Dispersión de conteniente

1. TRABAJO PRÁCTICO N°01:
- ROSALES YANAC, Wilder
BUENOS AIRES, ABRIL DEL 2016
TEMA: RESOLUCION NUMERICA DE LA DISPERSION DE UNA
DESCARGA PUNTUAL DE CONTAMINANTE EN UN FLUJO.
UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES
FACULTAD DE INGENIERÍA
INSTITUTO DE INGENIERIA SANITARIA
DOCENTE:
-ANGES INES PATERSON
-MARIA CECILIA LOPARDO
CURSO: MODELOS MATEMATICOS

2. TRABAJO PRACTICO: N°01
Autor: ROSALES YANAC, Wilder
CONTENIDO
1. INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................... 3
2. OBJETIVOS ........................................................................................................................................... 4
2.1. OBJETIVO GENERAL.................................................................................................................. 4
3. PLANTEAMIENTO................................................................................................................................ 4
4. DESARROLLO DEL TALLER ............................................................................................................ 5
5. RESULTADOS: ..................................................................................................................................... 7
6. CONCLUSIONES ................................................................................................................................ 11
7. CITAS BIBLIOGRÁFICAS................................................................................................................. 12

3. TRABAJO PRACTICO: N°01
Autor: ROSALES YANAC, Wilder
1. INTRODUCCIÓN
Para evaluar planes alternativos de ingeniería para el control y manejo de la
calidad del agua pueden emplearse modelos matemáticos que relacionen la
descarga de aguas residuales con la calidad de agua del cuerpo receptor. Los
diversos grados de tratamiento, la reubicación de los puntos de descarga de
aguas residuales, el aumento de los flujos mínimos, los sistemas de tratamiento
regional en contraposición con las plantas múltiples, constituyen algunas de las
alternativas de control, cuya influencia sobre la calidad del agua receptora puede
evaluarse mediante la aplicación de los modelos matemáticos de calidad del
agua. Los modelos también pueden ayudar a evaluar el mejoramiento de la
calidad del agua mediante la eliminación de diferentes componentes de los
contaminantes.
En el presente trabajo se ha utilizado el modelo de dispersión de una descarga
puntual de contaminante en un flujo, cuyo objeto es discretar la ecuación
utilizando el método de diferencias finitas y Solución Analítica, y a la vez conocer
la aplicación que tiene estos tipos de modelos de dispersión.
El Alumno

4. TRABAJO PRACTICO: N°01
Autor: ROSALES YANAC, Wilder
2. OBJETIVOS
2.1.OBJETIVO GENERAL
.
Conocer e interpretar el modelo matemático de dispersión de un
contaminante en el agua por el método de diferencias finitas.
3. PLANTEAMIENTO.
Se produce una descarga puntual e instantánea de un contaminante en
un flujo. Conociendo la ley de dispersión unidimensional:
C
K
x
C
D
x
C
U
t
C
.
2
2
−
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
a) Discretizar la ecuación utilizando el método de diferencias finitas y definir
valores de Dx y Dt para satisfacer estabilidad.
b) Resolver numéricamente el campo x-t para 0 ≤ x ≤ 20 metros.
c) Graficar concentración en función de la progresiva x para t = 0, 2, 5 y 10
segundos.
d) Verificar que la carga total de contaminante en el canal decae con una tasa
K.
e) Comparar los resultados obtenidos en c) con la solución analítica:
( )
( )
( )






−
−
−
−
= t
K
t
D
t
U
x
x
t
D
C
t
x
C .
.
.
4
.
exp
.
.
.
4
,
2
0
2
/
1
0
π Para t>0
Datos:
C0 concentración inicial : 10 mg/l
x0 progresiva de la descarga : 5 m
U velocidad media del flujo : 1 m/s
D coeficiente de dispersión longitudinal : 1 m2
/s
K tasa de decaimiento : 0.1 l/s

5. TRABAJO PRACTICO: N°01
Autor: ROSALES YANAC, Wilder
4. DESARROLLO DEL TALLER
Teniendo en cuenta el material de clase procedo a desarrollar el taller.
a) Discretizar la ecuación utilizando el método de diferencias finitas y definir
valores de Dx y Dt para satisfacer estabilidad
C
K
x
C
D
x
C
U
t
C
.
2
2
−
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
Se discretiza la ecuación:
Despejo
1
+
n
j
C
, quedando de la forma:
Para satisfacer estabilidad los valores de ∆x y ∆t:
∆x≤2D/U ∆t=∆x²/(2D+(0.5*∆x²*K)
b) Condiciones Iniciales
Consideramos el canal limpio (concentración nula) en toda su extensión. Cj0
= 0 mg/l.
0
.
2
.
2 2
1
1
1
1
1
=
+
∆
+
−
−
∆
−
+
∆
− −
+
−
+
+
n
j
n
j
n
j
n
j
n
j
n
j
n
j
n
j
C
K
x
C
C
C
D
x
C
C
U
t
C
C








−
∆
−
−
∆
+
−
∆
+
=
−
+
−
+
+ n
j
n
j
n
j
n
j
n
j
n
j
n
j
n
j C
K
x
C
C
U
x
C
C
C
D
t
C
C .
.
2
2 1
1
2
1
1
1

6. TRABAJO PRACTICO: N°01
Autor: ROSALES YANAC, Wilder
n+1 n
-1
0
1
Condiciones de borde
x = 0 metros -------j=0 ; x = x max ---------j=max
Considerando (la concentración en los bordes es nula):
Co = Cmax = 0
(La concentración cerca de los bordes es constante)
Cuando cumple esta condición nos encontramos que al centra el operador del
en el nodo del borde un nodo nos cae afuera de la cuadricula, por esto
definiremos nodos fuera de la cuadricula y se denominaran nodos fantasmas.
Hallando los valores de los nodos, discretizamos la condición de borde
(x=0m):
Así tenemos
c) Análisis con el método de solución analítica.
0
max
0
=
∂
∂
=
∂
∂
x
C
x
C
n
n
C
C 1
1 −
=

7. GRUPO: N°03
Autores: ROSALES YANAC, Wilder
t (seg) 0 1 2 3 4 5 6 8 10 12 14 16 18 20
0 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 10.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000
0.2 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 1.00000 5.80000 3.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000
0.4 0.00000 0.00000 0.00000 0.10000 1.16000 3.96400 3.48000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000
0.6 0.00000 0.00000 0.01000 0.17400 1.09920 2.99512 3.29760 0.27000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000
0.8 0.00000 0.00100 0.02320 0.21384 0.98925 2.39669 2.96774 0.62640 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000
1 0.00040 0.00290 0.03514 0.22991 0.87758 1.98363 2.63275 0.94878 0.02430 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000
1.2 0.00139 0.00532 0.04424 0.23165 0.77634 1.67706 2.32901 1.19454 0.08456 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000
1.4 0.00293 0.00793 0.05042 0.22526 0.68748 1.43849 2.06243 1.36062 0.17677 0.00219 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000
1.6 0.00487 0.01052 0.05415 0.21453 0.61016 1.24681 1.83049 1.45860 0.28919 0.01015 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000
1.8 0.00703 0.01298 0.05601 0.20169 0.54293 1.08925 1.62879 1.50329 0.40908 0.02708 0.00020 0.00000 0.00000 0.00000
2 0.00927 0.01524 0.05655 0.18808 0.48433 0.95752 1.45295 1.50830 0.52597 0.05463 0.00114 0.00000 0.00000 0.00000
2.2 0.01147 0.01727 0.05618 0.17448 0.43309 0.84596 1.29913 1.48480 0.63263 0.09271 0.00371 0.00002 0.00000 0.00000
2.4 0.01356 0.01908 0.05521 0.16136 0.38813 0.75050 1.16406 1.44150 0.72476 0.13979 0.00890 0.00012 0.00000 0.00000
2.6 0.01550 0.02066 0.05388 0.14897 0.34857 0.66813 1.04506 1.38498 0.80042 0.19350 0.01764 0.00047 0.00000 0.00000
2.8 0.01725 0.02202 0.05235 0.13742 0.31368 0.59660 0.93987 1.32017 0.85930 0.25114 0.03059 0.00131 0.00001 0.00000
3 0.01881 0.02318 0.05071 0.12678 0.28282 0.53412 0.84662 1.25064 0.90213 0.31006 0.04803 0.00298 0.00006 0.00000
3.2 0.02018 0.02416 0.04904 0.11702 0.25548 0.47929 0.76373 1.17903 0.93029 0.36789 0.06987 0.00585 0.00018 0.00000
3.4 0.02137 0.02497 0.04740 0.10814 0.23121 0.43101 0.68988 1.10722 0.94545 0.42273 0.09571 0.01028 0.00046 0.00001
3.6 0.02238 0.02563 0.04579 0.10006 0.20965 0.38834 0.62395 1.03653 0.94938 0.47310 0.12488 0.01660 0.00101 0.00003
3.8 0.02324 0.02616 0.04426 0.09274 0.19045 0.35052 0.56498 0.96788 0.94383 0.51801 0.15656 0.02504 0.00197 0.00009
4 0.02394 0.02657 0.04279 0.08611 0.17333 0.31694 0.51215 0.90189 0.93046 0.55681 0.18983 0.03570 0.00350 0.00022
4.2 0.02451 0.02687 0.04140 0.08011 0.15806 0.28704 0.46475 0.83896 0.91074 0.58924 0.22381 0.04860 0.00577 0.00046
4.4 0.02497 0.02708 0.04009 0.07469 0.14441 0.26037 0.42217 0.77931 0.88602 0.61525 0.25762 0.06363 0.00894 0.00089
4.6 0.02531 0.02721 0.03884 0.06979 0.13220 0.23656 0.38388 0.72304 0.85746 0.63503 0.29049 0.08058 0.01316 0.00159
4.8 0.02556 0.02726 0.03767 0.06535 0.12127 0.21525 0.34940 0.67019 0.82604 0.64890 0.32177 0.09916 0.01853 0.00265
5 0.02573 0.02725 0.03656 0.06133 0.11147 0.19617 0.31833 0.62069 0.79263 0.65728 0.35092 0.11903 0.02512 0.00419
RESOLUCION POR METODO DE DIRERENCIAS FINITAS
5. RESULTADOS:
Cuadro Nª01: Desarrollo del modelo de Dispersión por diferencias finitas.

8. GRUPO: N°03
Autores: ROSALES YANAC, Wilder
t (seg) 0 1 2 3 4 5 6 8 10 12 14 16 18 20
5.2 0.02582 0.02718 0.03551 0.05769 0.10267 0.17905 0.29030 0.57447 0.75794 0.66065 0.37753 0.13981 0.03297 0.00629
5.4 0.02585 0.02706 0.03452 0.05438 0.09476 0.16368 0.26501 0.53140 0.72256 0.65952 0.40128 0.16111 0.04206 0.00907
5.6 0.02582 0.02690 0.03358 0.05137 0.08764 0.14986 0.24215 0.49135 0.68699 0.65444 0.42199 0.18256 0.05232 0.01262
5.8 0.02573 0.02671 0.03268 0.04863 0.08123 0.13743 0.22149 0.45416 0.65161 0.64590 0.43957 0.20377 0.06366 0.01699
6 0.02561 0.02648 0.03183 0.04613 0.07545 0.12623 0.20280 0.41968 0.61675 0.63440 0.45398 0.22442 0.07594 0.02225
6.2 0.02544 0.02622 0.03102 0.04385 0.07022 0.11612 0.18588 0.38775 0.58266 0.62042 0.46529 0.24420 0.08900 0.02841
6.4 0.02525 0.02594 0.03024 0.04176 0.06550 0.10701 0.17055 0.35821 0.54953 0.60439 0.47360 0.26286 0.10267 0.03548
6.6 0.02502 0.02565 0.02950 0.03984 0.06122 0.09877 0.15666 0.33091 0.51751 0.58670 0.47905 0.28019 0.11676 0.04341
6.8 0.02477 0.02533 0.02879 0.03808 0.05734 0.09132 0.14406 0.30569 0.48670 0.56771 0.48182 0.29601 0.13108 0.05216
7 0.02450 0.02500 0.02810 0.03646 0.05381 0.08457 0.13263 0.28241 0.45718 0.54775 0.48210 0.31021 0.14543 0.06165
7.2 0.02421 0.02466 0.02745 0.03496 0.05060 0.07846 0.12225 0.26093 0.42900 0.52709 0.48012 0.32270 0.15963 0.07179
7.4 0.02391 0.02431 0.02681 0.03357 0.04768 0.07291 0.11282 0.24114 0.40217 0.50600 0.47608 0.33344 0.17351 0.08245
7.6 0.02359 0.02395 0.02620 0.03228 0.04502 0.06788 0.10424 0.22289 0.37669 0.48468 0.47022 0.34240 0.18691 0.09352
7.8 0.02326 0.02359 0.02561 0.03109 0.04258 0.06330 0.09644 0.20607 0.35257 0.46333 0.46274 0.34960 0.19969 0.10487
8 0.02293 0.02322 0.02504 0.02997 0.04035 0.05913 0.08934 0.19059 0.32977 0.44210 0.45385 0.35509 0.21173 0.11635
8.2 0.02259 0.02285 0.02449 0.02893 0.03831 0.05534 0.08287 0.17633 0.30826 0.42113 0.44376 0.35892 0.22293 0.12785
8.4 0.02224 0.02248 0.02395 0.02796 0.03643 0.05188 0.07697 0.16320 0.28801 0.40053 0.43266 0.36116 0.23319 0.13923
8.6 0.02189 0.02211 0.02343 0.02704 0.03471 0.04872 0.07160 0.15112 0.26897 0.38040 0.42072 0.36191 0.24247 0.15036
8.8 0.02154 0.02173 0.02293 0.02619 0.03311 0.04583 0.06669 0.14000 0.25109 0.36080 0.40811 0.36126 0.25071 0.16113
9 0.02119 0.02136 0.02244 0.02538 0.03164 0.04318 0.06220 0.12976 0.23433 0.34180 0.39497 0.35932 0.25788 0.17145
9.2 0.02083 0.02099 0.02196 0.02461 0.03028 0.04076 0.05810 0.12034 0.21862 0.32344 0.38145 0.35620 0.26397 0.18120
9.4 0.02048 0.02062 0.02149 0.02389 0.02903 0.03854 0.05435 0.11167 0.20393 0.30576 0.36767 0.35200 0.26898 0.19032
9.6 0.02012 0.02025 0.02104 0.02321 0.02786 0.03649 0.05092 0.10369 0.19020 0.28877 0.35374 0.34684 0.27292 0.19874
9.8 0.01977 0.01989 0.02060 0.02256 0.02677 0.03461 0.04777 0.09635 0.17737 0.27249 0.33975 0.34082 0.27583 0.20641
10 0.01942 0.01953 0.02017 0.02194 0.02575 0.03288 0.04488 0.08959 0.16540 0.25693 0.32579 0.33405 0.27773 0.21327
RESOLUCION POR METODO DE DIRERENCIAS FINITAS
Cuadro Nª01: Desarrollo del modelo de Dispersión por diferencias finitas.

9. TRABAJO PRACTICO: N°01
Autor: ROSALES YANAC, Wilder
Cuadro Nª01: Desarrollo del modelo de Dispersión por Solución Analítica.
L =
t =
0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00 16.00 18.00 20.00 Σ
0.00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10.000
2.00 0.00357246 0.07175479 0.53020019 1.44123355 1.44123355 0.53020019 0.07175479 0.00357246 6.5432E-05 4.4088E-07 1.0928E-09 8.187
5.00 0.00515573 0.03119037 0.12648317 0.34381692 0.62647526 0.76517862 0.62647526 0.34381692 0.12648317 0.03119037 0.00515573 6.060
10.00 0.00118357 0.00479961 0.01593528 0.04331659 0.09640284 0.17565743 0.2620501 0.32006871 0.32006871 0.2620501 0.17565743 3.277

10. TRABAJO PRACTICO: N°01
Autor: ROSALES YANAC, Wilder
Gráfico Nº01: concentración en función de la progresiva x para t =0, 2, 5 y 10
segundos con el método de Diferencias Finitas.
Gráfico Nº02: concentración en función de la progresiva x para t = 0, 2, 5 y 10
segundos con el método de solución Analítica.

11. TRABAJO PRACTICO: N°01
Autor: ROSALES YANAC, Wilder
Gráfico Nº03: Comparación de la dispersión del contaminante entre el método
de Diferencias finitas y el método de Solución Analítica.
6. CONCLUSIONES
• En el método por diferencias finitas los cálculos se realizaron teniendo
en cuenta la consistencia y estabilidad, para así hallar la concentración
en los bordes y cerca a los bordes.
• De los resultados obtenidos por ambos métodos, se deduce que el
contaminante modifica su masa en el tiempo, las concentraciones se
dispersan en tiempo, en este caso se graficaron los intervalos de 2, 5 y
10 segundos por ambos métodos utilizando Diferencias finitas y solución
analítica.
• Del Gráfico Nº03: “Comparación de ambos métodos”, se puede concluir
que los dos métodos son muy similares en sus valores como se muestra
en el gráfico, con los datos de la función progresiva y la ecuación
analítica, puede ser más preciso para el método numérico.

12. TRABAJO PRACTICO: N°01
Autor: ROSALES YANAC, Wilder
• El método de diferencias finitas y Solución analítica son ecuaciones de
dispersión principalmente usadas en el estudio de contaminación de
aguas y aplicado a los modelos de contaminación para una descarga
puntual.
7. CITAS BIBLIOGRÁFICAS
• ANGES INES PATERSON (2016). Presentaciones del curso modelos
matemáticos. Argentina, Buenos Aires: Facultad de Ingeniería. UBA.