1. TRIGONOMETRIA
John Fedy Chaves Hernandez
L ic e n c ia d o e n ma t e má t ic a s
C o l e g io E s t a n is l a o Z u l e t a
10

2. Aplicaciones de la TRIGONOMETRIA: topografía,
navegación e ingeniería.
Trigonometría se refiere a la medida de los lados y los
ángulos de un triángulo
Podemos desarrollar el tema de trigonometría por medio de dos enfoques,
éstos son:
• El círculo
• El triángulo rectángulo

3. TRIGONOMETRÍA
Enfocada por medio del
TRIANGULO RECTANGULO

4. TRIÁNGULO RECTÁNGULO
γ hipotenus
a
α β
catetos
Triángulo
Característica principal de un triángulo rectángulo es
que uno de sus ángulos mide 900 en este caso alpha.
rectángulo

5. CARACTERISTICAS IMPORTANTES SOBRE LOS TRIÁNGULOS
RECTÁNGULOS.
n triángulo consta de tres lados y de tres ángulos.
γ
a suma de los tres ángulos es 1800
a suma de la longitud de cualquiera de dos de los
lados del triángulo es mayor que la longitud del
tercer lado.
ea h la hipotenusa, a y b los catetos, entonces

6. NOMBRAR ÁNGULOS
os ángulos se nombran con letras griegas para
identificarlos. Algunas de las letras que
utilizamos son como por ejemplo;
γ “gamma”; α“alpha” ; β “betha”

7. RELACIONES DE LOS TRIANGULOS
odemos relacionar los lados de un triángulo
rectángulo con sus ángulos por medio de las
relaciones trigonométricas.
or medio de éstas relaciones trigonométricas
podemos hallar información sobre ya sea un lado
o un ángulo que desconocemos del triángulo.
as relaciones trigonométricas son seis, tres de ellas
son fundamentales ya que dan origen a las otras.

8. RELACIONES TRIGONOMETRICAS PARA UN
TRIANGULO RECTANGULO
elaciones básicas
lado opuesto elaciones recíprocas
1 hipotenusa
senoγ = cos ecante γ = =
senγ lado opuesto
hipotenusa
lado adyacente 1 hipotenusa
coseno γ = sec ante γ = =
hipotenusa cos enoγ lado adyacente
lado opuesto 1 lado adyacente
cot angente γ = =
tangente γ = tan γ lado opuesto
lado adyacente

9. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN
TRIÁNGULO RECTÁNGULO
γ
as tres funciones trigonométricas
básicas para el ángulo γ
lado opuesto
senoγ = Lado
hipotenusa adyacente Lado
a opuesto a
lado adyacente “gamma”
coseno γ = “gamma
hipotenusa ”
lado opuesto
tangente γ =
lado adyacente

10. EJEMPLO 1
MEDIDA DE LA HIPOTENUSA
γ c = a2 + b2
3 c = 4 2 + 3 2 = 16 + 9 = 25
c=5
4
1 5
cos ecante γ = =
lado opuesto 4 senγ 4
senoγ = =
hipotenusa 5
1 5
lado adyacente 3 sec ante γ = =
coseno γ = = cos enoγ 3
hipotenusa 5
lado opuesto 4 1 3
tangente γ = = cot angente γ = =
lado adyacente 3 tan γ 4

11. CONTINUACIÓN EJEMPLO 1
4 3 4
senoγ = = 0 .8 coseno γ = = 0 .6 tangente γ = = 1.33
5 5 3
5 5 3
cos ecante γ = = 1.25 sec ante γ = = 1.67
4 3 cot angente γ = = .75
4
Podemos utilizar cualquiera de
γ los valores anteriores para
3
determinar la medida del
ángulo γ
4
Veamos el siguiente
ejemplo

12. γ
3
Hallar la medida del ángulo indicado.
4
Calcula una de las relaciones
trigonométricas según la información
4
que te provea el ejercicio. senoγ = = 0.8
5
La razón seno γ es .8 , si necesito hallar la medida de
γ y conozco el valor de seno γ , la función inversa de
seno me permite encontrar el valor de γ de la siguiente
forma:
Si seno γ = .8 , entonces γ = seno −1 (.8)

13. CALCULAR LA INVERSA DE SENO
Si seno γ = .8 ,
entonces Presenta la respuesta en :
γ = seno −1 (0.8) Grados___ Radianes___
Utilizaremos la calculadora
ENTRADA EN LA CALCULADORA
0.8 SEN-1 =

14. ENTRADA EN LA CALCULADORA
.8 SEN-1 =
Pantalla
Radianes Grado
.927 53.13
Recuerda escoger en tu calculadora la unidad de
medida para el ángulo, (grados o radianes) antes
de hacer los cómputos.

15. PRACTICA 1
Utiliza la información de la siguiente
figura para contestar las siguientes 3 β
preguntas. 4
1. Calcula las seis relaciones trigonométricas para β
2. Halla el valor de β , en grados y en radianes,
utilizando la relación coseno.
3. Halla el valor de β , en grados y en radianes,
utilizando la relación tangente.

16. Respuestas -PRACTICA 1
1. Calcula las seis relaciones trigonométricas para β
3
seno β = = .6 5
5 cos ecante β = = 1.67
3
4 5
coseno β = = .8 sec ante β = = 1.25
5 4 4
3 cot angente β = = 1.33
tangente β = = .75 3
4
2. Halla el valor de β , en grados y en radianes, utilizando la
relación coseno. 4 −1
coseno β = = .8 cos eno (.8) =
5
radianes .6435 grados 36.87
3. Halla el valor de β , en grados y en radianes, utilizando la relación
tangente. tangente β = 3 = .75 ; tan − 1 (.75) = γ
4
0
radianes .6435 grados 36.87

17. Compara las relaciones trigonométricas
seno y coseno de γ y β
γ=53.130 β = 36.870
4 3
senoγ = = 0. 8 seno β = = .6
5 5
3 4
coseno γ = = 0. 6 coseno β = = .8
5 5
La suma de γ y β es 900
Por tanto γ y β son ángulos complementarios.

18. Sean γ y β dos ángulos
complementarios, entonces,
encontramos las siguientes
relaciones:
cos γ = senβ cos β = senγ
csc γ = sec β csc β = sec γ
tan γ = cot β tan β = cot γ

19. PRACTICA 2
Utiliza la información de la siguiente β
3 γ2
figura para contestar las siguientes
preguntas.
2
1`. Halla el valor de β , en grados y en radianes.
2. Halla el valor de γ , en grados y en radianes.

20. Respuestas -PRACTICA 2
1. Halla el valor de β , en grados y en radianes.
2 −1
tangente β = = 1.1547 tan gente (1.1547 ) =
3
radianes .8571 grados 49.11
2. Halla el valor de γ, en grados y en radianes.
En la forma corta tenemos que γ + β= 90,
Por lo tanto γ= 90 - β
γ= 90-49.11=40.89
Utilizando las relaciones trigonométricas tenemos
3 −1
tangente β = = .866 tan gente (.866) =
2
radianes .7137 grados 40.89

21. Observación
Si conozco dos de los lados de un
triángulo rectángulo puedo hallar la
medida de sus ángulos.

22. Ejemplo 2
Halla la medida de la hipotenusa del
siguiente triángulo.
12 es la medida del lado opuesto a 40 grados
40
12 es la medida del lado adyacente de 50
grados
12
12 12
seno 40 = cos eno 50 =
x x
12 12
.6428 = despejamos para x .6428 = despejamos para x
x ó x
12 12
x= x = 18.668 x= x = 18.668
.6428 .6428
Como 40 y 50 son complementarios entonces seno 40=coseno 50

23. PRACTICA 1
Halla la medida de los dos catetos del
siguiente triángulo
a
30
b
25

24. Respuestas-PRACTICA 1
Halla la medida de los dos catetos del siguiente
triángulo a
30
b
25
b
seno 30 = a
25 cos eno 30 =
25
b
.25 = a
25 .87 =
25
despejamos para b
despejamos para b
b = (.5)(25) =12.5 b = (.87)(25) = 21.65

25. APLICACIO
N
Estamos cargando una escalera de largo L
por un pasillo de 3 pies de ancho hacia un
area de 4 pies de ancho, según el siguiente
dibujo. 3 pies
escalera θ 4 pies
Halla la medida del largo de la
escalera como función del
ángulo θ tal como se ilustra.

26. 3 pies
escalera θ 4 pies

27. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 415 m y
b = 280 m. Resolver el triángulo.
jemplos
sen B = b/a =280/415 = 0.6747
B = arc sen 0.6747 = 42° 25′
C = 90° - 42° 25′ = 47° 35′
c = a cos B
c = 415 · 0.7381 = 306. 31 m

28. DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO ABC, SE CONOCEN B = 3 M Y B =
54.6°. RESOLVER EL TRIÁNGULO