Este documento presenta un análisis de Fourier y transformada Z realizado por estudiantes de la Escuela de Telecomunicaciones de la Universidad Fermín Toro. En él, los estudiantes resuelven tres problemas: 1) hallar el espectro de amplitud y fase de una señal, 2) calcular la potencia del sistema, y 3) realizar cálculos sobre la transformada Z como determinar polos y ceros, y analizar la causalidad y estabilidad del sistema.

1. Universidad Fermín Toro
Vice-Rectorado Académico
Decanato de Ingeniería
Escuela de Telecomunicaciones
ANÁLISIS DE FOURIER Y TRANSFORMADA Z
Jonny Gracía
Rubén Quintero 22.198.459
Rafael Rivero
Antonio Suarez 19.433.786
Análisis de Señales
MI-16
Cabudare, 11 de Febrero 2011

2. 1. a) Hallar el espectro de amplitud y fase.
b) Hallar la potencia del sistema.
Solución
a) Se desarrolla el coeficiente de serie compleja de Fourier a través de la ecuación:
Sustituyendo los términos en la ecuación:
De acuerdo a la definición de la función seno complejo:
La expresión anterior puede simplificarse a:
Teniendo en cuenta que:

3. Finalmente se llega a:
El espectro de amplitud viene dado por la expresión:
Donde k es una variable entera, por lo tanto el argumento de la función sampling es
discreta, se mostrará la envolvente del espectro de amplitud en función de la frecuencia
angular
La envolvente del espectro de fase viene dado por:

4. b) La potencia del sistema viene dado por:
Donde ya que la función debe normalizarse. Por lo tanto:
2. Hallar la potencia del sistema
La potencia se calcula a través del conocido teorema de Parseval:

5. 3. Transformada z
a) Cálculo de polos y ceros: Los ceros son los elementos que anulan el numerador y los
polos los números que anulan el denominador de una función racional. Se tiene:
Para hallarlos debe factorizarse la expresión anterior. Aplicando un artificio matemático
(multiplicar y dividir por la misma variable, en este caso por )
Los ceros de la función son:
Los polos son:
b) Causalidad y Estabilidad:
Para que el sistema sea causal (La respuesta depende únicamente de la entrada) debe
cumplir con las condiciones:
(i) Grado de Grado de
(ii) Radio de convergencia es exterior a los polos
En este caso (i) se cumple puesto que P(z) es de segundo grado al igual que Q(z), donde
ambos polinomios representan el numerador y denominador respectivamente.
Para averiguar si (ii) se cumple, debe determinarse el radio de convergencia; escribiendo
la función racional de la forma:

6. El radio de convergencia de los polos es:
Como puede verse, el radio de convergencia es exterior a los polos, en consecuencia, (ii)
también se cumple y en conclusión el sistema es causal.
Para determinar si un sistema es estable, la condición que debe cumplir es que el Radio
de Convergencia debe incluir a . Gráficamente puede verse que esto no es así ya
que más bien el radio de convergencia es exterior a éste así que el sistema es intestable.
c) Diagrama del circuito