calculo en varias variables

1. Conocemos: 1) ( )
2) ( )
3) ( )
4) ( ) ( )
Función vectorial de un vector a otro vector
Caminos en
Definición: Una función vectorial de variable real es una función de tipo
( ) ( ( ) ( ) ( )) Son funciones reales
llamadas funciones coordenadas de la función f
Ejemplos: 1) ( ) ( ) ) ( ) ( )
3) ( ) ( ) 4) ( ) ( )
Definición: Sea una función vectorial
( ) ( ) ( )
Donde ( ) ( ( ) ( ) ( ))
Ejemplos: 1) ( ) ( ) ( )
2) .
√
/ .
√
/ ( )
Definición: Sea una función vectorial y sea diremos que
f es continua en si ( ) ( )
Ejemplo: ( ) . / ¿es continua en
Sol. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Por lo tanto
Definición: Se llama traza del camino al conjunto de imágenes
de f, es decir ( ) * ( ) +, llamaremos curva a la traza
de un camino
Ejemplos: Trace la curva con la función vectorial dada
1. ( ) ( ) su gráfica es una recta
2. ( ) ( )

2. 3. ( ) ( )
La gráfica es la intersección del cilindro y el plano
4. ( ) ( )
La gráfica es la intersección del plano
5. ( ) ( )
6. ( ) ( )

3. Es decir tenemos la intersección de un cilindro elíptico y diferentes
planos
Ejercicios: Trace la curva con la función vectorial dada
1. ( ) ( ) su gráfica es una parábola
2. ( ) ( )
3. ( ) ( ( ) )
4. ( ) ( ( )
5. ( ) ( )
6. ( ) ( ( ) ( ))
7. ( ) ( )
8. ( ) ( )
9. ( ) ( )
10. ( ) ( )
11. ( ) ( )
12. ( ) ( . / . /)
13. ( ) ( ). Evaluar ( )
14. ( ) ( ). Evaluar ( )
Teorema: Sea una función vectorial, con
( ) ( ( ) ( ) ( )), entonces f es diferenciable en el punto
Si y solamente si cada una de sus funciones coordenadas son diferenciables
Además ( ) ( ( ) ( ) ( ))
La derivada es un vector tangente a la curva correspondiente en el punto
donde se calcula la derivada y que apunta en dirección al recorrido de la curva
Definición: Sea una camino diferenciable, al vector ( ) se le
llama el vector velocidad del camino en el punto ( )

4. Ejemplos: Hallar el vector velocidad en el punto correspondiente al valor dado
1. ( ) ( ) en
Sol: Si ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) es el vector velocidad
2. ( ) ( )
. / ( )
( ) ( ) . / ( )
Ejercicios: Hallar el vector velocidad en el punto correspondiente al valor dado
1. ( ) ( ( )
2. ( ) ( )
3. ( ) ( ( ) )
4. ( ) ( ( )
5. ( ) . /
6. ( ) ( ( ) ( ))
7. ( ) . /

5. 8. ( ) ( )
9. ( ) ( )
10. ( ) ( )
11. ( ) (√ )
12. ( ) ( )
13. ( ) ( )
14.( ( ) ( )
15. ( ) ( )
NOTA: Si ( ) se dice que el camino es regular.
Definición: Sea , - un camino diferenciable, la longitud de f entre
, denotado por ( ) está dado por
( ) ∫‖ ( )‖
Ejemplos: Encontrar ( )
1. ( ) ( )
Sol.
( ) ( ) ‖ ( )‖ √
( ) ∫ √ , √ ( √ -
( ) , √ ( √ ] (√ )
2. ( ) ( )
Sol. ( ) ( )‖ ( )‖
( ) ∫

6. 3. ( ) ( )
Sol. ( ) ( )
( ) ∫ ‖ ( )‖ ∫ ‖√ ‖ ∫ √ √
Ejercicios: Hallar l(f)
1. ( ) ( )
2. ( ) ( )
3. ( ) ( )
4. ( ) ( )
5. ( ) ( )
6. ( ) ( )
7. ( ) (√ )
8. ( ) ( )