Este documento describe métodos computacionales para resolver ecuaciones diferenciales usando el programa DERIVE. Explica que DERIVE incluye funciones para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden como DSOLVE1_GEN, que provee la solución general, y DSOLVE1, que provee una solución particular dadas condiciones iniciales. También describe cómo resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden como exactas, lineales, separables y con factor integrante usando estas funciones.

1. METODOS COMPUTARIZADOSPARA RESOLVERECUACIONESDIFERENCIALES.
Existenvariosprogramasde computaciónque resuelvenecuacionesdiferenciales,unode
ellosesDERIVE. la siguiente informaciónestátomadadel manual de ayudade DERIVE5.
ODE1.MTH - EcuacionesDiferencialesOrdinariasde primerorden
El archivoODE1.MTH define funcionespararesolverecuacionesdiferencialesordinariasde primer
orden.Para usar lasfuncionesque se describenacontinuación,primeroleael archivoODE1.MTH
usandola ordenArchivoLeerUtilidadouse unade ellasparaque se leaautomáticamente.
Las funcionesconel sufijoGEN danla solucióngeneral (entérminosde unaconstante simbólica).
Las funcionessinel sufijoGEN nosdan una soluciónparticularcuandotenemoscondiciones
iniciales(numéricas),onosdanuna solucióngeneral entérminosde condicionesiniciales
simbólicas.
En muchoscasos, losresultadossonecuacionesenformaimplícita.Además,esasecuaciones
puedencontenerintegralesque DERIVEnopueda simplificarexactamente.Sinembargo,en
algunoscasostalessolucionesimplícitasse consideransuficientesinclusoconlasintegrales.
Evidentemente,si unasoluciónimplícitanocontiene integrales,puede usarResolver>Expresión
para intentarobtenersolucionesenformaexplícita.
Tanto enestaseccióncomo enODE2.MTH y en loscorrespondientesarchivosde utilidades,la
variable x denotalavariable independienteylavariable ydenotalavariable dependiente.Además
x0 denotael valorinicial de x, y0 denotael correspondientevalorinicialde y,esdeciry0=y(x0).
dy/dx se abreviacomoy'.
Si quiere encontrarunasoluciónparticularusandocondicionesinicialessimbólicasonuméricas,lo
mejoresusar la funciónque dadirectamente solucionesparticulares,aunque siemprepuede
sustituir,despuésde encontrarlasolucióngeneral,x0e y0 endicha solucióngeneral,resolverpara
c (laconstante) yluegosustituireste valorde c de nuevoenlasolucióngeneral...

2. MétodosElementales
DSOLVE1_GEN(p, q, x,y, c) solucióngeneral de unaecuaciónde la forma
p(x,y) + q(x,y)·y'= 0
usandola constante simbólicac. Nótese que lamayoría de las ecuacionesdiferencialesde primer
ordense puedenescribirde esaforma.
DSOLVE1_GEN puede resolverecuacionesexactas,lineales,separables,homogéneasyecuaciones
con factor integrante que dependasólode x osólode y.
Si la ecuaciónnoes de ningunode lostiposanteriores,DSOLVE1_GEN devuelvelapalabra
"inapplicable".Eneste caso,se puede comprobarsi se puede resolverconalgunade lasfunciones
adicionalesque apareceneneste archivo,de acuerdoconel tipode ecuaciónal que pertenezca.
DSOLVE1(p,q,x, y,x0, y0) essimilara DSOLVE1_GEN,pero nosda la soluciónparticularparalas
condicionesinicialesy=y0enx=x0. Estas condicionesinicialespuedensernúmeros,variables,o
expresionesgenerales.
Por ejemplo,pararesolverlaecuacióndiferencial 2·x·y+(1 + x²)·y'= 0 con la condicióninicial y=1
enx=0, simplifique laexpresión
DSOLVE1(2·x·y,1 + x^2, x, y,0, 1)
Se obtiene lasoluciónenformaimplícita
x^2·y + y - 1 = 0

3. Para verificarque satisface lacondicióninicial,hagax=0 y y=1 en lasolución.Al simplificar,
comprobaráque se obtiene laidentidad0=0.
EJERCICIOS A RESOLVERUSANDODERIVE.
RESOLVER LA SIGUIENTE ECUACION DIFERENCIALDE PRIMER ORDEN,HALLAR LA SOLUCIÓN
GENERAL:
(1 + x)y’=x
Para poderusar el programa DERIVE,se reescribe laecuaciónasí:x – (1+x)y’=0,luegose escriben
loscomandosadecuadosy al presionar=, se obtiene lasolucióngeneral,se muestraunacaptura
de pantalla:
Resolver y’= 2xy
Se reescribe: 2xy – y’ = 0

4. Ahorauna ecuaciónexacta (2xy+ 3)dx + (x2
– 1) dy = 0