Numero e

El número e
Luz Myriam Echeverry

46 HIPÓTESIS / APUNTES CIENTÍFICOS UNIANDINOS No. 6 / diciembre 2005

> El número e. Luz Myriam Echeverry

Tabla de Logaritmos que apareció como anexo en la publicación de John Napier 1614.
http://www.math.yorku.ca/SCS/Gallery/milestone/milestone.pdf.

La constante universal π es muy conocida y de antigua Su primera aparición fue indirecta y casi accidental. Para
procedencia. Se define de una manera geométrica muy fabricar la tabla de logaritmos, en su obra Una descrip-
elegante, como el cociente de la circunferencia de cual- ción de la admirable tabla de logaritmos ( Mirifici
quier círculo por su diámetro. Aproximaciones a esta logarithmorum canonis descriptio) [8], publicada en
constante aparecen en tabletas babilonias, papiros egip- 1614, John Napier construyó una lista de números que ini-
cios y textos griegos. En comparación, el número e es ciaba en 107 e iba disminuyendo por un factor de 1-1/107
un recién llegado; aunque algunos arqueólogos han tra- entre uno y otro; la entrada número 10.000.000 sería
tado de mostrar de manera artificial que se encuentra en 3678794, una excelente aproximación de 1/e por 107. El
la Gran Pirámide egipcia como el cociente del doble del factor de 107 lo usó para evitar los decimales que no
ángulo que forma una arista con la plomada, por el án- eran muy aceptados en ese momento. Los “logaritmos”
gulo del ápice de la pirámide. Sin embargo, aparece muy de los números de esta lista eran simplemente los nú-
frecuentemente en las matemáticas y sus aplicaciones meros de 1 a 10.000.000 en orden ascendente, y la tabla
desde el siglo XVII.


John Napier. Inventor de los logaritmos, nació
y vivió en Escocia entre 1550 y 1617.
En la literatura, su apellido aparece con
ortografías diferentes: Napeir, Nepair, Nepeir,
Neper, Napare, Naper, Naipper. En su época,
su nombre se escribía, más comúnmente,
Jhone Neper. [5]

49

resultante correspondía aproximadamente a la función, encontrar la abscisa x = a, tal que el área entre la hipér-
7 7
y = -10 ln(x/10 ) que, si nos olvidamos de los térmi- bola y = 1/x, el eje x y las rectas x=1 y x= a sea
nos 107, viene a estar muy cerca del logaritmo natural exactamente uno. Este número a es precisamente e, que
actual1, de base e, llamado también logaritmo neperiano Leibniz estimó, al parecer, reemplazando la hipérbola por
en honor a su inventor. una parábola de la cual conocía el área bajo la curva.

Napier, barón de Merchiston, explicaba que su trabajo El número e siguió apareciendo de manera indirecta a
facilitaría la multiplicación y división de números muy través de los logaritmos. En 1668, en un trabajo del as-
grandes o muy pequeños al convertir estas operaciones trónomo Nicolaus Mercator, titulado Logarithmotechnia,
en sumas y restas; al igual que las potencias y raíces, se encuentra la serie para calcular logaritmos naturales2,
que se transformaban en productos y cocientes. La ayu- que en notación moderna corresponde a:
da a los astrónomos fue inmensa, ya que ellos utilizaban
funciones trigonométricas que generaban números con .
muchas cifras significativas. Napier también incluía en En este trabajo se usa por primera vez el término ‘loga-
su tabla los logaritmos del seno de varios ángulos y de ritmo natural’ para referirse a los logaritmos con base e,
sus fracciones. Sin embargo, no hay ninguna referencia pero el número como tal no aparece.
en su obra al número e ni a la base de sus logaritmos,
pues por algún tiempo éstos no fueron calculados con Por fin, en 1683, apareció una definición precisa del nú-
una base en mente. mero e en un trabajo de Jacobo Bernoulli (Suiza, 1654-
1705) sobre interés compuesto. La presentación moderna
En 1661 Christiaan Huygens relacionó el número e con de este problema es la siguiente. Se invierte una suma B
la hipérbola rectangular. Ya se venía sospechando que el a interés compuesto con una tasa de interés del 100%,
área debajo de la curva y = 1/x estaba relacionada con por un cierto período –un año, por ejemplo–. Al dividir el
los logaritmos. El problema que propuso Huygens fue período en n intervalos iguales, la tasa de interés para
cada período es (100%)/n ó 1/n. Al final del primer in-
tervalo de tiempo la cantidad de dinero que se tiene es
B + (1/n) B = (1 + 1/n)B, el monto inicial más el inte-
rés. Al final del segundo período, se repite el cálculo, pero
con (1 + 1/n)B en lugar de B y se obtiene (1 + 1/n)2 B;
continuando el proceso, al cabo de n períodos, se tiene

1
Por el signo negativo en la fórmula, se aproxima más al logaritmo en
base 1/e.
2
La serie fue descubierta independientemente por él y por Isaac Newton
en 1665, pero la primera publicación fue de Nicolaus Mercator en 1668.
3
Por ejemplo, 5! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 ≥ 2 • 2 • • 2 • 2 = 24.
4
Es posible que una suma de un número infinito de términos positivos
crezca sin límite, pero también puede tender a un número dado, como en
el ejemplo clásico de la siguiente serie geométrica que tiende a uno [3],

.
Figura 1. Si el área sombreada debajo de la curva y = 1/x es uno, la
abscisa que marca la segunda línea vertical es la constante e. Este tipo de detalles aún no se comprendía en la época de Bernoulli.


donde

3

,

Gottfried Leibniz
(1646-1716). Filósofo y matemático nacido vemos que
en Leipzig (ahora Alemania). Inventor, junto
con Newton, del cálculo infinitesimal.
http://www.hab.de/museum/images/leibniz.jpg

(1 + 1/n)n B, esto es, (1 + 1/n)n veces la inversión .
original. Si se calcula el interés en intervalos cada vez más
cortos, es decir, con n cada vez más grande, llegamos al Se tiene entonces que
‘interés compuesto continuo’. Por esta razón, Bernoulli
trató de calcular el límite de (1 + 1/n)n cuando n tiende a , cualquiera que sea n.
infinito, notado,
Luego, el límite de (1 + 1/n)n cuando n tiende a infinito,
(1). también está entre dos y tres4.

Este límite es la definición del número e, y ésta fue la pri- Parece que la conexión entre la función exponencial y el
mera vez que se definió un número mediante un límite. logaritmo también fue descubierta por Jacobo Bernoulli
en 1684, aun cuando es posible que James Gregory (Es-
Bernoulli mostró, además, utilizando el teorema del bino- cocia, 1638-1675) la haya notado antes.
mio, que este límite tiene un valor entre 2 y 3. La demostra-
ción es como sigue. Por la fórmula del binomio, se tiene que: Quien propuso usar la letra e para este número5 fue el
gran matemático suizo Leonhard Euler, en el manuscrito
titulado “Meditaciones sobre los experimentos recientes
en el encendido del cañón” (“Meditatio in experimenta
(2). explosione tormentorum nuper instituta”), escrito entre
1727 y 1728, e impreso por primera vez en 1862 en San
O sea: Petersburgo, como parte de un compendio de la obra de
Euler denominado Opera postuma mathematica et physica.
En el manuscrito, e aparece dieciséis veces.

. Euler encontró varias propiedades del número e, pero sólo
en 1748, en su obra Introductio in analysis infinitorum,
Por otra parte, como, la cola de la expansión binomial (2), recopiló estos conocimientos. Allí definió la función
exponencial y el logaritmo natural de manera simétrica:

5
Leibniz utilizó la letra b para el mismo número; otros la han llamado
b ó c. De las varias conjeturas sobre el nombre e, la más popular es
que Euler usó la primera letra de la palabra exponencial.

51

y . > Crecimiento y decrecimiento
En el ejemplo del interés compuesto aparece el creci-
Adicionalmente, utilizó la serie de la función exponencial miento de un capital. El ejemplo de una población de bac-
terias, en el que se supone que el crecimiento poblacional
(3). es proporcional a la cantidad de bacterias presentes, es
similar al del interés compuesto continuamente. La masa
para demostrar propiedades de esta función y su rela- de un material radioactivo que se descompone lleva a
ción con las funciones trigonométricas de seno y cose- un modelo similar, pero en decrecimiento en lugar de
no. Aunque no dice cómo las calculó, Euler dio dieciocho crecimiento. Ambos fenómenos obedecen la fórmula
cifras decimales exactas para el número e: x(t) = x0eκt, donde x(t) es la cantidad de bacterias o
material en el tiempo t siendo x0 la cantidad inicial y κ
e = 2.718281828459045235. es una constante propia del modelo, positiva en el caso
de crecimiento y negativa si hay decrecimiento. Aun
Las dieciocho cifras decimales se obtienen tomando vein- cuando este modelo para poblaciones parezca muy sim-
te términos de la serie (3), con x = 1. plista, en general, en todos los modelos poblacionales,
aun en los más elaborados, interviene el número e.
> Apariciones de e
> Fórmula famosa El modelo de estos dos ejemplos obedece a una ecua-
La fórmula más impactante en la que aparece el número ción diferencial, con condición inicial, muy simple:
πi
e es e +1 = 0 . Felix Kline (1809-1925) la resumió di-
ciendo: “allí esta todo el análisis”. La ecuación relaciona
las cinco constantes más importantes de las matemáti-
cas: π, e, i = y 0. También usa tres operaciones
importantes: adición, producto y exponenciación; por En ésta se indica que la razón de cambio, o derivada, dx / dt,
último, presenta el concepto central de igualdad. La base de una cantidad que varía con el tiempo, x (t), es propor-
de este resultado es la fórmula de Euler para números cional al monto de esa misma cantidad. La constante de
iθ
complejos: e = cosθ + isenθ. proporcionalidad es κ, y la condición estipula que en el ins-
tante t = 0, la cantidad es x0. En la solución de esta ecua-
ción interviene el número e, porque las únicas funciones
que la satisfacen son de la forma x(t) = A eκt, donde A
es una constante. Las aplicaciones de e en ecuaciones
diferenciales son múltiples en modelos matemáticos de
física, en estadística, en teoría de números, y en el campo
del análisis complejo.

> Propiedades de e
El número e es irracional, lo que significa que no se pue-
de representar como el cociente de dos números ente-
Jacob Bernoulli (Suiza,1654-1705). Fue el mayor de una numerosa
familia de matemáticos. http://www.ppsw.rug.nl/~boomsma/waar.htm ros, p/q, y que por lo tanto, su expansión decimal no es


periódica y no termina nunca. Esto fue .
demostrado por Euler. Es más, e es
un número trascendente, es decir, no El séptimo problema de Hilbert, enun-
es raíz de una ecuación polinomial con ciado en 1900, pregunta si ab es tras-
coeficientes enteros. En contraposi- cendente, siendo a algebraico diferente
ción, , que se sabe que es irracio- de cero y de uno, y b irracional. El teo-
nal desde la Antigua Grecia, no es rema de Gelfond y Schneider lo resuel-
trascendente, pues es la raíz de la ve parcialmente, pero aún no se sabe
e
ecuación x2 - 2 = 0; se dice por lo tanto nada acerca de 2 , por ejemplo, ni si-
que es algebraico. Todos los núme- quiera si es irracional.
ros racionales son algebraicos, por-
que son raíces de ecuaciones de la En 1956 Niven demostró que er es tras-
forma qx - p = 0. Además, todos los cendente para todo racional r. En 1996
trascendentes son irracionales. Nesterenko demostró que eπ + π es
irracional. No se sabe si la suma π + e
Liouville probó la existencia de núme- y el cociente π/e son irracionales o tras-
ros trascendentes en 1844, y luego cendentes. Tampoco se ha estableci-
Cantor mostró que hay más trascen- do la irracionalidad de números como
dentes que algebraicos, aun cuando ha , o de la constante de Euler,
sido difícil determinar qué números γ, definida como
son trascendentes. En 1873 Charles
Hermite (Francia, 1822-1901) demostró .
la trascendencia de e, nueve años antes
de que Ferdinand von Lindemann de- > Cálculo computacional de e
mostrara la de π. Existen otros resulta- Hay varios métodos para calcular e, que
dos más generales. Por ejemplo, Johann utilizan series, límites o fracciones con-
H. Lambert (Alemania, 1728-1777) ha- tinuadas. Otros más elaborados usan
p/q
bía establecido que e es irracional productos infinitos o aproximaciones de
si p y q son enteros no nulos; así, e2 Pade [7].
también es irracional. El teorema de
Gelfond y Schneider, demostrado de > Series
manera independiente por cada uno Ya se presentó, con la serie de poten-
de ellos en 1934, dice que ab es tras- cias (3), una manera de calcular el nú-
cendente si a es algebraico diferente mero e como lo pudo haber hecho Euler.
de cero y de uno, y b es irracional y La misma serie y el límite (1) son la base
algebraico. Entonces, la constante de de las aproximaciones siguientes.
Leonhard Euler. Nacido en Basilea en 1707, vivió
fuera de Suiza desde muy temprana edad. Trabajó Gelfond, eπ, es trascendente y por lo
primero en la Academia de Berlín, contratado por
Federico el Grande y, luego, por invitación de tanto irracional, puesto que Resulta siempre importante estimar
Catalina la Grande, fue presidente de la Academia de
San Petersburgo, hasta su muerte en 1783. cómo se comporta el error de las es-

53

timaciones para poder comparar la rapidez con que con- El error buscado es:
vergen a e . Por ejemplo, al aproximar el límite
105 .
con (1+1/105) , usando n = 105, el error
que se comete es
Teniendo en cuenta que si x es grande 1/x es mucho
105
e - (1+1/10 ) 5
. mayor que 1/xn para n ≥ 2, podemos decir que el error
es del orden de e/2x. Esto implica que al aproximar e
¿Cuál sería un buen estimativo de este error? Tratare- con x = 10 5 , se comete un error del orden de
mos de encontrarlo a continuación. . En efecto,

Comenzamos con la serie de Mercator: ,

mientras que e ≈ 2.7182818285, y la diferencia entre
estos dos números es aproximadamente 0.00001.
Ésta es válida para -1 < x ≤ 1. Reemplazando primero x
por 1/x y, multiplicando después por x, obtenemos: La aproximación se puede mejorar sustancialmente par-
tiendo de la fórmula (4), remplazando x por 2x. Con un
(4). poco de álgebra tenemos:

Luego,

Y al reemplazar x por –x:

.

Al sumar, usando las propiedades de los logaritmos,
7
Como , se tiene que se obtiene:

...

,

que, al cancelar el factor de dos, y siguiendo el mismo
. proceso del ejemplo anterior, resulta en:

Por lo tanto, .

. Esto significa que al aproximar , el error es
del orden de e /12x . En otras palabras, al usar el mismo
2


En cambio, si es 16/45 se escribe como ó

.

En general, un número P/Q se escribe como

,

con a0, a1, a2… enteros positivos, aunque el caso ne-
gativo también se puede tratar. La fracción continuada
Charles Hermite (Francia,1822-1901). Hizo importantes se llama simple si los numeradores de todas las fraccio-
contribuciones al álgebra, la teoría de números y el análisis.
nes son uno. Esta fracción continuada simple se puede
x = 10 del ejemplo anterior, el error apenas será del orden escribir de manera abreviada como [a0; a1, a2, a3, ...],
5

de e / 12 1010 ≈ 2 10-11. Basados en esta idea los autores donde la parte entera es separada por un punto y coma
• •

H. Brothers y J. Knox [1] presentan una excelente aproxi- de la parte fraccionaria.
mación dada por:
Euler descubrió que e se puede escribir como

,
.

cuyo error es del orden de .

> Fracciones continuadas
La técnica de fracciones continuadas se usa para aproxi-
mar números reales. Si el número es racional, la frac-
ción continuada es finita; si es irracional, no es finita.
Por ejemplo, la fracción 45/16 se escribe como 2+13/16, Al ir sumando las fracciones:
es decir,

.

se obtiene la sucesión:

55

que converge a e. Aun cuando Euler no mostró cómo la y el error será del orden de 1/q k2 ≈ 10-14
obtuvo, por el simple hecho de que la fracción continua- = 0.00000000000001. Lo que significa que
da no termina, quedaba demostrado que e es irracional.
y
Euler encontró otras fracciones continuadas relaciona-
das con el número e, como la siguiente: 2.7182818284585140462108495,

.
donde se puede tener certeza de las primeras trece ci-
fras decimales. Con k = 1500 se tienen 10.000 cifras
decimales correctas y con k = 12000 se llega a 100.000
cifras. Aun cuando para utilizar este algoritmo en un com-
En la forma abreviada, [a0; a1, a2, a3, ...], esta fracción putador hay que ser cuidadoso en el manejo de un nú-
se puede escribir como mero grande de cifras significativas, se ve que este
método de aproximación es muy eficiente.
,

donde se evidencia el patrón, puesto que a partir del 6, Euler también experimentó aproximaciones con fraccio-
los ai aumentan en cuatro unidades. Con esta notación nes continuas generales como la siguiente, donde la re-
es fácil dar un algoritmo para encontrar la sucesión de gularidad del patrón es asombrosa:
fracciones de una fracción continuada simple.
.
En general, si x es la fracción continuada simple repre-
sentada por [a0; a1, a2,... ak, ...] y pk / qk es la k-ésima
fracción de la sucesión, los numeradores y denominado-
res de estas fracciones están relacionados como sigue:
Con los computadores actuales se tiene una buena herra-
mienta para calcular las constantes famosas, y en internet
se encuentran muchas páginas con esta información. Va-
y luego, rios equipos de investigadores están calculando dígitos
de e, entre los cuales se destaca el de Shigeru Kondo, que
reportó en octubre de 2003 la cantidad de 50.100´000.000
.
dígitos calculados correctamente. El cálculo computacional
Se puede demostrar que en cualquier fracción continua- del número e y sus propiedades no tienen aplicación in-
da simple, si , la aproximación , con mediata en la solución de problemas concretos. Sin em-
un k dado, tiene un error del orden de [11]. Así, en el bargo, su estudio sigue avanzando y cada día hay nuevos
ejemplo anterior, si utilizamos k = 7, resultados interesantes desde el punto de vista teórico. Lo
que todos los matemáticos tienen por cierto es que por
p7 = 8927353 más potentes que sean los computadores, nunca será po-
q7 = 10391023 sible calcular todas las cifras decimales de e. Sin embar-
go, e existe como número real… en el mundo de las ideas.


> Referencias
[1] H.J. Brothers y J.A. Knox. New Closed-Form Approximations to the Logarithmic
Constant e. The Mathematical Intelligencer 20(4) (1998).

[2] W. Rudin. Real and Complex Analysis, 2a ed., (McGraw-Hill,
New York, 1974).

[3] J. Steward. Calculus Early Transcendentals, 4 a ed.,
(Brooks/Cole Publishing Company, New York, 1999).

[4] J.J. O’Connor y E.F. Robertson. The Number e.
The MacTutor History of Mathematics Archive,
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/e.html
(septiembre 2001).

[5] J.J. O’Connor y E.F. Robertson eds.
The MacTutor History of Mathematics Archive,
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history (agosto 2005).

[6] R.D. Knott. Other numbers with patterns in their CFs.
An Introduction to the Continued Fraction,
http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/
Fibonacci/cfINTRO.html#intro (Julio 2005).

[7] X. Gourdon y P. Sebah. The Constant e and its Computation.
Numbers, constants and computation,
http://numbers.computation.free.fr/Constants/E/e.html (diciembre, 2001).

[8] E.W. Weisstein. e Approximations. MathWorld—A Wolfram Web Resource,
http://mathworld.wolfram.com/eApproximations.html (noviembre 2005).

[9] J. Napier. A Description of the Admirable Table of Logarithms (traducción de
Edward Wright (1616) del original
Mirifici logarithmorum canonis descriptio publicado en 1614)
http://www.johnnapier.com/table_of_logarithms_001.htm (2002).

[10] E.W. Weisstein. Irrational Number.
MathWorld—A Wolfram Web Resource,
http://mathworld.wolfram.com/IrrationalNumber.html (noviembre 2005).

[11] D.M. Burton. Elementary Number Theory, 5 a ed.,
(McGraw-Hill, New York, 2002).

> Reseña del autor
Luz Myriam Echeverry
lechever@uniandes.edu.co

Matemática de la Universidad de los Andes con doctorado de tercer
ciclo de la Universidad Pierre y Marie Curie, Paris VI. Profesor asociado
del Departamento de Matemáticas de la Universidad de los Andes.
Su área de especialización es el análisis numérico.

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