Vectores r3

DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES
FACULTAD DE CIENCIAS
E INGENIERÍA
E.P. : INGENIERÍA DE SISTEMAS E INFORMÁTICA
E.P.: INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y
TELECOMUNICACIONES
ÁREA: MATEMÁTICA MATEMÁTICA APLICADA A LA INGENIERÍA III CICLO: III
Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E_MAIL. mtarazona@uch.edu.pe – mitagi@gmail.com
Web: http://migueltarazonagiraldo.com/ contactos@migueltarazonagiraldo.com 999685938
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TEMA: VECTORES EN 𝑹 𝟑
SEMANA: 01
TURNO: NOCHE PABELLÓN: B AULA: 503 B SEMESTETRE: 2017 - II
VECTORES EN 𝑹 𝟑
Definición. – Un vector de 3
es una terna ordenada
de números reales. Denotada de la siguiente manera:
( , , )v x y z
Representación geométrica. - Geométricamente a un
vector de 3
se lo representa en el Espacio como un
segmento de recta dirigido.
Suponga que se tienen los puntos 1 1 1 1( , , )P x y z y
2 2 2 2( , , )P x y z . Si trazamos un segmento de recta
dirigido desde 1P hacía 2P tenemos una
representación del vector v
1 2 2 1 2 1 2 1( , , )v PP x x y y z z    
Este vector puede tener muchas otras
representaciones equivalentes en el espacio. Una
representación equivalente útil es aquella que se
realiza ubicando al vector con el origen como punto de
partida.
Ejemplo: (2,4,3)v 
Magnitud o norma. - Sea ( , , )v x y z . La magnitud o
norma de v denotado como v , de define como:
2 2 2
v x y z  
Note que la norma sería la longitud del segmento de
recta que define el vector. Es decir, sería la distancia
entre los puntos que lo definen.
Para 2 1 2 1 2 1( , , )v x x y y z z    sería:

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2 2 2
2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )v x x y y z z     
Dirección. - La dirección de ( , , )v x y z está definida
por la medida de los ángulo que forma la línea de
acción del segmento de recta con los ejes 𝑥, 𝑦, 𝑧.
Los ángulos 𝛼, 𝛽 𝑦 𝛾 son llamados Ángulos Directores.
Observe que:
2 2 2
Cos
x x
v x y z
  
 
2 2 2
Cos
y y
v x y z
  
 
2 2 2
Cos
z z
v x y z
  
 
Demuestre que:
Sentido. - El sentido de v lo define la flecha dibujada
sobre el segmento de recta.
Igualdad de vectores de 3
. - Dos vectores
1 1 1 1( , , )v x y z y 2 2 2 2( , , )v x y z son iguales si y sólo
si 1 2 1 2 1 2,x x y y y z z  
OPERACIONES
Suma. – Sean 1v y 2v dos vectores de 3
tales que
1 1 1 1( , , )v x y z y 2 2 2 2( , , )v x y z entonces la suma
de 1v con 2v , denotado por 1 2v v , se define como:
1 2 1 2 1 2 1 2( , , )v v x x y y z z    
Propiedades:
Sean 1v , 2v y 3v vectores de 3
, entonces:
1. 1 2 2 1v v v v   la suma es conmutativa
2.    1 2 3 1 2 3v v v v v v     la suma es asociativa
3. 3 3
0 , v    tal que 0v v  , donde
0 (0,0,0) es llamado vector neutro.
4.  3 3
v v    tal que   0v v   Donde
 v es llamado vector inverso aditivo de v .
Geométricamente:
Los vectores 1v y 2v sustentan un paralelogramo, el
vector de la diagonal mayor es el Vector Suma y el
vector de la diagonal menor es el Vector Diferencia.
Multiplicación por escalar. – Sea  y ( , , )v x y z
un vector de 3
entonces:  , ,v x y z   
Propiedades
1.  3
1 2 1 2 1 2, ,v v v v v v           
2.  3
, , v v v v             
3.    3
, , v v v         

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Cualquier vector de 3
, ( , , )v x y z puede ser
expresado en combinación lineal de los vectores
(1,0,0), (0,1,0) (0,0,1)i j y k 
( , , ) (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1)v x y z x y z   
v xi yj zk  
Producto escalar. Producto punto o Producto Interno.
- Sean 1 1 1 1( , , )v x y z y 2 2 2 2( , , )v x y z vectores de
3
. El producto escalar de 1v con 2v denotado como
1v . 2v se define como:
1 2 1 2 1 2 1 2v v x x y y z z  
Propiedades:
1. Sean 1v y 2v vectores de 3
. Entonces:
2.  1 2 3 1 2 1 3v v v v v v v  
3.  1 2 1 2)( ( )v v v v  
Si ( , , )v x y z entonces:
2 2 2
( , , )( , , ) .v v x y z x y z x y z   
Por lo tanto v v v o también v v v
Producto Vectorial. Producto Cruz. – Sean
1 1 1 1( , , )v x y z y 2 2 2 2( , , )v x y z vectores de 3
. El
Producto Vectorial de 1v con 2v denotado como 1v x
2v se define como:
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2( , ( ),v xv y z z y x z x z x y y x    
Una manera práctica para obtener el resultado de la
operación Producto Cruz entre dos vectores es resolver
el siguiente determinante, para la primera fila:
Propiedades
Sean 1v , 2v y 3v vectores de 3
1. El vector 1 2( )v xv es tanto perpendicular a 1v como
a 2v
2. El sentido del vector 1 2( )v xv se lo puede obtener
empleando la mano derecha. Mientras los dedos se
dirigen desde 1v hacía 2v , el pulgar indica la dirección
de 1 2( )v xv .
3. 1 2 2 1( )v xv v xv 
4. 1 1 0v xv 
5. Si 1 2v v entonces 1 2 0v xv 
6.  1 1 2 2 1 2 1 2) ( ( )v x v v xv   
7.      1 2 3 1 2 1 3v x v v v xv v xv  
8.
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2( )v xv v v v xv 
De la última expresión, empleando la propiedad del
producto escalar, se obtiene un resultado muy
importante:
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2( )v xv v v v xv 
2 2 2
1 2 1 2( cos )v v v v  
2 2 2 2 2
1 2 1 2 cosv v v v  
2 2 2
1 2 1 cosv v    
2 2 2 2
1 2 1 2v xv v v sen 

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Finalmente:
1 2 1 2v xv v v sen
Producto escalar de dos vectores 1v y 2v , es igual al
módulo de uno de ellos por la proyección del otro
sobre él.
1 2 1 2 cosv v v v 
2 2 1cos .OA v proy dev sobrev 
Luego 1 2 1v v v OA
En el caso de que el ángulo sea obtuso se obtiene:
Los ángulos  y  son suplementarios
por tanto,  coscos
1 2 1 2. || ||.|| ||.cosv v v v 
2 2|| ||.cos || || cosv v OA    
donde OA es la proyección de 2v sobre 1v
es decir, 1 2 1. || ||.v v v OA 
Ejemplo: . 1.1 ( 1).2 3.2 5u v     
El ángulo que forman los vectores es agudo
3221||v|| 222

x.||v||v.u   x.35  
3
5
x  (que es la medida
del segmento x)
Dividimos el vector v por su módulo a fin de obtener un
vector de la misma dirección y sentido, pero de módulo
unidad:
2 2 2
|| || 1 2 2 3v     ;
1 1 2 2
(1,2,2) , ,
|| || 3 3 3 3
v
v
 
   
 
Finalmente, el vector unitario obtenido lo
multiplicamos por
5
:
3
5 1 2 2 5 10 10
. de u sobre v x , , , ,
3 3 3 3 9 9 9
proy
   
     
   
Observación importante:
Cuando el producto escalar es positivo, el ángulo es
agudo
Cuando el producto es negativo, el ángulo es obtuso.
Aplicaciones
Cálculo del área del paralelogramo sustentado por
dos vectores.
Sean 1v y 2v dos vectores, no paralelos. Observa la
figura:
Tomando como base a 2v , tenemos:
Á𝑟𝑒𝑎 = 𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑥 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
2Área v h
Observe que
h
sen
v
  entonces
1 2Área v v sen y por la propiedad del producto
cruz: 1 2Área v xv
Cálculo del volumen del paralelepípedo sustentado
por tres vectores
Sean 1v , 2v y 3v tres vectores. Observe la figura.

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Tomando como base el paralelogramo sustentado por
1v y 2v , la altura h del paralelepípedo será de
proyección escalar 3v sobre 1 2v xv , entonces:
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 = Á𝑟𝑒𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑥 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
Donde 1 2Áreabase v xv
1 2
1 2 3
3
1 2
( )
Pr v xv
v xv v
altura h oy v
v xv
  
Por tanto
1 2 3
1 2
1 2
( )v xv v
Volumen v xv
v xv

Finalmente, simplificando resulta:
1 2 3( )Volumen v xv v
Esta última expresión es denominada, EL TRIPLE
PRODUCTO ESCALAR de los vectores 1v , 2v y 3v , y su
interpretación es el volumen del paralelepípedo
sustentado por los vectores 1v , 2v y 3v . Observe
además que no importa el orden de operación de los
vectores.
Para calcular el volumen de un tetraedro
El volumen del tetraedro es
 ( ) 1 2 3
1
, ,
6
tetraedroVolumen v v v
Ejemplos
01. Halla el ángulo que forman los vectores
)6,2,3(u

y )1,5,4(v

Solución
vu
vu
vu 


·
),cos(


461012. vu

7493649|||| u

;
4212516|||| v

427
4
||||.||||
.
cos 
vu
vu


 .
Buscando con la calculadora el ángulo cuyo coseno es
427
4
, se obtiene º94,84
02. Hallar el producto vectorial de ),,( 111 zyxu 

y
),,( 222 zyxv 

Solución
El producto vectorial de esos vectores, en
coordenadas, viene dado por:









22
11
22
11
22
11
,,
yx
yx
xz
xz
zy
zy
vu

Para ello, previamente vamos a ver cuáles son los
productos vectoriales de los vectores de la base
canónica  kjiB

,,

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0
0
0



kkijkjik
ikjjjkij
jkikjiii



Por tanto, dados dos vectores ),,( 111 zyxu 

y
),,( 222 zyxv 

, éstas son sus coordenadas respecto
a la base canónica, es decir:
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
( , . )
( , , )
u x y z x i y j z k y
v x y z x i y j z k
   
   
1 1 1 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
( ) ( )
( ) ( ) ( )
u v x i y j z k x i y j z k
y z z y i z x x z j x y y x k
      
     
,
que equivale a decir,
),,( 212121212121 xyyxzxxzyzzyvu 

, o
mejor,









22
11
22
11
22
11
,,
yx
yx
xz
xz
zy
zy
vu

(Nota: De forma práctica podemos calcularlo de la
siguiente forma:
321
321
321
yyy
xxx
eee
vu


 .
Lo anterior hay que tomarlo como una ‘regla
mnemotécnica’, pues eso no es un verdadero
determinante (no tiene sentido un determinante con
números y vectores) y hay que calcularlo
desarrollándolo por los elementos de la primera fila)
03. Calcula el producto vectorial de los vectores
)3,7,1( u

y )4,0,5(v

Solución
Conviene colocar el primer vector y debajo de este el
segundo:
)3,7,1( u

)4,0,5(v

35)11,28,(
05-
71
,
5-4
13-
,
40
3-7








vu

04. Dados los vectores )6,1,4()5,2,3(  vyu

,
halla el área del paralelogramo que determinan.
Solución
Teniendo en cuenta que el área del paralelogramo
que determinan es el módulo del producto vectorial:
5)-2,7,(
14
23
,
46
35
,
61
52








vu

Área = 78)5(27|||| 222
 vu

por lo
que Área = 2
u78
05. Dados los puntos𝐴 (1, 1, 1), 𝐵 (4, 3, 6) 𝑦 𝐶 (5,2,7),
halla el área del triángulo que determinan.
Solución:
El área del triángulo determinado por los tres puntos
viene dada por la fórmula siguiente:
||||
2
1
ACABÁrea 
Por lo tanto, hallemos ACvyABu 

Dichos vectores serán: (3,2,5)u  y (4,1,6)v  y su
producto vectorial:
5)-2,7,(
14
23
,
46
35
,
61
52








vu

78)5(27|||| 222
 vu

y por tanto
2
2
78
||||
2
1
uvuÁrea 

06. Dados los vectores )6,1,4()5,2,3(  vyu

,
halla un vector perpendicular a ambos
Solución
Un vector perpendicular a ambos es el producto
vectorial:
5)-2,7,(
14
23
,
46
35
,
61
52








vu

o
también, mediante la regla mnemotécnica:

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3 2 5 12 20 3 8 5 18
4 1 6
7 2 5 (7,2, 5)
i j k
u v i j k k i j
i j k
       
    
07. Dados los vectores (3, 2,5),u   ( 4,1,6)v   y
(2,0, 1)w   halla el volumen del tetraedro que
determinan.
Solución
29810243
102
614
523
).( 



 wvu

2
)( u
6
29
|29|
6
1
tetraedroVolumen
08. El alambre de una torre está anclado en A por
medio de un perno. La tensión en el alambre es de
2500 N determine:
a. Las componentes de xF , yF y zF de la fuerza que
actúa sobre el perno y
b. los ángulos ,x y y z que definen la dirección de
la fuerza.
09. Una torre de transmisión se sostiene mediante
tres alambres, los cuales están anclados por medio de
pernos en B, C y D. Si la tensión en el alambre AB es
de 525 lb, determine las componentes de la fuerza
ejercida por el alambre sobre el perno en B.
Ejercicios
01. Dos vectores a y b, vienen expresados por:
𝒂 = 3𝒊 + 4𝒋 + 𝒌 𝑦 𝒃 = 4𝒊 – 5𝒋 + 3𝒌.
a. Calcule los módulos y los cosenos directores de
ambos vectores.
b. Señale si son perpendiculares
02. Dados los vectores a (3, -2, 0) y b (5, 1, -2), deduzca
sus módulos, su producto escalar, el ángulo que
forman y su diferencia.
03. Conocidos los vectores a (4, a, -2) y b (-a, 2a, 8),
averigüe el valor de “a”, si dichos vectores son
perpendiculares.
04. Determine la suma de los vectores a (4, 8, -6) y b (-
5, 0, 6) y el ángulo que forma la resultante con cada
vector.
05. Si el producto vectorial de dos vectores a x b = 3.i -
6.j +2. k, y sus módulos son 4 y 7 , respectivamente,
infiera su producto escalar.

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06. Suponiendo dos vectores cuyos módulos son 7 y 8,
y el ángulo que forman es de 30°, compute el módulo
de su producto vectorial e indique el ángulo que
formará con ambos vectores.
07. Los vectores a (3, 2, -5), b (6, -4, 0) y c (0, 7, 4) están
sometidos a la siguiente operación: v = 2.a + b +c.
Especifique:
a. El módulo de v.
b. El producto escalar de a y v.
08. Dados los puntos
𝐴 (0,2,2), 𝐵 (2,0, −1) 𝑦 𝐶 (3,4,0):
a) Forme los vectores AB, BC y AC.
b) El perímetro del triángulo.
c) El área del triángulo.
d) Los ángulos internos del triángulo.
e) La proyección escalar de AB en BC.
f) La proyección vectorial de AB en BC.
g) Un vector paralelo al vector AC y de magnitud 7.
h) La altura del triángulo.
i) Encuentre los cosenos directores y los ángulos
directores del vector BC.
09. Dados los puntos A (-1, 5, 3) y B (6, -1, 4).
Encuentre:
a) Los ángulos directores del vector AB
b) El ángulo entre los vectores de posición A y B
c) La distancia entre los puntos A y B.
¿Forman los puntos A, B y el origen un triángulo
rectángulo? Justifíquelo mediante un procedimiento
10. Los puntos 𝐴 = (0, 2, 2), 𝐵 = (2, 0, 1), y
C= (
2
5
, 2,
2
1
 ) son los vértices de un triángulo.
Encuentre:
a. El área y el perímetro.
b. Las alturas
c. Probar que la suma de los ángulos internos suman
 radianes.
d. Hallar la proyección del lado AB en AC.
e. Hallar el vector proyección del lado

AC en

AB
f. Hallar las coordenadas del punto de intersección
de las medianas.
g. Hallar un vector paralelo a

CB y de magnitud igual
a 10 unidades
11. Hállese la proyección del vector A sobre la
dirección del vector B , y la proyección del vector B
sobre la dirección del vector A ; si A = 2, B = 1, y si
el ángulo entre A y B es de 120°.
12. Graficar y hallar el área del triángulo de vértices:
𝑃 = (3, 2, 3), 𝑄 = (0, 2, 1), 𝑅 = (5, 3, 0)
13. Dado los vectores 𝑢⃗ = 3 𝑖 – 𝑗 + 𝑘 y 𝑣 = 𝑖 +
𝑗 + 𝑘, hallar el producto vectorial de dichos vectores
y comprobar que el vector obtenido es perpendicular
a los vectores 𝑢⃗ 𝑦 𝑣.
14. Teniendo en cuenta que la figura se compone con
cubos de arista 1 unidad de longitud, determine la
expresión en función de las componentes del vector
que representa a la suma de los cinco vectores de la
figura.

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15. Dos vectores parten de un mismo punto “P” y uno
de ellos termina en el punto (3; -2; -1) y el otro en el
punto (2; -4; -2). Calcular el módulo de la resta de estos
vectores.
16. Para el paralelepípedo de la figura, determine el
ángulo formado entre los vectores a y b.
17. Hallar el área del paralelogramo cuyas diagonales
son los vectores
𝐴 = 3𝑖 + 𝑗 – 2𝑘, 𝐵 = 𝑖 − 3𝑗 + 4𝑘 .
(Solución: 5 )
18. Hallar el ángulo agudo formado por las dos
diagonales de un cubo.
(Solución: 70º 32').
19. Dos lados de un triángulo son los vectores
𝐴 = 3𝑖 + 6𝑗 − 2𝑘,
𝐵 = 4𝑖 − 𝑗 + 3𝑘 .
Hallar los tres ángulos del triángulo.
(Solución: 36º4', 53º56' y 90º)
20. Hallar el volumen del
paralelepípedo formado por los vectores:
(3, 2,5),u   (2,2, 1)v   y (4, 3, 2)w 
(Solución: 91 3
u )
21. Considere la siguiente figura:
Se pide:
a. Coordenadas de D para qué ABCD sea
un paralelogramo.
b. Área de este paralelogramo.
(Solución: a. D = (4,4,1) b. 2
2 u )
Bibliografías
Dennis G. Zill. Cálculo con Geometría Analítica
Eduardo Espinoza Ramos. Análisis Matemático III
G. Fuller y D. Tarwater. Geometría Analítica
Johnson, Glenn, Norton y García. Explorando la
matemática. Tomo II. New York. McGraw-Hill, 1967.
Leithold, Louis. “Cálculo con Geometría Analítica”,
Harla, sexta edición, 1992.
Referencias
https://aga.frba.utn.edu.ar/vectores-en-r3/
http://migueltarazonagiraldo.com/
https://estaticaydinamica.jimdo.com/capitulo-2-vectores-en-
el-espacio/

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