método.
Ejercicio para resolver en clase
Determinar por el criterio del cociente la convergencia o divergencia de las siguientes
series
∞ ∞ ∞
1 nn 2n
1. ∑ 2. ∑ n 3. ∑ n
n =1 n! n =1 2 n =1 n
Ejercicios para resolver en la casa
∞
∞
2n 2 ∞
2 n n! ∞
3n n 2 ∞
n2 ∞
(−1) n n!
1. ∑ 2. ∑ n 3. ∑ n 4 .∑e 5. ∑ 6. ∑
2
−n
n =1 n! n =1 n n =1 n n =1 n =1 n! n =1 nn
∞
sen(πn) ∞
n n
7. ∑ 8 .∑
n =1 n n =1 n!

2. Criterio de las P-series
∞
1
La seie de la forma ∑ p , se denomina P-serie, la P-serie converge cuando p>1
n =1 n
Ejercicio para resolver en la clase:
Determinar por el criterio de las P-series si las siguientes series convergen o divergen
∞ ∞
1 1
1. ∑ 2 2. ∑n 1/ 2
n =1 n n =1
Ejercicios para resolver en la casa
∞ ∞
1 1
1. ∑ e 2. ∑ sen ( 45o )
n =1 n n =1 n
Criterio de la raíz
∞
Sea ∑a n =1
n , una serie infinita, con a n diferente de cero, entonces
1. lim n a n =L<1 entonces la serie converge absolutamente
n →∞
2. lim n a n =L>1entonces la serie diverge
n →∞
3. lim n a n =L=1 el método no garantiza nada
n →∞
Ejercicio para resolver en la clase
∞ ∞
1 1
1. ∑ nn
n =1
2. ∑n
n =1
1/ n
Ejercicios para resolver en la casa
∞ ∞
1 ∞
2n ∞
n2
1. ∑ 2. ∑ n ∑ nn 4 .∑e
−n
3.
n =1 (ln(n + 1))
n
n =1 n n =1 n =1
Convergencia Absoluta
∞ ∞
A las series de la forma ∑ an (−1) n y
n =1
∑a
n =1
n (−1) n +1 , se denominan series alternantes, en
ellas se puede determina una convergencia condicional o una convergencia absoluta
La convergencia de una serie alternante es condicional cuando se cumple que:
1. a n +1 < a n
2. lim a n = 0
n →∞
La convergencia de una serie alternante es absoluta cuando se cumple que:

3. 1. a n +1 < a n
2. lim a n = 0
n →∞
∞
3. la serie de términos positivos ∑a
n =1
n converge
Ejercicios para resolver en clase:
Determinar la convergencia o divergencia de;
∞
n 1
∞
(−1) n n! ∞
(−1) n +1
1. ∑ (−1) 2. ∑ 3. ∑
n =1 n n =1 nn n =1 nn
Ejercicios para resolver en la casa:
∞
(−1) n 2n 2 ∞
(−2) n n! ∞
(−1) n +1 3 n ∞
∑ n! ∑ n n 3. ∑ nn 4 . ∑ (−1) e
2
n −n
1. 2.
n =1 n =1 n =1 n =1
∞
(−1) n n 2
5. ∑
n =1 n!