1. CLASE No. 7. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA.
CÁLCULO DE ÁREAS PLANAS.
Como ya vimos, la integral definida
( )
b
a
f x dx∫
Se interpreta geométricamente como el área de la región plana determinada por la
gráfica de la función f(x), es decir la curva y = f(x), el eje X, y las rectas x = a y x = b.
Esto hace posible calcular áreas de regiones planas utilizando integrales definidas.
En el cálculo del área de una región plana pueden presentarse los siguientes casos.
1. La función f(x) es continua y no negativa en [a, b].
Y
y = f(x)
a b X
Entonces, ( )
b
a
A f x dx= ∫
2. Las funciones f(x) y g(x) son continuas y no negativas en [a, b], siendo f(x) ≥
g(x) para todo x de [a, b]
Y
y = f(x)
y = g(x)
a b X
Entonces [ ]( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
A f x dx g x dx f x g x dx= − = −∫ ∫ ∫
3. La fórmula anterior es válida aún si f(x) y g(x) no son no negativas.
Para verificar esto tomemos el número d tal que f1(x) = f(x) + d > 0 y
g1(x) = g(x) + d > 0, entonces
1

2. [ ] [ ]
[ ]
1 1( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
b b
a a
b
a
A f x g x dx f x d g x d dx
f x g x dx
= − = + − −
= −
∫ ∫
∫
Y Y
y = f(x) + d
y = g(x) + d
y = f(x)
y = g(x)
a b X a b X
4. Si las curvas y = f(x) y y = g(x) se cortan un número finito de veces en el
intervalo [a,b], entonces, el área A de la región comprendida entre dichas curvas
y las rectas x = a y x = b se calcula subdividiendo el intervalo [a, b] en tantos
subintervalos como sea necesario, de tal forma que en cada uno de ello f(x) ≥
g(x) o g(x) ≥ f(x). El área A será la suma de las áreas curvilíneas resultantes.
Y
y = g(x)
y = f(x)
a c b X
[ ] [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b c b
a a c
A f x g x dx f x g x dx g x f x dx= − = − + −∫ ∫ ∫
Ejemplo 1. Represente la región limitada por las gráficas de las ecuaciones, muestre
un rectángulo típico y calcule el área de la región: y =
2
2
1
, , 1, 2y x x x
x
= − = =
2

3. Solución:
AR=
2 2 3 2
2 1 2
2 1
1 1
1 1 8 1 17
1
3 2 3 3 6
x
x dx x U
x
−  
+ = − + = − + + − = ÷ ÷
   
∫ ∫
Ejemplo 2. Represente la región limitada por las gráficas de las ecuaciones, muestre
un rectángulo típico y calcule el área de la región: y = , , 1, 4y x y x x x= = − = =
Solución:
AR =
( )
4 3 2 4
22
1
1
2 2 2 1 73
64 8
3 2 3 3 2 6
x
x x dx x U
 
+ = + = + − − = ÷
 
∫
VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN.
Se llama sólido de revolución al cuerpo geométrico generado por una región del
plano al girar alrededor de una recta del plano, que se denomina eje de revolución.
Mostrar ejemplos en figuras con un rectángulo al girar alrededor del eje Y formando
un cilindro y con una región cualquiera.
Se demuestra que el volumen del sólido que se genera por la región limitada por una
curva y = f(x), el eje X y las rectas x = a y x = b viene dado por la fórmula
2
( )
b
a
V f x dxπ= ∫
Ejemplo 1. Calcular el volumen del sólido de revolución generado por la siguiente
región del plano al rotar alrededor del eje X.
{ }2
( , ) : 0 1; 1R x y y x x= ∈ ≤ ≤ + ≤¡
Solución:
Representar la región, aclarar bien a los estudiantes, que si la región gira alrededor
del eje x toda la integral está en función de la variable x, al igual que los límites de
integración.
1 3 1
2 2 3
1
1
( 1) 8
( ) ( 1)
3 3
b
a
x
V f x dx x dx U
π
π π π
−
−
+
= = + = =∫ ∫
Ejemplo 2. Calcular el volumen del sólido de revolución generado por la región del
plano que se encuentra entre las curvas y = x2
, y=2 al rotar alrededor del eje y.
3

4. Solución:
( )
2 2 2 22
3
0
0 0
2
2
y
V y dy y dy Uπ π π π= = = =∫ ∫
TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA.
Si una fuerza constante F se aplica a un objeto y lo desplaza una distancia d en la
dirección de la fuerza, entonces el trabajo W realizado sobre el objeto por la fuerza
es W = Fd
Si F se expresa en Newtons (N) y d en metros, entonces la unidad de trabajo es
Newton – metro o Joule (J)
Si la fuerza es variable y se denota por F(x), el trabajo realizado por la fuerza para
desplazar el objeto desde un punto A de abcisa x = a hasta un punto B de abcisa
x = b, viene dado por la fórmula
( )
b
a
W F x dx= ∫
Ejemplo. Una partícula se mueve a lo largo del eje X mediante una fuerza
impulsora
F(x) = 3x2
– 10. Determine qué trabajo se ha realizado al mover la partícula desde el
punto (1,0) hasta el punto (4,9).
Solución:
W=
4 3
42
1
1
(3 10) 3 10 24 (1 10) 24 1 10 34 1 33
3
x
x dx x Joule− = − = − − = − + = − =∫
Si es posible realizar un ejemplo final:
Calcule el área de la región limitada por las funciones dadas: y=arcsenx, y=0, x= 0.5
Solución:
A= ] )1(
1
2
1
0
2
1
0
2
1
0
2
dx
x
x
xarcsenxarcsenxdx
∫∫ −
−=
2
1 x
dx
du
xvdxdvarcsenxu
−
=
===
Resolviendo la integral (1)
( ) ( ) )2(1
2
1
1
2
1
1
1
22
1
2
2
2
2
1
0
2
12
1
0
CxC
x
dxxxdx
x
x
+−−=+
−
−=−=
−
∫∫
−
4

5. Sustituyendo (2) en (1): = ] 2
1
0
22
1
0 1

−+ xarcsenx
=
2
12
1236
1
2
3
12
1
2
3
2
1
2
1
u
arcsen
−−
=
−−=−+
π
π
5

6. Sustituyendo (2) en (1): = ] 2
1
0
22
1
0 1

−+ xarcsenx
=
2
12
1236
1
2
3
12
1
2
3
2
1
2
1
u
arcsen
−−
=
−−=−+
π
π
5