control

1. UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
INGENIERÍA DE CONTROL M.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ.
M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ
1
ERROR EN ESTADO ESTACIONARIO

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INGENIERÍA DE CONTROL M.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ.
M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ
2
Error en Estado Estacionario
El error en estado estacionario es una medida de la exactitud de un sistema de control para seguir una entrada
dada, después de desaparecer la respuesta transitoria.
Se analizará el error en estado estacionario provocado por la incapacidad del sistema de seguir determinados
tipos de entradas.
El que un sistema dado presente o no un error en estado estacionario ante determinado tipo de señal de
entrada, depende del tipo de función de transferencia de lazo abierto del sistema.
Clasificación de los sistemas de control
Los sistemas de control se clasifican de acuerdo con su capacidad de seguir entradas escalón, rampa,
parábola, etc. Considere el sistema de control con realimentación unitaria con la siguiente función de
transferencia en lazo abierto G(s):
Este sistema contiene el término s
N
en el denominador, que representa un polo de multiplicidad N en el origen.
El esquema de clasificación se basa en la cantidad de integraciones (términos s1 ) indicadas por la función de
transferencia en lazo abierto. Un sistema se denomina de tipo 0, si N = 0, de tipo 1, si N = 1, de tipo 2, si N =
2,…etc.
Ejemplo:
Sistema tipo 0 Sistema tipo 1 Sistema tipo 2
1
1
+s ( )1
1
+ss ( )1
1
2
+ss

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Diga a que tipo de sistema corresponde cada función de transferencia.
( ) ( ) ( )
( )( )32
15
++
+
=
sss
s
sHsG _________
( ) ( )
( )( )31
2
++
=
ss
sHsG _________
( ) ( )
164
2
2
++
=
ss
sHsG _________
( ) ( ) 2
2
s
sHsG = _________
( ) ( ) ( )
sss
s
sHsG
164
37
23
++
+
= _________
Error en estado estacionario
El error en un sistema de control es la diferencia entre el valor deseado r(t) y el valor actual c(t), de la variable
controlada.
El error en estado estacionario es aquel error que permanece después de que ha desaparecido el transitorio.
1.
2. )()()(
)()()()(
SGSESC
SCSHSRSE
=
−=
Sustituyendo 2 en 1
)(1
)(
)(
)()()](1[
)()()()(
)()()()()(
SGH
SR
SE
SRSESGH
SRSESGHSE
SESGSHSRSE
+
=
=+
=+
−=
Puede observarse de que el error depende:
De la entrada: R(S)
De las características del sistema de lazo abierto GH(S)
Para el siguiente sistema de control, la función de transferencia de lazo cerrado es
( )
( )
( )
( ) ( )sHsG
sG
sR
sC
+
=
1
( )
( ) ( ) ( )sHsGsR
sE
+
=
1
1
( ) ( )
( ) ( )sHsG
sR
sE
+
=
1
El error en estado estacionario es
( ) ( ) ( )
( ) ( )sHsG
ssR
ssEtee
sst
ss
+
===
→→∞→ 1
limlimlim
00

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Error en estado estable para una entrada escalón de magnitud 1R , ( ) sRsR 1=
( ) ( ) ( ) ( )sHsG
R
s
R
sHsG
s
e
s
s
ss
0
11
0 lim11
lim
→
→ +
=
+
=
La constante estática de error de posición pK se define como
( ) ( )sHsGK
s
p
0
lim
→
=
p
ss
K
R
e
+
=
1
1
unidadessinpK
Error en estado estable para una entrada rampa de magnitud 2R , ( ) 2
2 sRsR =
( ) ( ) ( ) ( )sHssG
R
s
R
sHsG
s
e
s
s
ss
0
2
2
2
0 lim1
lim
→
→
=
+
=
La constante estática de error de velocidad vK se define como
( ) ( )sHssGK
s
v
0
lim
→
=
v
ss
K
R
e 2
=
111 −
=== seg
segtiempo
Kv
Error en estado estable para una entrada parábola de magnitud 3R , ( ) 3
3 sRsR =
( ) ( ) ( ) ( )sHsGs
R
s
R
sHsG
s
e
s
s
ss 2
0
3
3
3
0 lim1
lim
→
→
=
+
=
La constante estática de error de aceleración aK se define como
( ) ( )sHsGsK
s
a
2
0
lim
→
=
a
ss
K
R
e 3
=
2
22
11 −
=== seg
segtiempo
Ka

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Coeficiente estático de error de posición ( ) ( )sHsGK
s
p
0
lim
→
=
Sistemas tipo 0
( )( ) ( )
( )( ) ( ) K
sTsTsT
sTsTsTK
K
p
mba
s
p =








+++
+++
=
→ 111
111
lim
210 L
L
(finito)
K
R
K
R
e
p
ss
+
=
+
=
11
11
Sistemas tipo 1
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ∞=








+++
+++
=
→ 111
111
lim
210 sTsTsTs
sTsTsTK
K
p
mba
s
p
L
L 0
1
1
=
+
=
p
ss
K
R
e
Sistemas tipo 2
( )( ) ( )
( )( ) ( )
∞=








+++
+++
=
→ 111
111
lim
21
20 sTsTsTs
sTsTsTK
K
p
mba
s
p
L
L 0
1
1
=
+
=
p
ss
K
R
e
Coeficiente estático de error de velocidad ( ) ( )sHssGK
s
v
0
lim
→
=
Sistemas tipo 0
( )( ) ( )
( )( ) ( ) 0
111
111
lim
210
=








+++
+++
=
→ sTsTsT
sTsTsTK
sK
p
mba
s
v
L
L
∞==
v
ss
K
R
e 2
Sistemas tipo 1
( )( ) ( )
( )( ) ( ) K
sTsTsTs
sTsTsTK
sK
p
mba
s
v =








+++
+++
=
→ 111
111
lim
210 L
L
(finito) K
R
K
R
e
v
ss
22
== (finito)
Sistemas tipo 2
( )( ) ( )
( )( ) ( )
∞=








+++
+++
=
→ 111
111
lim
21
20 sTsTsTs
sTsTsTK
sK
p
mba
s
v
L
L 02
==
v
ss
K
R
e
Coeficiente estático de error de aceleración ( ) ( )sHsGsK
s
a
2
0
lim
→
=
Sistemas tipo 0
( )( ) ( )
( )( ) ( ) 0
111
111
lim
21
2
0
=








+++
+++
=
→ sTsTsT
sTsTsTK
sK
p
mba
s
a
L
L
∞==
a
ss
K
R
e 3
Sistemas tipo 1
( )( ) ( )
( )( ) ( ) 0
111
111
lim
21
2
0
=








+++
+++
=
→ sTsTsTs
sTsTsTK
sK
p
mba
s
a
L
L ∞==
a
ss
K
R
e 3
Sistemas tipo 2
( )( ) ( )
( )( ) ( )
K
sTsTsTs
sTsTsTK
sK
p
mba
s
a =








+++
+++
=
→ 111
111
lim
21
2
2
0 L
L
(finito) K
R
K
R
e
a
ss
33
== (finito)
Tipo de
sistema
Coeficientes estáticos de error Error de estado estable
pK vK aK
Entrada escalón
p
ss
K
R
e
+
=
1
1
Entrada Rampa
v
ss
K
R
e 2
=
Entrada Parabólica
a
ss
K
R
e 3
=
0
Valor
finito
0 0 Valor finito ∞ ∞
1 ∞
Valor
finito
0 0 Valor finito ∞
2 ∞ ∞
Valor
finito
0 0 Valor finito

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Ejemplo
Determine el sse para una entrada escalón de magnitud 10, para el siguiente sistema de control
a)
( )
( )( )21
1
++
=
ss
sG sistema tipo 0
( )
s
sR
10
=
( ) ( )
( )( )
5.0
2
1
21
1
limlim
00
==
++
==
→→ ss
sHsGK
ss
p
%67.66667.6
5.01
10
1
1
⇒=
+
=
+
=
p
ss
K
R
e
b) Si aumentamos la ganancia en un factor de 10,
determinar el sse
( )
( )( )21
10
++
=
ss
sG sistema tipo 0
( )
s
sR
10
=
( ) ( )
( )( )
5
2
10
21
10
limlim
00
==
++
==
→→ ss
sHsGK
ss
p
%67.16667.1
51
10
1
1
⇒=
+
=
+
=
p
ss
K
R
e
c) Si ahora deseamos un %5=sse , esto es para una
entrada de magnitud 10 el 5.0=sse , determinar la
ganancia K necesaria para obtenerlo.
( )
( )( )21 ++
=
ss
K
sG sistema tipo 0
( )
s
sR
10
=
1
1
05.0
1
R
K
R
e
p
ss =
+
= 191
05.
1
=−=pK
( ) ( )
( )( ) 221
limlim
00
K
ss
K
sHsGK
ss
p =
++
==
→→
19
2
==
K
Kp 38=K

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7
El transitorio para las funciones anteriores
a)
)2)(1(
1
)()(
++
=
ss
sHsG
33
1
)2)(1(
1
1
)2)(1(
1
)(
)(
2
++
=
++
+
++
=
ss
ss
ss
sR
sC
333.0
3
1
%43.13
804.032
2
==
==
==
G
MPn
n
ω
ζζω
b)
)2)(1(
10
)()(
++
=
ss
sHsG
123
10
)2)(1(
10
1
)2)(1(
10
)(
)(
2
++
=
++
+
++
=
ss
ss
ss
sR
sC
833.0
12
10
%11.2212
433.032
2
==
==
==
G
MPn
n
ω
ζζω
c)
)2)(1(
)()(
++
=
ss
K
sHsG
403
38
)2)(1(
38
1
)2)(1(
38
)(
)(
2
++
=
++
+
++
=
ss
ss
ss
sR
sC
95.0
40
38
%47.4640
237.032
2
==
==
==
G
MPn
n
ω
ζζω

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Ejemplo 2
Para el sistema de la figura, determine los valores de la ganancia K y la constante de realimentación de velocidad hK para
que el sobrepaso máximo en la respuesta al escalón unitario sea 0.2 y el error en estado estable sea del 2%. Con estos
valores de K y hK , obtenga el tiempo de levantamiento y el tiempo de asentamiento. Suponga que mKgJ −=1 y que
segradmNB //1 −= .
Función de transferencia de lazo cerrado
( )
( ) ( )
J
K
s
J
KKB
s
J
K
KsKKBJs
K
sR
sC
h
h
+




 +
+
=
+++
=
2
2
Estado estable
Función de transferencia de lazo abierto
( ) ( ) ( )
( )BsJs
sKK
sHsG h
+
+
=
1
Sistema tipo 1
Como el sistema es del tipo 1 existe un error de estado estable finito para entrada rampa ( ) 2
2
s
R
sR =
Para un error de estado estable del 2% se necesita una vK de
2
2
02.0 R
K
R
e
v
ss == 50
02.
1
==vK
Para que el sistema cumpla con el %2=sse necesita una ganancia de
( ) ( ) ( )
( )
K
ss
sKK
ssHsGsK h
ss
v =
+
+
==
→→ 1
1
limlim
00
50=K
Como se observa, el error en estado estable solo es afectado por la ganancia K del sistema.
Transitorio
Para calcular hK se toma la función de transferencia de lazo cerrado
Comparándola con la forma general del sistema de segundo orden, nos queda
J
K
y
J
KKB
n
h
n =
+
= 2
2 ωζω la ganancia del sistema es 1=G
( ) ( )
( )
1
1
lim 20
=
+++
==∞
→ sKsKKBJs
K
scc
h
s
Como el sistema se estabiliza en la unidad y el máximo sobrepaso es 0.2 esto corresponde al ( )%20% =pM
%20100%
2
1
==




 −− ζπζ
eM p
( )[ ]
456.0
1
2.0ln
1
1
100
%
ln
1
2
2
2
2
=
+
=
+












=
ππ
ζ
pM

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9
como
J
K
n =2
ω entonces 071.750 === Knω
( ) 293.6456.1071.71
22
=−=−= ζωω nd
como
J
KKB h
n
+
=ζω2
( )( )( ) ( ) 109.0
50
11071.7456.022
=
−
=
−
=
K
BJ
K n
h
ζω
El tiempo de levantamiento rt
( ) ( )
rad097.1
456.0coscos 11
=
== −−
ζβ
segt
nd
r 325.0
1
097.1
2
=
−
−
=
−
=
ζω
π
ω
βπ
Tiempo de asentamiento st
( )( )
segt
n
s 24.1
071.7456.0
44
===
ζω
Tiempo de pico pt
segt
nd
p 5.0
1 2
=
−
==
ζω
π
ω
π
Gráfica de respuesta ( )tc
El número de picos sería 248.2
5.0
24.1
cos ≈===
p
s
pi
t
t
N ( ) 11 ==∞ GRc
Respuesta del sistema para una entrada escalón unitario.
Los valores de la respuesta ( )tc son
( )( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )( ) 96.0111)2()2(
2.1111)1()(
224.32
612.1
=−=∞−==
=+=∞+==
−−
−−
ecectc
ecectc
pn
pn
t
p
t
p
ζω
ζω
Respuesta del sistema para una entrada rampa unitaria.

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10
Sistemas tipo 0
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )111
111
21 +++
+++
=
sTsTsT
sTsTsTK
sHsG
p
mba
L
L
( ) ( ) ( )
( )finito
K
R
K
R
e
finitoKsHsGK
p
ss
s
p
+
=
+
=
==
→
11
lim
11
0
( ) ( )
∞==
==
→
v
ss
s
v
K
R
e
sHssGK
2
0
0lim ( ) ( )
∞==
==
→
a
ss
s
a
K
R
e
sHsGsK
3
2
0
0lim
Sistemas tipo 1
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )111
111
21 +++
+++
=
sTsTsTs
sTsTsTK
sHsG
p
mba
L
L
( ) ( )
0
1
lim
1
0
=
+
=
∞==
→
p
ss
s
p
K
R
e
sHsGK ( ) ( ) ( )
( )finito
K
R
K
R
e
finitoKsHssGK
v
ss
s
v
22
0
lim
==
==
→
( ) ( )
∞==
==
→
a
ss
s
a
K
R
e
sHsGsK
3
2
0
0lim
Sistemas tipo 2
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )111
111
21
2
+++
+++
=
sTsTsTs
sTsTsTK
sHsG
p
mba
L
L
( ) ( )
0
1
lim
1
0
=
+
=
∞==
→
p
ss
s
p
K
R
e
sHsGK ( ) ( )
0
lim
2
0
==
∞==
→
v
ss
s
v
K
R
e
sHssGK ( ) ( ) ( )
( )finito
K
R
K
R
e
finitoKsHsGsK
a
ss
s
a
33
2
0
lim
==
==
→
Tipo de
sistema pK vK aK
Error de estado estable
Entrada escalón
p
ss
K
R
e
+
=
1
1
Entrada Rampa
v
ss
K
R
e 2
=
Entrada Parabólica
a
ss
K
R
e 3
=
0
Valor
finito
0 0 Valor finito ∞ ∞
1 ∞
Valor
finito
0 0 Valor finito ∞
2 ∞ ∞
Valor
finito
0 0 Valor finito

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11
Tipo de sistema pK sse
0 finito
pK
R
+1
1
1 ∞ 0
2 ∞ 0
Tipo de sistema vK sse
0 0 ∞
1 finito
vK
R2
2 ∞ 0
Tipo de sistema aK sse
0 0 ∞
1 0 ∞
2 finito
aK
R3