Tarea4 08 sol+antena (1)

Departamento de Ingeniería de Sistemas y Automática
Universidad Politécnica de Valencia
INGENIERÍA DE CONTROL I
2008-9
___________________________________________________________________________________________
P. Albertos. Dept. Ingeniería de Sistemas y Automática. UPV. Ext.: 79570 e-mail pedro@aii.upv.es
J.V. Roig. Dept. Ingeniería de Sistemas y Automática. UPV. Ext.: 75768 e-mail jvroig@aii.upv.es
Tarea 4. (entrega 12/01/09)
El sistema de posicionamiento de una antena, cuyo modelo viene expresado por:
( ) ( )
( ) ( )2.0
4
+⋅
==
sssV
s
sG
θ
se controla con un relé que conecta a la entrada ±5 Voltios en función del error.
a. Analizar en el plano de fase la respuesta a un cambio en la referencia.
b. Se realiza una realimentación de la velocidad para acelerar la convergencia al punto
final (pese a las oscilaciones mantenidas de alta frecuencia). Determinar la
ganancia de esta realimentación para que alcance este punto en tiempo mínimo para
cambios de ±1 unidad en el ángulo de referencia.
c. Con el fin de reducir la frecuencia de las oscilaciones, en el esquema inicial (sin
realimentación de la velocidad), se incluye un retardo en la realimentación del
ángulo tal como:
( )
( )
( ) ss
s
sH m
⋅+
==
τθ
θ
1
1
Calcular cómo varía la amplitud y frecuencia de las oscilaciones de la posición de
la antena en función del retardo τ.

2008-9
___________________________________________________________________________________________
Solución
a. Plano de fase.
El esquema de control del sistema de posicionamiento de una antena es el mostrado en
la siguiente figura:
Tomamos como variables del vector de estado: [ ]T
ωθ
y las ecuaciones de estado:
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
+−=
=
V
dt
d
dt
d
42.0 ω
ω
ω
θ
Con una acción de control no lineal: ( )
⎩
⎨
⎧
<−
>+
==
0si5
0si5
e
e
eV φ
Para trasladar el punto de funcionamiento al origen tomaremos como variables de fase
el error y su derivada:
ω
θ
−==
−==
dt
de
x
refex
2
1
Lo que nos proporciona las siguientes ecuaciones de estado:
( )⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−−=−=
=
12
2
2
1
42.0 xx
dt
d
dt
dx
x
dt
dx
φ
ω
El plano de fase queda dividido en dos regiones, dependiendo del signo del error, y en
cada región la trayectoria del plano de fase vendrá determina por la pendiente:
( )
2
12
1
2 42.0
x
xx
dx
dx
S
φ⋅−−
==
Si integramos esta ecuación para cada región podremos obtener la trayectoria del plano
de fase, desde el punto de partida, para cada una de las dos regiones en que se divide el
plano de fase. La línea que divide ambas regiones es. 01 == ex :
wu
theta
e 4
(s+0.2)
Zero-PoleStep Relay
Plano de fase
y/dy
Plano de fase
e/de
1
s
Integrator
du/dt
Derivative

2008-9
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• Región I (e>0):
( )
( )
( )
( )[ ] ( ) ( )( )0202.00
2
1
202.0
542.0
112
2
2
2
2
0
12
0
22
2
2
1
2
1
1
2
2
xxxxx
dxxdxx
x
x
dx
dx
S
x
x
x
x
−⋅−−=−
−−=
⋅−−
==
∫∫
• Región II (e<0):
( )
( )
( )
( )
( )[ ] ( ) ( )( )0202.00
2
1
202.0
542.0
112
2
2
2
2
0
22
0
22
2
2
1
2
1
1
2
2
xxxxx
dxxdxx
x
x
dx
dx
S
x
x
x
x
−⋅+−=−
+−=
−⋅−−
==
∫∫
Lo que nos permite comprobar que se trata de trayectorias parabólicas, con la
característica de tener una pendiente constante para cada valor de x2.
Región I Región II
Pendiente
2
2 202.0
x
x
S
−−
=
2
2 202.0
x
x
S
+−
=
x2=−100 0 −0.4
x2=−20 0.8 −1.2
x2=−10 1.8 −2.2
x2=−5 3.8 −4.2
x2=−1 19.8 −20.2
x2=0 −∞ ∞
x2=1 −20.2 19.8
x2=5 −4.2 3.8
x2=10 −2.2 1.8
x2=20 −1.2 0.8
x2=100 −0.4 0
Si realizamos una simulación, partiendo de posición nula y reposo, y aplicamos una
referencia de 1; la trayectoria en el plano de fase parte de 11 == ex y 02 =x , y
evoluciona de forma oscilatoria hasta alcanzar la posición de equilibrio en tiempo
infinito. En las siguientes gráficas podemos ver la evolución temporal de las señales y
del plano de fase, donde observamos como el sistema presenta una oscilación que va
reduciendo su amplitud y periodo, hasta alcanzar el error de posición nulo. La acción de
control cambia cada vez con mayor frecuencia conforme nos acercamos a la posición
final.

2008-9
___________________________________________________________________________________________
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-6
-4
-2
0
2
4
6
x1
= e
x2
=de/dt
Plano de fase (e/de)
Región IRegión II
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
1
2
Posición
Ejercicio a
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-10
0
10
Velocidad
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-5
0
5
V
Tiempo (seg)

2008-9
___________________________________________________________________________________________
b. Realimentación de la velocidad.
Añadiendo la realimentación de la velocidad, el esquema de control queda de la
siguiente forma:
La entrada al relé, en este caso es como si se aplicará un control PD de la siguiente
forma:
Tomando como variables de fase el error y su derivada, se obtiene el mismo sistema que
en el apartado anterior, pero ahora cambia la entrada del relé:
( )⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
+−−=−=
=
212
2
2
1
42.0 Kxxx
dt
d
dt
dx
x
dt
dx
φ
ω
El plano de fase queda dividido en dos regiones, dependiendo del signo 21 Kxxa += .
Si integramos la ecuación de la pendiente:
1
2
dx
dx
S = , para cada región podremos obtener
la trayectoria del plano de fase, desde un punto de partida ( ) ( )( )0,0 21 xx . La línea que
divide ambas regiones es. 021 =+ Kxx .
• Región I ( 021 >+ Kxx ):
2
2
1
2 202.0
x
x
dx
dx
S
−−
==
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( )( )0202.00
2
1
202.0
112
2
2
2
2
0
22
0
22
1
1
2
2
xtxtxxtx
dxxdxx
tx
x
tx
x
−⋅−−=−
−−= ∫∫
• Región II ( 021 <+ Kxx ):
2
2
1
2 202.0
x
x
dx
dx
S
+−
==
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( )( )0202.00
2
1
202.0
112
2
2
2
2
0
22
0
22
1
1
2
2
xtxtxxtx
dxxdxx
tx
x
tx
x
−⋅+−=−
+−= ∫∫
V w
ref
theta
4
(s+0.2)
Zero-Pole
Step
Relay
-K-
K
1
s
Integrator
V wref a
theta
4
(s+0.2)
Zero-PoleStep Relay
-K-
K
1
s
Integrator
du/dt
Derivative

2008-9
___________________________________________________________________________________________
Si partimos del sistema en reposo y aplicamos una referencia de +1, el plano de fase
empieza en el punto (1, 0), situado en la región I; lo que hace que el sistema evolucione
siguiendo la trayectoria de la región I hasta llegar al punto (x1, x2) situado en la línea que
separa las dos regiones ( 021 =+ Kxx ). A partir de este punto cambiamos a la región II
y el sistema evoluciona siguiendo la trayectoria de la región II hasta que vuelva a
encontrarse con la línea que separa las dos regiones, en nuestro caso el punto (0, 0) para
que el sistema se detenga.
Particularizando las dos ecuaciones de las trayectorias deseadas, obtenemos el sistema
de ecuaciones formado por:
1) la trayectoria de la región I del punto (1, 0) al punto (x1, x2)
( ) ( )1202.0
2
1
12
2
2 −⋅−−= xxx
2) la trayectoria de la región II del punto (x1, x2) al punto (0, 0)
1
2
2 20
2
1
xx −=−
Despejando x1 en las dos ecuaciones e igualando se obtiene:
( )
( ) ( )
0160016804.0
404.0404.040
40
1
202.02
2
2
2
3
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
1
=−−+
−−=−−
=+
−−
=
xxx
xxxx
x
x
x
x
Cuyas soluciones son: x2 = −200.1, 4.5213, −4.4213.
Que proporcionan respectivamente: x1 = 1001, 0.5111, 0.4887.
De estas tres soluciones la correcta es la tercera, ya que el sistema parte de (1, 0) y
evoluciona con x2 negativas disminuyendo x1, tal como se puede observar el plano de
fase del apartado a, pero en este caso hasta alcanzar la línea 021 =+ Kxx .
Por tanto el punto (0.4887, −4.4213) se encuentra en la línea de cambio de región, lo
que nos permite determinar la constante K:
1105.0
4213.4
4887.0
0
2
1
21
=
−
−=−=
=+
x
x
K
Kxx
En las siguientes gráficas podemos ver la evolución temporal de las señales y del plano
de fase, donde observamos como el sistema alcanza la posición de error cero con un
solo cambio en la acción de control y por tanto en tiempo mínimo.

2008-9
___________________________________________________________________________________________
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-4.5
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
x1
= e
x2
=de/dt
Plano de fase (e/de)
x1
+K*x2
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45
0
0.5
1
Error
Ejercicio b
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45
-6
-4
-2
0
De/dt
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45
-5
0
5
V
Tiempo (seg)

2008-9
___________________________________________________________________________________________
c. Retardo en la realimentación.
Añadiendo el retardo en la realimentación resulta el siguiente sistema de control:
Cuya ecuación característica es: ( ) ( ) ( ) 01 =⋅⋅+ sHsGAK
Separamos la parte lineal de la no lineal:
( )
( ) ( )sHsG
AK
⋅=−
1
La condición de equilibrio se produce cuando la respuesta en frecuencia de la parte
lineal es real:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ssssss
sHsG
2.02.01
4
12.0
4
232
+++
=
+⋅+
=⋅
τττ
( ) ( )
( ) ( )j
jHjG
ωτωωτ
ωω
2.02.01
4
32
+−+⋅+−
=⋅
La parte imaginaria se anula para: ( )
τ
τωτω
2.0
02.0 2
=⇒=−
Con lo que tenemos la evolución de la frecuencia en función del retardo, con los
siguientes límites:
( )
( ) 0
2.0
lim
0
2.0
lim
0
=
∞
=
∞==
∞→
→
τω
τω
τ
τ
Para dicha frecuencia el módulo de la parte lineal vale:
( ) ( )
( ) ( ) τ
τ
τ
τ
ωτ
ωω
τ
ω
2.01
20
2.02.01
4
2.01
4
2
2.0
+
−=
+
−=
+
−=⋅ =
jHjG
Igualando con la función descriptiva:
( ) ( )
( )
( )
( )πτ
τ
τ
π
τ
τ
ωω
2.01
20
202.01
20
1
2
+
=⇒−=
+
−
−=⋅
A
A
AK
jHjG
Nos proporciona la evolución de la amplitud de las oscilaciones en función del retardo,
con los siguientes límites:
( )
( )
( )
( )
636.6198
2.0
400
2.01
400
lim
0
02.01
0400
lim
0
==
∞⋅+
∞⋅
=
=
⋅+
⋅
=
∞→
→
ππ
τ
π
τ
τ
τ
A
A
e u
thetaStep Relay
1
tau.s+1
H(s)
4
s +0.2s2
G(s)

2008-9
___________________________________________________________________________________________
En la siguiente gráfica podemos ver la evolución de ambos parámetros, con respecto a
la constante de tiempo τ.
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Frecuencia
Apartado c
τ
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
0
200
400
600
800
Amplitud
τ

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