Números Reales y Plano numérico

1. Numeros
Reales

2. Conjuntos
Un conjunto o colección lo forman unos elementos de la misma naturaleza, es decir, elementos diferenciados entre sí
pero que poseen en común ciertas propiedades o características, y que pueden tener entre ellos, o con los elementos de
otros conjuntos, ciertas relaciones.
Un conjunto puede tener un número finito o infinito de elementos, en matemáticas es común denotar a los elementos
mediante letras minúsculas y a los conjuntos por letras mayúsculas, así, por ejemplo:
C = {a, b, c, d, e, f, g, h}
En ocasiones un conjunto viene expresado por la propiedad (o propiedades) que cumplen sus elementos, por ejemplo:
Es el conjunto de los números reales comprendidos entre el 1 y el 2 (incluidos ambos).
Dos conjuntos A y B son iguales, expresado A = B, solamente cuando constan de los mismos elementos.
Operaciones con conjuntos
Las operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra de conjuntos, nos permiten realizar operaciones sobre
los conjuntos para obtener otro conjunto. De las operaciones con conjuntos veremos las siguientes unión, intersección,
diferencia, diferencia simétrica y complemento.

3. Unión de conjuntos
Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para formar
otro conjunto que contendrá a todos los elementos que queremos
unir, pero sin que se repitan. Es decir, dado un conjunto A y un
conjunto B, la unión de los conjuntos A y B será otro conjunto formado
por todos los elementos de A, con todos los elementos de B sin repetir
ningún elemento. El símbolo que se usa para indicar la operación de
unión es el siguiente: ∪. Cuando usamos diagramas de Venn, para
representar la unió de conjuntos, se sombrean los conjuntos que se
unen o se forma uno nuevo. Luego se escribe por fuera la operación de
unión.
Ejemplo 1.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y
B={8,9,10,11} la unión de estos conjuntos será
A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Usando
diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Ejemplo 2.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y
B={4,5,6,7,8,9} la unión de estos conjuntos será
A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Usando diagramas de
Venn se tendría lo siguiente:

4. Además de las características particulares de cada
conjunto que compone el superconjunto de los
números reales, mencionamos las siguientes
características.
Orden
Todos los números reales tienen un orden:
En el caso de las fracciones y decimales:
Números Reales
Características
En otras palabras, cualquier número real está
comprendido entre menos infinito y más infinito
y podemos representarlo en la recta real.
Los números reales son todos los números que
encontramos más frecuentemente dado que los
números complejos no se encuentran de manera
accidental, sino que tienen que buscarse
expresamente.
Los números reales se representan mediante la
letra R ↓

5. Desigualdades
Signos de desigualdad
La desigualdad matemática es aquella proposición que
relaciona dos expresiones algebraicas cuyos valores son
distintos. Se trata de una proposición de relación entre dos
elementos diferentes, ya sea por desigualdad mayor, menor,
mayor o igual, o bien menor o igual. Cada una de las distintas
tipologías de desigualdad debe ser expresada con diferente
signo (> o <, etcétera) y tendrá una reacción a operaciones
matemáticas diferente según su naturaleza.
Por lo tanto, si queremos explicar cuál es la finalidad de este
concepto con el menor número de palabras posibles diremos
que; el objetivo de la desigualdad matemática es mostrar
que dos sujetos matemáticos expresan valores diferentes.
Podemos sintetizar los signos de
expresión de todas las desigualdades
matemáticas posibles en los cinco
siguientes:
Desigual a: ≠
Menor que: <
Menor o igual que: ≤
Mayor que: >
Mayor o igual que: ≥

6. Valor absoluto
El valor absoluto es un concepto que está presente en
diversos contextos de la Física y las Matemáticas, por
ejemplo, en las nociones de magnitud, distancia, y norma.
El valor absoluto o módulo de un número real cualquiera es
el mismo número, pero con signo positivo. En otras
palabras, es el valor numérico sin tener en cuenta su signo,
ya sea positivo o negativo. Por ejemplo, el valor absoluto
del número −4−4 se representa como |−4||−4| y equivale a
44, y el valor absoluto de 44 se representa como |4||4|, lo
cual también equivale a 44.
En la recta numérica se representa como valor absoluto a
la distancia que existe de un punto al origen. Por ejemplo,
si se recorren 4 unidades del cero hacia la izquierda o hacia
la derecha, llegamos a −4−4 o a 44, respectivamente; el
valor absoluto de cualquiera de dichos valores es 44.
Formalmente, el valor absoluto de todo número
real está definido por:
|a|={a,−a,sisia≥0a<0|a|={a,sia≥0−a,sia<0
Como podemos notar, el valor absoluto de un
número real es siempre mayor que o igual a cero y
nunca es negativo. Además, el valor absoluto no
sólo describe la distancia de un punto al origen; de
manera general, el valor absoluto puede indicar la
distancia entre dos puntos cualesquiera de la
recta numérica. De hecho, el concepto de función
distancia o métrica en Matemáticas surge de la
generalización del valor absoluto de la diferencia.

7. Desigualdades de valor absoluto
Desigualdades con un solo valor absoluto y la variable
sólo en el argumento del valor absoluto
Ejemplos
| 3x+2 | >5
| 5x-4 | ≤ 7
Estas desigualdades o inecuaciones son resueltas de
manera muy sencilla al aplicar las siguientes
propiedades del valor absoluto. Ellas las recordamos
de la interpretación geométrica del valor absoluto.
Se tiene una proposición similar para
desigualdades con valor absoluto no estrictas, ≤
y ≥ .
Así que, para resolver una desigualdad con
valor absoluto del lado izquierdo y una
constante positiva en el otro miembro, solo hay
que identificar con alguna de las dos formas,
aplicar la equivalencia, resolver las
desigualdades de la equivalencia para pasar a
determinar el conjunto solución de la
desigualdad en base a la condición de la
equivalencia. Veamos algunos ejemplos.

8. Fuentes del tema:
- https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/aritmetica/reales/los-numeros-reales.html
- http://www.ciencias.ula.ve/matematica/publicaciones/libros/por_profesor/carlos_uzca/RealesInfinito_marzo
2011.pdf
Bibliografía