1. UNIVERSIDAD NORORIENTAL PRIVADA
GRAN MARISCAL DE AYACUCHO
DECANATO DE POSTGRADO
COORDINACIÓN DE POSTGRADO
NUCLEO EL TIGRE
MAESTRÍA DE INGENIERIA DE MANTENIMIENTO
MENCIÓN CONFIABILIDAD INDUSTRIAL
CATEDRA: ESTADÍSTICA APLICADA
ESTADIO COGNOSCIENTE II
FACILITADOR: REALIZADO POR:
CDA. ESP. CARLENA ASTUDILLO ING. DANIEL ORDAZ.
ING. ANGEL SALAZAR.
EL TIGRE, DICIEMBRE DE 2014

2. Situación N.6
Calcule el error cuadrático mediante la aplicación de la recta de regresión de
mínimos cuadrados y la minimización de errores cuadráticos (S), tal que un
modelo o instrumento es confiable en la medida que S se acerque a cero. Se
desea verificar el nivel de confiabilidad de un cuestionario para evaluar el
mantenimiento de una empresa con base a la norma COVENIN 2500-93, con
una primera aplicación (X) y segunda aplicación (Y) tal como se indica en la
tabla:
N X Y XY F(x)
1 12 15
2 10 12
3 10 11
4 11 13
5 10 10
6 10 11
7 13 17
8 17 15
9 10 10
10 15 12
Σ
Solución:
1. Diagrama de dispersión.
En la figura Nº 1 se presenta el diagrama de dispersión de los datos de
X y Y mostrados en la tabla.
Figura Nº 1. Diagrama de dispersión de la primera aplicación (X) y
segunda aplicación (Y).

3. 2. Calculo del error cuadrático (S) mediante la aplicación de la recta
de regresión de mínimos cuadrados.
2.1. Calculo del coeficiente de correlación lineal (r).
Cuando no se tiene la información agrupada en una tabla de doble entrada, se
asume que cada información bivariada tiene una frecuencia unitaria y el
coeficiente de correlación lineal (r) se calcula por:
Ec. 1
Se procede a calcular todas las sumatorias en una hoja de cálculo Excel,
llenando la tabla de la siguiente manera:
Tabla Nº 1. Valores de los parámetros y sumatorias necesarias para el
cálculo del coeficiente de correlación (r).
N X Y XY F(x) 1 12 15 180 144 225 12,7158273 2 10 12 120 100 144 11,557554 3 10 11 110 100 121 11,557554 4 11 13 143 121 169 12,1366906 5 10 10 100 100 100 11,557554 6 10 11 110 100 121 11,557554 7 13 17 221 169 289 13,294964 8 17 15 255 289 225 15,6115108 9 10 10 100 100 100 11,557554 10 15 12 180 225 144 14,4532374 Σ 118 126 1519 1448 1638 31,75179856
Se calculan las siguientes sumatorias:
Σ (X)2 13924
Σ(Y)2 15876

4. Se sustituyen todos los valores en la Ec.1 y se obtiene el valor del coeficiente
de correlación:
r 0,608279538
Ya que 0.6< r < 0.8, es una correlación regular.
2.2. Ajuste rectilíneo. Método de los mínimos cuadrados.
La forma general de la ecuación de una recta es:
Ec. 2
Donde:
Las estimaciones para los parámetros son:
Ecs. 3 y 4.
Para ajustar el modelo rectilíneo para el mantenimiento de la empresa, se
aprovechan los totales ya calculados anteriormente parta el cálculo del
coeficiente de correlación (ver tabla Nº 1), se sustituyen en las ecuaciones 3 y
4, obteniéndose los siguientes valores de a y b:
b 0,579136691
a 5,76618705
Sustituyendo en la Ec. 2, se tiene que la ecuación de la recta es:
Ec.5
F(x)= 5,766+0,579X

5. En la figura Nº 2 se muestra el ajuste lineal realizado.
Figura Nº 2. Ajuste lineal mediante el método de los mínimos cuadrados.
2.3. Calculo del error cuadrático (S)
En la tabla Nº 2, se presentan los valores de Y(calculada) para cada valor de X de
la tabla, lo cual se realiza sustituyendo los valores de X en la ecuación 5 y el
error cuadrático para cada par de datos ((Y-F(x))^2).
Tabla Nº 2. Valores de Y(calculada) mediante el ajuste F(X) y error cuadrático
((Y-F(x))^2) para cada par de datos.
N X Y XY F(x) (Y-F(x))^2
1 12 15 180 144 225 12,7158273 5,217444749
2 10 12 120 100 144 11,557554 0,195758501
3 10 11 110 100 121 11,557554 0,310866415
4 11 13 143 121 169 12,1366906 0,745303038
5 10 10 100 100 100 11,557554 2,425974328
6 10 11 110 100 121 11,557554 0,310866415
7 13 17 221 169 289 13,294964 13,72729155
8 17 15 255 289 225 15,6115108 0,373945448
9 10 10 100 100 100 11,557554 2,425974328
10 15 12 180 225 144 14,4532374 6,01837379
Σ 118 126 1519 1448 1638 31,75179856

6. Se calcula el error cuadrático mediante la ecuación:
Ec.6
Sustituyendo los valores de la tabla Nº 2 en la ecuación 6, donde Yi es el valor
real re Y y se le resta el valor de Y(calculado)= F(X) para cada par de datos, se
obtiene:
Error cuadrático
EC(a,b) 3,17517986
3. Minimización de errores cuadráticos.
Partiendo de la ecuación 6, se tiene que los valores de a y b que minimizan el
error cuadrático, se expresan en función de las medias, varianzas y
covarianzas empíricas de X y de Y.
Denotamos entonces:

7. Se procede a calcular cada uno de los parámetros necesarios para obtener el
error mínimo cuadrático, partiendo de los datos del ejercicio, como se muestra
en la tabla Nº 3.
Tabla Nº 3. Parámetros necesarios para el cálculo del error mínimo
cuadrático.
N X Y (Xi - media) (Xi - media)^2 (Yi-Ȳ) (Yi-Ȳ)^2 (Xi - media)(Yi-Ȳ)
1 12 15 0,2 0,04 2,4 5,76 0,48
2 10 12 -1,8 3,24 -0,6 0,36 1,08
3 10 11 -1,8 3,24 -1,6 2,56 2,88
4 11 13 -0,8 0,64 0,4 0,16 -0,32
5 10 10 -1,8 3,24 -2,6 6,76 4,68
6 10 11 -1,8 3,24 -1,6 2,56 2,88
7 13 17 1,2 1,44 4,4 19,36 5,28
8 17 15 5,2 27,04 2,4 5,76 12,48
9 10 10 -1,8 3,24 -2,6 6,76 4,68
10 15 12 3,2 10,24 -0,6 0,36 -1,92
Σ 118 126 55,6 50,4 32,2
Obteniéndose;
Se tiene el siguiente caso:

8. Sustituyendo los valores de la varianza empírica de Y y el coeficiente de
correlación lineal en la última ecuación; se obtiene el error mínimo cuadrático:
EC (A,B) 3,17517986
Como se puede observar, el error mínimo cuadrático (S) por el método de los
mínimos cuadrados y por la minimización del error mínimo en función de las
medias, varianzas y covarianzas empíricas de X y de Y, tiene el mismo
resultado, lo que indica que es el valor de S que se aproxima más a cero (0).
Se realizaron evaluaciones a la ecuación de la línea recta (Ec. 5), aumentando
y disminuyendo el valor de a (corte con el eje Y) y se obtenían valores del error
cuadrático mayores al estimado por ambos métodos, comprobando de esta
manera lo anteriormente mencionado.
Nota: los cálculos se encuentran en la hoja de cálculo de Excel, la cual fue la
herramienta utilizada.