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República Bolivariana De Venezuela
Ministerio Del Poder Polar Para La Educación Superior
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto – Estado Lara
Unidad nro.2
Números reales y plano numérico
Estudiante: Luisanny Ocanto.
Cédula de Identidad: 30.591217
Curso: Matemática Básica
Sección: CO0101
Docente: Prof. María Carruido
Marzo, 2021.
Definición de conjunto:
un conjunto es una colección de elementos con características similares
considerada en sí misma como un objeto. Los elementos de un conjunto, pueden
ser las siguientes: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Se dice que
un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está definido como incluido de
algún modo dentro de él.
El conjunto de los números reales se forma al combinar el conjunto de números
racionales y el conjunto de números irracionales. El conjunto de números reales
consiste en todos los números que tienen un lugar en la recta numérica.
Las operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra de conjuntos, nos
permiten realizar operaciones sobre los conjuntos para obtener otro conjunto. De
las operaciones con conjuntos veremos las siguientes unión, intersección,
diferencia, diferencia simétrica y complemento.
Operaciones con conjuntos:
‒ Unión o reunión de conjuntos.
Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para formar otro conjunto
que contendrá a todos los elementos que queremos unir, pero sin que se repitan.
Es decir, dado un conjunto A y un conjunto B, la unión de los conjuntos A y B será
otro conjunto formado por todos los elementos de A, con todos los elementos de B
sin repetir ningún elemento. El símbolo que se usa para indicar la operación de
unión es el siguiente: ∪. Cuando usamos diagramas de Ven, para representar la
unió de conjuntos, se sombrean los conjuntos que se unen o se forma uno nuevo.
Luego se escribe por fuera la operación de unión.
Ejemplo: 1.
Dados dos conjuntos A= {1,2,3,4,5,6,7,} y B= {8,9,10,11} la unión de estos conjuntos
será A∪B= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Usando diagramas de Ven se tendría lo
siguiente:
‒ Intersección de conjuntos.
Es la operación que nos permite formar un conjunto, sólo con los elementos
comunes involucrados en la operación. Es decir, dados dos conjuntos A y B, la de
intersección de los conjuntos A y B, estará formado por los elementos de A y los
elementos de B que sean comunes, los elementos no comunes A y B, será
excluidos. El símbolo que se usa para indicar la operación de intersección es el
siguiente: ∩.
Ejemplo: 1.
Dados dos conjuntos A= {1,2,3,4,5} y B= {4,5,6,7,8,9} la intersección de estos
conjuntos será A∩B={4,5}. Usando diagramas de Ven se tendría lo siguiente:
‒ Diferencia de conjuntos.
Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el
conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que pertenecen al primero,
pero no al segundo. Es decir, dados dos conjuntos A y B, la diferencia de los
conjuntos entra A y B, estará formado por todos los elementos de A que no
pertenezcan a B. El símbolo que se usa para esta operación es el mismo que se
usa para la resta o sustracción, que es el siguiente: -.
Ejemplo: 1.
Dados dos conjuntos A= {1,2,3,4,5} y B= {4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos
conjuntos será A-B= {1,2,3}. Usando diagramas de Ven se tendría lo siguiente:
‒ Diferencia de simétrica de conjuntos.
Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el
conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que no sean comunes a
ambos conjuntos. Es decir, dados dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica estará
formado por todos los elementos no comunes a los conjuntos A y B. El símbolo que
se usa para indicar la operación de diferencia simétrica es el siguiente: △.
Ejemplo:
Dados dos conjuntos A= {1,2,3,4,5} y B= {4,5,6,7,8,9} la diferencia simétrica de
estos conjuntos será A △ B= {1,2,3,6,7,8,9}. Usando diagramas de Ven se tendría
lo siguiente:
‒ Complemento de un conjunto.
Es la operación que nos permite formar un conjunto con todos los elementos del
conjunto de referencia o universal, que no están en el conjunto. Es decir dado un
conjunto A que está incluido en el conjunto universal U, entonces el conjunto
complemento de A es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto
universal pero sin considerar a los elementos que pertenezcan al conjunto A. En
esta operación el complemento de un conjunto se denota con un apostrofe sobre el
conjunto que se opera, algo como esto A' en donde el conjunto A es el conjunto del
cual se hace la operación de complemento.
Ejemplo
Dado el conjunto Universal U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y el conjunto A={1,2,9}, el conjunto
A' estará formado por los siguientes elementos A'={3,4,5,6,7,8}. Usando diagramas
de Ven se tendría lo siguiente:
Números Reales
Los números reales son cualquier número que corresponda a un punto en la recta
real y pueden clasificarse en números naturales, enteros, racionales e irracionales.
En otras palabras, cualquier número real está comprendido entre menos infinito y
más infinito y podemos representarlo en la recta real.
Los números reales son todos los números que encontramos más frecuentemente
dado que los números complejos no se encuentran de manera accidental, sino que
tienen que buscarse expresamente.
Los números reales se representan mediante la letra R
Se puede definir a los números reales como aquellos números que tienen expansión
decimal periódica o tienen expansión decimal no periódica. Por ejemplo:
a)3 es un número real ya que 3 = 3,00000000000….
b) ½ es un número real ya que ½ = 0,5000000000….
c) 1/3 es un número real ya que 1/3 = 0,3333333333333….
d) 2es un número real ya que 2=1,4142135623730950488016887242097….
e)0,1234567891011121314151617181920212223…. Es un número real.
f)1,01001000100001000001000000100000001
g) N también es real
Ejercicio:
Escribir las siguientes expresiones sin exponentes: a) (−4)3. b) −5 3. c) 3 −2. d) (−6)
−1. e) −( 2 5) −3. f) (4 3) −1
Solución a) (−4)3 = [(−4) · (−4)] · (−4) = 16 · (−4) = −64.
b) −5 3 = − [(5 · 5) · 5] = −(25 · 5) = −125.
c) 3 −2 = 1 3 2 = 1 9.
d) (−6) −1 = 1 (−6) = − 1 6.
e) −( 2 5) −3 = −( 5 2) 3 = − 75 8.
f) (4 3) −1 = 3 4
Desigualdades:
En matemáticas, una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos
valores cuando estos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es
una igualdad).
Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como
los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados.
Los enunciados a b y a b, junto con las expresiones a b (a b o a b) y
a b (a b o a b) se conocen como desigualdades. Las primeras se llaman
desigualdades estrictas y las segundas, desigualdades no estrictas o amplias.
En numerosas oportunidades y situaciones cotidianas surge la necesidad de
comparar dos cantidades y establecer una relación entre ellas. Las desigualdades
se comportan muy bien con respecto a la suma, pero se debe tener cuidado en el
caso de la división y la multiplicación.
Ejemplos.
Como 2 < 5 entonces 2 + 4 < 5 + 4, es decir, 6 < 9.
· Como 8 > 3 entonces 8 - 4 > 3 - 4, esto es, 4 > - 1
· Como 7 < 10 entonces 7.3 < 10.3, es decir, 21 < 30
· Como 7 < 10 entonces 7. (- 3) > 10. (- 3), esto es - 21 > - 30
En los diferentes ejemplos se observa que:
· al sumar un mismo número a ambos miembros de una desigualdad, el sentido de
la misma se mantiene
· al restar un mismo número a ambos miembros de una desigualdad, el sentido de
la misma se mantiene
· la multiplicación por un número positivo mantiene el sentido de la desigualdad,
· la multiplicación por un número negativo invierte el sentido de la desigualdad.
Se pueden enunciar algunas propiedades relacionadas con las desigualdades.
Sean a, b y c números reales cualesquiera:
· Si a < b entonces a + c < b + c
· Si a < b y c > 0 entonces a.c < b.c
· Si a < b y c < 0 entonces a.c > b.c Cuando se verifica que a < b y b < c,
decimos que b está comprendido entre a y c. En símbolos a < b < c.
Todas las definiciones y propiedades son también válidas para las
desigualdades >, £ y ³.
Valor absoluto
El valor absoluto es un concepto que está presente en diversos contextos de la
Física y las Matemáticas, por ejemplo, en las nociones de magnitud, distancia,
y norma. En casos más complejos es un concepto muy útil, como en las
definiciones de cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios
vectoriales.
El valor absoluto o módulo de un número real cualquiera es el mismo número,
pero con signo positivo. En otras palabras, es el valor numérico sin tener en
cuenta su signo, ya sea positivo o negativo. Por ejemplo, el valor absoluto del
número −4−4 se representa como |−4||−4| y equivale a 44, y el valor absoluto
de 44 se representa como |4||4|, lo cual también equivale a 44.
En la recta numérica se representa como valor absoluto a la distancia que
existe de un punto al origen. Por ejemplo, si se recorren 4 unidades del cero
hacia la izquierda o hacia la derecha, llegamos a −4−4 o a 44, respectivamente;
el valor absoluto de cualquiera de dichos valores es 44.
valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando
es positivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo.
|5| = 5 |-5 |= 5 |0| = 0
|x| = 2 x = −2 x = 2
|x|< 2 −2 < x < 2 x (−2, 2 )
|x|> 2 x < −2 o x > 2 (−∞, −2 ) (2, +∞)
|x −2 |< 5 − 5 < x − 2 < 5
− 5 + 2 < x < 5 + 2 − 3 < x < 7
Desigualdades con valor absoluto
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor
absoluto con una variable dentro.
Desigualdades de valor absoluto (<):
La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4.
Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b, si | a | < b ,
entonces a < b Y a > - b
Desigualdades de valor absoluto (>):
La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es mayor que 4.
Así, x < -4 O x > 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b, si | a | > b ,
entonces a > b O a < - b .
bibliografía
https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/absolute-
value-
inequalities#:~:text=La%20desigualdad%20%7C%20x%20%7C%20%3C%204,0%
20es%20menor%20que%204.&text=Caso%202%3A%20La%20expresi%C3%B3n
%20dentro,soluciones%20de%20estos%20dos%20casos.

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Números reales y operaciones con conjuntos

  • 1. República Bolivariana De Venezuela Ministerio Del Poder Polar Para La Educación Superior Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco Barquisimeto – Estado Lara Unidad nro.2 Números reales y plano numérico Estudiante: Luisanny Ocanto. Cédula de Identidad: 30.591217 Curso: Matemática Básica Sección: CO0101 Docente: Prof. María Carruido Marzo, 2021.
  • 2. Definición de conjunto: un conjunto es una colección de elementos con características similares considerada en sí misma como un objeto. Los elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Se dice que un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está definido como incluido de algún modo dentro de él. El conjunto de los números reales se forma al combinar el conjunto de números racionales y el conjunto de números irracionales. El conjunto de números reales consiste en todos los números que tienen un lugar en la recta numérica. Las operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra de conjuntos, nos permiten realizar operaciones sobre los conjuntos para obtener otro conjunto. De las operaciones con conjuntos veremos las siguientes unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y complemento. Operaciones con conjuntos: ‒ Unión o reunión de conjuntos. Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para formar otro conjunto que contendrá a todos los elementos que queremos unir, pero sin que se repitan. Es decir, dado un conjunto A y un conjunto B, la unión de los conjuntos A y B será otro conjunto formado por todos los elementos de A, con todos los elementos de B sin repetir ningún elemento. El símbolo que se usa para indicar la operación de unión es el siguiente: ∪. Cuando usamos diagramas de Ven, para representar la unió de conjuntos, se sombrean los conjuntos que se unen o se forma uno nuevo. Luego se escribe por fuera la operación de unión. Ejemplo: 1. Dados dos conjuntos A= {1,2,3,4,5,6,7,} y B= {8,9,10,11} la unión de estos conjuntos será A∪B= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Usando diagramas de Ven se tendría lo siguiente:
  • 3. ‒ Intersección de conjuntos. Es la operación que nos permite formar un conjunto, sólo con los elementos comunes involucrados en la operación. Es decir, dados dos conjuntos A y B, la de intersección de los conjuntos A y B, estará formado por los elementos de A y los elementos de B que sean comunes, los elementos no comunes A y B, será excluidos. El símbolo que se usa para indicar la operación de intersección es el siguiente: ∩. Ejemplo: 1. Dados dos conjuntos A= {1,2,3,4,5} y B= {4,5,6,7,8,9} la intersección de estos conjuntos será A∩B={4,5}. Usando diagramas de Ven se tendría lo siguiente: ‒ Diferencia de conjuntos. Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que pertenecen al primero, pero no al segundo. Es decir, dados dos conjuntos A y B, la diferencia de los conjuntos entra A y B, estará formado por todos los elementos de A que no pertenezcan a B. El símbolo que se usa para esta operación es el mismo que se usa para la resta o sustracción, que es el siguiente: -.
  • 4. Ejemplo: 1. Dados dos conjuntos A= {1,2,3,4,5} y B= {4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos conjuntos será A-B= {1,2,3}. Usando diagramas de Ven se tendría lo siguiente: ‒ Diferencia de simétrica de conjuntos. Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que no sean comunes a ambos conjuntos. Es decir, dados dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica estará formado por todos los elementos no comunes a los conjuntos A y B. El símbolo que se usa para indicar la operación de diferencia simétrica es el siguiente: △. Ejemplo: Dados dos conjuntos A= {1,2,3,4,5} y B= {4,5,6,7,8,9} la diferencia simétrica de estos conjuntos será A △ B= {1,2,3,6,7,8,9}. Usando diagramas de Ven se tendría lo siguiente: ‒ Complemento de un conjunto. Es la operación que nos permite formar un conjunto con todos los elementos del conjunto de referencia o universal, que no están en el conjunto. Es decir dado un conjunto A que está incluido en el conjunto universal U, entonces el conjunto complemento de A es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto universal pero sin considerar a los elementos que pertenezcan al conjunto A. En esta operación el complemento de un conjunto se denota con un apostrofe sobre el
  • 5. conjunto que se opera, algo como esto A' en donde el conjunto A es el conjunto del cual se hace la operación de complemento. Ejemplo Dado el conjunto Universal U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y el conjunto A={1,2,9}, el conjunto A' estará formado por los siguientes elementos A'={3,4,5,6,7,8}. Usando diagramas de Ven se tendría lo siguiente: Números Reales Los números reales son cualquier número que corresponda a un punto en la recta real y pueden clasificarse en números naturales, enteros, racionales e irracionales. En otras palabras, cualquier número real está comprendido entre menos infinito y más infinito y podemos representarlo en la recta real. Los números reales son todos los números que encontramos más frecuentemente dado que los números complejos no se encuentran de manera accidental, sino que tienen que buscarse expresamente. Los números reales se representan mediante la letra R Se puede definir a los números reales como aquellos números que tienen expansión decimal periódica o tienen expansión decimal no periódica. Por ejemplo: a)3 es un número real ya que 3 = 3,00000000000…. b) ½ es un número real ya que ½ = 0,5000000000…. c) 1/3 es un número real ya que 1/3 = 0,3333333333333…. d) 2es un número real ya que 2=1,4142135623730950488016887242097…. e)0,1234567891011121314151617181920212223…. Es un número real. f)1,01001000100001000001000000100000001 g) N también es real Ejercicio: Escribir las siguientes expresiones sin exponentes: a) (−4)3. b) −5 3. c) 3 −2. d) (−6) −1. e) −( 2 5) −3. f) (4 3) −1 Solución a) (−4)3 = [(−4) · (−4)] · (−4) = 16 · (−4) = −64. b) −5 3 = − [(5 · 5) · 5] = −(25 · 5) = −125. c) 3 −2 = 1 3 2 = 1 9.
  • 6. d) (−6) −1 = 1 (−6) = − 1 6. e) −( 2 5) −3 = −( 5 2) 3 = − 75 8. f) (4 3) −1 = 3 4 Desigualdades: En matemáticas, una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos valores cuando estos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad). Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados. Los enunciados a b y a b, junto con las expresiones a b (a b o a b) y a b (a b o a b) se conocen como desigualdades. Las primeras se llaman desigualdades estrictas y las segundas, desigualdades no estrictas o amplias. En numerosas oportunidades y situaciones cotidianas surge la necesidad de comparar dos cantidades y establecer una relación entre ellas. Las desigualdades se comportan muy bien con respecto a la suma, pero se debe tener cuidado en el caso de la división y la multiplicación. Ejemplos. Como 2 < 5 entonces 2 + 4 < 5 + 4, es decir, 6 < 9. · Como 8 > 3 entonces 8 - 4 > 3 - 4, esto es, 4 > - 1 · Como 7 < 10 entonces 7.3 < 10.3, es decir, 21 < 30 · Como 7 < 10 entonces 7. (- 3) > 10. (- 3), esto es - 21 > - 30 En los diferentes ejemplos se observa que: · al sumar un mismo número a ambos miembros de una desigualdad, el sentido de la misma se mantiene · al restar un mismo número a ambos miembros de una desigualdad, el sentido de la misma se mantiene · la multiplicación por un número positivo mantiene el sentido de la desigualdad,
  • 7. · la multiplicación por un número negativo invierte el sentido de la desigualdad. Se pueden enunciar algunas propiedades relacionadas con las desigualdades. Sean a, b y c números reales cualesquiera: · Si a < b entonces a + c < b + c · Si a < b y c > 0 entonces a.c < b.c · Si a < b y c < 0 entonces a.c > b.c Cuando se verifica que a < b y b < c, decimos que b está comprendido entre a y c. En símbolos a < b < c. Todas las definiciones y propiedades son también válidas para las desigualdades >, £ y ³. Valor absoluto El valor absoluto es un concepto que está presente en diversos contextos de la Física y las Matemáticas, por ejemplo, en las nociones de magnitud, distancia, y norma. En casos más complejos es un concepto muy útil, como en las definiciones de cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales. El valor absoluto o módulo de un número real cualquiera es el mismo número, pero con signo positivo. En otras palabras, es el valor numérico sin tener en cuenta su signo, ya sea positivo o negativo. Por ejemplo, el valor absoluto del número −4−4 se representa como |−4||−4| y equivale a 44, y el valor absoluto de 44 se representa como |4||4|, lo cual también equivale a 44. En la recta numérica se representa como valor absoluto a la distancia que existe de un punto al origen. Por ejemplo, si se recorren 4 unidades del cero hacia la izquierda o hacia la derecha, llegamos a −4−4 o a 44, respectivamente; el valor absoluto de cualquiera de dichos valores es 44. valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo. |5| = 5 |-5 |= 5 |0| = 0
  • 8. |x| = 2 x = −2 x = 2 |x|< 2 −2 < x < 2 x (−2, 2 ) |x|> 2 x < −2 o x > 2 (−∞, −2 ) (2, +∞) |x −2 |< 5 − 5 < x − 2 < 5 − 5 + 2 < x < 5 + 2 − 3 < x < 7 Desigualdades con valor absoluto Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor absoluto con una variable dentro. Desigualdades de valor absoluto (<): La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4. Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es . Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar. Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva. Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa. La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos. En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b, si | a | < b , entonces a < b Y a > - b Desigualdades de valor absoluto (>): La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es mayor que 4. Así, x < -4 O x > 4. El conjunto solución es . Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar. Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva. Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
  • 9. En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b, si | a | > b , entonces a > b O a < - b . bibliografía https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/absolute- value- inequalities#:~:text=La%20desigualdad%20%7C%20x%20%7C%20%3C%204,0% 20es%20menor%20que%204.&text=Caso%202%3A%20La%20expresi%C3%B3n %20dentro,soluciones%20de%20estos%20dos%20casos.