PRESENTACIÓN DESIGUALDADES

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto, Edo. Lara
Números Reales
Estudiante: Néstor Peña
C.I: 30447712
Sección: DE0402
Curso: Matemática Trayecto Inicial
Desigualdades Valor absoluto

2. CONJUNTOS
En matemáticas llamamos conjuntos a la colección o
agrupación de elementos siempre y cuando exista una
condición para que tales elementos pertenezcan a los
conjuntos, los elementos del conjunto también se les
denomina objetos del conjunto.
No fue hasta el siglo XIX comenzó a aplicarse el concepto de
conjunto como un objeto abstracto donde sus elementos se
conformaban por ejemplo con números, otros conjuntos,
agrupaciones de signos matemáticos, etc.
Los elementos de estos conjuntos tiene algo en común, los
elementos del conjunto A son aves y del conjunto C
son marcas de smartphone. Esto indica que cada conjunto
tiene una propiedad específica que caracteriza a cada
elemento y agruparlos convenientemente como el conjunto P
donde indica que los números agrupados deben ser primos.
NOCIÓN DE CONJUNTO
Por lo general los conjuntos son representados o simbolizan
por letras mayúsculas como:
y sus elementos se representan con letras minúsculas para
generalizar una variable que representen a los elementos de
manera individual con la propiedad que lo caracteriza así:

3. OPERACIONES CON CONJUNTOS
‒ Unión o reunión de conjuntos: Es la operación que nos permite
unir dos o más conjuntos para formar otro conjunto que
contendrá a todos los elementos que queremos unir pero sin que
se repitan. Es decir dado un conjunto A y un conjunto B, la unión
de los conjuntos A y B será otro conjunto formado por todos los
elementos de A, con todos los elementos de B sin repetir ningún
elemento. El símbolo que se usa para indicar la operación de
unión es el siguiente: ∪. Cuando usamos diagramas de Venn, para
representar la unió de conjuntos, se sombrean los conjuntos que
se unen o se forma uno nuevo. Luego se escribe por fuera la
operación de unión.
Ejemplo: Dados dos
conjuntos
A={1,2,3,4,5,6,7,} y
B={8,9,10,11} la unión de
estos conjuntos será
A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,
11}. Usando diagramas de
Venn se tendría lo
siguiente:
‒ Diferencia de conjuntos: Es la operación que nos permite formar un
conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto resultante es el que
tendrá todos los elementos que pertenecen al primero pero no al
segundo. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia de los
conjuntos entra A y B, estará formado por todos los elementos de A que
no pertenezcan a B. El símbolo que se usa para esta operación es el
mismo que se usa para la resta o sustracción, que es el siguiente: -.
Ejemplo: Dados dos
conjuntos A={1,2,3,4,5} y
B={4,5,6,7,8,9} la
diferencia de estos
conjuntos será A-
B={1,2,3}. Usando
diagramas de Venn se
tendría lo siguiente:

4. ‒ Diferencia de simétrica de conjuntos: Es la operación que nos
permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el
conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que no
sean comunes a ambos conjuntos. Es decir dados dos conjuntos
A y B, la diferencia simétrica estará formado por todos los
elementos no comunes a los conjuntos A y B. El símbolo que se
usa para indicar la operación de diferencia simétrica es el
siguiente: △.
Ejemplo: Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la
diferencia simétrica de estos conjuntos será A △
B={1,2,3,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se tendría lo
siguiente:
‒ Complemento de un conjunto: Es la operación que nos permite
formar un conjunto con todos los elementos del conjunto de
referencia o universal, que no están en el conjunto. Es decir dado un
conjunto A que esta incluido en el conjunto universal U, entonces el
conjunto complemento de A es el conjunto formado por todos los
elementos del conjunto universal pero sin considerar a los
elementos que pertenezcan al conjunto A. En esta operación el
complemento de un conjunto se denota con un apostrofe sobre el
conjunto que se opera, algo como esto A' en donde el conjunto A es
el conjunto del cual se hace la operación de complemento.
Ejemplo: Dado el conjunto Universal U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y el
conjunto A={1,2,9}, el conjunto A' estará formado por los siguientes
elementos A'={3,4,5,6,7,8}. Usando diagramas de Venn se tendría lo
siguiente:

5. NÚMEROS REALES
Los números Reales, se denotan con la letra (R) y se definen como el conjunto de números que agrupa o incluye los números
naturales (N), enteros (Z), racionales (Q) e irracionales (I).
También se puede decir, que cualquier número racional o irracional es un número real, R = Q ∪ I.
Por esta razón, se dice que todos los números pertenecen al conjunto R, excluyendo los números complejos. Tampoco son números
reales:
El conjunto de los números reales tiene varias
características, se dice con infinitos R ∈ (-∞,+∞).
Siguen un orden y se pueden representar en la recta
real. Por último, pueden ser expresados como un
número decimal.

6. Propiedades de los números reales
El conjunto de los números reales (R), también
satisface a diferentes propiedades de la matemática y
se encuentran:
*Propiedad de cierre o cerradura: dice que la suma o
multiplicación de dos números reales, siempre da
como resultado un número real. Entonces para la
suma, si a + b = c, c ∈ R. Ejemplo: 12 + 7 = 19, donde
19 pertenece a los números reales. Para la
multiplicación, si a * b = c, c ∈ R. Ejemplo: 3 * 8 = 24,
entonces 24 es también un número real.
*Propiedad conmutativa: el resultado de una suma o
multiplicación es siempre igual, sin importar el orden
en que se encuentren los números. Para la suma a + b
= b + a, por tanto en la multiplicación a * b = b * a.
*Propiedad asociativa: la manera como se agrupen los
números en una suma o multiplicación, no altera el
resultado obtenido. Por tanto, en la suma (a + b) + c = a +
(b + c) y para la multiplicación: (a * b) * c = a * (b * c).
*Propiedad distributiva: refiere que la multiplicación de
un número por una suma o resta, es igual a la suma o
diferencia de sus productos. Donde a(b ± c) = (a * b) ± (a
* c).
*Propiedad modulativa o elemento neutro: en el caso
de la suma, a cualquier número que se le sume 0, el
resultado es igual al mismo número (a + 0 = a). En
cambio, para la multiplicación cualquier número que se
multiplique por 1, da como resultado el mismo número
(a * 1 = a).

7. DESIGUALDADES
Se utilizan para expresar el tipo de relación que existe entre dos
expresiones algebraicas que contienen valores distintos.
En ese sentido, una desigualdad matemática denota la relación
de orden que existe entre los dos valores a través de una serie de
signos que indican el mayor, menor, mayor igual o menor igual.
Dependiendo del tipo de desigualdad matemática que se
manifieste, se tendrá que llevar a cabo una operación
matemática diferente.
Signos de desigualdad matemática
Para poder entender mejor cómo es que se es que se expresan los
diferentes tipos de relación que hay entre las variables, a continuación
te indicaremos cuáles son los signos de las desigualdades matemáticas:
a ≠ b : indica que a no es igual a b
a < b : indica que a es menor que b
a > b : indica que a es mayor que b
a ≤ b : indica que a es menor o igual que b
a ≥ b : indica que a es mayor o igual que b
Ejemplo 1: 6x-10>3x+5
Paso 1: Trasladar los términos semejantes hacia lados diferentes.
6x-3x > 5+10
Paso 2: Despejar x.
3x > 15
x > 15/3
x > 5
El conjunto solución es: {5; ∞}
La representación gráfica sería:

8. ¿Las inecuaciones y desigualdades matemáticas son lo mismo?
Si bien estos conceptos a veces suelen ser confundidos o se utilizan para expresar una misma
proposición, la realidad es que hay una clara diferencia entre desigualdad matemática e inecuación.
Por un lado, las inecuaciones suelen expresar una desigualdad cuyo resultado puede ser incongruente
o, simplemente, no tener solución alguna. En el caso de una desigualdad matemática, esta puede no
tener incógnita.
Por ejemplo, en la siguiente expresión: 4 < 7, podemos decir que es un ejemplo de desigualdad
matemática pero no de una inecuación, ya que no existe ningún valor desconocido.
En ese sentido, podemos afirmar que una inecuación puede ser una desigualdad, más una
desigualdad matemática no tiene que ser necesariamente una inecuación. Por lo tanto, afirmar que
ambos conceptos son lo mismo es un error.

9. VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un número real es la
magnitud de este, independientemente
del signo que le preceda, en otras
palabras, es el valor que resulta de
eliminar el signo correspondiente a este.
Para verlo en términos más formales,
tenemos las siguientes condiciones que
deben cumplirse, donde el x entre dos
barras significa que estamos hallando el
valor absoluto de x:
Es decir, el valor absoluto de un número positivo
es este mismo número. En cambio, el valor
absoluto de un número negativo es igual a este
número, pero con un signo negativo delante. Es
decir, multiplicado por -1.
Asimismo, el valor absoluto de -10 es -(-10)=10.
Así, debemos destacar que el valor absoluto
siempre es positivo.

10. Propiedades del valor absoluto
1) Los números opuestos tienen igual valor absoluto.
|a| = |−a|
|5| = |−5| = 5
2) El valor absoluto de un producto es igual al producto
de los valores absolutos de los factores.
|a · b| = |a| ·|b|
|5 · (−2)| = |5| · |(−2)| |− 10| = |5| · |2| 10 = 10
3) El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos de los sumandos.
|a + b| ≤ |a| + |b| .
|5 + (−2)| ≤ |5| + |(−2)| |3| ≤ |5| + |2| 3 ≤ 7

11. Función valor absoluto
Una función de valor absoluto es una función que contiene una expresión algebraica dentro de los símbolos de valor
absoluto. Recuerde que el valor absoluto de un número es su distancia desde 0 en la recta numérica .
La función padre de valor
absoluto, escrita como
f ( x ) = | x |, está definida
como:
Para graficar una función de valor
absoluto, escoja diferentes valores de
x y encuentre algunas parejas
ordenadas .
Grafique los puntos en
una plano coordenado
y unálos:
Observe que la gráfica es de la forma V.
(1) El vértice de la gráfica es (0, 0).
(2) El eje de simetria ( x = 0 o eje de las y ) es la recta que divide la
gráfica en dos mitades congruentes.
(3) El dominio es el conjunto de todos los números reales.
4) El rango es el conjunto de todos los números reales mayores que o
iguales a 0. .
(5) La intercepción en x y la intercepción en y ambas son 0.

12. DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO
Una desigualdad con valor absoluto es una expresión con la función valor absoluto, así como también con los
signos de valor absoluto. Por ejemplo, la expresión
∣x+5∣>2 es una desigualdad con valor absoluto que contiene un signo “mayor que”.
Tenemos cuatro símbolos de desigualdades diferentes: mayor que (>), menor que(<), mayor o igual que (≥) y
menor o igual que (≤).
Ejemplo: Resuelve la desigualdad
Paso 1: Despeja el valor
absoluto:
Paso 3: Forma una desigualdad compuesta: El signo de
desigualdad en este problema es un signo menor que,
por lo que formamos una desigualdad de tres partes:
Paso 2: ¿Es el número
en el otro lado
negativo? No, es un
número positivo, 15.
Nos movemos al paso
3.
Paso 4: Resuelve la desigualdad:

13. BIBLIOGRAFÍA
• https://ciencias-basicas.com/matematica/superior/teoria-de-
conjuntos/conjuntos/?fbclid=IwAR08DxSxourNwRJ5w6GfqRxBesrvfPySyt9ZwEUbYWob0ElbLNVBocQnVC0
• https://www.conoce3000.com/html/espaniol/Libros/Matematica01/Cap10-03-
OperacionesConjuntos.php?fbclid=IwAR3L1RIavUFdZpweIEDft1sHGNSF4Axav3P2vZRFQNBdYb_AZKp4o7YcFBA
• https://enciclopediadematematica.com/numeros-reales/?fbclid=IwAR2GKCiTJyp6LW44v7CanSTgvSrhOU_366Wr-
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• https://www.crehana.com/blog/negocios/desigualdades-
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• https://economipedia.com/definiciones/valor-
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• https://www.superprof.es/diccionario/matematicas/aritmetica/valor-
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• https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/absolute-value-
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• https://www.neurochispas.com/wiki/resolver-desigualdades-con-valor-
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