1. Conjuntos
Estudiante
Mariangel Torrellas
CI: 30554220

2. En matemáticas llamamos conjuntos a la colección o agrupación de elementos siempre y
cuando exista una condición para que tales elementos pertenezcan a los conjuntos, los
elementos del conjunto también se les denomina objetos del conjunto. Los conjuntos también
son otro tipo de objeto pero de otra categoría, esto lo veremos en un capitulo mas avanzado
de conjuntos.
Ejemplos de Conjuntos:
-Conjunto de los días de la semana: A = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}
-Conjunto de los planetas: B = {Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Neptuno, Plutón}
-Conjunto de los números de un dado: C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
-Conjunto de los números naturales: N = {1, 2, 3, 4, 5...}

3. Las operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra de conjuntos, nos permiten
realizar operaciones sobre los conjuntos para obtener otro conjunto. De las operaciones con
conjuntos veremos las siguientes unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y
complemento.
Ejemplo 1.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} la unión de estos conjuntos será
A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

4. Es la operación que nos permite formar un conjunto, sólo con los elementos comunes
involucrados en la operación. Es decir dados dos conjuntos A y B, la de intersección de los
conjuntos A y B, estará formado por los elementos de A y los elementos de B que sean comunes,
los elementos no comunes A y B, será excluidos. El símbolo que se usa para indicar la operación
de intersección es el siguiente: ∩.
Ejemplo 1.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la intersección de estos conjuntos
será A∩B={4,5}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

5. Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto resultante
es el que tendrá todos los elementos que pertenecen al primero pero no al segundo. Es decir dados
dos conjuntos A y B, la diferencia de los conjuntos entra A y B, estará formado por todos los
elementos de A que no pertenezcan a B. El símbolo que se usa para esta operación es el mismo que
se usa para la resta o sustracción, que es el siguiente: -.
Ejemplo 1.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos conjuntos
será A-B={1,2,3}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

6. Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto
resultante es el que tendrá todos los elementos que no sean comunes a ambos conjuntos. Es decir
dados dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica estará formado por todos los elementos no
comunes a los conjuntos A y B. El símbolo que se usa para indicar la operación de diferencia
simétrica es el siguiente: △.
Ejemplo 1.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia simétrica de estos
conjuntos será A △ B={1,2,3,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

7. Cuando se definen los números reales se dice que son cualquier número que se encuentre o
corresponda con la recta real que incluye a los números racionales y números irracionales, Por lo
tanto, el dominio de los números reales se encuentra entre menos infinito y más infinito.
Las principales características de los
números reales son:
Orden. Todos los números reales siguen un orden, por ejemplo 1, 2, 3, 4 …
Integral. La integridad de los números reales marca que no hay espacios vacíos, es decir,
cada conjunto que dispone de un límite superior tiene un límite más pequeño.
Infinitos. Los números reales no tienen final, ni por el lado positivo ni por el lado negativo.
Por eso su dominio está entre menos infinito y más infinito.
Decimal. Los números reales pueden ser expresados como una expansión decimal
infinita.

8. La clasificación de los números reales incluye los
siguientes números.
Números naturales. Son los
números iguales o mayores que
uno no decimales. El conjunto
de los números naturales no
tiene en cuenta el cero.
Números enteros. Son los
números positivos y negativos no
decimales, incluyendo el cero.
Es decir, los números naturales
incluyendo los números
negativos y el cero.
Números racionales. Los que se
pueden representar como el
cociente de dos enteros con
denominador diferente a cero.
Son las fracciones que pueden
crearse utilizando números
naturales y enteros.
Números irracionales. Aquellos que no
pueden ser expresados como una fracción
de números enteros con denominador
distinto a cero. Se trata de números
decimales que no pueden expresarse ni de
manera exacta, ni de manera periódica,
siendo el número pi un ejemplo de este tipo
de números.

9. Propiedad conmutativa de la
suma: el orden de los sumandos no
altera el producto. Ejemplo:
a+b=b+a
2+3=3+2=5
Propiedad asociativa de la
suma: dados tres o más sumandos,
se pueden agrupar de cualquier forma
sin que se altere el resultado. Ejemplo:
a+b+c=a+b+c=a+(b+c)
2+3-6=2+3-6=2+3-6=-1
Propiedad conmutativa de la
multiplicación: el orden de los
factores no altera el producto.
Ejemplo:
a*b=b*a
2*3=3*2=6

10. Propiedad asociativa de la
multiplicación: dados tres o
más factores, se pueden agrupar
de cualquier forma sin que se
altere el resultado. Ejemplo:
a*b*c=a*b*c=a*(b*c)
2*3*6=2*3*6=2*3*6=36
Propiedad distributiva: es
una propiedad derivada de la
suma y la multiplicación. Dados
tres números a, b y c el producto
de a por la suma b con c es igual
a la suma de los productos ab y
ac. Ejemplo:
a*(b+c)=a*b+a*c
2*(3+6)=2*3+2*6=18

11. El valor absoluto de un número real es la magnitud de este, independientemente del signo que le
preceda.
Para verlo en términos más formales, tenemos las siguientes condiciones que deben cumplirse,
donde el x entre dos barras significa que estamos hallando el valor absoluto de x:
|
x|=x si x≥ 0
|x|=-x si x<0
Es decir, el valor absoluto de un número positivo es este mismo número. En cambio, el valor
absoluto de un número negativo es igual a este número, pero con un signo negativo delante.
Es decir, multiplicado por -1.
Asimismo, el valor absoluto de -10 es -(-10)=10. Así, debemos destacar que el valor absoluto
siempre es positivo.

12. - El valor absoluto de un número y de su opuesto es el mismo. Es decir, el valor de -19 y 19
es el mismo: 19.
- El valor absoluto de una sumatoria es igual, o menor, que la sumatoria de los valores
absolutos de los sumandos. Es decir, se cumple que:
|x+y|≤|x|+|y|
Podemos comprobar lo anterior con algunos ejemplos:
|8+9|≤|8|+|9|
|17|≤8+9
17≤17
Otra propiedad es aquella a la que denominamos propiedad multiplicativa. Esta nos indica
que el valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los
factores. Es decir, se cumple lo siguiente:

13. |xy|=|x|.|y|
Lo anterior podemos comprobarlo en los siguientes ejemplos:
|3×4|=|3|x|4|
|12|=3×4
12=12
|6x-5|=|6|x|-5|
|-30|=6×5
30=30
Como contraparte de la propiedad multiplicativa, tenemos aquella de preservación de
la división, la cual nos indica que el valor absoluto de una división es igual al cociente
de los valores absolutos de los mismos elementos de dicha operación. Esto, siempre
que el divisor no sea cero. Es decir, se cumple que:
|x/y|=|x|/|y|

14. Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor absoluto
con una variable dentro.
Desigualdades de valor absoluto (<):
La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4.
Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera numéros reales a y b , si | a | < b , entonces a < b Y a > - b .

15. Ejemplo 1 :
Resuelva y grafique.
| x – 7| < 3
Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos descomponerla en una desigualdad compuesta .
x – 7 < 3 Y x – 7 > –3
–3 < x – 7 < 3
Sume 7 en cada expresión.
-3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7
4 < x <10
La gráfica se vería así:

16. Desigualdades de valor absoluto (>):
La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es mayor que 4.
Así, x < -4 O x > 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
En otras palabras, para cualesquiera numéros reales a y b , si | a | > b , entonces a > b O a < - b .

17. Ejemplo 2 :
Resuelva y grafique.
Separe en dos desigualdades.
Reste 2 de cada lado en cada desigualdad.
La gráfica se vería así:

18. https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/absolute-value-inequalities
https://unibetas.com/numeros-reales/
https://www.matematicas10.net/2018/03/ejemplos-de-conjuntos.html