método de ajuste por mínimos cuadrados

1. INTRODUCCION
La Física trata sobre las relaciones entre cantidades observadas. Establecer estas relaciones
permite que podamos anticipar lo que ocurrirá con una cantidad cuando la otra varía de una
forma determinada. Una forma básica para establecer la relación entre dos cantidades
medidas es representarlas mediante una gráfica. En el caso del estudio del movimiento de los
objetos, vamos a querer establecer relaciones entre las siguientes cantidades: el tiempo que le
toma a un objeto moverse de un punto a otro, la rapidez con que se mueve y su aceleración, si
tiene alguna.
Las gráficas son representaciones pictóricas de pares ordenados de puntos. En cinemática se
refiere a la representación de la relación de tiempo y espacio del movimiento de los
objetos. Esta representación se hace en un plano cartesiano. El movimiento de una partícula
se conoce por completo si su posición en el espacio se conoce en todo momento. Las gráficas
presentan la relación entre los datos de la posición, velocidad y aceleración del objeto. Debes
observar muy bien los ejes, las variables y las unidades utilizadas en las gráficas que analizarás.
OBJETIVOS
 Conocer las bases para una buena representación gráfica.
 Utilizar adecuadamente el papel milimétrico, logarítmico y semilogarítmico.
 Descubrir el comportamiento de un sistema físico a partir de la evaluación de los datos
obtenidos en un experimento.
 Hacer uso de las técnicas del análisis gráfico, incluyendo las técnicas de linealización y
ajuste por el método de cuadrados mínimos para un comportamiento lineal de los
datos.
 Obtener nuevos datos por interpolación y extrapolación.

2. DESCRIPCION TEORICA DEL TEMA
Las gráficas más comunes son las que se obtienen usando un sistema de ejes cartesianos. Es
costumbre que el eje de las abscisas (eje x) represente a la variable independiente o la variable
controlada y en el eje de las ordenadas (eje y) la variable dependiente, aunque en algunos
casos podría convenir lo contrario. Se hace referencia a la gráfica como Y en función de X, Y
contra X, Y versus X o como Y vs. X. Las cantidades que representan los ejes se escriben,
preferentemente, con símbolos seguidos de las unidades entre paréntesis o después de una
diagonal. Las escalas se deben escoger de modo que se utilice eficientemente el espacio
destinado a la gráfica, y que permitan una lectura fácil de los puntos experimentales; la
mínima división de la escala debe ser en números sencillos (múltiplo de 2, 5, o 10).
DESCRIPCION DE LOS INSTRUMENTOS
 PAPEL MILIMETRADO:
Es papel impreso con finas líneas entrecruzadas, separadas según una distancia determinada
(normalmente 1 mm en la escala regular). El papel milimetrado se usa para graficar las
variables X; Y, cuando estas cumplen con la ecuación de una recta:
Y=mX+b
donde:
m es la pendiente de la recta; y b es el valor del término independiente, correspondiente
al punto de corte con el eje Y de la extrapolación de la recta óptima.
 PAPEL LOGARITMICO:
Los datos que siguen una variación similar a una función potencial, y=a·xn
, o aquella serie de
datos cuyo rango abarca varios órdenes de magnitud son apropiados para una representación
logarítmica. Por ello, este tipo de representación es muy usada en ciencias e ingeniería.
Cualquier conjunto de datos que pueda ajustarse a la expresión podrá
representarse en forma de línea recta, , si usamos
representación logarítmica ya que ambas expresiones son equivalentes.
 PAPEL SEMILOGARITMICO:
Es una representación gráfica de una función o de un conjunto de valores numéricos, en la que
el eje de abscisas o el eje de ordenadas tienen escala logarítmica mientras el otro eje tiene
una escala lineal o proporcional.
Si la representación se hace manualmente, se emplea papel semilogarítmico, que posee la
escala con las marcas adecuadas para este tipo de representaciones. Se emplean logaritmos
decimales, de base 10.

3. PROCEDIMIENTO
1. En la siguiente tabla se muestran datos experimentales de pulsaciones cada 10 segundos
de adulto promedio en estado basal.
A partir de la tabla construimos el siguiente gráfico (4.1.1.): (eje de ordenadas= tiempo en
segundos; eje de las abscisas=número de pulsaciones)
en seg
Σ
Xi (Tiempo en s) 10 20 30 40 50 60 70 280
Yi ( No. de pulsos) 13 25 39 53 64 79 91 364

4. A partir del gráfico:
𝑚 = tan 𝜃 =
∆𝑦
∆𝑥 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜
𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠
⇒
78
60
= 1.3
𝑏 = 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑦
𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎
𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑠:
⇒ 0
Para comprobar aplicamos el método de ajuste por mínimos cuadrados (4.1.2.), donde
primero rellenamos la tabla anterior de la siguiente manera para facilitar el procedimiento:
Σ
Xi (Tiempo en s) 10 20 30 40 50 60 70 280
Yi ( No. de pulsos) 13 25 39 53 64 79 91 364
Xi2 100 400 900 1600 2500 3600 4900 14000
XiYi 130 500 1170 2120 3200 4740 6370 18230
𝑚 =
𝑁. ∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖𝑖 − ∑ 𝑥𝑖𝑖 ∑ 𝑦𝑖𝑖
𝑁. ∑ 𝑥𝑖
2
𝑖 − (∑ 𝑥𝑖𝑖 )2
𝑚 =
7 × 18230 − 280 × 364
7 × 14000 − (280)2
𝑚 =
127610 − 101920
98000 − 78400
𝑚 =
25690
19600
= 1.31 …
𝑏 =
∑ 𝑥𝑖
2
𝑖 ∑ 𝑦𝑖𝑖 − ∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖𝑖 ∑ 𝑥𝑖𝑖
𝑁. ∑ 𝑥𝑖
2
𝑖 − (∑ 𝑥𝑖𝑖 )2
𝑏 =
14000.364 − 18230.280
7.14000 − (280)2
𝑏 =
5096000 − 5104400
98000 − 78400
𝑏 =
−8400
19600
= −0.14 …
𝑦 = 𝑚. 𝑥 + 𝑏
𝑦 = 1.3𝑥 − 0.14
2. En la siguiente tabla se muestra la rapidez de propagación de un pulso eléctrico a lo largo
de una fibra nerviosa en función de su diámetro.
V (m/s) 15,8 18,8 25,1 30,2 37,6 45,7 50,1 63,1 70,8 79,4
d (m) 2,0 3,2 5,0 7,9 11,2 15,8 20,0 28,2 39,8 50,1
El siguiente gráfico corresponde a los datos en un papel milimetrado (4.2.1.):

5. El gráfico de los datos sobre el papel logarítmico se adjunta al final del informe (4.2.2.), a partir
del gráfico se determina la Función potencial:
𝑦 = 𝑘. 𝑥 𝑛
Desarrollando:
log 𝑦 = log 𝑘. 𝑥 𝑛
log 𝑦 = log 𝑘 + log 𝑥 𝑛
log 𝑦 = log 𝑘 + 𝑛. log 𝑥
log 𝑦 = 𝑛. log 𝑥 + log 𝑘 Lo cual tiene la forma de: 𝑦 = 𝑚 . 𝑥 + 𝑏
Por lo tanto:
𝑚 =
∆log 𝑦
∆log 𝑥
= 𝑛
log 𝑘 = 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑦 = 𝑏
Reemplazando los datos numéricos en las ecuaciones:
𝑛 =
log 79,4 − log 15,8
log 50,1 − log 2,0
= 0,5 …

6. Del gráfico obtenemos que k=11; por lo tanto:
𝑦 = 11𝑥0,5
3. En la siguiente tabla se muestra la tasa de recuento de una sustancia radiactiva en el
tiempo.
t(días) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Cuentas/min 455 402 356 315 278 246 218 193 171 151 133
Función potencial:
𝑦 = 𝑦0. 𝑒−𝜇𝑥

7. Desarrollando:
log 𝑦 = log 𝑦0. 𝑒−𝜇𝑥
log 𝑦 = log 𝑦0 + log 𝑒−𝜇𝑥
log 𝑦 = log 𝑦0 − 𝜇𝑥. log 𝑒
log 𝑦 = log 𝑦0 − (𝜇. log 𝑒)𝑥
log 𝑦 = −(𝜇. log 𝑒)𝑥 + log 𝑦0
𝑦 = 𝑚 . 𝑥 + 𝑏
Por lo tanto:
𝑚 =
∆log 𝑦
∆𝑥
= 𝜇. log 𝑒
𝑏 = 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑦 = log 𝑦0
De la gráfica (ver gráficas adjuntas al final del informe) reemplazando:
𝑚 =
log 133 − log 455
10 − 0
= 𝜇. log 𝑒
μ = −0,05 …
𝑏 = 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑦 = log 𝑦0
Dando la forma:
𝑦 = 510. 𝑒−0.05𝑥

8. CUESTIONARIO
1) Utilizando la gráfica obtenida en 4.1.1. y 4.1.2. Hallar:
 Para t = 75 s, el número de pulsos arteriales. (Observación y desarrollo a partir de la
gráfica)
1.3 =
75 − 70
𝑦 − 91
1.3(𝑦 − 91) = 5
1.3𝑦 − 118.3 = 5
𝑦 =
123.3
1.3
= 94.84
 Para t = 120 s, el número de pulsos arteriales. (método de mínimos cuadrados)
𝑦 = 1.3 × 120 + (−0.14)
𝑦 = 155,86
De los resultados anteriores, ¿Cuál de ellas es el más confiable?
El más confiable es el segundo, debido a que utiliza el método de ajuste por mínimos
cuadrados, debido a que este método disminuye la desviación entre los datos de la recta y
mantiene un perfil confiable de respuesta comparando con la utilización directa de
ecuaciones que parten del mismo gráfico. En caso de utilizar el método de desarrollo a
partir del gráfico, se debe tener en consideración la cercanía del punto respecto a la
pendiente que cruza sobre los demás puntos para obtener un resultado más o menos
confiable.
2) Utilizando la gráfica obtenida en 4.2.1 y 4.2.2. Hallar:
 Para d = 6,0 µm, la rapidez del impulso eléctrico.
 Para d = 54 µm, la rapidez del impulso eléctrico.
De los resultados anteriores, ¿Cuál de ellas es el más confiable?
3) Halle la ecuación empírica de las variables presentes en la tabla 2.2 utilizando el método
de ajuste por mínimos cuadrados.
d (m) 2,0 3,2 5,0 7,9 11,2 15,8 20,0 28,2 39,8 50,1
V (m/s) 15,8 18,8 25,1 30,2 37,6 45,7 50,1 63,1 70,8 79,4
Convirtiendo en logaritmos:
Σ
d
(m)
0,30 0,51 0,70 0,90 1,05 1,20 1,30 1,45 1,60 1,70 10,70
V
(m/s)
1,20 1,27 1,40 1,48 1,58 1,66 1,70 1,80 1,85 1,90 15,84
𝑥2 0,09 0,26 0,49 0,81 1,10 1,44 1,69 2,10 2,56 2,89 13,42

9. x.y 0,36 0,64 0,98 1,33 1,65 1,99 2,21 2,61 2,96 3,23 17,96
𝑛 = 𝑚 =
𝑁. ∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖𝑖 − ∑ 𝑥𝑖𝑖 ∑ 𝑦𝑖𝑖
𝑁. ∑ 𝑥𝑖
2
𝑖 − (∑ 𝑥𝑖𝑖 )2
𝑛 =
10 × 17,96 − 10,7 × 15,84
10 × 13,42 − (10,7)2
= 0,5 …
𝑏 =
∑ 𝑥𝑖
2
𝑖 ∑ 𝑦𝑖𝑖 − ∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖𝑖 ∑ 𝑥𝑖𝑖
𝑁. ∑ 𝑥𝑖
2
𝑖 − (∑ 𝑥𝑖𝑖 )2
𝑘 = 𝑙𝑜𝑔 𝑏 =
13,42 × 15,84 − 17,96 × 10,7
10 × 13,42 − (10,7)2
= 1,04 …
𝑘 = 𝐴𝑛𝑡𝑖𝑙𝑜𝑔 (1,04)
𝑘 = 10,96
4) Halle la ecuación empírica de las variables presentes en la tabla 2.3 utilizando el método
de ajuste por mínimos cuadrados.
t(días) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Cuentas/min 455 402 356 315 278 246 218 193 171 151 133
Σ
t(días) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 55
Cue/m 2,66 2,60 2,55 2,50 2,44 2,39 2,34 2,29 2,23 2,18 2,12 26,31
𝑥2 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 385
x.y 0 2,60 5,10 7,49 9,78 11,95 14,03 16,00 17,86 19,61 21,24 125,68
𝑛 = 𝑚 =
𝑁. ∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖𝑖 − ∑ 𝑥𝑖𝑖 ∑ 𝑦𝑖𝑖
𝑁. ∑ 𝑥𝑖
2
𝑖 − (∑ 𝑥𝑖𝑖 )2
𝑛 =
11 × 125,68 − 55 × 26,31
11 × 385 − (55)2 =
→ 𝜇. log 𝑒 = −0,05 …
𝑏 =
∑ 𝑥𝑖
2
𝑖 ∑ 𝑦𝑖𝑖 − ∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖𝑖 ∑ 𝑥𝑖𝑖
𝑁. ∑ 𝑥𝑖
2
𝑖 − (∑ 𝑥𝑖𝑖 )2
𝑘 = 𝑙𝑜𝑔 𝑏 =
385 × 26,31 − 125,68 × 55
11 × 385 − (55)2
= 2,66 …
𝑘 = 𝐴𝑛𝑡𝑖𝑙𝑜𝑔 2,66
𝑘 = 457,09

10. CONCLUSIONES
Para analizar los datos experimentales, siempre conviene graficarlos. Si los puntos están
contenidos en una recta lo que resta por hacer es determinar, a partir de la gráfica, los
parámetros que la describen. Por el contrario, si los puntos experimentales nos e ajustan a una
recta, sino más bien a una curva, entonces se recurre a graficarlos usando escalas logarítmicas
en ambos ejes coordenados o solamente en uno y escala lineal en el otro. El propósito es que,
con el uso de gráficas log-log o semilog, los puntos describan una recta ya que su identificación
es muy fácil e indudable. Otra manera de lograr que los puntos experimentales estén sobre
una recta es mediante un adecuado cambio de variables, el cual usualmente es sugerido por el
análisis teórico del problema.
Todas las curvas de la forma y=axn
pueden ser transformadas para que sean líneas rectas
usando escalas logarítmicas en ambos ejes coordenados. La otra familia de curvas que pueden
ser convertidas en rectas son las que tienen la forma analítica y=abcx
. Es usual que el
parámetro b sea sustituido por el número 10 o por el número e; en el primer caso el cálculo se
facilita usado logaritmos decimales y en el segundo al usar logaritmos naturales. Se obtiene
una recta al graficar con escala logarítmica en uno de los ejes coordenados.
BIBLIOGRAFÍA
 Análisis gráfico. Parte I. Escalas lineales y logarítmicas. Angel Manzur Guzmán (Depto. de
Física ) http://www.izt.uam.mx/newpage/contactos/anterior/n75ne/analisis-grafico1.pdf
 ANÁLISIS DE GRAFICAS http://docencia.udea.edu.co/regionalizacion/irs-
306/contenido/lab3.html
 Margarita E. Patiño Jaramillo. APRENDIENDO A GRAFICAR Y ANOTAR MEDIDAS
http://www.slideshare.net/margaritapatino/aprendiendo-a-graficar