1. Universidad Nacional Andrés Bello
Facultad de Ingeniería
Escuela de Obras Civiles
“MODELO PARA EL CONTROL DEL VOLUMEN
ENTREGADO POR UNA PLANTA DE HORMIGON
PREMEZCLADO”
Memoria para optar al título de Ingeniero Civil
RICARDO ANDRES ABARCA VERA
SANTIAGO, 2009

2. 1. Introducción.
1.1 Antecedentes Preliminares:
Las plantas de hormigón premezclado deben garantizar al comprador
las siguientes propiedades debidamente controladas:
 Resistencia
 Trabajabilidad
 Volumen Y el volumen ¿Cómo lo
controlamos?
¿Cómo demostramos tal
volumen para que el
comprador se sienta seguro de
lo que solicitó es lo que se
entregó?

3. 1. Introducción (Continuación).
Hoy en día no existe un mecanismo preciso y que no este sujeto a
errores para demostrar en el caso que lo amerite, que puede existir un
“Déficit” en el volumen de hormigón que se entregó.
Si logramos controlar de mejor manera los volúmenes de hormigón,
podremos:
1 Mantener un buen control de todos los parámetros de venta del
hormigón.
2 Menores reposiciones por déficit de volumen.
3 Mejor aprovechamiento de las materias primas.

4. 2. Objetivos.
2.1 Objetivos Generales:
 Desarrollar un modelo que permita determinar y controlar en forma
frecuente y sistemática el volumen real entregado por la planta de
hormigón premezclado.
 Entregar un modelo de control del volumen de hormigón alternativo
al que propone la norma NCh 1934 Of. 1992.

5. 2. Objetivos (Continuación)
2.1 Objetivos Específicos:
 Modelar la cantidad de volumen real despachado a los clientes que
pudiesen tener dudas respecto al volumen que solicitaron.
 Identificar todas las variables que participan en la dosificación y
encontrar cual de ellas presentan incertidumbres no controladas,
además de determinar en que magnitud afectan al modelo.
 Determinar el error asociado al modelo, estableciendo un cuadro
comparativo entre el volumen de diseño entregado por la planta, el
volumen entregado por el modelo y finalmente el volumen real de
hormigón, respecto a una medida patrón de un hormigón de prueba.

6. 2. Objetivos (Continuación)
2.1 Objetivos Específicos:
 Verificar si el modelo, cumple con las tolerancias y requerimientos
establecidos en la norma NCh 1934 Of. 1992.
 Resolver las inquietudes que pudiese existir por parte del comprador
hacia el suministrador, por entregas de volúmenes de hormigón
menores a los solicitados.

7. 3. Marco Teórico.
3.1 Antecedentes Técnicos del Problema.
Para poder controlar los volúmenes de hormigón entregados a los
compradores, debemos centrar nuestro interés en la “Dosificación”,
para así encontrar:
“Las fuentes de variabilidad de las materias
primas que participar en la dosificación del
hormigón”.
Cemento Áridos Adiciones Aire Agua
y Aditivos

8. 3. Marco Teórico (Continuación).
¿Por qué debemos enfocarnos en las materias primas?
Debido a que el “VOLUMEN” es una de las etapas del Diseño primordial y
debemos garantizar estas cantidades y enfocar nuestra mirada en el manejo
de las materias primas.
Por lo tanto:
El volumen debemos Densidad
Masa expresarlo en función
de: Absoluta

9. 3. Marco Teórico (Continuación).
 Cada materia prima es pesada, en condición húmeda a excepción
del cemento. Cada una con distintas “TOLERANCIAS”.
 La norma NCh 1934 Of. 1992 establece los rangos de pesaje para las
distintas materias primas, que permite mantener un control de
estás.
Cemento = +/- 1%
Áridos = +/- 3%
Agua = +/- 1%
Aditivos y Adiciones = +/- 1%
De estas materias primas centraremos nuestra atención en los ÁRIDOS.

10. 3. Marco Teórico (Continuación).
¿Por qué enfocaremos nuestra atención en los áridos?
Porque aportan una cantidad de agua en la dosificación, producto
que poseen una humedad que hay que considerar al momento de
adicionar el AGUA.
Identificando los distintos estados de humedad que los áridos
presentan y cual es el que se utiliza en la dosificación.

11. 3. Marco Teórico (Continuación).
 Estados de humedad de los áridos.
Los estados de humedad que presentan los áridos se deben
principalmente a la distribución de las partículas que interactúan
entre sí.
El agua actúa de manera importante sobre ellos, en el proceso de
explotación y diseño del hormigón.
Estos estados de baja
Estados Hidrométricos de los
y alta humedad nos
áridos
permite definir:

12. 3. Marco Teórico (Continuación).
 Estados Hidrométricos de los áridos.
a) Árido seco.
b) Árido en estado parcialmente seco.
c) Árido en estado saturado superficialmente seco. (SSS)
d) Árido en estado húmedo.
Esta condición se utiliza en el diseño del
hormigón, donde el árido no absorbe y
tampoco cede agua de sus poros
En esta última condición es como se cargan
los áridos en la realidad en los camiones
mixer.

13. 3. Marco Teórico (Continuación).
Por lo tanto la humedad que poseen los áridos, es una fuente de
incertidumbre al momento de calcular el agua que se va cargar
realmente en la mezcla de hormigón.
Debemos analizar los efectos de la humedad en los
áridos y los mecanismos que se poseen para poder
estimarla.

14. 3. Marco Teórico (Continuación).
 Efectos de la humedad en la dosificación.
La determinación de la humedad de los áridos es un tema que aún
esta en desarrollo, ya que la tecnología que existe sólo permite:
ESTIMAR!!!!!!
La cantidad de agua
que ingresa a la
mezcladora

15. 3. Marco Teórico (Continuación).
 Efectos de la humedad en la dosificación.
La humedad de los áridos en la planta dosificadora, es un tema en
constante desarrollo.
La planta dosificadora posee un control sistemático de la humedad en
los áridos, a través del uso de:
1 La expresión de la norma NCh 1515 Of. 1979.
2 Mecanismos electrónicos. SENSORES DE HUMEDAD

16. 3. Marco Teórico (Continuación).
 Efectos de la humedad en la dosificación.
1
La estimación de la humedad de los áridos, a partir de la norma NCh
1515 Of. 1979, se puede calcular a través de la siguiente expresión:
 mh − ms 
ω =  ×100
 ms − mr 

17. 3. Marco Teórico (Continuación).
 Efectos de la humedad en la dosificación.
DONDE:
ω: Humedad de los áridos, en [%].
mh : Masa del recipiente más la muestra húmeda, en [gr.]
ms : Masa del recipiente más la muestra seca, en [gr.]
mr : Masa del recipiente, en [gr.]

18. 3. Marco Teórico (Continuación).
 Efectos de la humedad en la dosificación.
El valor entregado por la expresión nos permite obtener la humedad de
una muestra de árido. Sin embargo, este valor representa el total de
grandes cantidades de áridos.
Zona de baja humedad.
Zona de humedad intermedia.
Zona de alta humedad.
La solución es tomar muestras de distintas partes del acopio de árido,
para tener una mejor estimación de la humedad.

19. 3. Marco Teórico (Continuación).
 Efectos de la humedad en la dosificación.
2
El segundo mecanismo utilizado por la planta dosificadora, es a través
de los sensores de humedad. El cual dentro de los beneficios nos
permite:
1. Obtener valores de humedad más rápidamente.
2. Valores de humedad más precisos.
3. Control sistemático.

20. 3. Marco Teórico (Continuación).
 Efectos de la humedad en la dosificación.
La determinación de la humedad, a partir de los sensores de humedad,
presenta un gran PROBLEMA. Lo que nos lleva a tener fuentes de
incertidumbres en la estimación del agua aportada por los áridos.
Lo que podría arrojar problemas de lecturas entregados por el sensor
de humedad. Estos problemas se describen a continuación:

21. 3. Marco Teórico (Continuación).
 Efectos de la humedad en la dosificación.
1. No todo el flujo que circula por el sensor es captado por el cabezal de
éste.
El flujo que circula por este
sector no es captado por el
sensor.

22. 3. Marco Teórico (Continuación).
 Efectos de la humedad en la dosificación.
2. La descalibración del instrumento o falta mantención de éste.
Ejemplo de un instrumento descalibrado.

23. 3. Marco Teórico (Continuación).
 Efectos de la humedad en la dosificación.
3. Condiciones del medio donde se utiliza.
4. Mala preparación del personal que lo utiliza.
5. No seguir las recomendaciones de mantención y cuidados que entrega
el fabricante.
Ejemplo del fin de la
vida útil de un sensor
de humedad.

24. 3. Marco Teórico (Continuación).
 Efectos de la humedad en la dosificación.
Con todos estos antecedentes, la planta de hormigón premezclado
debe tomar ciertas precauciones al momento de adicionar el agua.
Por lo tanto cabe hacerse la siguiente pregunta………………
¿¿ Cuánta agua agregamos entonces al hormigón ??

25. 3. Marco Teórico (Continuación).
 Efectos de la humedad en la dosificación.
La respuesta es la siguiente:
De la cantidad de
agua proporcionada SÓLO SE NECESITA Agregar la diferencia
por los áridos. de agua.
 Conocimiento.
 Experiencia.  Es el operador del “mixer” quien
realiza el ajuste de “cono” para
lograr la trabajabilidad deseada.
 Criterio.
De la cual no se
adiciona en su
 Adiciona una cantidad de agua NO totalidad.
considerada en los pesos de cada
materia prima al entrar a la
mezcladora ya que no queda
cuantificada.

26. 3. Marco Teórico (Continuación).
 Efectos de la humedad en la dosificación.
Adición de agua no cuantificada,
para lograr la trabajabilidad del
hormigón deseado.
Ajuste de cono realizado por
el operador del mixer.

27. 3. Marco Teórico (Continuación).
“Por lo tanto debemos cuantificar la cantidad de agua real que posee el
hormigón, producto de la humedad y el ajuste de cono, para así obtener el
volumen real de hormigón que entregó el suministrador al comprador ”.
SI, EXISTE!!!!!!!!
La cantidad de agua incorporada, producto del
ajuste de “CONO”, es la que influye en la
determinación del volumen y su verificación.
¿Existe una manera de verificar que el volumen
entregado, es el que se solicitó?

28. 3. Marco Teórico (Continuación).
3.2 Solución según la normativa vigente.
 La normativa que establece un método de medición de volumen de
amasada de hormigón fresco es la NCh 1934 Of. 1992.
Común acuerdo
entre las partes
SUMINISTRADOR COMPRADOR
 Establece un método a través de la ecuación básica de la densidad.

29. 3. Marco Teórico (Continuación).
La ecuación utilizada por la norma NCh 1934 Of. 1992, está dada por la
siguiente expresión:
MT
DF =
VR
DESPEJANDO
MT
VR =
DF

30. 3. Marco Teórico (Continuación).
DONDE:
VR Volumen real entregado por el suministrador, en [m3].
Masa total de hormigón transportado, obtenida
MT por las sumas de todas las pesadas de las
materias primas, en [Kg].
Densidad fresca del hormigón, obtenida según la
DF norma NCh 1564 Of. 1986, en [Kg/m3].

31. 3. Marco Teórico (Continuación).
Sin embargo, lo que se utiliza en realidad para determinar la masa de
hormigón es a través de la expresión:
M HORMIGON +CAMION − M CAMION
VR =
DF
¿Es esté valor
¿Qué tan
No Obstante representativo
preciso es?
de la muestra?
¿Cuánto es el error
que conlleva realizar
esta verificación?

32. 3. Marco Teórico (Continuación).
Fuentes de error del método utilizado por la NCh 1934 Of. 1992.
(se pueden identificar 2 tipos de errores)
a) Error por la determinación de la masa de hormigón transportado:
 Calibración de las básculas: Periodos de calibración y tolerancias más
estrictas.
+/- 0,02% (Para básculas de plataforma completa)
TOLERANCIAS:
+/- 3% (Para básculas por ejes)
Fuente: Tolerancias definidas por el decreto Nº 18, del MOP.

33. 3. Marco Teórico (Continuación).
Fuentes de error del método utilizado por la NCh 1934 Of. 1992.
• Error por la determinación de la masa de hormigón transportado
(continuación):
 Condiciones ideales:
• Tipo de camión.
• Estanque de combustible antes y después de la descarga.
• Operador capacitado.

34. 3. Marco Teórico (Continuación).
Fuentes de error del método utilizado por la NCh 1934 Of. 1992.
• Error por la determinación de la masa de hormigón transportado
(continuación):
 Tiempo de la medición:
• Tiempo en determinar cada parámetro de la ecuación desde la
masa de hormigón hasta la densidad fresca.
 Tipo de hormigón:
• Que sea de las mismas características que el hormigón que se
entregó al comprador.

35. 3. Marco Teórico (Continuación).
Fuentes de error del método utilizado por la NCh 1934 Of. 1992.
b) Error por la determinación de la densidad fresca del hormigón:
 La muestra debe cumplir con lo establecido en la NCh 171 Of. 1975: La
determinación de la densidad según lo establecido por dicha norma
debe realizarse en el lugar de la obra.
 Condiciones del ambiente al determinar el ensayo: humedad y
temperatura.
 Suciedad del entorno: Limitación de realizar los ensayos en el terreno.
 Condiciones adecuadas de los aparatos utilizados en la determinación
de la densidad fresca: balanzas, varillas, medidas volumétricas, etc.

36. 4. Modelación del Problema.
4.1 Hipótesis del modelo.
 Los pesajes de los áridos al ingresar al modelo deben estar en su
condición hidrométrica, saturado superficialmente seco (SSS).
 Las densidades de las materias primas deben estar en condición
saturada superficialmente seca (SSS).
 Los áridos pesados y cargados en el mixer, están en condición
húmeda.
 El agua teórica utilizada en la dosificación no debe ser utilizada para
determinar el volumen de hormigón. Esto debido a que el agua real
de la mezcla es una incógnita de nuestro problema.

37. 4. Modelación del Problema.
(Continuación)
4.1 Hipótesis del modelo.
 La humedad como la absorción de los áridos son parámetros
conocidos de la planta debido al monitoreo sistemático de los
áridos.
 El modelo se basa en ecuaciones utilizadas en la dosificación del
hormigón, planteadas en la norma NCh 170 Of. 1985, las cuales están
validadas para el uso en el modelo.
 Para determinar el volumen de aire, se utilizará el volumen de aire
teórico, establecido por la norma NCh 170 Of. 1985.

38. 4. Modelación del Problema.
(Continuación)
4.2 Teoría del modelo.
La teoría básica del modelo parte con la ecuación principal para la
determinación del volumen:
( ∑ mi _ SSS ) +ϖ ESTIMADA
VR =
γF
DONDE:
VR : Volumen real de hormigón transportado, en [m3]
Sumatoria del material cargado en el mixer en su condición
∑m i _ SSS :
hidrométrica SSS, en [Kg]
γF : Densidad fresca del hormigón fresco, en [Kg/m3]
ϖ ESTIMADA : Masa de agua estimada cargada en el mixer, en [Kg/m3]

39. 4. Modelación del Problema.
(Continuación)
4.2 Teoría del modelo.
De la ecuación anterior, tenemos el siguiente problema:
1 Ecuación.
• El volumen real de hormigón.
2 Incógnitas.
• El agua estimada que contiene el hormigón.
¿Cómo encontramos el agua estimada que posee la mezcla?
A partir de la ecuación fundamental de la dosificación.

40. 4. Modelación del Problema.
(Continuación)
4.2 Teoría del modelo.
La norma NCh 170 Of. 1985, establece lo siguiente:
VR = ∑ Vi = VC + VG + VA + VAD + VAI + VW
Por lo tanto si expresamos todos los términos en función del volumen de
agua obtenemos lo siguiente:
  mi _ sss 
ϖ ESTIMADA = VR − ∑ + VAI  ⋅1000
  γ 
  i _ sss 
Conocida el agua estimada de la mezcla obtenemos :
Volumen real de hormigón.

41. 4. Modelación del Problema.
(Continuación)
4.2 Casos de Interés del modelo.
CASO Nº 1:
Determinación del volumen real de hormigón, conocida la
densidad fresca.
 La densidad fresca es un parámetro conocido.
 La densidad fresca es medida, tanto en la planta dosificadora como
en las obras, a través de muestreos sistemático.
Por lo tanto la cantidad de agua para este caso es:
( ∑ m ) −  mi _ SSS 
∑ γ
i _ SSS
 − VAI

ϖ ESTIMADA =
γF
 1
 i _ SSS 
1 
VMOD _1
 − 
 1000 γ 
 F 

42. 4. Modelación del Problema.
(Continuación)
4.2 Casos de Interés del modelo.
O bien, podemos determinar el volumen directamente, sin tener que
estimar la cantidad de agua que posee el hormigón, a partir de:
∑mi _ SSS
−∑
mi _ SSS
− V AI
1000 γ i _ SSS
VMOD _1 =
 γF 
 − 1
 1000 
• Suma de las materias primas.
Volumen de hormigón en función de: • Volumen de aire.
• Densidad aparente fresca.

43. 4. Modelación del Problema.
(Continuación)
4.2 Casos de Interés del modelo.
CASO Nº 2:
Determinación del volumen real de hormigón, no conocida la
densidad fresca del hormigón.
 La densidad fresca es un parámetro no conocido por la planta.
 El volumen de hormigón se determinará a partir de la densidad
endurecida.
 Existe un mayor control de la planta dosificadora a la densidad
fresca, a partir de la probetas.
 Analizaremos sí existe una relación de tipo lineal entre la
densidad fresca y la endurecida.

44. 4. Modelación del Problema.
(Continuación)
4.2 Casos de Interés del modelo.
REGRESION LINEAL SIMPLE
Densidad Endurecida v/s Densidad Fresca Real (N=1033)
2520
2500
Densidad Fresca Real [Kg/m3]
2480
2460
2440
2420
2400
2380 γ F = F (γ E ) = βˆ0 + βˆ1 ⋅ γ E + ξ
2360
2340
2340 2360 2380 2400 2420 2440 2460 2480 2500 2520 2540
Densidad Endurecida [Kg/m3]
D.E v/s D.F Lineal (D.E v/s D.F)
El grafico fue obtenido, a partir de muestras realizadas en laboratorio
(N=1033)

45. 4. Modelación del Problema.
(Continuación)
4.2 Casos de Interés del modelo.
A partir del método de los mínimos cuadrados obtenemos la
siguientes parámetros de la ecuación lineal:
[
β 0 = 1014,7 ⋅ Kg / m 3 ]
β 1 = 0,5733
[
ξ = 225705 ⋅ Kg / m 3 ] 2
γ F = 1014,7 + 0,5733 ⋅ γ E
Y una correlación de:
r 2 = 0,3830

46. 4. Modelación del Problema.
(Continuación)
4.2 Casos de Interés del modelo.
Finalmente el volumen para el caso Nº 2, lo obtenemos a partir de la
siguiente secuencia:
γE γF ϖ ESTIMADA VMOD _ 2
Regresión Lineal Determinación del Determinación del
agua estimada volumen de hormigón
modelado
Formula del caso Expresión NCh
Nº 1 1934 Of. 1992

47. 4. Modelación del Problema.
(Continuación)
4.2 Casos de Interés del modelo.
La expresión final para determinar el volumen de hormigón esta dado
por:
∑m i _ SSS
−∑
mi _ SSS
− V AI
1000 γ i _ SSS
VR =
0,0147 + 0,0005733 ⋅ γ E
• Suma de las materias primas.
Volumen de hormigón en función de: • Volumen de aire.
• Densidad endurecida.

48. 5. Aplicación, verificación y análisis de los resultados
del modelo.
5.1 Verificación del modelo, a partir de hormigones de prueba.
 La verificación del modelo se realizó, a partir de 1033 muestras de
hormigones de prueba con diferentes características, para los dos
casos en estudio.
 Distintos tamaños máximos de los áridos: 20 a 40 [mm].
 Formas del árido: Chancado o Rodado.
 Trabajabilidad: 5, 6 y 8 [cm].
5.2 Verificación del modelo, a partir del muestreo a camiones mixer.
 La verificación del modelo, se aplico a 30 camiones en 3 días diferentes.
 El muestreo se realiza en la planta cada 150 [m3] y se utilizó la
información de los reportes y del área técnica.

49. 5. Aplicación, verificación y análisis de los resultados
del modelo (Continuación).
5.3 Error relativo promedio, de los resultados obtenidos en el modelo
(hormigones de prueba).
El error promedio para ambos casos de interés es:
5.4 Error relativo promedio, de los resultados obtenidos en el modelo,
a la muestra de 30 camiones mixer.
ξ PROMEDIO = 1,47%
Error relativo promedio, entre el volumen teórico versus el volumen
del modelo.
(Ver página: 78)

50. 5. Aplicación, verificación y análisis de los resultados
del modelo (Continuación).
5.5 Representación gráfica del error relativo, en la determinación de la
densidad fresca modelada (continuación).
Estimación de la densidad fresca modelada:
Densidad Fresca Real v/s Densidad Fresca Modelada.
2520 2520
Densidad Fresca Modelada [Kg/m3]
2500 2500
ξ PROMEDIO = 0,49%
Densidad Fresca Real [Kg/m3]
2480 2480
2460 2460
2440 2440
2420 2420
2400 2400
2380 2380
2360 2360
2340 2340
0 200 400 600 800 1000
Muestras (N=1033)
Densidad Fresca Real Densidad Fresca Modelada
(ver página:77)

51. 5. Aplicación, verificación y análisis de los resultados
del modelo (Continuación).
5.5 Representación gráfica del error relativo, en la determinación del
volumen de hormigón.
Caso de interés Nº 1:
Error relativo entre el Volumen Teórico versus el Volumen del Modelo (Método Nº 1).
6,00
5,00
4,00
3,00
2,00
Error relativo (%)
1,00
0,00
0 200 400 600 800 1000
-1,00
-2,00
-3,00
-4,00
-5,00
-6,00
Muestras
V.teórico v/s V.modelo Tolerancia Superior Tolerancia Inferior
(ver página:80)

52. 5. Aplicación, verificación y análisis de los resultados
del modelo (Continuación).
5.5 Representación gráfica del error relativo, en la determinación del
volumen de hormigón.(continuación).
hormigón
Caso de interés Nº 2:
Error relativo entre el Volumen Teórico versus el Volumen Modelo (Método Nº 2).
6,00
5,00
4,00
3,00
2,00
Error relativo (%)
1,00
0,00
0 200 400 600 800 1000
-1,00
-2,00
-3,00
-4,00
-5,00
-6,00
Muestras
V.teórico v/s V.modelo Tolerancia Superior Tolerancia Inferior
(ver página:82)

53. 5. Aplicación, verificación y análisis de los resultados
del modelo (Continuación).
5.5 Representación gráfica del error relativo, en la determinación del
volumen de hormigón (continuación).
Camiones muestreados:
Error relativo del volumen modelado, con respecto al volumen teórico (N=30).
6,00
5,00
4,00
3,00
2,00
Error Realativo [%]
1,00
0,00
0 5 10 15 20 25 30
-1,00
-2,00
-3,00
-4,00
-5,00
-6,00
Nº de Camiones
Error Relativo del Modelo Tolerancia Superior Tolerancia Inferior
(ver página:83)

54. 5. Aplicación, verificación y análisis de los resultados
del modelo (Continuación).
5.6 Distribución de probabilidad para el error relativo entre el volumen
teórico versus el volumen del modelo (ver página 84-85).
Distribución normal, para los Distribución normal, para los
volúmenes, caso Nº 1. volúmenes, caso Nº 2.

55. 5. Aplicación, verificación y análisis de los resultados
del modelo (Continuación).
5.6 Distribución de probabilidad para los resultados obtenidos por el
modelo (ver página 86-87).
Distribución normal, para los Distribución normal, para los
volúmenes, caso Nº 1. volúmenes, caso Nº 2.

56. 6. Inferencia estadística para los resultados obtenidos por
el modelo.
6.1 Intervalo de confianza para el promedio de los volúmenes de hormigón.
Caso de interés Nº 1:
N .C = 95%
E = 0,001
α /2 α /2 zα / 2 = 1,960
(1 − α ) n = 154
-0,025 0,025
0,03767 ≤ µ ≤ 0,03966 en [m ] 3

57. 6. Inferencia estadística para los resultados obtenidos por
el modelo (Continuación).
6.1 Intervalo de confianza para el promedio de los volúmenes de hormigón
(Continuación).
Caso de interés Nº 2:
N .C = 95%
E = 0,001
α /2 α /2 zα / 2 = 1,960
(1 − α ) n = 160
-0,025 0,025
0,03784 ≤ µ ≤ 0,03986 en [m ]
3

58. 6. Inferencia estadística para los resultados obtenidos por
el modelo (Continuación).
6.2 Intervalo de confianza para la regresión lineal.
Intervalo de confianza para la pendiente β1 :
N .C = 95%
tα / 2,n − 2 = 1,960
α /2 α /2 n = 1033
(1 − α )
-0,025 0,025
0,5289 ≤ β1 ≤ 0,6177

59. 6. Inferencia estadística para los resultados obtenidos por
el modelo (Continuación).
6.2 Intervalo de confianza para la regresión lineal (Continuación).
Intervalo de confianza para la ordenada al origen β0:
N .C = 95%
tα / 2,n − 2 = 1,960
α /2 α /2 n = 1033
(1 − α )
-0,025 0,025
[
906 ≤ β 0 ≤ 1123 en Kg / m 3 ]

60. 6. Inferencia estadística para los resultados obtenidos por
el modelo (Continuación).
6.3 Prueba de Hipótesis para la regresión lineal.
Prueba de Hipótesis para la pendiente β1:
• Determinación de las hipótesis. 3. Nivel de significancia y región critica.
H 0 : β1 = 0
H 1 : β1 ≠ 0
(1 − α ) = 95%
2. Estadístico de prueba.
ˆ t0 < −tα / 2,n − 2 t0 > tα / 2,n − 2
β1 − β1 *
T0 =
σ2
ˆ
S xx
t0 = 25,3 > t0, 005, 238 = 2,576 ( Cumple )
T0 = 25,3

61. 6. Inferencia estadística para los resultados obtenidos por
el modelo (Continuación).
6.3 Prueba de Hipótesis para la regresión lineal (Continuación).
Prueba de Hipótesis para la pendiente β1:
4. Conclusiones finales:
Caso de rechazar la hipótesis nula. Caso de no rechazar la hipótesis nula.