ALGEBRA LINEAL

1. OBJETIVO
Resolver problemas relacionados con transformaciones lineales, mediante la interpretación y representación en
términos de matrices, determinantes, rango e inversa y sistemas de ecuaciones lineales, en situaciones reales,
propias de la ingeniería.
CONTENIDO:
7.1 DEFINICIONES Y PROPIEDADES
7.2 REPRESENTACION MATRICIAL. MATRIZ DE CAMBIO DE BASE
7.3 ALGEBRA DE TRANSFORMACIONES LINEALES
7.4 NUCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACION LINEAL
7.5 TRANSFORMACIONES LINEALES INVERSIBLES
7.6 TRANSFORMACIONES GRAFICAS EN R2
7.7 TRANSFORMACIONES GRAFICAS EN R3
7.8 FORMAS LINEALES. ESPACIO DUAL
7.9 CUESTIONARIO
7.1 DEFINICIONES Y PROPIEDADES
En esta sección se definirán y estudiarán transformaciones lineales de un espacio vectorial U a un espacio
vectorial V. Analizaremos y demostraremos sus propiedades más importantes. La atención se centrará en una
clase especial de tales funciones denominadas transformaciones lineales. Las transformaciones lineales son
fundamentales en el estudio del álgebra lineal y tienen muchas aplicaciones importantes.
En este capítulo, estudiaremos un tipo especial de función definida en un espacio
vectorial U y que toma los valores que son vectores en el mismo o en otro espacio
vectorial V, las cuales no alteran a las combinaciones lineales. Esta función se llama
transformación lineal. Estas transformaciones se pueden representar por medio de
matrices, en el mismo sentido que los vectores se representan por medio de n-adas.
Esta representación requiere que se definan las operaciones de adición,
multiplicación por escalares y multiplicación de matrices, de modo que correspondan
a estas operaciones con las transformaciones lineales.
La matriz que representa a una transformación lineal de U hacia V, depende de la
elección de una base en U y una base en V. Nuestro primer problema, que se repite
siempre que se usan matrices para representar cualquier cosa, es ver en qué forma un
cambio en la elección de las bases determina un cambio correspondiente en la matriz
que representa a la transformación lineal. Dos matrices que representan la misma
transformación lineal con respecto a conjuntos diferentes de bases, deben tener
algunas propiedades en común. Esto conduce a la idea de relaciones de equivalencia
entre dos matrices. La naturaleza exacta de esta relación de equivalencia depende de

2. TRANSFORMACIONES LINEALES
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314
las bases que se permitan. En este capítulo no se imponen restricciones sobre las
bases que se permiten y obtenemos la clase de equivalencia más amplia.
DEFINICION 7.1.1
Sean U y V dos espacios vectoriales, ambos definidos sobre el mismo
cuerpo K. Una transformación lineal f de U hacia V es una aplicación
uniforme de U en V que asocia a cada elemento u de U, un elemento único
f(u) de V de tal forma que se cumplen los axiomas siguientes:
1.- Para todo u, v de U, entonces: f(u + v) = f(u) + f(v);
2.- Para todo u de U y para todo escalar , entonces: f(u) = f(u).
Observe que en esta identidad, la adición y la multiplicación escalar del primer
miembro, tienen lugar en U, mientras que las del segundo miembro tienen lugar en
V. A f(u) se le da el nombre de imagen de u bajo la transformación lineal f. Además
vemos que, para tener una transformación lineal,
f(u + v) = f(u) + f(v) y f(u) = f(u).
Hablando en términos generales, la imagen de la suma es la suma de las imágenes
y la imagen del producto es el producto de las imágenes. Este lenguaje descriptivo
se tiene que interpretar con cierta amplitud, ya que las operaciones antes y
después de aplicar la transformación lineal pueden llevarse a cabo en espacios
vectoriales diferentes.
EJEMPLO 7.1.1
Determinar cuál de las siguientes funciones f : R3
 R3
, define una transformación
lineal:
a.- f((a, b, c)) = (a + 2b – 3c, 3a - b + 5c, a – b – c);
b.- f((a, b, c)) = (a + b + c, a + b + c, a + b + c);
c.- f((a, b, c)) = (2a - 2b + 3c, a – b + c, 3a - 5b + 3c);
d.- f((a, b, c)) = (3a - 5b, 2a - 2b, a + b2
).
SOLUCION
Sean u = (m, n, p) y v = (r, s, t) dos vectores del espacio de salida R3
y sean , 
escalares, entonces:
u + v = (m + r, n + s, p + t).
a.- f(u + v) = (m + r + 2n + 2s - 3p - 3t, 3m + 3r - n - s + 5p +
+ 5t, m + r – n - s - p - t)
= (m + 2n - 3p, 3m - n + 5p, m - n - p) + (r + 2s - 3t,
3r - s + 5t, r - s - t)
= (m + 2n - 3p, 3m - n + 5p, m - n - p) + (r + 2s - 3t, 3r - s + 5t, r - s - t)
= f(u) + f(v).
Por lo tanto f es transformación lineal.
b.- f(u + v) = (m + r + n + s + p + t, m + r + n + s + p + t,
m + r + n + s + p + t)

3. TRANSFORMACIONES LINEALES
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315
= (m + n + p, m + n + p, m + n + p) + (r + s + t, r + s + t,
r + s + t)
= (m + n + p, m + n + p, m + n + p) + (r + s + t, r + s + t, r + s + t)
= f(u) + f(v).
Por lo tanto f es transformación lineal.
c.- f(u + v) = (2m + 2r - 2n - 2s + 3p + 3t, m + r - n - s + p +
t, 3m + 3r – 5n - 5s + 3p + 3t)
= (2m - 2n + 3p, m - n + p, 3m - 5n + 3p) + (2r - 2s + 3t,
r - s + t, 3r - 5s + 3t)
= (2m - 2n + 3p, m - n + p, 3m - 5n + 3p) + (2r - 2s + 3t, r - s + t, 3r - 5s + 3t)
= f(u) + f(v).
Por lo tanto f es transformación lineal.
d.- f(u + v) = (3m + 3r - 5n - 5s, 2m + 2r - 2n - 2s, m + r + (n
+ s)2
)
= (3m + 3r - 5n - 5s, 2m + 2r - 2n - 2s, m + r + 2
n2
+ 2ns
+ 2
s2
)
= (3m - 5n, 2m - 2n, m + 2
n2
+ 2ns) + (3r - 5s, 2r - 2s, r
+ 2
s2
)
 f(u) + f(v).
Por lo tanto f no es transformación lineal. 
EJEMPLO 7.1.2
Determinar cuál de las siguientes funciones f : P2  P2 define una transformación
lineal:
a.- f(p(x)) = p(x) – p(0); b.- f(p(x)) = p(x - 1) – p(1); c.- f(p(x)) = p(1 + x) – 2.
SOLUCION
Sean q(x) = d + ex + fx2
y h(x) = m + nx + kx2
dos polinomios del espacio de
salida P2 y sean ,  escalares, entonces:
q(x) + h(x) = (d + m) + (e + n)x + (f + k)x2
.
a.- Como p(x) = a + bx + cx2
y p(0) = a, obtenemos p(x) - p(0) = bx + cx2
,
entonces
f(a + bx + cx2
) = bx + cx2
.
Aplicando la definición de transformación lineal, tenemos:
f(q(x) + h(x)) = (e + n)x + (f + k)x2
= (ex + fx2
) + (nx + kx2
)
= (ex + fx2
) + (nx + kx2
)
= f(q(x)) + h(x)).
Por lo tanto f es transformación lineal.
b.- Como p(x - 1) = (a – b + c) + (b – 2c)x + cx2
y p(1) = a + b + c, obtenemos
p(x - 1) - p(1) = -2b + (b – 2c)x + cx2
entonces
f(a + bx + cx2
) = -2b + (b – 2c)x + cx2
.
Aplicando la definición de transformación lineal, tenemos:
f(q(x) + h(x)) = -2(e + n) + (e + n - 2f - 2k)x + (f + k)x2
= {-2e + (e - 2f )x + fx2
} + {-2n + (n - 2k)x + kx2
}
= {-2e + (e - 2f )x + fx2
} + {-2n + (n - 2k)x + kx2
}
= f(q(x)) + h(x)).
Por lo tanto f es transformación lineal.
c.- Como p(1 + x) = (a + b + c) + (b + 2c)x + cx2
, obtenemos
p(x + 1) - 2 = (a + b + c – 2) + (b + 2c)x + cx2
,
entonces
f(a + bx + cx2
) = (a + b + c – 2) + (b + 2c)x + cx2
.
Aplicando la definición de transformación lineal, tenemos:
f(q(x) + h(x)) = (d + m + e + n + f + k – 2) + (e + n + 2f + 2k)x +

4. TRANSFORMACIONES LINEALES
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316
+ (f + k)x2
= {(d + e + f - 2) + (e + 2f)x + fx2
} + {(m + n + k) + (n + 2k)x
+ kx2
}
= {(d + e + f - 2) + (e + 2f)x + fx2
} + {(m + n + k) + (n + 2k)x + kx2
}
 f(q(x)) + h(x)).
Por lo tanto f no es transformación lineal. 
La observación acerca de la multiplicación escalar es inexacta, ya que no aplicamos
la transformación lineal a escalares; la transformación lineal se define únicamente
para vectores en U. Aún así, la transformación lineal conserva las operaciones
estructurales en un espacio vectorial y ésta es la razón de su importancia. Al conjunto
U sobre el cual está definida la transformación lineal f se le conoce como dominio de
f. Decimos que V, el conjunto en el cual están definidas las imágenes de f, es el
codominio de f.
Hablando estrictamente, una transformación lineal debe especificar el dominio y el
codominio así como la aplicación. Consideremos ahora las transformaciones lineales
desde el punto de vista geométrico, tomando en cuenta situaciones en el espacio
euclidiano tridimensional, para obtener una interpretación intuitiva de lo que
significa una transformación lineal.
Una consecuencia de la definición es que una transformación lineal siempre aplica el
vector cero de U en el vector cero de V; es decir, f() = . Esta afirmación puede
ser establecida haciendo a = 0 en f(au) = af(u). Si f es una transformación lineal,
entonces f(au) = af(u), afirma que f aplica au sobre un vector f(au), cuya relación con
f(u) en términos de magnitud y dirección es la misma relación de au con u. Como u y
au son vectores paralelos, tenemos que f aplica vectores paralelos en vectores
paralelos. La ecuación f(u + v) = f(u) + f(v) con u, v  R2
afirma que f aplica un
paralelogramo junto con sus diagonales sobre un paralelogramo junto con sus
diagonales.
El enfoque geométrico es útil para entender cómo es que una transformación lineal
actúa.
La aplicación que envía cada vector en U sobre el vector cero en V es claramente
una transformación lineal de U en V para todos los U y V. Esta transformación, se
denomina transformación cero, y se indica por el símbolo . La aplicación que envía
cada vector en U sobre sí mismo, se denomina transformación idéntica, y se indica
por el símbolo i. La ecuación que define a i es i(u) = u, para cualesquier u de U.
EJEMPLO 7.1.3
Demuestre que la transformación identidad f : V  V es una transformación lineal.
SOLUCION
Sea f : V  V definida por f(v) = v. Entonces

5. TRANSFORMACIONES LINEALES
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317
f(u + v) = u + v = f(u) + f(v) y f(u) = u = f(u)
lo cual implica que f es una transformación lineal. 
La transformación lineal f(u) = u se conoce como dilatación de u con factor  si
 > 1, y como contracción de u con factor  si 0 <  < 1. Geométricamente, la
dilatación estira a cada vector de u por un factor , y la contracción de u comprime a
cada vector de u por un factor .
EJEMPLO 7.1.4
Sea la transformación f : R2
 R2
definida por:
a.- f((a, b)) = (a, 5a + b); b.- f((a, b)) = (a + 5b, b).
Verificar que f es lineal y dar su interpretación geométrica.
SOLUCION
a.- Para la verificación, debemos utilizar la definición de transformación lineal. Es
decir
f(ku + rv) = f(k(a, b) + r(c, d))
= f((ka + rc, kb + rd))
= (ka + rc, 5ka + 5rc + kb + rd)
= (ka, 5ka + kb) + (rc, 5rc + rd)
= k(a, 5a + b) + r(c, 5c + d)
= kf(u) + rf(v).
Obsérvese que, en esta transformación particular, la coordenada u permanece fija
mientras que a la coordenada v se le suma cinco veces la coordenada u. La figura
muestra lo que pasa con el vector (1, 2). El extremo o terminación del vector
f((1, 2)) se encuentra sobre la recta que pasa por el extremo del vector (1, 2) y es
paralela al eje v. Dicha transformación se denomina transformación lineal cizallante
en la dirección v con factor 5.
b.- Para la verificación, debemos utilizar la definición de transformación lineal. Es
decir
f(ku + rv) = f(k(a, b) + r(c, d))
= f((ka + rc, kb + rd))
= (ka + rc + 5kb + 5rd, kb + rd)
= (ka + 5kb, kb) + (rc + 5rd, rd)
= k(a + 5b, b) + r(c + 5d, d)
= kf(u) + rf(v).
Podemos observar que, en esta transformación, la coordenada v permanece fija
mientras que a la coordenada u se le suma cinco veces la coordenada v. La figura
muestra lo que pasa con el vector (1, 2). El extremo o terminación del vector f((1, 2))
se encuentra sobre la recta que pasa por el extremo del vector (1, 2) y es paralela al
eje u.
Dicha transformación se denomina transformación lineal cizallante en la dirección u
con factor 5.

6. TRANSFORMACIONES LINEALES
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318
DEFINICION 7.1.2
Dos transformaciones lineales f : U  V y g : U  V son iguales, si
ellas son iguales como transformaciones, esto es, f = g si y solamente si
f(u) = g(u), para todo u de U.
TEOREMA 7.1.1
Sea f una transformación lineal de U en V. Sean u1, u2, ..., un elementos de
U y a1, a2, ..., an escalares. Entonces:
f(a1u1 + a2u2 + ... + anun) = a1f(u1) + a2f(u2) + ... + anf(un).
DEMOSTRACION
Utilizando la definición de transformación lineal, obtenemos
f(a1u1 + a2u2 + ... + anun) = f(a1u1) + f(a2u2 + ... + anun)
= f(a1u1) + f(a2u2) + f(a3u3 + ... + anun)
= a1f(u1) + a2f(u2) + ... + anf(un). 
TEOREMA 7.1.2
Si  es el elemento neutro del espacio vectorial U, f() es el elemento
neutro de V.
DEMOSTRACION
Como
f(u + ) = f(u) + f() = f(u).
Por lo tanto, f() es el elemento neutro de V. 
TEOREMA 7.1.3
Si - u es el elemento opuesto de u, entonces se verifica que f(-u) = - f(u).
DEMOSTRACION
Como
f(u + (-u)) = f(u) + f(-u) = f(u) – f(u) = f().
Por lo tanto, f(-u) = - f(u); es decir, la imagen del opuesto de un vector es el opuesto
de la imagen del vector. 
TEOREMA 7.1.4
Sean U y V espacios vectoriales. Sea S = {u1, u2, ..., uk} una base cualquiera
de U y sea S´ = {v1, v2, ..., vk} un conjunto cualquiera de k vectores en V, no
necesariamente linealmente independientes. Entonces existe una
transformación lineal determinada en forma única por f : U  V tal que
f(u1) = v1, f(u2) = v2, ..., f(uk) = vk.
DEMOSTRACION
Demostremos primero que la transformación lineal f : U  V está completamente
determinada cuando se conocen los valores de f(u1), f(u2), ..., f(uk). Para esta
demostración, supóngase que g : U  V también es una transformación lineal y que
f(u1) = g(u1), f(u2) = g(u2), ..., f(uk) = g(uk). Deseamos demostrar que f = g. Para ello,
debemos demostrar que f(u) = g(u) para todo u en U. Por tanto, sea u = a1u1 + a2u2 +
... + akuk un vector arbitrario de U, donde ai  K. Si aplicamos f a cada miembro y

7. TRANSFORMACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
319
utilizamos f(ui) = g(ui) para todo i  N, obtenemos
f(u) = f(a1u1 + a2u2 + ... + akuk)
= f(a1u1) + f(a2u2 + ... + akuk)
= f(a1u1) + f(a2u2) + f(a3u3 + ... + akuk)
= a1f(u1) + a2f(u2) + ... + akf(uk)
= a1g(u1) + a2g(u2) + ... + akg(uk)
= g(a1u1 + a2u2 + ... + akuk)
= g(u).
En consecuencia, f(u) = g(u) para todo u en U. Por tanto, f = g. Hemos demostrado
así que los vi son vectores dados de V, hay a lo más una transformación lineal
f : U  V tal que f(ui) = vi. Demostraremos ahora que siempre hay una
transformación lineal f : U  V con f(u1) = v1, f(u2) = v2, ..., f(uk) = vk. Para
demostrar la existencia de f, presentamos primero una función f : U  V. Más
adelante demostraremos que nuestra f es una transformación lineal. A continuación
se dará una definición de f : U  V. Sea u un vector arbitrario de U, entonces u
puede expresarse en función de la base S, como u = a1u1 + a2u2 + ... + akuk, los
escalares ai  K se determinan en forma única por u.
Definimos una función f : U  V especificando que f(u) = a1v1 + a2v2 + ... + akvk.
Esta función f : U  V queda ahora definida completamente puesto que todos los
valores f(u), u  U, se han determinado. Para demostrar que f es una transformación
lineal, sea v = b1u1 + b2u2 + ... + bkuk, otro vector de U. Sean a y b escalares
arbitrarios. Deseamos demostrar que f(au + bv) = af(u) + bf(v). De v = b1u1 + b2u2 +
... + bkuk y nuestra definición de f, tenemos f(v) = b1v1 + b2v2 + ... + bkvk.
Multiplicando cada miembro de u por a y cada miembro de v por b, y sumando
luego, obtenemos
au + bv = a(a1u1 + a2u2 + ... + akuk) + b(b1u1 + b2u2 + ... + bkuk)
= (aa1 + bb1)u1 + (aa2 + bb2)u2 + ... + (aak + bbk)uk.
Por la definición de f, vemos que
f(au + bv) = (aa1 + bb1)f(u1) + (aa2 + bb2)f(u2) + ... + (aak + bbk)f(uk)
= aa1v1 + aa2v2 + ... + aakvk + bb1v1 + bb2v2 + ... + bbkvk
= a(a1v1 + a2v2 + ... + akvk) + b(b1v1 + b2v2 + ... + bkvk)
= af(u) + bf(v).
Por lo tanto f(au + bv) = af(u) + bf(v). En consecuencia, la función f : U  V es una
transformación lineal. Es fácil observar, por f(u) = a1v1 + a2v2 + ... + akvk, que
f(ui) = vi. 
EJEMPLO 7.1.5
Sea f una transformación lineal de R3
en R3
, suponga que
f((1, 0, 1)) = (1, -1, 3), f((2, 1, 0)) = (0, 2, 1), f((1, -1, 1)) = (3, -1 2)
Determine f((-1, -2, 3)).
SOLUCION
Hacemos la combinación lineal con el vector (-1, -2, 3):
(-1, -2, 3) = a(1, 0, 1) + b(2, 1, 0)
resolvemos el sistema generado:
2 1
3
2
a b
a
b
  


  

3
2
a
b


 
.
Encontramos la imagen pedida:
f((-1, -2, 3)) = 3f((1, 0, 1)) – 2f((2, 1, 0))
= 3(1, -1, 3) – 2(0, 2, 1) = (3, -7, 7). 
EJEMPLO 7.1.6
Sea f una transformación lineal de R3
en P2 tal que
f((1, 1, 1)) = 1 – 2x + x2
, f((2, 0, 0)) = 3 + x – x2
, f((0, 4, 5)) = 2 + 3x + 3x2
Determine f((2, -3, 1)).

8. TRANSFORMACIONES LINEALES
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320
SOLUCION
Hacemos la combinación lineal con el vector (2, -3, 1):
(2, -3, 1) = a(1, 1, 1) + b(2, 0, 0) + c(0, 4, 5)
resolvemos el sistema generado:
2 2
4 3
5 1
a b
a c
a c
 

  
  
1 2 0 2
1 0 4 3
1 0 5 1
 
 
 
 
 

1 2 0 2
0 2 4 5
0 2 5 1
 
 
 
  

1 0 4 3
0 2 4 5
0 0 1 4
 
 
 
 
 

1 0 0 19
0 2 0 21
0 0 1 4
 
 
 
 
 
.
Encontramos la imagen pedida:
21
((2, 3,1)) 19 ((1,1,1)) ((2, 0, 0)) 4 ((0, 4, 5))
2
f f f f    
2 2 221
19(1 2 ) (3 ) 4(2 3 3 )
2
x x x x x x         
241 121 35
2 2 2
x x   . 
EJEMPLO 7.1.7
Sea S = {u1, u2, u3}, un conjunto de vectores linealmente independientes en R3
.
Determine una transformación lineal f de R3
en R3
tal que el conjunto {f(u1), f(u2),
f(u3)} sea linealmente dependiente.
SOLUCION
Sea f : R3
 R3
definida por f((x, y, z)) = (0, 0, 0). Entonces si {u1, u2, u3} es
cualquier conjunto de vectores en R3
, el conjunto {f(u1), f(u2), f(u3)} = {, , } sea
linealmente dependiente. 
La aplicación que envía cada vector en U sobre el vector cero en V es claramente
una transformación lineal de U en V para todos los U y V. Esta transformación, se
denomina transformación cero, y se indica por el símbolo . La aplicación que envía
cada vector en U sobre sí mismo, se denomina transformación idéntica, y se indica
por el símbolo i. La ecuación que define a i es i(u) = u, para cualesquier u de U.
EJEMPLO 7.1.8
Determinar cuál de las siguientes funciones f : (n, n)  (n, n) define una
transformación lineal:
a.- f(A) = AT
A; b.- f(A) = AB + AT
; c.- f(A) = Det(A); d.- f(A) = PAP-1
;
e.- f(B) = A-1
BA; f.- f(A) = AT
+ A+
; g.- f(A) = AC + CA.
SOLUCION
Sean B y C dos matrices del espacio de salida (n, n) y sean ,  escalares,
entonces:
a.- f(B + C) = (B + C)T
(B + C) = (BT
+ CT
)(B + C)
= 2
BT
B + BT
C + CT
B + 2
CT
C  BT
B + CT
C.
Por lo tanto f no es transformación lineal.
b.- f(C + D) = (C + D)B + (C + D)T
= CB + DB + CT
+ DT
= (CB + CT
) + (DB + DT
) = f(C) + f(D).
Por lo tanto f es transformación lineal.
c.- f(C + D) = det(C + D)  det(C) + det(D).
Por lo tanto f no es transformación lineal.
d.- f(C + D) = (C + D)E + E(C + D) = CE + DE + EC + ED
= (CE + EC) + (DE + ED) = f(C) + f(D).
Por lo tanto f es transformación lineal.

9. TRANSFORMACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
321
e.- f(B + C) = A-1
(B + C)A = A-1
(BA + CA) = A-1
BA + A-1
CA
= (A-1
BA) + (A-1
CA) = f(B) + f(C).
Por lo tanto f es transformación lineal.
f.- f(B + C) = (B + C)T
+ (B + C)+
= (B)T
+ (C)T
+ (B)+
+ (C)+
T T + +
T T + +
αB +βC + αB +βC α (B) +β (C), α, β C
=
αB +βC + αB +βC = α (B) +β (C), α, β R
f f
f f
  


.
Por lo tanto f es transformación lineal si ,   R.
g.- f(B + D) = (B + D)C + C(B + D) = BC + DC + CB + CD
= (BC + CB) + (DC + CD) = f(B) + f(D).
Por lo tanto f es transformación lineal. 
EJEMPLO 7.1.9
Determinar cuál de las siguientes funciones define una transformación lineal en el
espacio de los polinomios de grado menor o igual a 3:
a.- f(p(x)) = (p(x))2
; b.- f(p(x)) = p(x + 1) - p(x);
c.- f(p(x)) = p´´(x) - 2p´(x) + 3p(x); d.- f(p(x)) = p(x + 1) – p´(0).
SOLUCION
Sean p(x) = ax3
+ bx2
+ cx + d, q(x) = ex3
+ fx2
+ gx + h dos polinomios del espacio
de salida P3 y sean ,  escalares, entonces:
q(x) + h(x) = (a + e)x3
+ (b + f)x2
+ (c + g)x + (d + h).
a.- f(p(x) + q(x)) = (p(x) + q(x))2
= 2
p2
(x) + 2p(x)q(x) + 2
q2
(x)
 f(p(x)) + f(q(x)).
Por lo tanto f no es transformación lineal.
b.- f(p(x) + q(x)) = (p + q)(x + 1) - (p + q)(x)
= p(x + 1) + q(x + 1) - p(x) - q(x)
= [p(x + 1) + p(x)] + [q(x + 1) + q(x)]
= [p(x + 1) + p(x)] + [q(x + 1) + q(x)]
= f(p(x)) + f(q(x)).
Por lo tanto f es transformación lineal.
c.- f(p(x) + q(x)) = (p + q)´´(x) - 2(p + q)´(x) + 3(p + q)(x)
= p´´(x) + q´´(x) - 2p´(x) - 2q´(x) + 3p(x) + 3q(x)
= [p´´(x) - 2p´(x) + 3p(x)] + [q´´(x) - 2q´(x) + 3q(x)]
= [p´´(x) - 2p´(x) + 3p(x)] + [q´´(x) - 2q´(x) + 3q(x)]
= f(p(x)) + f(q(x)).
Por lo tanto f es transformación lineal.
d.- f(p(x) + q(x)) = (p + q)(x + 1) - (p + q)´(0)
= p(x + 1) + q(x + 1) - p´(0) - q´(0)
= [p(x + 1) + p´(0)] + [q(x + 1) + q´(0)]
= [p(x + 1) + p´(0)] + [q(x + 1) + q´(0)]
= f(p(x)) + f(q(x)).
Por lo tanto f es transformación lineal. 
Considere la transformación lineal que aplica a todo vector de U sobre el vector cero
de V. Esta aplicación se llama aplicación cero. Si W es cualquier subespacio de V,
existe también una aplicación cero de U hacia W, y esta aplicación tiene el mismo
efecto sobre los elementos de U, como la aplicación cero de U hacia V. Sin embargo,
son transformaciones lineales diferentes, ya que tienen codominios diferentes.
Este lenguaje descriptivo se tiene que interpretar con cierta amplitud, ya que las
operaciones antes y después de aplicar la transformación lineal pueden llevarse a
cabo en espacios vectoriales diferentes. Además, la observación acerca de la
multiplicación escalar es inexacta, ya que no aplicamos la transformación lineal a
escalares; la transformación lineal se define únicamente para vectores en U. Aún

10. TRANSFORMACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
322
así, la transformación lineal conserva las operaciones estructurales en un espacio
vectorial y ésta es la razón de su importancia. Una consecuencia de la definición
es que una transformación lineal siempre aplica el vector cero de U en el vector
cero de V; es decir, f() = . Esta afirmación puede ser establecida haciendo
a = 0 en f(au) = af(u).
EJEMPLO 7.1.10
Considérese ahora C como un espacio vectorial sobre C. Defínase una función f de
C en C por ( )f z z . ¿Es f una transformación lineal?
SOLUCION
Sean u = a + ib y v = c + id dos vectores del espacio de salida C y sean , 
escalares, entonces:
f(u + v) = f((a + c) + i(b + d)) ( ) ( )a c i b d     
= (r + x) - i(b + d) = (a - ib) + (c - id)
 f(u) + f(v).
Por lo tanto f no es transformación lineal. 
EJEMPLO 7.1.11
Considere el espacio vectorial de los números complejos C sobre R. Sea a un
número complejo fijo. Defínase f una aplicación de C en C por f(z) = (3 - 2i)z + a.
Determine el valor de a para que f sea transformación lineal.
SOLUCION
Tomamos el número complejo nulo y luego encontramos su imagen:
f(0 + i0) = (3 – 2i)(0 + i0) + a = 0 + i0 + a = a.
Para que f sea transformación lineal, debe cumplirse que f(0 + i0) = 0 + i0, de donde
a = 0. 
EJEMPLO 7.1.12
¿Es la multiplicación de cada vector geométrico por su longitud una transformación
lineal?
SOLUCION
En este caso tenemos que ( )f u u u . Sean v y w dos vectores del espacio de
salida y sean ,  escalares, entonces:
( ) ( ) ( ) ( )( )f v w v w v w v w v w            
Por lo tanto f no es transformación lineal. 
EJEMPLO 7.1.13
a.- Muestre que la línea que pasa por los vectores u y v en Rn
puede escribirse en la
forma paramétrica x = (1 – t)u + tv.
b.- El segmento de línea de u a v es el conjunto de los puntos de la forma (1 – t)u +
tv para 0  t  1. Muestre que una transformación lineal f transforma este segmento
de línea sobre un segmento de línea o sobre un punto.
SOLUCION
a.- La línea que pasa por u y v es paralela al vector v – u. Puesto que la línea pasa a
través de u, una ecuación paramétrica de la línea es
x = u + t(v – u) = u – tu + tv = (1 – t)u + tv.
b.- Por la linealidad de f:
f((1 – t)u + tv) = (1 – t)f(u) + tf(v) para 0  t  1.
Si f(u) y f(v) son distintos, las imágenes forman el segmento de línea entre f(u) y
f(v). De otro modo, todas las imágenes coinciden con un punto, f(u). 

11. TRANSFORMACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
323
PROBLEMAS
7.1.1 Verifíquese que cada uno de los siguientes es
transformación lineal de U en V:
a.- U = C0; 1, V = V1, T(f) = f(0).
b.- U = C0; 1, V = V1, T(f) = f(0) + f(1).
c.- U = C0; 1, V = V2, T(f) = (f(0) + f(1)).
d.- U = V2, V = Ca; b, T(x1, x2) = x1ex
+ x2e2x
.
e.- U = C0; 1, V = C0; 1, T(f) = f(x)Cosx.
f.- U = C(1)
a; b, V = Ca; b, T(f) = f ´(x)Senx.
g.- U = C(2)
a; b, V = Ca; b,
T(f) = xf ´´ - f ´ + ex
f.
h.- U = C(3)
a; b, V = Ca; b,
T(f) = f ´´´ + f ´´ + f ´ + f.
i.- U = Ca; b, V = Ca; b,
0
( ) ( )
x t
T f e f t dt  .
j.- U = C(1)
a; b, V = Ca; b,
0
( ) ( ) 3 ´( )
x
T f f t dt f x  .
7.1.2 Demuestre que la transformación f definida por
f((x, y)) = (4x – 2y, 3y) no es lineal.
7.1.3 Suponga que f : R2
 R2
tal que f((1, 0)) = (1, 0) y
f((0, 1)) = (0, 0). Determine f((x, y)) en R2
y dé una
interpretación geométrica de f.
7.1.4 Sean U y V espacios vectoriales sobre K, siendo U
bidimensional. Sean S = {u1, u2} una base de U, y v1 y v2
dos vectores cualesquiera de V. Defínase f de U en V de la
siguiente manera: Si u  U, entonces u = au1 + bu2 para los
únicos escalares a y b. Hágase f(u) = av1 + bv2. Demuestre
que f es transformación lineal.
7.1.5 Sea f : R2
 R2
una transformación lineal que
transforma u = (1, 5) en (2, 0) y transforma v = (3, 1) en
(1, -4). Use el hecho de que f es lineal para encontrar las
imágenes bajo f de 2u y 3u + 5v.
7.1.6 Sea V un espacio con producto interior con un
subespacio que tiene a S = {w1, w2, ..., wk} como una base
ortonormal. Demuestre que la función f : V  V dada por
f(u) = v  w1w1 + v  w2w2 + ... + v  wkwk
es una transformación lineal.
7.1.7 Se da el espacio vectorial de los vectores u = ae1 +
be2 + ce3 + de4, donde a, b, c, d son todos los números
reales posibles. Sea k un número real fijo. ¿Es lineal la
transformación f definida por la igualdad
f(u) = ae1 + be2 + ce3 + de4?
7.1.8 Verifíquese que si a1, b1, a2, b2 son números reales,
entonces
T(x1, x2) = (a1x1 + a2x2, b1x1 + b2x2)
Es transformación lineal de R2
en R2
.
7.1.9 Sea f : (n, n)  R definida por Tr(A) = a11 + a22 +
... + ann. Demuestre que f es una transformación lineal.
7.1.10 Sea V un espacio con producto interior. Para un
vector fijo w en V, se define f : V  R por f(v) = v  w.
Demuestre que f es una transformación lineal.
7.1.11 Para cada uno de los conjuntos de condiciones
que se enuncian, determínese si existe una
transformación lineal T de U en V que cumpla con las
condiciones dadas:
a.- U = V2, V = V2, T(1, 1) = (1, 2),
T(1, -1) = (0, 3).
b.- U = V2, V = V2, T(1, 1) = (1, 0),
T(1, -1) = (3, 0), T(2, 3) = (1, 0).
c.- U = V2, V = V2, T(1, 2) = (1, 3),
T(2, 1) = (2, 0), T(1, 1) = (1, 1).
d.- U = P, V = P, T(1) = 0,
T(xn
) = xn+1
para n  1.
e.- U = P, V = P, T(1) = x, T(x + 1) = x2
,
T(x2
- 1) = x3
.
f.- U = P, V = P, T(1) = x2
, T(x - 1) = x,
T(x2
+ x) = x, T(x2
) = x2
.
7.1.12 Sea f una transformación lineal de P2 en P2 tal que
f(1) = x, f(x) = 1 + x y f(x2
) = 1 + x + x2
.
Determine f(2 – 6x + x2
).
7.1.13 Suponga que f : R2
 R2
tal que f((1, 0)) = (0, 1)
y f((0, 1)) = (1, 0). Determine f((x, y)) en R2
y dé una
interpretación geométrica de f.
7.1.14 Sea f : R  R tal que ( ) vf u proy u , donde
v = (1, 1):
a.- Determine f((x, y)).
b.- Determine f((3, 4)) y f(f((3, 4))) y dé una interpretación
geométrica del resultado.
7.1.15 Trazar la imagen del cuadrado unitario cuyos
vértices son los puntos (0, 0), (1, 0), (1, 1) y (0, 1) bajo
la transformación lineal dada:
a.- f es una reflexión en el eje x.
b.- f es una reflexión en la recta y = x.
c.- f es la contracción f((x, y)) = (x/2, y).
7.1.16 Sea f la transformación lineal de R2
en R2
definida por
f((a, b)) = (aCos - bSen, aSen + bCos).
Determine:
a.- f((4, 4)) para  = 45°;
b.- f((2, -1)) para  = 30°;
c.- f((5, -1)) para  = 120°.

12. TRANSFORMACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
324
7.1.17 Determinar la imagen del cubo unitario cuyos
vértices son
(0, 0, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 1),
(1, 1, 1) y (0, 1, 1)
cuando es rotado 45° alrededor del eje Z, y cuando es
rotado 90° alrededor del eje X.
7.1.18 Demuéstrese que, si ninguno de los espacios U y
V es el espacio cero y si uno de ellos es de dimensión
infinita, entonces el conjunto de las transformaciones
lineales de U en V es un espacio vectorial de dimensión
infinita.
7.1.19 Una traslación es una función de la forma f((x, y)) =
(x – h, y – k), donde por lo menos una de las constantes h o
k es diferente de cero:
a.- Demuestre que una traslación en el plano no es una
transformación lineal.
b.- Para la traslación f((x, y)) = (x – 2, y + 1), determine las
imágenes de (0, 0), (2, -1) y (5, 4).
c.- Demuestre que una traslación en el plano no tiene
puntos fijos.
7.1.20 Sean u, v vectores en Rn
. Puede demostrarse que
el conjunto S de todos los puntos del paralelogramo
determinado por u y v tiene la forma u + v, para 0  
 1, 0    1. Sea f : Rn
 Rn
una transformación
lineal. Explique por qué la imagen de un punto en S bajo
la transformación f yace en el paralelogramo
determinado por f(u) y f(v).
7.1.21 Un vector u es un punto fijo de una transformación
lineal f : V  V si f(u) = u:
a.- Demuestre que  es un punto fijo de cualquier
transformación lineal f : V  V.
b.- Demuestre que el conjunto de puntos fijos de una
transformación lineal f : V  V es un subespacio de V.
c.- Determine todos los puntos fijos de la transformación
lineal f : R2
 R2
dada por f((x, y)) = (x, 2y).
d.- f es la dilatación definida por f((x, y)) = (x, 3y).
e.- f es la deformación por esfuerzo cortante definida
por f((x, y)) = (x + 2y, y).
f.- f es la deformación por esfuerzo cortante definida por
f((x, y)) = (x, 3x + y).
7.1.22 Dado v   y u en Rn
, la línea que pasa por u en
la dirección de v, tiene la ecuación paramétrica w = u +
tv. Demuestre que una transformación lineal f : Rn
 Rn
transforma esta línea sobre otra línea o sobre un único
punto.
7.1.23 Si S es transformación lineal de R3
en R2
y si
S(1, 0, 0) = (a1, b1), S(0, 1, 0) = (a2, b2),
S(0, 0, 1) = (a3, b3),
entonces T y S son la misma transformación.
7.1.24 Sean e1, e2, u = (3, -5) y v = (-2, 7), y sea
f : R2
 R2
una transformación lineal que transforma e1
en u y e2 en v. Encuentre las imágenes de (7, 6) y de
(x, y).
7.2 REPRESENTACION MATRICIAL. MATRIZ DE CAMBIO DE BASE
En esta sección se demostrará que si U y V son espacios vectoriales de dimensiones finitas, entonces con un poco
de ingenio cualquier transformación lineal f de U en V se puede expresar en forma matricial como f(u) = Au, en
cualesquiera bases.
Se pueden usar las matrices para representar una gran variedad de diferentes
conceptos matemáticos. La forma en que se manejan las matrices, depende de los
objetivos que representen. Considerando la amplia variedad de situaciones en las
cuales las matrices tienen aplicación, existe una notable semejanza en las
operaciones que se efectúan con las matrices en estas situaciones. Sin embargo,
también existen diferencias y, para entenderlas, debemos entender el objeto
representado y qué información se puede esperar trabajando con las matrices. Las
matrices no solamente nos proporcionan un medio conveniente para realizar todo
cálculo necesario con las transformaciones lineales, sino que la teoría de los espacios
vectoriales y las transformaciones lineales también demuestra ser una herramienta
poderosa en el desarrollo de las propiedades de las matrices.
A continuación damos a conocer un método general para construir la matriz de la
transformación lineal que actúa del espacio vectorial U en el espacio vectorial V.
Suponga que a los vectores de la base S1 = {u1, u2, ..., un} del espacio vectorial U les
están asignados unos vectores y S2 = {v1, v2, ..., vn} del espacio vectorial V. En
este caso existe una transformación lineal f y es, además, única, que actúa de U en V

13. TRANSFORMACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
325
y que transforma todo vector de S1 en el vector correspondiente de S2. Suponga que
la transformación buscada f existe. Tómese un vector arbitrario u de U y represéntelo
en forma de un desarrollo u = a1u1 + a2u2 + ... + anun, entonces
f(u) = f(a1u1 + a2u2 + ... + anun)
= a1f(u1) + a2f(u2) + ... + anf(un)
= a1v1 + a2v2 + ... + anvn.
El segundo miembro de esta identidad se determina unívocamente por el vector u
y las imágenes de la base. Por esta razón, la igualdad obtenida demuestra la
unicidad de la transformación f, si éste existe. Por otra parte, podemos definir la
transformación f precisamente mediante esta igualdad, es decir, poner f(u) = a1v1
+ a2v2 + ... + anvn. La transformación obtenida, es una transformación lineal que
actúa de U en V y transforma, a la vez, todo vector de S1 en el vector
correspondiente de S2. El dominio de la transformación f coincide con el
subespacio generado por el sistema de vectores S2.
Ahora podemos enunciar el siguiente teorema:
TEOREMA 7.2.1
La transformación lineal f que actúa del espacio U en el espacio V está
completamente definido mediante la totalidad de imágenes f(u1), f(u2), ...,
f(un) para cualquier base definida S1 = {u1, u2, ..., un} del espacio U.
DEMOSTRACION
Fijemos en el espacio U la base S1 = {u1, u2, ..., un} y en el espacio V, la base
S2 = {v1, v2, ..., vm}. El vector u1 se transforma por la transformación f en cierto
vector f(u1) del espacio V, el cual, como todo vector de este espacio, puede ser
desarrollado por vectores básicos
f(u1) = a11v1 + a12v2 + ... + a1mvm
f(u2) = a21v1 + a22v2 + ... + a2mvm
. . .
f(un) = an1v1 + an2v2 + ... + anmvm
Los coeficientes aij de estas combinaciones lineales determinan una matriz A de m
filas y n columnas
11 21 1
12 22 2
1 2
A
m
m
n n mn
a a a
a a a
a a a
 
 
 
 
  
 
que se denomina matriz de la transformación f en bases elegidas. Como columnas de
la matriz de la transformación sirven los coeficientes de la cada combinación, en
otras palabras, las coordenadas de los vectores f(u1), f(u2), ..., f(un) respecto de la base
S2. Con el fin de determinar el elemento aij de la matriz de la transformación f hace
falta aplicar la transformación al vector uj y tomar la i-ésima coordenada en la
imagen f(uj). En lo sucesivo haremos uso del método descrito para determinar los
elementos de la matriz de la transformación. Considere un vector arbitrario u de U y
su imagen v = f(u). Aclaremos de qué modo se expresar las coordenadas del vector v
en términos de las coordenadas del vector u y los elementos de la matriz de la
transformación. Sea
u = a1u1 + a2u2 + ... + anun
y
v = b1v1 + b2v2 + ... + bmvm
calculamos
f(u) = f(a1u1 + a2u2 + ... + anun)
= a1f(u1) + a2f(u2) + ... + anf(un)
= a1[a11v1 + a12v2 + ... + a1mvm] + a2[a21v1 + a22v2 + ... + a2mvm] + ... + an[an1v1 +
an2v2 + ... + anmvm]

14. TRANSFORMACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
326
= [a1a11 + a2a21 + ... + anan1]v1 + [a1a12 + a2a22 + ... + anan2]v2 + ... + [a1a1m +
a2a2m + ... + ananm]vm
Al comparar el segundo miembro de estas igualdades con el desarrollo de v,
concluimos que deben cumplirse las igualdades
a11a1 + a21a2 + ... + an1an = b1
a12a1 + a22a2 + ... + an2an = b2
. . .
a1ma1 + a2ma2 + ... + anman = bm
De esta manera, toda transformación lineal genera, cuando están definidas las
bases en los espacios U y V, las identidades antes mencionadas que relacionan
entre sí las coordenadas de la imagen y las de la preimagen. Con el fin de
determinar las coordenadas de la imagen según las coordenadas de la preimagen
basta calcular los primeros miembros de estas identidades. 
Siendo determinadas las bases en los espacios U y V, la igualdad coordenada permite
investigar totalmente la acción de una transformación lineal. Evidentemente, cuanto
más simple es la forma de la matriz de una transformación, tanto más eficaz será la
realización de dicha investigación. Generalmente las matrices de las
transformaciones dependen de las bases y la tarea inmediata consiste en aclarar esta
dependencia.
Sean S1 = {u1, u2, ..., um} y S2 = {v1, v2, ..., vm} dos bases del espacio vectorial U. Los
vectores de S2 se definen unívocamente mediante sus descomposiciones
1 11 1 12 2 1
2 21 1 22 2 2
1 1 2 2
...
...
...
...
m m
m m
m m m mm m
v a u a u a u
v a u a u a u
v a u a u a u
   
    


    
(1)
según los vectores de S1. Los coeficientes aij determinan la matriz
11 21 1
12 22 2
1 2
...
...
P
... ... ...
...
m
m
m m mm
a a a
a a a
a a a
 
 
 
 
  
 
la cual se denomina matriz de la transformación de coordenadas al pasar de la base
S1 a la base S2.
Tómese un vector arbitrario u de U y descompóngase según los vectores de ambas
bases. Sea
u = b1u1 + b2u2 + ... + bmum = c1v1 + c2v2 + ... + cmvm
De acuerdo con (1) tenemos
b1u1 + b2u2 + ... + bmum = c1v1 + c2v2 + ... + cmvm
= c1(a11u1 + a12u2 + ... + a1mum) + c2(a21u1 + a22u2 + ... +
a2mum) + ... + cm(am1u1 + am2u2 + ... + ammum)
= (a11c1 + a21c2 + ... + am1cm)u1 + (a12c1 + a22c2 + ... +
am2cm)u2 + ... + (a1mc1 + a2mc2 + ... + ammcm)um.
Comparando los coeficientes ui en el primero y segundo miembros de las
correlaciones, encontramos
1 11 1 21 2 1
2 12 1 22 2 2
1 1 2 2
...
...
...
...
m m
m m
m m m mm m
b a c a c a c
b a c a c a c
b a c a c a c
   
    


    
(2)
Estas fórmulas se denominan fórmulas de transformación de las coordenadas.

15. TRANSFORMACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
327
Designemos, como hasta ahora, mediante 1
XS y 2
XS las matrices de dimensiones
m x 1, formadas por las coordenadas del vector u en las bases correspondientes. Las
fórmulas (2) muestran que 1 2S SX = PX . La matriz de la transformación de
coordenadas debe ser no singular, puesto que en el caso contrario tendrá lugar la
dependencia lineal entre sus columnas y, por tanto, entre los vectores de S2. Por
supuesto, cualquier matriz no singular es una matriz de cierta transformación de
coordenadas definida mediante 1 2S SX = PX . Al multiplicar a la izquierda de la
igualdad por la matriz P-1
, obtendremos
1 2
-1 -1
S SP X = P PX  2 1
-1
S SX = P X .
Supongamos ahora que en el espacio vectorial U vienen dadas tres bases S1, S2 y S3.
El paso de la primera base a la tercera puede realizarse con ayuda de dos
procedimientos: o bien directamente de la primera a la tercera o bien primero de la
primera a la segunda, y después de la segunda a la tercera. No es difícil establecer la
conexión entre las matrices correspondientes de la transformación de coordenadas.
De acuerdo con 1 2S SX = PX , tenemos:
1 2S SX = PX  2 3S SX = RX  1 3S SX = QX .
De las primeras dos correlaciones se desprende
1 2 3 3 3S S S S SX = PX = P(RX ) = (PR)X = QX .
De este modo, cuando las coordenadas se transforman de manera consecutiva, la
matriz de la transformación resultante será igual al producto de matrices de las
transformaciones intermedias.
Examinemos otra vez la transformación lineal f que actúa de U en V. Elijamos en el
espacio U dos bases S1 y S2, y en el espacio V otras dos bases S3 y S4. En las
primeras dos bases, a una misma transformación f le corresponde la igualdad
coordenada
1
3 13
S
S SSY = A X (3)
y en las otras dos bases, la igualdad
2
4 24
S
S SSY = A X (4)
En concordancia con estos pares de bases, para una misma transformación f tenemos
dos matrices 1
3
S
SA y 2
4
S
SA . Designemos con P la matriz de la transformación de
coordenadas al pasar de la base S1 a la base S2 y con Q, la matriz de la
transformación de coordenadas al pasar de S3 a S4.Se tiene
1 2S SX = PX , 3 4S SY = QY .
Sustituyendo estas expresiones para 1SX y 3SY en (3), obtenemos
1
4 23
S
S SSQY = A PX
De donde se deduce que
 1
4 23
S-1
S SSY = Q A P X .
Al comparar la igualdad obtenida con (4), concluimos que
2 1
4 3
S S-1
S SA = Q A P .
Esto es precisamente la correlación buscada que liga las matrices de una misma
transformación en diferentes bases. La transformación lineal f que actúa del espacio
U en el espacio V está completamente definido mediante la totalidad de imágenes

16. TRANSFORMACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
328
f(u1), f(u2), ..., f(un) para cualquier base definida S1 = {u1, u2, ..., un} del espacio U.
EJEMPLO 7.2.1
En un espacio vectorial de dimensión 4, se examina una transformación lineal f.
Escribir esta transformación en la forma de coordenadas si
f(e1) = e3 + e4, f(e2) = e1 + e4,
f(e3) = e1 + e2, f(e4) = e2 + e3.
SOLUCION
f((1, 0, 0, 0)) = (0, 0, 1, 1), f((0, 1, 0, 0)) = (1, 0, 0, 1),
f((0, 0, 1, 0)) = (1, 1, 0, 0), f((0, 0, 0, 1)) = (0, 1, 1, 0).
La matriz de la transformación f es
0 1 1 0
0 0 1 1
A
1 0 0 1
1 1 0 0
 
 
 
 
 
 
.
Por lo tanto, la transformación f se escribe en forma de coordenadas de la siguiente
manera:
f((a, b, c, d)) = (b + c, c + d, a + d, a + b). 
EJEMPLO 7.2.2
Sea f la transformación lineal de (2, 2) en (3, 1) definida por
2 3
2 2
3 4
a b c
a b
f a b c d
c d
a b c d
  
    
       
       
.
Encuentre la representación matricial de f.
SOLUCION
Tómese las bases canónicas de (2, 2) y (3, 1), es decir
1
1 0 0 1 0 0 0 0
, , ,
0 0 0 0 1 0 0 1
         
         
         
S y 2
1 0 0
0 , 1 , 0
0 0 1
      
      
       
      
      
S
obtenga la matriz   2
1
f S
S . Primeramente, determinaremos cuáles son las imágenes de
los vectores de la base S1 de (2, 2):
2
1 0
1
0 0
1
f
 
    
    
    
 
;
3
0 1
2
0 0
1
f
 
    
    
    
 
;
1
0 0
1
1 0
3
f
 
    
    
     
;
0
0 0
2
0 1
4
f
 
    
    
     
.
Obsérvese que en este caso, como se está tomando la base canónica S2 de (3, 1), se
tiene lo siguiente:
  21 S
2
(E ) 1
1
f
 
 
  
 
 
;   22 S
3
(E ) 2
1
f
 
 
  
 
 
;   23 S
1
(E ) 1
3
f
 
 
  
  
;   24 S
0
(E ) 2
4
f
 
 
  
  
,
de modo que
  2
1
2 3 1 0
1 2 1 2
1 1 3 4
f
 
 
  
   
S
S . 

17. TRANSFORMACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
329
EJEMPLO 7.2.3
Considérese f la transformación lineal de P4 en P4 definida por f(p) = p'(x). Obtenga
[f]S en la base canónica de P4.
SOLUCION
La base canónica de P4 es S = {1, x, x2
, x3
, x4
}. A continuación determinamos las
imágenes con respecto a cada elemento de S, es decir:
[f(1)]S = [(1)']S = [0]S = 0(1) + 0(x) + 0(x2
) + 0(x3
) + 0(x4
);
[f(x)]S = [(x)']S = [1]S = 1(1) + 0(x) + 0(x2
) + 0(x3
) + 0(x4
);
[f(x2
)]S = [(x2
)']S = [2x]S = 0(1) + 2(x) + 0(x2
) + 0(x3
) + 0(x4
);
[f(x3
)]S = [(x3
)']S = [3x2
]S = 0(1) + 0(x) + 3(x2
) + 0(x3
) + 0(x4
);
[f(x4
)]S = [(x4
)']S = [4x3
]S = 0(1) + 0(x) + 0(x2
) + 4(x3
) + 0(x4
).
Por lo tanto
 
0 1 0 0 0
0 0 2 0 0
0 0 0 3 0
0 0 0 0 4
0 0 0 0 0
f
 
 
 
 
 
 
 
 
S .
Mediante esta matriz, podemos derivar p(x) = 5 + 8x - 10x2
+ 6x3
- 7x4
, es decir
       
0 1 0 0 0 5 8
0 0 2 0 0 8 20
( ) ' 0 0 0 3 0 10 18
0 0 0 0 4 6 28
0 0 0 0 0 7 0
f p p f p
    
    
    
       
    
    
        
S S S S .
Por lo tanto, p'(x) = 8 - 20x + 18x2
- 28x3
. 
EJEMPLO 7.2.4
Sea f la transformación lineal de R3
en R4
definida por
f((a, b, c)) = (a + 3b – c, 2a + b + 3c, -3a - 14b + 8c, 3a + 4b + 2c)
Obtenga fS en las bases canónicas.
SOLUCION
Tómense las bases canónicas de R3
y R4
:
S1 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}
y
S2 = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}
A continuación, obtenemos las imágenes correspondientes
f((1, 0, 0)) = (1, 2, -3, 3), f((0, 1, 0)) = (3, 1, -14, 4), f((0, 0, 1)) = (-1, 3, 8, 2)
obtenemos la matriz
  2
1
1 3 1
2 1 3
3 14 8
3 4 2
f
 
 
 
  
 
 
S
S . 
EJEMPLO 7.2.5
Encuentre la matriz de la transformación lineal D definida en el conjunto de
polinomios en t sobre R de grado a lo sumo igual a 2 mediante D(p(t)) = p´(t), en
relación con la base.
a.- S1 = {1 + t, t, 1 + 2t + t2
}; b.- S2 = {1/2(1 - t), 1/2(1 + t), t2
}.
SOLUCION
a.- D(1 + t) = 1 = 1(1 + t) + (-1)t + 0(1 + 2t + t2
)
D(t) = 1 = 1(1 + t) + (-1)t + 0(1 + 2t + t2
)
D(1 + 2t + t2
) = 2 + 2t = 2(1 + t) + 0t + 0(1 + 2t + t2
)

18. TRANSFORMACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
330
1 1 2
D 1 1 0
0 0 0
 
 
   
 
 
.
b.- D(1/2(1 - t)) = - 1/2 = (-1/2)1/2(1 - t) + (-1/2)1/2(1 + t) + 0t2
D(1/2(1 + t)) = 1/2 = 1/21/2(1 - t) + 1/21/2(1 + t) + 0.t2
D(t2
) = 2t = (-2)1/2(1 - t) + 21/2(1 + t) + 0t2
1/ 2 1/ 2 2
D 1/ 2 1/ 2 2
0 0 0
  
 
  
 
 
. 
EJEMPLO 7.2.6
Sea V el espacio de todas las funciones de la forma aet
+ be2t
+ ce3t
. Si se define
D : V  V mediante D(f(t)) = f ´(t), obtenga:
a.- La matriz de D con respecto a la base 1 = {et
, e2t
, e3t
};
b.- La matriz de D con respecto a la base 2 = {et
+ e2t
, e2t
+ e3t
, et
+ e3t
}.
SOLUCION
a.- D(et
) = et
= 1et
+ 0e2t
+ 0e3t
; D(e2t
) = 2e2t
= 0et
+ 2e2t
+ 0e3t
D(e3t
) = 3e3t
= 0et
+ 0e2t
+ 3e3t
1 0 0
D 0 2 0
0 0 3
 
 
  
 
 
b.- D(et
+ e2t
) = et
+ 2e2t
= 3/2(et
+ e2t
) + 1/2(e2t
+ e3t
) + (-1/2)(et
+ e3t
)
D(e2t
+ e3t
) = 2e2t
+ 3e3t
= (-1/2)(et
+ e2t
) + 5/2(e2t
+ e3t
) + 1/2(et
+ e3t
)
D(et
+ e3t
) = et
+ 3e3t
= (-1)(et
+ e2t
) + 1(e2t
+ e3t
) + 2(et
+ e3t
)
3 1
1
2 2
1 5
D 1
2 2
1 1
2
2 2
 
  
 
   
 
  
 
. 
EJEMPLO 7.2.7
Se examina el espacio vectorial de los vectores u = ae1 + be2 + ce3 + de4, donde a, b,
c, d son escalares reales. Demostrar que la transformación f definida por f(u) = be1 +
ce2 + de3 + ae4 es lineal, y hallar su representación matricial.
SOLUCION
Sabemos que f(u) = f((a, b, c, d)) = (b, c, d, a). Encontramos las imágenes con
respecto de la base canónica de R4
:
f((1, 0, 0, 0)) = (0, 0, 0, 1); f((0, 1, 0, 0)) = (1, 0, 0, 0);
f((0, 0, 1, 0)) = (0, 1, 0, 0); f((0, 0, 0, 1)) = (0, 0, 1, 0)
Por tanto la matriz de la transformación lineal tiene la siguiente forma:
0 1 0 0
0 0 1 0
A
0 0 0 1
1 0 0 0
f
 
 
 
 
 
 
. 
EJEMPLO 7.2.8
Sea V = P4 el espacio de todos los polinomios de grado menor o igual a 4, en la
indeterminada t y defínase f de P4 en P4 por ( ( )) ´´( ) 2 ´( ) ( )f p t p t p t p t   .
Representar a f mediante una matriz respecto a la base canónica de P4.

19. TRANSFORMACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
331
SOLUCION
Sabemos que
p(t) = a + bt + ct2
+ dt3
+ et4
,
p´(t) = b + 2ct + 3dt2
+ 4et3
,
p´´(t) = 2c + 6dt + 12et2
.
De donde:
f(a + bt + ct2
+ dt3
+ et4
) = (a + 2b + 2c) + (b + 4c + 6d)t + (c + 6d + 12e)t2
+
+ (d + 8e)t3
+ et4
.
Encontramos las imágenes con respecto de la base canónica de P4:
f(1) = 1 + 0t + 0t2
+ 0t3
+ 0t4
; f(t) = 2 + t + 0t2
+ 0t3
+ 0t4
;
f(t2
) = 2 + 4t + t2
+ 0t3
+ 0t4
; f(t3
) = 0 + 6t + 6t2
+ t3
+ 0t4
;
f(t4
) = 0 + 0t + 12t2
+ 8t3
+ t4
.
Por tanto la matriz de la transformación lineal tiene la siguiente forma:
1 2 2 0 0
0 1 4 6 0
A 0 0 1 6 12
0 0 0 1 8
0 0 0 0 1
f
 
 
 
 
 
 
 
 
. 
EJEMPLO 7.2.9
Considérese la transformación lineal f : P3  P2 definida por
f(at3
+ bt2
+ ct + d) = (a + b + c)t2
+ (2b – c + 4d).
Determine la matriz de f en las bases canónicas.
SOLUCION
Encontramos las imágenes con respecto de la base canónica de P3 y luego cada una
de éstas, las expresamos como combinación lineal de la base canónica de P2:
f(t3
) = t2
+ 0t + 0; f(t2
) = t2
+ 0t + 2; f(t) = t2
+ 0t – 1; f(1) = 0t2
+ 0t + 4.
Por tanto la matriz de la transformación lineal tiene la siguiente forma:
1 1 1 0
A 0 0 0 0
0 2 1 4
f
 
 
  
  
. 
EJEMPLO 7.2.10
Considérese la transformación lineal f : C2
 C2
definida por f((a, b)) = (a + b, ib).
Determine la matriz de f en las bases canónicas.
SOLUCION
Encontramos las imágenes con respecto de la base canónica de C2
y luego cada una
de éstas, las expresamos como combinación lineal de la base canónica de C2
:
f((1, 0)) = (1, 0), f((0, i)) = (i, -1).
Por tanto la matriz de la transformación lineal tiene la siguiente forma:
1
A
0 1
f
i 
  
 
. 
PROBLEMAS
7.2.1 La transformación lineal definida en el ejemplo
anterior es uno a uno, es decir, f no aplica a dos vectores
diferentes sobre el mismo vector. Por tanto, existe una
transformación lineal que aplica a (3, -1) sobre (1, 0) y a
(-1, 2) sobre (0, 1). Esta transformación lineal invierte la
aplicación dada por f. Determine la matriz que la
representa con respecto a las bases canónicas.
7.2.2 Encuentre la representación matricial A de la
transformación lineal f, use A para encontrar la imagen
del vector v y trace la gráfica de v y su imagen:
a.- f es la reflexión a través del origen en R2
:
f((x, y)) = (-x, -y), v = (3, 4).
b.- f es la reflexión en la recta y = x en R2
:
f((x, y)) = (y, x), v = (3, 4).

20. TRANSFORMACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
332
c.- f es la rotación de 135° en sentido antihorario en R2
,
v = (4, 4).
d.- f es la rotación de 60° en sentido horario en R2
,
v = (1, 2).
e.- f es la reflexión a través del plano de coordenadas
XY en R3
: f((x, y, z)) = (x, y, -z), v = (3, 2, 2).
f.- f es la reflexión a través del plano de coordenadas YZ
en R3
:
f((x, y, z)) = (-x, y, z), v = (2, 3, 4).
g.- f es la rotación de 180° en sentido antihorario en R2
,
v = (1, 2).
h.- f es la rotación de 45° en sentido antihorario en R2
,
v = (2, 2).
i.- f es la proyección sobre el vector w = (3, 1) en R2
:
( ) proywf v v , v = (1, 4).
j.- f es la proyección sobre el vector w = (-1, 5) en R2
:
( ) proywf u u , u = (2, -3).
k.- f es la reflexión con respecto al vector w = (3, 1) en
R2
, v = (1, 4). (La reflexión de un vector v a través de w
está definida por ( ) 2proywf v v v  ).
7.2.3 Rote 90° alrededor del punto (5, 3) en sentido
antihorario el triángulo cuyos vértices son (3, 5), (5, 3) y
(3, 0). Graficar los triángulos.
Encuentre las matrices que representan a esta
transformación lineal con respecto a las bases canónicas
de R2
y {(1, 1), (1, -2)}.
7.2.4 Sea la transformación lineal f : R2
 R3
que
aplica a (1, 1) sobre (0, 1, 2) y a (-1, 1) sobre (2, 1, 0).
Determine la matriz que representa a f con respecto a las
bases S1 = {(1, 0), (0, 1)} en R2
y S2 = {(1, 0, 0),
(0, 1, 0), (0, 0, 1)} en R3
.
7.2.5 Sea
1 0
A
0 1
 
  
 
, u = (5, 2) y v = (3, -1). Sea
f(w) = Aw para w en R2
:
a.- En un sistema de coordenadas rectangulares, grafique
los vectores u, v, f(u) y f(v).
b.- Dé una interpretación geométrica de lo que f hace a un
vector w en R2
.
7.2.6 Sea f una transformación lineal tal que f(u) = u
para u en Rn
. Encuentre la matriz A para f.
7.2.7 Sea f una transformación lineal de R2
hacia sí
mismo que aplica a (1, 1) sobre (2, -3) y a (1, -1) sobre
(4, -7). Determine la matriz que representa a f con
respecto a las bases canónicas.
7.2.8 Una transformación afín f : Rn
 Rm
tiene la
forma f(u) = Au + b, siendo A una matriz de m x n y con
b en Rm
. Demuestre que f no es una transformación lineal
cuando b  .
7.2.9 Decimos que una recta se aplica sobre sí misma,
si cada punto de la recta se aplica sobre un punto de la
recta, pero no todos sobre el mismo punto, aún
considerando que los puntos en la recta se pueden
mover de un lado a otro:
a.- Una transformación lineal aplica a (1, 0) sobre
(-1, 0) y a (0, 1) sobre (0, -1). Demuestre que cada recta
que pasa por el origen se aplica sobre sí misma.
Demuestre que cada una de esas rectas se aplica sobre sí
misma con el sentido de la dirección invertido. Esta
transformación lineal se llama inversión con respecto al
origen. Encuentre la matriz que representa a esta
transformación lineal con respecto a la base canónica de
R2
.
b.- Una transformación lineal aplica a (1, 1) sobre
(-1, -1) y deja fijo a (1, -1). Demuestre que toda recta
perpendicular a la recta x1 + x2 = 0 se aplica sobre sí
misma, con el sentido de la dirección invertido.
Pruebe que cada punto sobre la recta x1 + x2 = 0 se deja
fijo. ¿Cuáles rectas de las que pasan por el origen se
aplican sobre sí mismas?. Esta transformación lineal se
llama reflexión alrededor de la línea x1 + x2 = 0.
Encuentre la matriz que representa a esta transformación
lineal con respecto a la base canónica en R2
. Encuentre
la matriz que representa a esta transformación lineal con
respecto a la base {(1, 1), (1, -1)}.
c.- Una transformación lineal aplica a (1, 1) sobre
(2, 2) y a (1, -1) sobre (3, -3). Demuestre que las rectas
que pasan por el origen y por los puntos (1, 1) y (1, -1)
se aplican sobre sí mismas y que ningunas otras rectas
se aplican sobre sí mismas. Encuentre las matrices que
representan a esta transformación lineal con respecto a
las bases, canónicas en R2
y {(1, 1), (1, -1)}.
d.- Una transformación lineal deja fijo a (1, 0) y aplica
(0, 1) sobre (1, 1). Demuestre que cada recta de la forma
x2 = c se aplica sobre sí misma y se traslada dentro de sí
misma una distancia igual a c. Esta transformación
lineal se llama deslizamiento. ¿Cuáles rectas que pasan
por el origen se aplican sobre sí mismas? Encuentre la
matriz que representa a esta transformación lineal con
respecto a la base canónica de R2
.
e.- Una transformación lineal aplica a (1, 0) sobre
(5/13, 12/13) y a (0, 1) sobre (-12/13, 5/13). Demuestre
que toda recta que pasa por el origen se hace girar en un
ángulo  = ArcCos(5/13), en sentido antihorario. Esta
transformación lineal se llama rotación. Encuentre la
matriz que representa a esta transformación lineal con
respecto a la base canónica de R2
.
f.- Una transformación lineal aplica a (1, 0) sobre
(2/3, 2/3) y a (0, 1) sobre (1/3, 1/3). Demuestre que cada
punto sobre la recta 2x1 + x2 = 3c se aplica sobre el
único punto (c, c). La recta x1 – x2 = 0 se deja fija. La
única otra recta que pasa por el origen y se aplica sobre
sí misma, es la recta 2x1 + x2 = 0. Esta transformación
lineal se llama proyección sobre la recta x1 – x2 = 0
paralela a la recta 2x1 + x2 = 0.

21. TRANSFORMACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
333
7.2.10 Sea S = {1, x, x2
, x3
} una base de P3 y sea
f : P3  P4 la transformación lineal definida por
0
( )
xk k
f x t dt  :
a.- Encuentre la matriz A para f con respecto a S y a la
base canónica de P4.
b.- Use A para integrar p(x) = 15 + 6x – 2x2
+ 5x3
.
7.2.11 Use la matriz de rotación en R2
en sentido
antihorario para rotar 90° alrededor del origen el
triángulo cuyos vértices son (3, 5), (5, 3) y (3, 0).
Grafique los triángulos.
7.2.12 Sean
S1 = {(1, 3), (-2, -2)} y S2 = {(-12, 0), (-4, 4)}
bases de R2
, y sea
3 2
A
0 4
 
  
 
la matriz de f : R2
 R2
con respecto a S1:
a.- Determine la matriz de transición P de S2 a S1.
b.- Aplique las matrices A y P para encontrar 1
[ ]v S y
1
[ ( )]f v S , donde 2
1
[ ]
2
v
 
  
 
S .
c.- Determine B, la matriz de f con respecto a S2, y P-1
.
d.- Encuentre 2
[ ( )]f v S de dos formas: primero como
1
1
P [ ( )]f v
S y luego como 2
B[ ]v S .
7.2.13 En R3
sean S1 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} y
S2 = {(0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)}. Encuentre la matriz de
transición P de S1 hacia S2 y la matriz de transición P-1
de S2 hacia S1.
7.2.14 Sea S1, S2 y S3 tres base de V. Sea P la matriz de
transición de S1 hacia S2 y Q la matriz de transición de S2
hacia S3. ¿Es PQ o QP la matriz de transición de S1 hacia
S3? Compare el orden de multiplicación de las matrices
de transición y de las matrices que representan
transformaciones lineales.
7.2.15 Sea f una transformación lineal de R2
hacía si
mismo que aplica a (1, 0) sobre (3, -1) y a (0, 1) sobre (-
1, 2). Determine la matriz que representa a f con respecto
a las bases canónicas.
7.2.16 Sea S = {1, x, ex
, xex
} una base de un subespacio
U del espacio de funciones continuas y sea Dx el
operador diferencial sobre U. Encuentre la matriz para Dx
con respecto a la base S.
7.2.17 Sea S = {e2x
, xe2x
, x2
e2x
} una base de un
subespacio U del espacio de funciones continuas y sea Dx
el operador diferencial sobre U. Encuentre la matriz para
Dx con respecto a la base S.
7.2.18 Sea u = (x, y), v = (-7, 4) y w = (3, -8), y sea
f : R2
 R2
una transformación que transforma u en
v + w. Encuentre una matriz tal que f(u) sea Au para
cada u.
7.2.19 La transformación lineal definida por una matriz
diagonal cuyos elementos en la diagonal principal son
positivos se denomina amplificación. Encontrar las
imágenes de (1, 0), (0, 1) y (2, 2) bajo la transformación
definida por
2 0
A
0 3
 
  
 
e interpretar gráficamente los
resultados.
7.2.20 Considere los números complejos de la forma
x + iy y represente tales números complejos por las
diadas (x, y) en R2
. Sea a + ib un número complejo fijo.
Considere la función f definida por la regla
f(x + iy) = (a + ib)(x + iy) = u + iv:
a.- Demuestre que esta función es una transformación
lineal de R2
hacia sí mismo que aplica a (x, y) sobre
(u, v).
b.- Encuentre la matriz que representa a esta
transformación lineal con respecto a la base canónica.
c.- Encuentre la matriz que representa a la
transformación lineal que se obtiene usando c + id en
lugar de a + ib. Calcule el producto de estas dos
matrices. ¿Se pueden conmutar?
d.- Determine el número complejo que se pueda usar en
lugar de a + ib para obtener una transformación
representada por este producto de matrices. ¿Cómo está
relacionado este número complejo con a + ib y c + id?
7.2.21 En el espacio C0; 1, definamos T(f) como Mf,
donde Mf es la función de x definida de la manera
siguiente, Mf(x) = máximo de f en 0; x, 0  x  1. De
esto tenemos un ejemplo en un termómetro que registra
la temperatura máxima. Se puede demostrar que Mf(x)
es función continua en 0; 1 cuando f también lo es:
a.- Encuéntrese T(f) en
f(x) = x – x2
, f(x) = e-x
, f(x) = Sen3x, f(x) = x2
– x.
b.- ¿Es T transformación lineal?
c.- Descríbanse las funciones f para las cuales T(f) es la
función cero.
d.- Descríbanse las funciones f para las cuales T(f) = f.
7.2.22 Sea f : R3
 R3
la transformación lineal
determinada por la matriz
0 0
A 0 0
0 0
a
b
c
 
 
  
 
 
donde a, b y c son números positivos. Sea S la esfera
unitaria, cuya superficie limitante tiene la ecuación
2 2 2
1 2 3 1x x x   :

22. TRANSFORMACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
334
a.- Demuestre que f(S) está delimitada por el elipsoide
que tiene la ecuación
22 2
31 2
2 2 2
1
xx x
a b c
   .
b.- Utilice el hecho de que el volumen de la esfera
unitaria es 4/3 para determinar el volumen de la región
acotada por el elipsoide de a).
7.3 ALGEBRA DE TRANSFORMACIONES LINEALES
En esta sección se analizarán las operaciones que se pueden realizar entre transformaciones lineales.
Enunciaremos sus propiedades más importantes.
Comenzamos el estudio sistemático de las transformaciones lineales con la
descripción de varias maneras en que pueden formarse nuevas transformaciones
partiendo de otras. De entre ellas la más simple es la adición de dos
transformaciones lineales, cada una de las cuales aplica un espacio vectorial dado
U en el espacio V.
DEFINICION 7.3.1
Sean U y V espacios vectoriales, ambos sobre el mismo cuerpo K. La suma
f + g de las transformaciones lineales f de U en V y g de U en V está dada
por (f + g)(u) = f(u) + g(u) para cada vector u de U.
Ciertamente f + g es función de U en V. No obstante, es natural preguntarse si f + g
es una transformación lineal.
TEOREMA 7.3.1
La suma f + g de las transformaciones lineales f de U en V y g de U en V,
es una transformación lineal.
DEMOSTRACION
Sean u y v vectores arbitrarios de U, y sean a y b escalares arbitrarios de K. Para
demostrar que f + g sea una transformación lineal, debemos probar que
(f + g)(au + bv) = a(f + g)(u) + b(f + g)(v).
Es decir
(f + g)(au + bv) = f(au + bv) + g(au + vb)
= [af(u) + bf(v)) + (ag(u) + bg(v))]
= [af(u) + ag(u)) + (bf(v) + bg(v))]
= a[f(u) + g(u)] + b[f(v) + g(v)]
= a(f + g)(u) + b(f + g)(v). 
La adición de transformaciones lineales tiene un gran número de propiedades
familiares y sugerentes. En primer lugar f + (g + h) = (f + g) + h y f + g = g + f,
siempre que f, g y h sean transformaciones lineales de U en V. En segundo lugar, la
transformación cero de U en V actúa como un cero para esta adición, ya que f +  =
 + f = f para toda f de U en V. Finalmente, si f es cualquier transformación lineal de
U en V y si definimos –f por la ecuación (-f)(u) = - f(u), para toda u de U, obtenemos
una transformación lineal de U en V con la propiedad de que f + (-f) = (-f) + f = .
A continuación detallaremos la matriz asociada a la transformación lineal f + g. Sean
S1 = {u1, u2, ..., un} y S2 = {v1, v2, ..., vm} bases de los espacios vectoriales U y V
respectivamente, y sean
11 21 1
12 22 2
1 2
...
...
A
... ... ...
...
n
n
f
m m nm
a a a
a a a
a a a
 
 
 
 
  
 
y
11 21 1
12 22 2
1 2
...
...
B
... ... ..
...
n
n
g
m m nm
b b b
b b b
b b b
 
 
 
 
  
 
las matrices asociadas a las transformaciones lineales f y g respecto de las bases

23. TRANSFORMACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
335
consideradas anteriormente. Calculamos los transformados de los elementos de la
base S1, para determinar la matriz asociada a la transformación f + g:
(f + g)(u1) = f(u1) + g(u1)
= (a11v1 + a12v2 + ... + a1mvm) + (b11v1 + b12v2 + ... + b1mvm)
= (a11 + b11)v1 + (a12 + b12)v2 + … + (a1m + b1m)vm
(f + g)(u2) = f(u2) + g(u2)
= (a21v1 + a22v2 + ... + a2mvm) + (b21v1 + b22v2 + ... + b2mvm)
= (a21 + b21)v1 + (a22 + b22)v2 + … + (a2m + b2m)vm
. . .
(f + g)(un) = f(un) + g(un)
= (an1v1 + an2v2 + ... + anmvm) + (bn1v1 + bn2v2 + ... + bnmvm)
= (an1 + bn1)v1 + (an2 + bn2)v2 + … + (anm + bnm)vm
Por tanto, la matriz asociada en las bases consideradas vendrá dada por
11 11 21 21 1 1
12 12 22 22 2 2
1 1 2 2
...
...
A B
... ... ...
...
n n
n n
f g
m m m m nm nm
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
   
 
    
 
     
es decir, la matriz asociada a la transformación lineal f + g se obtiene sumando
término a término los elementos de las matrices asociadas a la transformaciones
lineales f y g.
EJEMPLO 7.3.1
La transformación lineal f consiste en que cada vector del plano está vuelto en el
ángulo  = /4. Hallar en la forma de coordenada la transformación lineal f + i.
SOLUCION
Tenemos que
2 2
( )
4 4 2 2
f i iCos jSen i j
 
    ;
3 3 2 2
( )
4 4 2 2
f j iCos jSen i j
 
    
Por consiguiente
2 2
2 2A
2 2
2 2
f
 
 
 
 
 
 
.
Como Ii es la matriz identidad de 2 x 2, entonces
2 2 2 2
1
1 02 2 2 2A I
0 12 2 2 2
1
2 2 2 2
f i
   
     
            
   
   
.
La transformación lineal Af + Ii se puede escribir como
2 2 2 2
( )(( , )) 1 , 1
2 2 2 2
f i a b a b a b
    
             
    
. 
EJEMPLO 7.3.2
Se dan dos transformaciones lineales
f((a, b, c)) = (a + 2b + 3c, 4a + 5b + 6c, 7a + 8b)
g((a, b, c)) = (a + 3b + c, a – 3b + 2c, a + c).
Hallar 3f – 2g.
SOLUCION
Como 3f – 2g : R3
 R3
, entonces:
3f((a, b, c)) – 2g((a, b, c)) = 3(a + 2b + 3c, 4a + 5b + 6c, 7a + 8b) - 2(a + 3b + c,
a – 3b + 2c, a + c)

24. TRANSFORMACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
336
= (3a + 6b + 9c, 12a + 15b + 18c, 21a + 24b) - (2a + 6b + 2c, 2a – 6b + 4c, 2a + 2c)
= (a + 7c, 10a + 21b + 14c, 19a + 24b – 2c). 
Para completar lo que ahora debe ser una sucesión obvia de ideas, presentamos
una multiplicación escalar en el conjunto de las transformaciones lineales de U en
V.
DEFINICION 7.3.2
El producto escalar af de un escalar a de K y una transformación lineal f
de U en V está dada por (af)(u) = af(u) para todo vector u de U.
En otras palabras, af es la función cuyo valor en u se calcula formando el producto
escalar de a y el vector f(u).
TEOREMA 7.3.2
El producto escalar af de un escalar a de K y una transformación lineal f de
U en V, es una transformación lineal.
DEMOSTRACION
Sean u y v vectores arbitrarios de U, y sean k y r, escalares arbitrarios. Para
demostrar que af es una transformación lineal, debemos probar que
(af)(ku + rv) = k[(af)(u)] + r[(af)(v)].
Es decir
(af)(ku + rv) = a[f(ku + rv)]
= a[kf(u) + rf(v)]
= (ak)f(u) + (ar)f(v)
= k[af(u)] + r[af(v)]
= k[(af)(u)] + r[(af)(v)]. 
Sean S1 = {u1, u2, ..., un} y S2 = {v1, v2, ..., vm} bases de los espacios vectoriales U y
V respectivamente, y sea
11 21 1
12 22 2
1 2
...
...
A
... ... ...
...
n
n
f
m m nm
a a a
a a a
a a a
 
 
 
 
  
 
la matriz asociada a la transformación lineal f en las bases consideradas
anteriormente.
Calculamos los transformados de los elementos de la base S1, para determinar la
matriz asociada a la transformación af:
(af)(u1) = af(u1) = a(a11v1 + a12v2 + ... + a1mvm)
= aa11v1 + aa12v2 + ... + aa1mvm
(af)(u2) = af(u2) = a(a21v1 + a22v2 + ... + a2mvm)
= aa21v1 + aa22v2 + ... + aa2mvm
. . .
(af)(un) = af(un) = a(an1v1 + an2v2 + ... + anmvm)
= aan1v1 + aan2v2 + ... + aanmvm
por tanto, la matriz asociada en las bases consideradas vendrá dada por
11 21 1
12 22 2
1 2
...
...
A
... ... ...
...
n
n
f
m m nm
aa aa aa
aa aa aa
a
aa aa aa
 
 
 
 
  
 
es decir, la matriz asociada a la transformación lineal af se obtiene multiplicando el
escalar a por todos los elementos de la matriz asociada a la transformación lineal f.

25. TRANSFORMACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
337
Al conjunto de transformaciones lineales f de U en V, se designa por L(U, V). Si
U y V son ambos de dimensión finita, entonces L(U, V) es de dimensión finita, y de
hecho dimL(U, V) = dimUdimV.
TEOREMA 7.3.3
Con la adición y la multiplicación escalar como se definieron antes,
L(U, V) es un espacio vectorial sobre K.
DEMOSTRACION
Es necesario verificar, uno por uno, que los axiomas de la definición de espacio
vectorial son satisfechos. Para comprobar el primer axioma, debemos demostrar que
la suma f + g de las transformaciones lineales es una transformación lineal. Esto ya
se demostró antes. Para comprobar el axioma 6 se debe demostrar que el producto af
del escalar a y la transformación lineal f es una transformación lineal. Esto también
lo hicimos antes. La demostración se termina ahora con el siguiente razonamiento:
L(U, V) es un subconjunto de V(U), y las operaciones de adición y multiplicación
por escalares en L(U, V) y V(U), son las mismas. Como L(U, V) no es vacío y
satisface los dos axiomas 1 y 6, se desprende que L(U, V) es un espacio vectorial. El
espacio L(U, V) es un subespacio de V(U). 
Para definir esta multiplicación, sean U, V y W espacios vectoriales, y
consideremos un par de transformaciones lineales f : U  V y g : V  W.
Entonces, para todo u de U, f(u) es un vector en V, y tiene por ello sentido hablar
de aplicar g a f(u) para obtener el vector g(f(u)) de W. Así, f y g pueden
combinarse, o multiplicarse, para producir una transformación de U en W, la que
denotaremos por gf, y llamaremos el producto de f y g en ese orden, es decir, primero
f, luego g.
DEFINICION 7.3.3
El producto, gf de las transformaciones lineales f de U en V y g de V en W
se define por (gf)(u) = g(f(u)) para todo vector u de U.
TEOREMA 7.3.4
El producto gf de las transformaciones lineales f de U en V y g de V en
W es una transformación lineal.
DEMOSTRACION
Sean u y v vectores arbitrarios de U, y sean a y b escalares arbitrarios. Para
demostrar que gf es una transformación lineal, debemos probar que
(gf)(au + bv) = a[(gf)(u)] + b[(gf)(v)].
Es decir
(gf)(au + bv) = g[f(au + bv)]
= g[af(u) + bf(v)]
= ag[f(u)] + bg[f(v)]
= a[(gf)(u)] + b[(gf)(v)]. 
Antes de proseguir, es conveniente un comentario sobre la notación. A primera vista
parecería más razonable denotar la composición de f y g por fg en lugar de gf como
arriba aparece. La explicación de no adoptar esta notación es muy simple. Si se usara
gf tendría que cambiarse para que tuviéramos fg(u) = g(f(u)), y la escritura de
ecuaciones se convertiría en una clara invitación al error. Una vez que se ha
establecido la convención de que el símbolo gf es el que se emplea para la
composición de f y g, en ese orden, observamos que esta composición está definida
solamente cuando la imagen de f está contenida en el dominio de g. Así pues, una de
las composiciones fg ó gf puede existir y el otro no. Pero incluso cuando tanto f como
g transformen un espacio vectorial dado en sí mismo, en cuyo caso fg y gf son
transformaciones lineales en el mismo espacio, no es cierto en forma alguna que

26. TRANSFORMACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
338
deban ser iguales. En resumen la composición de transformaciones lineales es
anticonmutativa.
A continuación damos la representación matricial de la transformación lineal gf.
Sean S1 = {u1, u2, ..., un}, S2 = {v1, v2, ..., vr} y S3 = {w1, w2, ..., wm} bases de los
espacios vectoriales U, V y W respectivamente, y sean
11 21 1
12 22 2
1 2
...
...
A
... ... ...
...
n
n
f
r r nr
a a a
a a a
a a a
 
 
 
 
  
 
y
11 21 1
12 22 2
1 2
...
...
B
... ... ...
...
r
r
g
m m rm
b b b
b b b
b b b
 
 
 
 
  
 
las matrices asociadas a las transformaciones lineales f y g respecto de las bases
consideradas anteriormente. Calculamos los transformados de los elementos de la
base S1, para determinar la matriz asociada a la transformación gf:
(gf)(u1) = g(f(u1))
= g(a11v1 + a12v2 + ... + a1rvr)
= a11g(v1) + a12g(v2) + … + a1rg(vr)
= a11(b11w1 + b12w2 + ... + b1mwm) + a12(b21w1 + b22w2 + ... + b2mwm) + … +
a1r(br1w1 + br2w2 + ... + br mwm)
= c11w1 + c12w2 + ... + c1mwm
(gf)(u2) = g(f(u2))
= g(a21v1 + a22v2 + ... + a2rvr)
= a21g(v1) + a22g(v2) + … + a2rg(vr)
= a21(b11w1 + b12w2 + ... + b1mwm) + a22(b21w1 + b22w2 + ... + b2mwm) + … +
a2r(br1w1 + br2w2 + ... + br mwm)
= c21w1 + c22w2 + ... + c2mwm
. . .
(gf)(un) = g(f(un))
= g(an1v1 + an2v2 + ... + anrvr)
= an1g(v1) + an2g(v2) + … + anrg(vr)
= an1(b11w1 + b12w2 + ... + b1mwm) + an2(b21w1 + b22w2 + ... + b2mwm) + … +
anr(br1w1 + br2w2 + ... + br mwm)
= cn1w1 + cn2w2 + ... + cnmwm
donde
c11 = a11b11 + a12b21 + ... + a1rbr1
c21 = a11b12 + a12b22 + ... + a1rbr2
. . .
cij = ai1b1j + ai2b2j + ... + airbrj
. . .
cnm = an1b1m + an2b2m + ... + an rbr m
y la matriz asociada a la transformación lineal gf respecto de las bases consideradas,
será:
11 21 1
12 22 2
1 2
...
...
B A
... ... ...
...
n
n
g f
m m nm
c c c
c c c
c c c
 
 
 
 
  
 
esto es, los elementos cij de la matriz asociada a la transformación lineal gf se
obtienen sumando los productos que resultan de multiplicar los elementos de la fila
que ocupa el lugar j en la matriz Bg por los elementos de la columna que ocupa el
lugar i de la matriz A.
Relacionando las operaciones de adición y multiplicación de transformaciones
lineales, tenemos dos leyes distributivas.

27. TRANSFORMACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
339
TEOREMA 7.3.5
Sean f y g transformaciones lineales de U en V y h y t transformaciones
lineales de V en W. Entonces tenemos:
a.- h(f + g) = hf + hg;
b.- (h + t)f = hf + tf.
DEMOSTRACION
a.- Como f + g va de U en V y h va de V en W, entonces h(f + g) es una función de
U en W. Análogamente, hf va de U en W y hg va de U en W y así hf + hg es una
función de U en W. Por tanto, para demostrar que h(f + g) = hf + hg, debemos
evaluar cada miembro en un vector arbitrario u de U y comprobar que los dos
resultados son siempre iguales. Es decir
[h(f + g)](u) = h[(f + g)(u)]
= h[f(u) + g(u)]
= h[f(u)] + h[g(u)]
= (hf)(u) + (hg)(u)
= (hf + hg)(u)
b.- Como h + t va de V en W y f va de U en V, entonces (h + t)f es una función de
U en W. Análogamente, hf va de U en W y tf va de U en W y así hf + tf es una
función de U en W. Por tanto, para demostrar que (h + t)f = hf + tf, debemos evaluar
cada miembro en un vector arbitrario u de U y comprobar que los dos resultados son
siempre iguales. Es decir
[(h + t)f](u) = (h + t)[f(u)] = h[f(u)] + t[f(u)] = (hf)(u) + (tf)(u) = (hf + tf)(u). 
Obsérvese que en el primer producto, h aparece a la izquierda, mientras que en el
segundo producto, f aparece a la derecha. Debido a que la multiplicación de las
transformaciones lineales no es conmutativa, las dos fórmulas no pueden
comprimirse en una sola ley distributiva. La primera fórmula se llama ley
distributiva a la izquierda y, la segunda fórmula, ley distributiva a la derecha. Sean
las transformaciones lineales f de U en V y g de V en W, y a un escalar arbitrario.
Entonces
a(gf) = (ag)f = g(af).
Hemos presentado los resultados básicos referentes a las sumas, a los productos
escalares y a los productos de transformaciones lineales.
Consideremos ahora el caso especial de las transformaciones lineales de V en V; esto
es, estudiaremos ahora L(V, V).
TEOREMA 7.3.6
Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K. Entonces L(V, V) cumple lo
siguiente:
a.- L(V, V) es un espacio vectorial sobre K;
b.- L(V, V) es cerrado bajo la multiplicación;
c.- f(gh) = (fg)h para toda f, g y h de L(V, V);
d.- Para cualesquiera f, g y h de L(V, V) tenemos
f(g + h) = fg + fh y (g + h)f = gf + hf;
e.- Para un escalar a de K y cualesquiera f y g de L(V, V), tenemos que

28. TRANSFORMACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
340
a(fg) = (af)g = f(ag);
f.- i(f) = f para toda f de L(V, V).
EJEMPLO 7.3.3
Se dan dos transformaciones lineales:
f((a, b, c)) = (a + b, b + c, c + a) y g((a, b, c)) = (b + c, a + c, a + b).
Hallar las transformaciones fg y gf.
SOLUCION
Las matrices de las transformaciones dadas tienen la forma
1 1 0
A 0 1 1
1 0 1
f
 
 
  
 
 
,
0 1 1
B 1 0 1
1 1 0
g
 
 
  
 
 
.
Hallamos los productos de estas matrices:
1 1 0 0 1 1 1 1 2
A B 0 1 1 1 0 1 2 1 1
1 0 1 1 1 0 1 2 1
f g
    
    
     
    
    
,
0 1 1 1 1 0 1 1 2
B A 1 0 1 0 1 1 2 1 1
1 1 0 1 0 1 1 2 1
g f
    
    
     
    
    
.
En este caso AfBg = BgAf, por eso las transformaciones fg y gf coinciden. La forma
de coordenadas de la transformación fg se escribe de la forma siguiente:
gf((a, b, c)) = fg((a, b, c) = (a + b + 2c, 2a + b + c, a + 2b + c). 
EJEMPLO 7.3.4
Demuestre que si f : U  V, g : V  W y h : W  X son tres transformaciones,
tenemos entonces que h(gf) = (hg)f.
SOLUCION
Las transformaciones h(gf) y (hg)f tienen ambas dominio U y valores en X. Para cada
u de V, tenemos
(h(gf))(u) = h((gf)(u)) = h(g(f(u))) y ((hg)f)(u) = (hg)(f(u)) = h(g(f(u)))
lo que demuestra que h(gf) y (hg)f. 
EJEMPLO 7.3.5
Sea V = R2
. Sea S = {e1, e2} la base canónica de R2
. Defínanse f y g en L(V, V) tales
que cumplan f(e1) = e2, f(e2) = , g(e1) = e1 + e2, g(e2) = . Demuestre que aunque
fg y gf están ambas en L(V, V), fg  gf.
SOLUCION
Hacemos la combinación lineal con el vector (a, b):
(a, b) = (1, 0) + (0, 1) = (, ) 
a
b
 

 
.
f((a, b)) = af((1, 0)) + bf((0, 1)) = a(0, 1) + b(0, 0) = (0, a)
(a, b) = (1, 0) + (0, 1) = (, ) 
a
b
 

 
.
g((a, b)) = ag((1, 0)) + bg((0, 1)) = a(1, 1) + b(0, 0) = (a, a)
(fg)(a, b) = (0, a), (gf)(a, b) = (0, 0)  fg  gf.
Otra forma de resolver este problema, es el siguiente: Sabemos que S = {(1, 0),
(0,1)}, entonces:
f((1, 0)) = (0, 1), f((0, 1)) = (0, 0) 
0 0
A
1 0
f
 
  
 
;

29. TRANSFORMACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
341
g((1, 0)) = (1, 1), g((0, 1)) = (0, 0) 
1 0
A
1 0
g
 
  
 
.
0 0 1 0 0 0
A A
1 0 1 0 1 0
f g
    
     
    
,
1 0 0 0 0 0
A A
1 0 1 0 0 0
g f
    
     
    
Por tanto f g g f . 
EJEMPLO 7.3.6
Sea V un espacio vectorial. Sean f, g de L(V, V). Demuestre que
(f + g)2
= f2
+ 2fg + g2
si y sólo si fg = gf.
SOLUCION
Como f : V  V, g : V  V, entonces por definición
f + g : V  V y (f + g)2
: V  V.
Por lo tanto
(f + g)2
= (f + g)(f + g) = f2
+ fg + gf + g2
.
Como fg = gf, entonces
(f + g)2
= f2
+ 2fg + g2
. 
EJEMPLO 7.3.7
Sea V un espacio vectorial. Sea f de L(V, V). ¿Implica siempre f2
= , que f = ?
¿Por qué?
SOLUCION
Como f : V  V, entonces f2
: V  V. Por lo tanto f2
= ff es la composición de f
consigo mismo, entonces la transformación lineal f es nula, para que f2
= . 
EJEMPLO 7.3.8
Sean f : V  V y g : V  V transformaciones lineales. Si f y g conmutan, demostrar
que (fg)n
= fn
gn
, para todo n  0.
SOLUCION
Como f : V  V, g : V  V, entonces por definición fg : V  V y (fg)n
: V  V.
Por lo tanto
( ) ( )( ) ( )n
n veces
fg fg fg fg
Como por hipótesis tenemos que fg = gf, entonces (fg)n
= fn
gn
. 
EJEMPLO 7.3.9
Sea V un espacio vectorial. Si f y g conmutan, demostrar que
(f + g)2
= f2
+ 2fg + g2
y (f + g)3
= f3
+ 3f2
g + 3fg2
+ g3
.
Indicar cómo deben modificarse esas fórmulas si fg  gf.
SOLUCION
Como f : V  V, g : V  V, entonces por definición
f + g : V  V y (f + g)2
: V  V.
Por lo tanto
(f + g)2
= (f + g)(f + g) = f2
+ fg + gf + g2
,
(f + g)3
= (f + g)2
(f + g)
= (f2
+ fg + gf + g2
)(f + g)
= f3
+ f2
g + fgf + fg2
+ gf2
+ gfg + g2
f + g3
.
Como por hipótesis tenemos fg = gf, entonces
(f + g)2
= (f + g)(f + g) = f2
+ 2fg + g2
,
(f + g)3
= (f + g)2
(f + g) = (f2
+ fg + gf + g2
)(f + g) = f3
+ 3f2
g + 3fg2
+ g3
.
Si fg  gf, es decir las transformaciones lineales f y g no son conmutativas, entonces
(f + g)2
= (f + g)(f + g) = f2
+ fg + gf + g2
,
(f + g)3
= (f + g)2
(f + g) = (f2
+ fg + gf + g2
)(f + g)

30. TRANSFORMACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
342
= f3
+ f2
g + fgf + fg2
+ gf2
+ gfg + g2
f + g3
. 
EJEMPLO 7.3.10
Dadas las transformaciones lineales f : R3
 R3
y g : R3
 R3
, definidas por
f((a, b, c)) = (a + b, b – c, 2c) y g((a, b, c)) = (a, 2a + 3b, 4a + c),
describir las transformaciones lineales indicadas a continuación:
a.- 2f - g; b.- f2
+ g2
; c.- 3f + 5g; d.- fg - gf; e.- f2
+ 2f + g.
SOLUCION
a.- Como 2f – g : R3
 R3
, entonces:
2f((a, b, c)) – g((a, b, c)) = 2(a + b, b – c, 2c) – (a, 2a + 3b, 4a + c)
= (a + 2b, - 2a – b – 2c, - 4a + 3c);
b.- Como f2
+ g2
: R3
 R3
, entonces:
f2
((a, b, c)) – g2
((a, b, c)) = (a + 2b – c, b – 3c, 4c) - (a, 8a + 9b, 8a + c)
= (2b – c, - 8a – 8b – 3c, - 8a + 3c);
c.- Como 3f + 5g : R3
 R3
, entonces:
3f((a, b, c)) + 5g((a, b, c)) = 3(a + b, b – c, 2c) + 5(a, 2a + 3b, 4a + c)
= (8a + 3b, 10a + 18b – 3c, 20a + 11c);
d.- Como fg – gf : R3
 R3
, entonces:
fg((a, b, c)) – gf((a, b, c)) = (3a + 3b, - 2a + 3b – c, 8a + 2c) – (a + b, 2a + 5b – 3c,
4a + 4b + 2c)
= (2a + 2b, - 4a – 2b + 2c, 4a – 4b)
e.- Como f2
+ 2f + g : R3
 R3
, entonces:
f2
((a, b, c)) + 2f((a, b, c)) + g((a, b, c)) = (a + 2b – c, b – 3c, 4c) + 2(a + b, b – c, 2c)
+ (a, 2a + 3b, 4a + c)
= (4a + 4b – c, 2a + 6b – 5c, 4a + 9c). 
PROBLEMAS
7.3.1 Si P es el conjunto de los polinomios en x sobre R,
sean f : P  P, definida por f(p(x)) = p´(x) y g : P  P,
definida por
0
( ( )) ( )
x
g p x p t dt  . Pruebe lo siguiente:
a.- fg = i; b.- gf  i.
7.3.2 En el espacio vectorial de todas las funciones
reales, cada uno de los siguientes conjuntos es
independiente y genera un subespacio V de dimensión
finita. Utilizar el conjunto dado como base para V y sea
D : V  V el operador derivación. En cada caso, hallar
la matriz D y la de D2
relativa a la base que se elige:
a.- {Senx, Cosx}; b.- {x, x + ex
, x + ex
+ xex
};
c.- {x, xex
, x2
ex
}; d.- {e2x
Sen3x, e2x
Cos3x};
e.- {ex
, xex
, x2
ex
}; f.- {ex
Senx, ex
Cosx}.
7.3.3 Encuéntrense ejemplos de transformaciones
lineales S, T tales que TS está definido, T  O, S  O y
TS = O.
7.3.4 Una transformación lineal f : R2
 R2
aplica los
vectores base e1 y e2 como sigue:
f(e1) = 3e1 + 5e2 y f(e2) = 2e1 – 3e2:
a.- Calcular f(9e1 – 7e2) y f2
(9e1 – 7e2) en función de e1 y
e2.
b.- Determinar la matriz de f y de f2
.
c.- Resolver la parte b) si la base canónica se reemplaza
por {2e1 – e2, e1 + 4e2}.
7.3.5 Una transformación lineal f : R2
 R2
se define
de la siguiente manera: cada vector u  R2
se
transforma en su simétrico respecto al eje Y y luego se
duplica su longitud para obtener f(u). Determine la
matriz de f y la de f2
.
7.3.6 Encontrar la potencia indicada de A, la matriz de
la transformación lineal f:
a.- f : R3
 R3
, reflexión en el plano XY. Encontrar A2
.
b.- f : R3
 R3
, proyección sobre el plano XY.
Encuentre A2
.
c.- f : R2
 R2
, rotación de un ángulo  en sentido
antihorario. Encontrar A3
.
d.- f : P3  P3, operador diferencial. Encontrar A2
.
7.3.7 Sea f : R3
 R3
la proyección ortogonal de R3
sobre el plano XY. Demuestre que ff = f.
7.3.8 Sean f : Rn
 Rm
, g : Rm
 Rs
, h : Rm
 Rs
transformaciones lineales. Demuestre la propiedad
distributiva de la composición respecto de la suma:
f(g + h) = fg + fh.
¿Es esta propiedad válida para funciones en general?

31. TRANSFORMACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
343
7.3.9 Sea f : Rn
 Rm
, g : Rm
 Rs
, h : Rs
 Rt
transformaciones lineales. Demuestre la propiedad
asociativa de su composición. Es decir, demuestre que
las transformaciones lineales h(gf), (hg)f son
iguales. ¿Es esta propiedad válida para funciones en
general?
7.3.10 Sea f : R  R definida por ( ) proyuf v v , en
donde u = (4, 3):
a.- Determinar A, y demuestre que A2
= A.
b.- Demuestre que (I – A)2
= I – A.
c.- Encuentre Av y (I – A)v para v = (5, 0).
d.- Trazar la gráfica de u, v, Av y (I – A)v.
7.3.11 Considere las transformaciones lineales
f : R3
 R2
, f((a, b, c)) = (a - b, a + b),
g : R2
 R3
, g((a, b)) = (b, a, a – b).
Determine expresiones explícitas para las
transformaciones lineales fg : R2
 R2
y gf : R3
 R3
.
Verifique en cada caso que la matriz que representa a la
composición de transformaciones es el producto de las
matrices que representan a cada una de las
transformaciones lineales que se componen.
7.3.12 Usando multiplicación matricial encuentre la
imagen del vector (3, -1, 2) cuando se hace girar:
a.- 30º en sentido antihorario con respecto al eje X;
b.- 45º en sentido antihorario con respecto al eje Y;
c.- 90º en sentido antihorario con respecto al eje Z.
7.3.13 Usando multiplicación matricial encuentre la
proyección ortogonal de (3, -4) sobre:
a.- El eje X; b.- El eje Y.
7.3.14 Usando multiplicación matricial encuentre la
proyección ortogonal de (-1, 3, -2) sobre:
a.- El plano XY; b.- El plano XZ; c.- El plano YZ.
7.3.15 Usando multiplicación matricial encuentre la
imagen del vector (-1, 4, 7) cuando se hace girar:
a.- -30º en sentido horario con respecto al eje X;
b.- -45º en sentido horario con respecto al eje Y;
c.- -90º en sentido horario con respecto al eje Z.
7.3.16 Determine si fg = gf:
a.- f : R2
 R2
es la proyección ortogonal sobre el eje X y
g : R2
 R2
es la proyección ortogonal sobre el eje Y.
b.- f : R2
 R2
es la rotación en sentido antihorario hasta
describir un ángulo 1 y g : R2
 R2
es la rotación en
sentido antihorario hasta describir un ángulo 2.
c.- f : R2
 R2
es la reflexión respecto al eje X y g : R2

R2
es la reflexión respecto al eje Y;
7.3.17 Encuentre la matriz estándar para la composición
de operadores lineales sobre R2
que se indica:
a.- Una rotación de 90º en sentido antihorario
b.- Una proyección ortogonal sobre el eje Y, seguida de
una contracción con factor k = ½;
c.- Una reflexión con respecto al eje X, seguida de una
dilatación con factor k = 3.
7.3.18 Sea T una transformación lineal de R2
con la
propiedad de que T(e1) = (1, 1), T(e2) = (0, 1), de
manera que T(x, y) = (x, x + y):
a.- Encuéntrense T2
(e1) y T2
(e2) y, en consecuencia,
obténgase T2
(x, y). A continuación, demuéstrese que
T2
- 2T + I = O y que (T – I)2
= O, aunque T – I  O.
b.- A partir de los resultados de a), verifíquese que
(T – I)4
= O y que T4
= 4T2
- 4T + I.
c.- A partir de los resultados de las partes a) y b),
dedúzcase que T4
= 4T - 3I y encuéntrense T4
(4, -2) y
T4
(1, 4).
d.- De los resultados anteriores, demuéstrese que
T3
= 3T - 2I y evalúense T3
(5, 7) y T3
(1, 4).
7.3.19 Sean f : U  V y g : U  V transformaciones
lineales. Las funciones (f + g) : U  V y (f - g) : U  V
se definen como
(f + g)(u) = f(u) + g(u) y (f - g)(u) = f(u) - g(u).
Demuestre que f + g y f – g son transformaciones lineales.
Encontrar
(f + g)(a, b) y (f – g)(a, b)
si f : R2
 R2
y g : R2
 R2
están definidas por las
fórmulas
f(a, b) = (-5b, 2a) y g(a, b) = (2b, 3a).
a.- Una reflexión respecto al plano YZ, seguida de una
proyección ortogonal sobre el plano XZ;
b.- Una rotación de 45º en sentido antihorario respecto al
eje Y, seguida de una dilatación con factor k = 3/2;
c.- Una proyección ortogonal sobre el plano XY, seguida
de una reflexión con respecto al plano YZ.
7.3.20 Sea U un espacio vectorial complejo y
unidimensional, de manera que se pueden representar
los vectores de U como números complejos z, Sean S, T
transformaciones lineales de U, definidas por
4( )
i
z e z

S , T(z) = iz. Demuéstrese que:
a.- T2
= -I; b.- T4
= I; c.- S2
= T; d.- S4
= -I;
e.- STST = -T; f.- S8
= I; g.- ST = TS = S3
.
d.- f : R2
 R2
es la proyección ortogonal sobre el eje X
y g : R2
 R2
es la rotación en sentido antihorario hasta
describir un ángulo .
7.3.21 Sean f : U  V una transformación lineal y  un
escalar. La función f : U  V se define como seguida
de una reflexión con respecto a la recta y = x; (f)(u) =
(f(u)). Demuestre que f es una transformación lineal.
Encontrar (5f)(a, b) si f : R2
 R2
está expresada por la
fórmula f(a, b) = (3a - b, 2b + a).

32. TRANSFORMACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
344
7.3.22 Encuentre la matriz estándar para la composición
de operadores lineales sobre R3
que se indica:
a.- f : R3
 R3
es una dilatación con factor k y g : R3

R3
es la rotación en sentido antihorario con respecto al eje
Z hasta describir un ángulo ;
b.- f : R3
 R3
es la rotación con respecto al eje X hasta
describir un ángulo 1 y g : R3
 R3
es la rotación con
respecto al eje Z hasta describir un ángulo 2.
7.3.23 Determínese si las transformaciones lineales
siguientes son nilpotentes, idempotentes o ninguna de las
dos cosas:
a.- T(x, y) = (-x, -y); b.- T(x, y, z) = (y + z, z, 0);
c.- T(x, y) = (0, x); d.- T(x, y, z) = (z, x, y);
e.- T(x, y) = (x, 0); f.- T(x, y, z) = (x, 0, z).
7.3.24 Sea T una transformación lineal de R2
con la
propiedad de que T(e1) = (1, 2), T(e2) = (3, 1), de manera
que T(x, y) = (x + 3y, 2x + y):
a.- Encuéntrense T2
(e1) y T2
(e2) y, en consecuencia,
obténgase T2
(x, y); entonces, demuéstrese que T2
= 2T +
5I.
b.- A partir del resultado de a), verifíquese que T4
= 4T2
+ 20T + 25I.
c.- De los resultados de las partes a) y b), dedúzcase que
T4
= 28T + 45I y, en consecuencia, encuéntrense
T4
(3, 2) y T4
(-1, 7).
d.- A partir de los resultados anteriores, demuéstrese
que T3
= 9T + 10I y, en consecuencia, encuéntrense
T3
(5, 1) y T3
(0, 6).
7.3.25 Usando multiplicación matricial encuentre la
imagen del vector (5, -2) cuando se hace girar un ángulo
de:
a.-  = 30º; b.-  = -60º; c.-  = 45º; d.-  = 90º.
7.3.26 Encuentre la matriz estándar para la composición
de operadores lineales sobre R2
que se indica:
a.- Una rotación de 60º en sentido antihorario seguida de
una proyección ortogonal sobre el eje X, seguida de una
reflexión con respecto a la recta y = x;
b.- Una dilatación con factor k = 2, seguida de una
rotación de 45º en sentido antihorario, seguida de una
reflexión con respecto al eje Y;
c.- Una rotación de 15º en sentido antihorario, seguida de
una rotación de 105º en sentido antihorario, seguida de
una rotación de 60º en sentido antihorario.
7.3.27 Encuentre la matriz estándar para la composición
de operadores lineales sobre R3
que se indica:
a.- Una reflexión respecto al plano XY, seguida de una
reflexión respecto al plano XZ, seguida de una proyección
ortogonal sobre el plano YZ;
b.- Una rotación de 30º en sentido antihorario respecto al
eje X, seguida de una rotación de 30º en sentido
antihorario respecto al eje Z, seguida por una contracción
con factor k = ½;
c.- Una rotación de 270º en sentido antihorario respecto
al eje X, seguida de una rotación de 90º en sentido
antihorario respecto al eje Y, seguida de una rotación de
180º respecto al eje Z.
7.4 NUCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACION LINEAL
En esta sección se estudiarán el núcleo e imagen de una transformación lineal. Se enunciaran las propiedades más
importantes.
Desde el punto de vista de las transformaciones matriciales, el espacio nulo de A
consta de todos los vectores u en Rn
que la multiplicación por A aplica o transforma
en 0, y el espacio columna consta de todos los vectores en Rm
que son imágenes de
por lo menos un vector en Rn
bajo la multiplicación por A.
DEFINICION 7.4.1
Sea f una transformación de U en V. El núcleo de la transformación lineal f,
es el conjunto de todos los vectores u de U tales que f(u) = , es decir:
Nuc(f) = {u / u  U y f(u) = ,   V}
Entonces como ya hemos hecho notar, Nuc(f) siempre contiene al vector cero de U.
De hecho, podemos decir mucho más que esto, pues si f(u) = f(v) = , entonces:
f(au + bv) = af(u) + bf(v) = , para todo a, b  K, y de ello se sigue que Nuc(f) es un
subespacio de U. A este subespacio le llamamos el espacio nulo o núcleo de f, y es
de fundamental importancia en el estudio del comportamiento de f en U.
TEOREMA 7.4.1
Sea f una transformación lineal de U en V. El núcleo o espacio nulo de
una transformación lineal f es un subespacio del dominio U.

33. TRANSFORMACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
345
DEMOSTRACION
Observe que f() = . Puesto que
f() = f( + ) = f() + f().
Sumando –f() a cada miembro, obtenemos  = f(). Por tanto, siempre hay un
vector, es decir, el vector cero de U en el núcleo de f. Para demostrar que el núcleo
de f es un subespacio, admitamos que los vectores u y v de U están en el núcleo de f
y sean a y b escalares arbitrarios. Entonces f(u) =  y f(v) = . Por tanto,
f(au + bv) = af(u) + bf(v) = a + b = .
Por consiguiente, au + bv está en el núcleo de f. En consecuencia, el núcleo de f es un
subespacio de U. 
EJEMPLO 7.4.1
Sea f : R2
 R2
una transformación lineal tal que f((3, 2)) = (0, 0) y f((1, 3)) = u  ,
demuestre que el núcleo de f es una recta en el plano XY que pasa por el origen.
Encuentre su ecuación.
SOLUCION
Hacemos la combinación lineal con un vector (a, b):
(a, b) = (3, 2) + (1, 3) 
3
2 3
a
b
  

   

1
(3 )
7
1
(2 3 )
7
a b
a b

  

   

De donde
1 1
(( , )) ((3, 2)) ((1, 3)) (3 )(0, 0) (2 3 )( , )
7 7
f a b f f a b a b x y      
1
(2 3 , 2 3 )
7
xa xb ya yb    .
Por tanto encontramos el núcleo de la siguiente manera:
2 3 0
2 3 0
xa xb
ya yb
 

 

2 3 0
2 3 0
a b
a b
 

 
 2a – 3b = 0
En este caso podemos darnos cuenta que el núcleo de f es una recta en el plano XY
que además pasa por el origen. 
EJEMPLO 7.4.2
Sea (2, 2) el espacio vectorial de matrices 2 x 2 sobre R y
1 1
2 2
 
 
 
M . Sea
f : (2, 2)  (2, 2) la transformación lineal definida por f(A) = MA. Hallar una
base y la dimensión del Nuc(f).
SOLUCION
Aplicando la definición de núcleo, tenemos que
Nuc(f) = {A  (2, 2) / f(A) = ,   (2, 2)}
1 1 0 0
2 2 0 0
a b a b
c d c d
        
        
        
.
Resolviendo el sistema de ecuaciones, obtenemos
Nuc( )
a b a c
f
c d b d
   
   
   

1 0 0 1
BaseNuc( ) ,
1 0 0 1
f
     
     
     
por lo tanto Dim Nuc(f) = 2. 
EJEMPLO 7.4.3
Encuentre una transformación lineal f de R2
en R2
cuyo núcleo sea la recta
2x + 5y = 0.

34. TRANSFORMACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
346
SOLUCION
Sabemos que Nuc(f) = {(x , y) / 2x + 5y = 0}, entonces la transformación lineal
f : R2
 R2
puede ser:
f((x, y)) = (2x + 5y, 2kx + 5ky), k  0. 
De igual importancia que el espacio nulo de f es su imagen, Img(f), la cual definimos
a continuación.
DEFINICION 7.4.2
Sea f una transformación lineal de U en V. La imagen de U bajo f, es el
conjunto de todos los vectores v de V tales que v = f(u) para cierto u de U.
Es decir:
Img(f) = {v  V /  u  U y v = f(u)}.
La imagen de f no es solamente el conjunto f(u), sino que a él se le considera con la
estructura de espacio vectorial, subespacio de V, ya que si v1 y v2 pertenecen a la
Img(f) con v1 = f(u1) y v2 = f(u2), entonces:
f(au1 + bu2) = af(u1) + bf(u2) = av1 + bv2
de donde av1 + bv2 está también en la imagen de f.
TEOREMA 7.4.2
Sea f una transformación lineal de U en V. El conjunto imagen de f es un
subespacio de V.
DEMOSTRACION
Considere que los vectores v y w de V están en el conjunto imagen de f. Entonces
v = f(u1) y w = f(u2) para ciertos vectores u1 y u2 de U. Sean a y b escalares
arbitrarios. Entonces
av + bw = af(u1) + bf(u2) = f(au1 + bu2).
Por tanto, av + bw es un valor funcional bajo la función f y, en consecuencia, av + bw
está en el conjunto imagen de f. En consecuencia el conjunto imagen de f es un
subespacio de V. 
TEOREMA 7.4.3
Sea f una transformación lineal de U en V. Entonces
Dim Img(f) + Dim Nuc(f) = DimU.
DEMOSTRACION
Como la imagen de f es un subespacio del espacio V de dimensión finita, la imagen
de f es también de dimensión finita. Por esta razón, podemos hallar una base para la
imagen de f. Sea esta base S1 = {v1, v2, ..., vm} donde m = Dim Img(f). Como los
elementos de S1 están todos en la imagen de f hay vectores S = {u1, u2, ..., um} de U
tales que f(u1) = v1, f(u2) = v2, ..., f(um) = vm. Afirmamos que los elementos de S son
vectores linealmente independientes de U. Pues sean a1, a2, ..., am escalares
arbitrarios y consideremos que la ecuación a1u1 + a2u2 + ... + amum = . Aplicando la
transformación f a cada miembro y utilizando f(u1) = v1, f(u2) = v2, ..., f(um) = vm,
obtenemos a1v1 + a2v2 + ... + amvm = . Como los elementos de S1 son vectores
linealmente independientes de V, tenemos que a1 = a2 = ... = am = 0. Por tanto, en la
ecuación, todos los escalares a1, a2, ..., am deben ser cero. En consecuencia, los
elementos de S son linealmente independientes. Como el núcleo de f es un
subespacio de U, podemos hallar una base S2 = {w1, w2, ..., wk} del núcleo de f. Aquí,
k = DimNuc(f). Afirmamos que S3 = {w1, w2, ..., wk, u1, u2, ..., um} es una base de U.
Demostremos que los elementos de S3 generan U. Sea u de U. Entonces f(u) está en
la imagen de f, y así f(u) = b1v1 + b2v2 + ... + bmvm para ciertos escalares arbitrarios b1,
b2, ..., bm. Entonces
f(u – b1u1 - b2u2 - ... - bmum) = f(u) – b1v1 - b2v2 - ... - bmvm = .
Por tanto, u = b1u1 + b2u2 + ... + bmum está en el núcleo de f y, en consecuencia, es
igual a la combinación lineal c1w1 + c2w2 + ... + ckwk de los vectores de la base S2 del