1. InstitutoUniversitariode TecnologíaAntonioJosé de Sucre
PedroHernández
Electricidad
Esc. “70”
Respuesta en Frecuencia
Se conoce por respuesta en frecuencia, a la respuesta de un sistema, en régimen
permanente, cuando se utiliza como señal de entrada una excitación senoidal de
amplitud constante y de frecuencia variable desde cero hasta infinito. La respuesta de un
sistema LTI ante este tipo de excitación, es otra senoidal de la misma frecuencia que la
entrada, pero que difiere en amplitud y fase (ver figura 11.1).
Las dos ventajas principales que presentan este método son: la facilidad
experimental de realización y que la FDT en el dominio frecuencia se obtiene
reemplazando las del dominio complejo de las Transformadas de Laplace por jω. La
nueva función, G(jω), es una función de variable compleja, cuya representación en
módulo y argumento expresará, la amplificación o atenuación del equipo y el desfase
introducido a una determinada frecuencia. Para llegar a estas conclusiones se partirá de
un sistema LTI al que se le excita con un armónico y
cuya variable independiente es su frecuencia:
Aplicando transformada de Laplace a cada
una de las partes de la igualdad será:
La señal de salida será la convolución entre la
excitación de entrada y la FDT del sistema. Al
considerar que el equipo es lineal, su función puede ser expresada por dos polinomios,
uno en el numerador N(s) y otro en el denominador D(s); cumpliendo la condición de
existencia física que exige que el grado del denominador sea mayor o igual al del
numerador.
Como se acaba de observar, la respuesta en frecuencia transcurre en el dominio
complejo. Por esta razón, se puede hacer una presentación visual de la respuesta en dos
curvas: módulo y argumento. La primera indica la amplificación o atenuación del
sistema en el espectro de la frecuencia. Mientras el argumento refleja cuánto adelanta o
retrasa la señal de salida respecto a la entrada. A esta representación gráfica se la llama
el diagrama de Bode. Una de las dos curvas es el módulo respecto a la frecuencia. A
esta representación se le llamará el diagrama de amplitud. En ella las escalas serán
logarítmicas, de forma que en el eje de ordenadas, la amplitud, se encontrará la ganancia
en decibelios y en abscisas, la frecuencia, estará en décadas:

2. InstitutoUniversitariode TecnologíaAntonioJosé de Sucre
PedroHernández
Electricidad
Esc. “70”
Hay que destacar que trazados por encima de
los 0dB significará que el sistema a esa frecuencia
tiene capacidad de amplificación, mientras por debajo
indicará que en esa parte del espectro de la frecuencia,
el sistema atenúa, esto es, la señal de salida es más
pequeña, en amplitud, que la entrada.
En cuanto al argumento se refleja en el
diagrama de fase, donde el eje de abscisa es igual que
en el módulo, es decir, en décadas y el eje de ordenadas
se deposita el argumento en escala natural.
Resumiendo, la variable independiente será la frecuencia que será expresada en
décadas, log10ω. En la curva del módulo de la FDT, |G(ω)|, será cuantificada en
decibelios, 20 log10 |G(ω| [dB]. La representación del desfase, el argumento, ϕ(ω), será
la variable dependiente y se medirá en escala natural.
La ventaja de la representación logarítmica reside en que los productos se
convierten en suma y las divisiones en resta. Luego para sistemas LTI constituidos
como un producto de polos y ceros, su representación en el diagrama de Bode se
convertirá en la suma y resta de componentes básicos.
Más concretamente, la repuesta en frecuencia de un sistema LTI estará
constituida por la sustitución en la FDT de s por jω. Por tanto, se configurará como la
fracción de ceros y polos de primer y segundo orden.
Diagrama de Bode
Es una representación gráfica que
sirve para caracterizar la respuesta
en frecuencia de un sistema.
Normalmente consta de dos gráficas
separadas, una que corresponde con
la magnitud de dicha función y otra que
corresponde con la fase. Recibe su
nombre del científico estadounidense que
lo desarrolló, Hendrik Wade Bode.
Es una herramienta muy utilizada
en el análisis de circuitos en electrónica,
siendo fundamental para el diseño y análisis de filtros y amplificadores.
El diagrama de magnitud de Bode, dibuja el módulo de la función de
transferencia (ganancia) en decibelios en función de la frecuencia (o la frecuencia
angular) en escala logarítmica. Se suele emplear en procesado de señal para mostrar la
respuesta en frecuencia de un sistema lineal e invariante en el tiempo.

3. InstitutoUniversitariode TecnologíaAntonioJosé de Sucre
PedroHernández
Electricidad
Esc. “70”
El diagrama de fase de Bode, representa la fase de la función de transferencia en
función de la frecuencia (o frecuencia angular) en escala logarítmica. Se puede dar
en grados o en radianes. Permite evaluar el desplazamiento en fase de una señal a la
salida del sistema respecto a la entrada para una frecuencia determinada. Por ejemplo,
tenemos una señal A sin (ωt) a la entrada del sistema y asumimos que el sistema atenúa
por un factor x y desplaza en fase −Φ. En este caso, la salida del sistema será (A/x) sin
(ωt − Φ). Generalmente, este desfase es función de la frecuencia (Φ= Φ(f)); esta
dependencia es lo que nos muestra el Bode. En sistemas eléctricos esta fase deberá estar
acotada entre -90° y 90°.
Aplicación
Si tenemos la función de transferencia
Si tomamos ln:
a) si ω << z:
b) si ω >> z: Tendremos una recta de pendiente 20 dB/década y
Se corta con la recta de 0 dB cuando

4. InstitutoUniversitariode TecnologíaAntonioJosé de Sucre
PedroHernández
Electricidad
Esc. “70”
Las frecuencias entre el punto B y el punto A abarcan una década. La
desviación máxima entre la aproximación y la real es de 3dB.
En cuanto a la parte imaginaria de :
Se representa como dos rectas: una a 0º para ω << z y otra a 90º para ω >>
z, unidas por una recta de pendiente 45º/década, que pasa por el punto
(log z, 45º).
Criterio De Estabilidad De Bode
El criterio de estabilidad de Bode para la respuesta de un sistema en el dominio
de la frecuencia, puede determinar los límites de estabilidad para lazos de control por
retroalimentación aun cuando se incluya un tiempo muerto en el lazo. El criterio
consiste en determinar la frecuencia a la cual el ángulo fase de la función de
transferencia de lazo abierto es -180° (-π radianes) y la Relación entre las Amplitudes
para dicha frecuencia. El criterio de estabilidad de Bode determinado sobre la base de la
respuesta de un sistema en el dominio de la frecuencia se puede establecer de la
siguiente manera:
Para que un sistema sea estable, la Relación entre las Amplitudes debe ser menor
que la unidad cuando el ángulo fase es -180° (-π radianes). Es decir,
Si AR < 1 a un θ = - 180°, el sistema es estable
Si AR > 1 a un θ = - 180°, el sistema es inestable
Para un AR = 1 a un θ = - 180°, los diagramas de Bode de una lazo de control por
retroalimentación permiten determinar la ganancia última del controlador, Kcu. La

5. InstitutoUniversitariode TecnologíaAntonioJosé de Sucre
PedroHernández
Electricidad
Esc. “70”
frecuencia a la que se alcanza esta condición es la frecuencia última, ωn. El período
último se puede calcular a partir de esta frecuencia, mediante la fórmula Tu = 2π/ωn
Análisis de estabilidad de un lazo de control proporcional mediante el
Diagrama de Bode
Considere un lazo de control con las siguientes funciones de transferencia para
cada uno de sus elementos.
Controlador:
Válvula de control:
Proceso:
Sensor/Transmisor:
La función de transferencia en lazo abierto (OLTF) es por lo tanto:
(17.17)
El diagrama de bode correspondiente a la función de transferencia de lazo
abierto (17.17) se muestra en la Figura 17.11