El analisis dinamico de construcciones sismo resistentes

EL ANÁLISIS DINÁMICO DE
CONSTRUCCIONES SISMO RESISTENTES
Conceptos básicos y limitaciones
Agustín B. Reboredo
Ingeniero Civil

EL ANÁLISIS DINÁMICO DE CONSTRUCCIONES SISMO RESISTENTES 2
PRÓLOGO 4
INTRODUCCIÓN 5
El análisis dinámico de las construcciones 5
Diseño y análisis 6
CONCEPTOS FUNDAMENTALES SOBRE DINÁMICA ESTRUCTURAL 7
Objetivo de la dinámica estructural aplicada a construcciones sismo resistentes 7
Respuesta estructural 7
Valor máximo de la respuesta 7
Limitaciones 7
Algunas definiciones 8
Grado de libertad 8
Modo natural de vibración 9
Los distintos métodos para el análisis dinámico teórico 10
Vibradores lineales de un grado de libertad 10
Vibradores elásticos de varios grados de libertad 10
Análisis dinámico por integración directa 11
Respuesta de un vibrador de un grado de libertad para excitaciones caóticas 11
LOS PROGRAMAS 12
Programas para el análisis dinámico 12
Programas “unidireccionales” 12
Programas “multidireccionales” 12
Programas de elementos finitos 12
Respuestas por superposición modal 13
Programas de análisis no lineal 13
Problemas numéricos asociados con los programas 13
Algunos casos concretos 14
La calidad de los programas 15
El modelado de la construcción 16
Los vínculos 16
Las propiedades de los materiales 16
La definición de la estructura 17
La validez del modelo 18
Algunas particularidades de la modelación 18
Definición de los grados de libertad 18
Generación del modelo 19
EL MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN MODAL 21
Descripción del método 21
Resultados posibles 21

Superposición modal para movimientos armónicos 21
Superposición modal para movimientos caóticos 21
Limitaciones teóricas a la validez 22
Estructuras “planas” 22
Estructuras espaciales 23
Limitaciones prácticas a la validez 23
Las estructuras reales 23
Comportamiento elastoplástico 23
Ejemplos 24
Pórtico plano de tres niveles 24
Pórtico plano de muchos niveles 26
MODELOS ESPACIALES 31
Particularidades de la modelación espacial 31
Limitaciones provenientes de los programas 31
Limitaciones de la superposición modal en modelos espaciales 31
Acoplamiento de vibraciones en direcciones distintas 32
Un ejemplo de estructura espacial 32
LAS ACCIONES EXTREMAS 35
Particularidades del análisis estructural para estados últimos 35
Consideración de la ductilidad en el método de superposición modal 35
Validez de los resultados 36
CONCLUSIONES 37
El significado del análisis de la estructura 37
Aplicación del método de superposición modal espectral en estructuras espaciales 37
Estructuras “planas” 38
Estructuras elastoplásticas 38
Los programas 38
El diseño... siempre el diseño 39
A MODO DE EPÍLOGO 39
BIBLIOGRAFÍA 40

Prólogo
El objeto de este trabajo es presentar algunas reflexiones sobre el análisis dinámico aplicado a
las construcciones sismo resistentes para servir de apoyo a los colegas y estudiantes en la
aplicación de esos procedimientos. La parte más importante del trabajo se dedica al método
de la superposición modal espectral, que es el más difundido actualmente.
El motivo es el uso creciente de ese tipo de análisis y la creencia muy difundida de que esos
métodos son superiores en cuanto a precisión y a confiabilidad que los métodos llamados
estáticos. Esta creencia conduce a sobrevalorar los resultados del análisis y a descuidar los
pasos previos y posteriores al mismo: diseño conceptual de la estructura, formulación del
modelo y elección del método, interpretación de resultados.
Esta contribución se limita a los aspectos conceptuales, es decir a la interpretación física de
los distintos aspectos del análisis y a su vinculación con el diseño estructural. Para el estudio
de los temas específicos de dinámica estructural se remite al lector a los textos
correspondientes, en particular [2] y [6] de la bibliografía que se suministra al final.
Aunque son de mucho interés práctico y teórico para la ingeniería estructural no se entra en el
análisis detallado de la interacción suelo-estructura, ni del caso de movimientos
independientes de los apoyos, que también se pueden encontrar en varios textos y en
publicaciones de trabajos de investigación. Entendemos que estos temas están fuera de la
práctica corriente por la naturaleza de la mayoría de las construcciones habituales.
Mendoza, Julio de 1996.
Agustín Reboredo

Introducción
El análisis dinámico de las construcciones
El análisis de la respuesta de construcciones sometidas a las acciones de impactos en
general y de sismos en particular requiere una evaluación de su comportamiento dinámico. La
cuestión es por demás compleja en los casos reales. Por un lado se tiene la realidad de la
construcción misma, que pocas veces admite la representación con modelos teóricos
suficientemente sencillos como para que el análisis sea posible con los medios disponibles.
Por el otro se tiene la complejidad de la excitación que en el caso de impactos o de sismos es
de características caóticas, tanto en lo que se refiere a la evolución de la acción en el tiempo
como en lo que se refiere a la intensidad máxima que la misma puede tener y que tampoco
admite esquematizaciones teóricas sencillas.
El advenimiento de las computadoras de escritorio (las PC cada vez más poderosas) al
mundo del trabajo profesional diario sumado al desarrollo de programas con posibilidades de
modelación cada vez más avanzadas, que llegan al asombro, parecería que permite eliminar
las dificultades antes mencionadas. Sin embargo no es así. Las computadoras y los
programas sólo descargan al usuario de la tarea del trabajo rutinario de cálculo, pero dejan
intacta la tarea de representar la construcción y las acciones con un modelo teórico confiable
y la tarea aún más exigente de interpretar los resultados del análisis que eventualmente puede
llevar pocos segundos a la máquina. La masa de resultados suele ser imponente y al
profesional desprevenido puede resultarle muy difícil manejarla adecuadamente. No falta el
caso de aquel que cree de buena fe que “debe estar bien porque es el resultado de la
computadora y del programa”...
Los propios autores de los programas comerciales, que son expertos en programación pero
muchas veces no conocen la práctica de la disciplina a la que se aplicarán sus programas,
tienen fe ciega en ellos y pocas veces proporcionan a los usuarios la información sobre los
alcances y limitaciones de los algoritmos en lo que se refiere a la representación del
fenómeno físico real. En rigor esto no es parte de la especialidad del programador, pero
tampoco es fácil que el usuario novel lo adquiera por sus propios medios, salvo que tenga una
cierta experiencia como programador, lo que no es frecuente. Se crea así un vacío que debe
ser llenado si los programas y las computadoras van a ser utilizados responsablemente.
En el campo del estudio dinámico hoy es moneda corriente la utilización de programas para el
análisis dinámico modal de las estructuras pero no es tan frecuente que se conozcan los
alcances y las limitaciones que pueden esperarse de ese tipo de análisis en primer término.
Tampoco es frecuente que se conozcan los alcances y las limitaciones de los programas
disponibles en relación con la validez física de los procedimientos propuestos, más allá de que
los mismos transcriban un procedimiento de reglamento. Precisamente en el campo del
análisis sísmico es indispensable una aplicación razonada, conceptual del reglamento y no
solo el seguimiento de la letra.
Estas ideas se refuerzan aún más cuando se consideran las acciones dinámicas extremas,
es decir cuando se está aceptando que la construcción debe alcanzar el estado límite de
esfuerzos sin llegar al colapso, como es el caso habitual del proyecto de construcciones
sismo resistentes. En esos casos el modelo se complica porque es necesario considerar la
influencia de toda la construcción, no sólo la de los componentes “estructurales”, porque
normalmente es muy difícil hacer un análisis no lineal y se representa el funcionamiento último
de la construcción por referencia a un estado límite elástico y a una excitación de origen
“elástico” (el espectro de proyecto).
En algunos casos el análisis dinámico se emplea - un tanto ingenuamente - porque se cree
que sistemáticamente se obtendrán valores menores que los resultantes del método estático.

Esto ya presupone una falla de enfoque en el trabajo profesional. Lo importante no es el
resultado que se obtenga para el dimensionado sino la descripción confiable del
funcionamiento de la construcción para mejorar el diseño.
Diseño y análisis
Es bastante común que la aplicación de los procedimientos de análisis actuales (estático o
dinámico) oscurezca con sus dificultades y con la profusión y espectacularidad de la
información el objeto del análisis. El proyectista tiende a sorprenderse por la cantidad de
información y por la aparente precisión de los resultados. Por eso es pertinente volver una y
otra vez sobre el objeto del análisis: predecir el comportamiento probable de la construcción
sometida a las acciones que puedan ocurrir durante su vida útil, con una precisión aceptable
para garantizar la seguridad y la economía.
El análisis de una estructura es una etapa del proceso de diseño, la etapa de comprobación.
El análisis (dinámico o de cualquier otro tipo) debería ser utilizado como indicador del
funcionamiento futuro: si es bueno para aceptar el diseño y si es malo para modificarlo.
Antes de iniciar el análisis estructural se han cumplido las etapas más importantes de la
concepción de la estructura: Se definieron los sistemas resistentes y se dimensionaron sus
componentes. Los caminos para cumplir esas etapas son muy variados y dependen
principalmente de la experiencia y de la capacidad del proyectista. Obviamente los resultados
de etapas intermedias de análisis deberían ser realimentados para optimizar la estructura.
Lo que acá interesa destacar es que el método de análisis por si sólo no mejora el
funcionamiento de una estructura mal concebida, sólo puede, siempre que esté bien
interpretado, mostrar los defectos. Es necesario entonces que los métodos de análisis se
utilicen con prudencia, en especial los más complejos.
Muchas veces las incongruencias y dificultades resultantes de la aplicación de un método de
análisis muy elaborado nacen de fallas de diseño, ya que muestran que la estructura tiene un
comportamiento ambiguo o dudoso. Otras veces muestran que ese método de análisis no
sirve para representar confiablemente el funcionamiento de la estructura.
Cuando se aplica el análisis dinámico ya se ha dimensionado toda la construcción. Quedarán
por definir armaduras y detalles de armado en los componentes de hormigón armado y los
detalles constructivos (uniones, principalmente) en las construcciones de acero. Por lo tanto
el análisis debería servir para confirmar o rectificar un diseño en cuya gestación ya se tomaron
la mayoría de las decisiones que definen el comportamiento de la construcción.
Puede ser útil concluir esta introducción con unas palabras de autor para mi desconocido 1
:
“Hay dos caminos para estudiar un problema natural: Ellos son el del científico puro y el del
ingeniero. El científico puro solamente está interesado en la verdad. Para él hay sólo una
respuesta, la verdadera, no importa cuanto tiempo le tome lograrla. Para el ingeniero, por otra
parte, hay muchas respuestas posibles, todas las cuales son compromisos entre la verdad y
el tiempo, porque el ingeniero debe tener una respuesta ahora; su respuesta debe ser
suficiente para un cierto propósito, aún cuando no sea verdadera en sentido estricto.
Por esa razón el ingeniero debe hacer suposiciones - suposiciones que en algunos casos el
sabe que no son estrictamente correctas - pero que le permiten obtener una respuesta que es
suficientemente verdadera para su propósito inmediato.”
1
Un colega chileno me dio copia de este párrafo (en inglés) que he traducido. No recordaba la fuente pero lo tenía en
un cuadro en su oficina. Agradezco a ese estimado colega la gentileza de regalármela y las conversaciones que
tuvimos.

Conceptos fundamentales sobre dinámica estructural
Objetivo de la dinámica estructural aplicada a construcciones sismo resistentes
El objetivo del estudio dinámico de una estructura es, en última instancia, predecir el
comportamiento de la misma para establecer el grado de seguridad frente al colapso. Como
quedó señalado antes el análisis siempre es la verificación de un diseño, que deberá ser
corregido hasta lograr un comportamiento satisfactorio. La aceptación de este objetivo
primario es importante porque ubica al proyectista frente al problema y le permite descubrir las
limitaciones de los métodos empleados.
Respuesta estructural
Se debe elegir un indicador apropiado para definir el comportamiento de la estructura. El
indicador elegido se llama respuesta de la estructura. La respuesta esencial es el estado de
deformación. Es el estado de deformación el que determina la supervivencia o no de la
construcción. Las solicitaciones o las tensiones - que resultan de las deformaciones según
una ley teórica dada - son indicadores teóricos que pueden ser más fáciles de manejar para
el ingeniero con la formación habitual pero sólo indirectamente representan el estado de
seguridad de una construcción.
En la práctica se pueden elegir distintos indicadores como respuesta: pueden ser los
desplazamientos de puntos escogidos, fuerzas de inercia equivalentes, solicitaciones en los
componentes estructurales, etc. A primera vista la elección del indicador debería ser sencilla y
sin embargo la experiencia prueba que no es así: de otro modo no se explica que
construcciones proyectadas conforme a los criterios de análisis más actuales se dañen
gravemente o aún colapsen en cada terremoto.
Es obvio que la respuesta podría obtenerse en un nivel de detalle tan grande como se
deseara, al menos teóricamente. Por ejemplo sería posible obtener el momento flector en
todas las secciones de una estructura... que son infinitas. Por consiguiente se impone la
necesidad de restringir el número de componentes de la respuesta y esto es una primera
causa de limitaciones.
Valor máximo de la respuesta
En muchos casos es suficiente encontrar el valor máximo de la respuesta para compararla
con un valor de referencia que depende de las características constructivas de la estructura y
predecir la seguridad. Esto es así cuando la respuesta elegida es única y definitoria del
comportamiento de la estructura. En estructuras complejas y con materiales heterogéneos la
cuestión no se define tan directamente.
Limitaciones
Un ejemplo sencillo puede aclarar estos aspectos. Supongamos una pieza de hormigón
armado sometida a flexión compuesta. La combinación del esfuerzo normal de compresión
máximo con el momento flector máximo no es necesariamente la más peligrosa. Sería
necesario estudiar al menos cuatro casos para obtener una envolvente de situaciones y
determinar la seguridad: El momento flector máximo con el esfuerzo normal simultáneo, el
momento flector mínimo con el esfuerzo normal simultáneo, el esfuerzo normal mínimo (de
compresión) con el momento flector simultáneo y el esfuerzo normal máximo (de tracción)
con el momento flector simultáneo. Se debe poner atención sobre la palabra “simultáneo” en
todos los casos. Y si la estructura es espacial la cantidad de combinaciones es mucho mayor.
En estos casos es muy dudoso que el valor máximo de una sola magnitud proporcione el
indicador buscado.

El indicador que toman los reglamentos para definir los métodos llamados estáticos de
evaluación de la acción sísmica parte de estudiar como respuesta las fuerzas equivalentes
aplicadas en las masas que producen el máximo corte en cada piso. Esto es válido en
edificios “de pisos” pero puede ser muy diferente en otro tipo de estructuras. El asunto no ha
recibido la atención que merecería porque la principal preocupación de los estudiosos hasta
ahora era proporcionar métodos sencillos de verificación para un grupo de construcciones
muy frecuentes y también muy peligrosas. Los últimos terremotos demuestran la
vulnerabilidad de todo tipo de construcciones y la peligrosidad de generalizar procedimientos
sin un análisis más detallado de sus limitaciones.
Otro aspecto importante es que los programas disponibles actualmente pueden proporcionar
respuestas de cualquier tipo pero, como se demostró, no necesariamente son útiles para
evaluar el comportamiento de la construcción. Algunas hasta pueden carecer de sentido
físico.
Algunas definiciones
Dentro del propósito de este trabajo cabe presentar la interpretación física, relativa a las
construcciones, de ciertos temas que pueden encontrarse en cualquier texto de dinámica
estructural pero que la experiencia prueba que no son comprendidos cabalmente.
Grado de libertad
El concepto de grado de libertad está vinculado al de un movimiento (desplazamiento o giro)
de un punto cualquiera de la construcción. Obviamente en una construcción hay infinitos
puntos pero sus movimientos no son independientes porque están vinculados por los
componentes de la estructura. En consecuencia se considera grado de libertad a todo
movimiento independiente de un punto de la construcción. Esta definición parece absoluta
pero al reflexionar un poco se advierte que es contingente ya que depende del propósito para
el que se utilizará el “grado de libertad”.
El siguiente ejemplo permite aclarar la cuestión: Supongamos una estructura espacial de
barras tal como un pórtico tridimensional de un edificio. Si tratamos de utilizar el concepto de
grado de libertad para resolver las solicitaciones de las barras tendríamos que considerar 6
grados de libertad por cada nudo de la estructura, suponiendo que podemos referir los
corrimientos de los puntos intermedios (en realidad del continuo que forma la barra) a los
desplazamientos de los puntos extremos. Si, en cambio, tratamos de expresar las
propiedades dinámicas de la construcción, aceptamos que la masa se concentra en los
pisos, que los entrepisos son diafragmas rígidos y que las únicas componentes de
desplazamiento significativas son los movimientos horizontales tendremos que considerar 3
grados de libertad por piso. Es la misma estructura... qué ha cambiado? el modelo analítico,
porque intentamos resolver problemas distintos.
Desde el punto de vista del estudio dinámico de la construcción se puede decir que hay que
definir tantos grados de libertad como sea necesario para representar adecuadamente el
intercambio de energía en la construcción. Se podría pensar que se pueden representar
todos los sistemas como continuos y estudiar en toda generalidad el problema. Sin embargo
un rápido examen del tema pone en evidencia las limitaciones para hacerlo. En primer término
la cantidad de datos y de resultados crece rápidamente y su interpretación se vuelve
imposible. En segundo término muchos de los resultados son irrelevantes para el problema en
cuestión: el movimiento propio o local de un muro fuera de su plano puede ser peligroso para
el muro pero tal vez no tenga significación para el movimiento de la construcción completa.
Por último se debe considerar que los métodos numéricos tienen errores propios que crecen
con la cantidad de operaciones a realizar, en particular cuando se dan ciertas circunstancias
desfavorables que sintéticamente se pueden expresar en el intento de comparar variables de
importancia muy diferente. Sobre este aspecto volveremos más adelante.

Por esta razón es práctica corriente “discretizar” el movimiento de la construcción
concentrando las masas en unos pocos puntos y refiriendo a esos puntos los grados de
libertad dinámicos. Es el caso de considerar las masas concentradas en los pisos para las
estructuras de edificios comunes. Conviene advertir, sin embargo, que este procedimiento
implica que esos movimientos representan adecuadamente todo el efecto dinámico
sobre la construcción. En muchos casos esa hipótesis puede ser inválida.
En conclusión la definición de los grados de libertad está relacionada con la definición del
modelo de análisis. Ambos dependen de los aspectos que se quieren estudiar e implican una
decisión previa que supone una interpretación limitada y limitante del fenómeno físico. Estas
son las “hipótesis simplificativas del análisis” que antes se expresaban abiertamente pero que
el uso de computadoras y de métodos complejos tiende a disimular. Es necesario que el
proyectista explicite claramente sus hipótesis de análisis para verificar la validez de todos sus
procedimientos, contrastando los resultados con las hipótesis iniciales. Este tema es muy
extenso y su discusión completa excede nuestros propósitos 2
.
Modo natural de vibración
La dinámica estructural clásica enseña que los vibradores elásticos (lineales) apartados de
la posición de equilibrio por una perturbación momentánea inician un movimiento vibratorio
armónico, es decir que la deformación de la estructura en un instante cualquiera se reproduce
idénticamente luego de un lapso fijo: el período del movimiento. También enseña que ese
movimiento se puede considerar resultante de la superposición de movimientos armónicos
simples (senoidales) cada uno con un período y una forma característicos y que el número de
movimientos simples es igual al número de grados de libertad del sistema. Cada uno de esos
movimientos simples es un “modo natural de vibración” y el período correspondiente es un
“período natural”. Cuando hay amortiguamiento (pequeño) estas consideraciones son válidas
con la salvedad de que el movimiento no se repite idénticamente al cabo de un período sino
que la forma es semejante porque la amplitud del movimiento disminuye exponencialmente. El
modo natural de vibración de período más largo se llama “Modo fundamental” o primer modo,
por el hecho que es el primero que aparece en la mayoría de los métodos de análisis y que
generalmente da una descripción bastante buena del comportamiento de las construcciones
corrientes sometidas a terremotos.
Es necesario llamar la atención sobre el hecho que estamos refiriéndonos a sistemas
linealmente elásticos y con amortiguamiento de tipo viscoso (proporcional a la velocidad). Las
construcciones no son linealmente elásticas y las causas de disipación de energía son muy
variadas. Algunas son de carácter viscoso pero las más importantes son de otro tipo:
plastificación, frotamiento, etc. Se podría concluir que las construcciones reales no tienen
períodos propios en sentido estricto 3
. Sin embargo cuando el movimiento del suelo excita la
construcción el estado de esta se puede representar por un vibrador lineal con
características apropiadas y de ese vibrador se podrán obtener los modos naturales para
emplearlos en la representación del comportamiento de la construcción real.
En síntesis el estudio de los modos de vibración de un sistema, que se llama Análisis modal,
permite obtener el período y la forma de cada modo. Por forma del modo se entiende la
relación de las amplitudes de desplazamiento de los distintos grados de libertad. También se
puede obtener el factor de participación modal que físicamente representa la energía
contenida en el modo cuando la excitación es senoidal unitaria, es el “valor de escala” que
mide la importancia del modo en el intercambio total de energía del vibrador complejo.
Conviene destacar que este último concepto suele definirse matemáticamente sin intentar
explicar su significado físico, siendo que es el indicador que nos permite descartar los modos
2
Hay que señalar una carencia importante en la formación profesional. El modelado recibe poca o ninguna atención en
los cursos curriculares de estructuras, que están casi exclusivamente orientados al aprendizaje de métodos de
análisis en su aspecto algorítmico.
3
Ver [2] Analysis of nonlinear systems.

cuya importancia es secundaria para la descripción del movimiento. Consecuentemente es un
indicador muy importante para acotar la validez del modelo analítico.
Los distintos métodos para el análisis dinámico teórico
La primera idea a considerar en relación con la utilización de métodos de análisis dinámico es
el origen y evolución de los mismos. Ella puede ayudar a comprender sus alcances y
limitaciones.
Por otra parte los métodos a emplear dependen de lo que se quiera obtener. Por lo tanto
dependen de la manera de representar el funcionamiento de la construcción y nuevamente
esto nos trae a la necesidad de conceptualizar físicamente el funcionamiento de la
construcción durante el terremoto.
Vibradores lineales de un grado de libertad
Los primeros planteos teóricos de dinámica - se pueden ver en cualquier texto elemental de
física para ingenieros - se refieren a un “vibrador elástico de un grado de libertad”. Este
vibrador permite aplicar de manera sencilla las ecuaciones de equilibrio o de conservación de
la energía y obtener una solución “cerrada” cuyo principal mérito - y esa es la principal
justificación para seguir enseñándolo - es hacer comprender la influencia de las distintas
variables que caracterizan a esa construcción ideal.
Conviene tener presente que el desarrollo de la dinámica aplicada proviene de la ingeniería
mecánica, en muchos de cuyos problemas este modelo es aceptablemente fiel. En el campo
de las construcciones civiles el vibrador elástico de un solo grado de libertad es tan irreal
como el punto matemático. No obstante puede dar resultados utilizables en el campo de las
construcciones reales, como sucede con tantos modelos teóricos que se utilizan para explicar
el mundo real.
Un modelo de un solo grado de libertad permite obtener el período propio y la respuesta para
una excitación sencilla, en particular una excitación periódica cualquiera en forma cerrada.
Vibradores elásticos de varios grados de libertad
Un avance obvio es el vibrador elástico con varios grados de libertad que se excitan
simultáneamente. Podríamos calificarlo de vibrador “plano”, aunque tal vez sería mejor
llamarlo unidireccional. En primera instancia la teoría de este vibrador se desarrolló para
estructuras con acoplamiento débil entre los distintos grados de libertad. Es el caso de
estructuras aporticadas con vigas muy rígidas en relación con las columnas. Paralelamente
se desarrollaron procedimientos de solución (métodos de Stodola o de Holzer, por ejemplo)
que permiten la convergencia bastante rápida como para que se puedan utilizar manualmente.
Estos métodos son poco eficientes cuando el sistema presenta un acoplamiento fuerte entre
los grados de libertad (como ocurre en la estructuras con tabiques). En ellos es muy frecuente
que la convergencia sea lenta y se vuelve muy difícil la utilización manual.
De todos modos los métodos mencionados y otros realizan el “análisis modal”, es decir que
permiten determinar la forma y el período de los modos naturales de vibración del modelo
analizado. La utilidad de este análisis reside en que por aplicación del principio de
superposición - válido solamente para sistemas elásticos lineales - es posible representar
el movimiento de un sistema complejo de varios grados de libertad como resultado de la
superposición de los movimientos de varios sistemas de un solo grado de libertad, cada uno
de los cuales representa uno de los modos naturales del sistema.
Este es el método de “superposición modal”.

Análisis dinámico por integración directa
Una vertiente distinta del estudio dinámico de vibradores con uno o varios grados de libertad
es el análisis dinámico por integración directa de las ecuaciones del movimiento. Este método
permite obtener directamente la respuesta del modelo para cualquier tipo de excitación, no
sólo excitaciones armónicas. Pero sólo cuando la excitación es armónica esta respuesta se
puede obtener en forma cerrada. En el caso de excitaciones cualesquiera casi la única
solución práctica es el análisis numérico utilizando computadoras.
El resultado de este tipo de análisis es la historia del movimiento (time history) del vibrador
cuando es excitado por una acción determinada. Cuando las excitaciones son caóticas, como
es el caso de un terremoto, no es posible obtener valores útiles en forma directa. Será
necesario considerar los valores extremos de variables (respuestas) significativas para la
seguridad de la construcción.
Este tipo de análisis es bastante más complejo que el análisis modal y la interpretación de sus
resultados también. Hay dos aspectos que son críticos: la elección del conjunto de
excitaciones a ensayar y la elección de las respuestas 4
.
La mayoría de los expertos y de los reglamentos se inclinan por recomendar que se estudie la
respuesta para un conjunto de sismos cuyos espectros cubran el espectro de proyecto
reglamentario. Estos sismos pueden ser generados artificialmente o pueden ser
acelerogramas de sismos reales modificados para obtener las características deseadas. Hay
incluso programas para generar sismos artificiales.
En cuanto a la respuesta los conocimientos actuales conducen a considerar los
desplazamientos de las masas como valores más representativos que fuerzas o
solicitaciones en las piezas estructurales.
Respuesta de un vibrador de un grado de libertad para excitaciones caóticas
La naturaleza extremadamente caótica de los movimientos sísmicos hizo imposible la
utilización directa de los métodos originalmente desarrollados para obtener la respuesta del
vibrador. Se trató de encontrar un método para obtener resultados prácticos para la ingeniería
estructural. Así nació la idea del espectro, que representa el valor máximo de una
característica cualquiera del movimiento de un vibrador de un grado de libertad durante el
desarrollo completo de una excitación (un sismo) dada. Es importante destacar que el
espectro sólo informa sobre el valor máximo de esa característica, no indica en que instante
sucede, ni siquiera el sentido que tiene. La obtención del espectro de una excitación real
cualquiera implica la realización de un análisis por integración directa de vibradores de un solo
grado de libertad para la excitación que se estudia.
El espectro de respuesta corresponde a un sismo determinado, es histórico. Naturalmente es
imposible que el sismo que sacudirá a nuestra estructura repita el movimiento de un sismo
histórico. Además los espectros de respuesta suelen presentar picos muy abruptos que poca
influencia tienen en las estructuras reales y que muchas veces resultan de influencias de los
métodos de medición o de integración.
Por lo tanto se hace necesario adoptar un espectro que represente las características de los
sismos previsibles para la zona de la obra. Es lo que se llama espectro de proyecto, que
suele obtenerse estadísticamente a partir de los sismos registrados y de los datos geológicos.
En ellos se suavizan las curvas de respuesta, en general se adoptan leyes sencillas. Cada
reglamente tiene un espectro de proyecto, en general uno para cada zona y para cada tipo de
terreno.
4
Obviamente este método requiere un gran entrenamiento teórico y práctico en dinámica estructural. Sólo se debería
aplicar luego de la experiencia del análisis por procedimientos más sencillos.

Los programas
Programas para el análisis dinámico
La mayoría de los programas actuales para análisis de estructuras incluyen la posibilidad de
realizar análisis dinámicos. Muchos incluyen algún acelerograma (es típico el de El Centro,
cuyo único mérito es haber sido el primero pero que está lejos de representar un terremoto
verdaderamente peligroso) o espectros standard. Pocos tienen una descripción precisa de las
hipótesis y limitaciones que presuponen los métodos empleados y son aún menos los que
proporcionan una introducción que permita aprender a utilizarlos adecuadamente. Todo queda
bajo la responsabilidad del usuario, quien debería conocer y comprender todos esos aspectos
para usar responsablemente el programa.
En general los programas permiten realizar el “análisis modal” y luego la “superposición modal
espectral” o la “superposición modal por integración directa”, métodos que luego se definen.
En muchos casos los métodos de superposición espectral tienen limitaciones muy serias que
no están suficientemente divulgadas.
Programas “unidireccionales”
Algunos programas se basan en métodos muy conocidos: Stodola-Viannello, Holzer, por
ejemplo. El usuario debe conocer los fundamentos y las limitaciones del método. Los
programas basados en estos métodos son poco eficientes en estructuras complejas con
fuerte acoplamiento. La mayoría de estos programas se limitan a casos “unidireccionales” en
el que todos los grados de libertad son excitados directamente por un movimiento
unidireccional. Estos programas pueden ser utilizados para representar el movimiento de una
estructura de “pisos” siempre que sólo sean significativas las traslaciones horizontales y que
no haya mucho acoplamiento entre las direcciones de análisis.
Por ejemplo: no podrían utilizarse para describir el movimiento de un sistema en voladizo con
una gran masa en el extremo superior cuyas rotaciones de eje horizontal fueran
significativas para el intercambio de energía 5
.
Programas “multidireccionales”
Se pueden corregir o escribir programas basados en los métodos mencionados anteriormente
para que tomen en cuenta que los distintos grados de libertad pueden ser excitados o no por
el movimiento externo. Este tipo de programas no tienen la limitación mencionada en el
párrafo anterior pero no son frecuentes en el mercado.
Programas de elementos finitos
Casi todos los programas de elementos finitos tienen rutinas de análisis dinámico. Entre las
ventajas indudables de los mismos se tiene la generación automática de masas, lo que evita
las muy tediosas preparación e introducción de datos. Sin embargo conviene tener presente
que la masa generada se refiere solamente a los elementos estructurales y no toma en
cuenta el peso propio de otros componentes de la construcción. Esas masas deberán ser
introducidas por separado, por ejemplo en nudos apropiados de la estructura, para lo cual
esos programas generalmente tienen opciones adecuadas, o bien modificando el peso
específico del material de ciertos componentes. Por ejemplo se puede representar la carga
total de una losa con un elemento del espesor real de la losa, con las características
5
Como es el caso de un tanque de agua con un fuste cilíndrico y una cuba con un voladizo grande.

mecánicas del material verdadero y un peso específico ficticio tal que con el espesor
estructural se tenga la carga total. Lo mismo vale para los otros componentes de la
construcción. El uso a ciegas del programa puede llevar a resultados totalmente irreales, en
particular por lo que concierne a los períodos de los distintos modos.
No todos los programas de elementos finitos incluyen la capacidad de definir los grados de
libertad excitados directamente por el movimiento del suelo. Esto puede acarrear dificultades,
mostrar períodos anormalmente largos o movimientos “parásitos” poco representativos de la
realidad cuando se trata de obtener valores de respuestas utilizables para el estudio de la
estructura.
Respuestas por superposición modal
Casi todos los programas de análisis modal incluyen la determinación de respuestas por
superposición modal espectral. Generalmente está incluida la suma geométrica y a veces se
obtienen la suma de valores absolutos y el promedio de ambos valores. En general como
respuesta se puede pedir cualquier valor asociado con el análisis estructural:
desplazamientos de los distintos grados de libertad, fuerzas de inercia asociadas a los
distintos grados de libertad, solicitaciones en las secciones, etc.. La utilidad de esos valores
depende del modo de utilizarlos y luego será analizada.
Algunos programas permiten obtener la historia del movimiento (“time history”) durante un
proceso caótico representado por un acelerograma dado como dato. Con ellos sería posible
obtener valores simultáneos de deformación y, a partir de estos, las solicitaciones. En general
tal tipo de aplicación no está implementada y se puede advertir que actualmente sería muy
difícil hacerlo por la cantidad de datos numéricos que deberían almacenarse para obtener
resultados utilizables en la ingeniería estructural, particularmente para programas
“universales”. Casi todos dan los desplazamientos de los distintos grados de libertad en
función del tiempo. A partir de ellos sería posible obtener valores de respuestas útiles para la
evaluación de la seguridad.
Programas de análisis no lineal
La mayoría de estos programas están en el ámbito de la investigación. Muchos son
elaboraciones personales de los propios investigadores. Los programas que pueden utilizarse
en computadoras personales son muy limitados. La mayoría tienen limitaciones importantes
en lo que se refiere al modo de representar las estructuras, lo que lleva a obtener resultados
más cualitativos que cuantitativos 6
.
El análisis no lineal dinámico de estructuras complejas en condiciones comparables a las de
los análisis estáticos hoy corrientes (programas para estructuras de barras o programas de
elementos finitos tipo SAP, etc.) requiere el uso de computadoras mayores “main frame” y
tiempos de operación que los dejan por completo fuera del empleo del profesional y la práctica
corrientes por razones de costo. Su uso está reservado por el momento a la investigación o al
análisis de estructuras muy especiales.
Problemas numéricos asociados con los programas
El conjunto programa - computadora no es infalible. Descartados los errores de lógica del
programa y los errores en los datos, ambos errores humanos previos al programa o a la
máquina, existen fuentes de error en las propias máquinas y que provienen de su finitud. Más
propiamente provienen de la necesidad de discretizar (digitizar) procesos o variables
continuas.
6
Ver [5]: Dynamic inelastic time history analysis

Las máquinas tienen una capacidad limitada para representar las cantidades o números. Hay
una cantidad máxima de dígitos significativos que se puede incluir en un número. Todos los
dígitos restantes que excedan esa cantidad son eliminados: “truncados”. Por ejemplo si el
sistema admitiera 8 dígitos significativos (precisión “real” en FORTRAN IV) los números
siguientes 1.2345678901 y 1.234567812 valen igual: 1.2345678, su diferencia es 0 (y no
0.000000011) su suma es 2.34691356, con todas las consecuencias imaginables cuando se
repiten sumas, multiplicaciones y divisiones entre ellos.
También hay un valor finito mínimo, por debajo del cual todos los números son cero, y uno
máximo, por encima del cual todos los números son “infinito”, lo que para la máquina significa
capacidad excedida: “overflow”7
.
Estas cuestiones elementales del cálculo numérico aplicadas a la computación son poco
conocidas por la mayoría de los usuarios de programas comerciales. En muchos casos se
obtienen resultados inconsistentes y el usuario no sabe que sucede. En otros - y es peor - no
se da cuenta de la inconsistencia de los resultados.
Algunos programas tienen advertencias cuando los datos presentan posibilidades de errores
como los mencionados, pero otros simplemente ignoran en forma automática los valores
anómalos (suprimen grados de libertad, por ejemplo), en muchos casos sin aviso.
En particular los programas de análisis dinámico tienen o sufren más esas limitaciones que
los procesos de análisis estático porque el número de operaciones es muchísimo mayor en
este segundo caso. Los usuarios deben estar alerta.
Algunos casos concretos
Los programas basados en los métodos de Stodola o de Holzer tienen problemas de
convergencia y de estabilidad cuando las estructuras presentan acoplamiento fuerte entre los
distintos grados de libertad. Más concretamente cuando hay tabiques o estructuras verticales
que no presentan inflexiones en cada piso.
El método de Stodola va resolviendo uno a uno los distintos modos, y utiliza la ortogonalidad
de los modos para reducir en cada paso el orden de la matriz. En general a medida que
aumenta el orden del modo es menos confiable el resultado y el proceso demora más.
Cuando los modos de vibración son muy próximos o cuando el período del modo que se está
resolviendo es muy corto el programa puede quedarse iterando sin terminar nunca. El método
de Holzer permite en teoría empezar con cualquier modo, aunque los programas normalmente
proceden en secuencia. De todos modos tiene las mismas dificultades de resolución
señaladas para el método de Stodola.
Los datos que se introducen deben proporcionar una cantidad suficiente de dígitos
significativos. Por eso es preferible introducirlos en forma automática, generados a partir de
los datos de la estructura, en lugar de calcularlos fuera del programa e introducirlos a mano.
Por lo que se explicó antes el proceso de solución implica operaciones que pueden truncar los
números y hacer perder significado a los datos.
Ciertos tipos de estructuras son especialmente críticos, porque tienen uno o más modos de
período relativamente largo y los restantes modos tienen períodos mucho más cortos y sus
diferencias comparadas con el primer modo son demasiado pequeñas. El análisis puede dar
valores inconsistentes o no dar valores en absoluto para los modos superiores. Sin embargo
en algunos casos el problema es de carácter físico. Los modos superiores son poco
significativos para la estructura y el modo de introducir los datos los disfraza. Un ejemplo
puede aclarar este punto y ayudar a crear métodos para diagnosticar y resolver el problema:
7
El modelo analítico representa un continuo cuyos valores teóricos varían - continuamente - entre - ∞ y + ∞. La
construcción física tiene funcionamiento continuo entre valores limitados. Para el hombre la idea de “infinito” es
continua...mente inalcanzable. En tren de filosofar, parece que el diálogo entre los tres universos: hombre,
construcción y máquina - modelo se hace difícil.

Supongamos una estructura muy rígida apoyada en una base que puede rotar con rigidez
relativamente pequeña. En el primer modo la estructura prácticamente rotará como cuerpo
rígido sobre la fundación. Ese modo puede tener un período bastante largo. En cambio los
modos superiores, que implican inversiones de sentido de los desplazamientos de los
distintos niveles tienen períodos muchísimo más cortos. Es posible que los resultados para
esos modos sean totalmente inconsistentes. Un análisis estático, que permite obtener las
deformaciones de la estructura, es un buen modo de diagnosticar esta posibilidad. Si se
advierte que la elástica de los corrimientos de los distintos niveles se distingue poco de una
recta (la diferencia entre la recta y la deformada está en el orden de la precisión de la
máquina) el problema puede presentarse casi con seguridad. Otro modo de evaluar los
resultados es hacer un nuevo análisis dinámico con vínculos fijos, lo que hará aparecer sólo
los modos provenientes de la deformación de la estructura. Sin embargo el primer método es
mucho más adecuado para formar juicio y para ahorrar esfuerzo. Por último, qué importancia
puede tener esta situación? ninguna, salvo que se puede vaticinar que los modos superiores
no son significativos para la estructura y que esta se comporta como una única masa
equivalente apoyada en un único resorte equivalente... fácilmente representable por un
sistema de un solo grado de libertad.
De todo esto resulta que el análisis dinámico normalmente debería estar precedido por un
análisis estático, que en todos los casos se debe empezar por modelos sencillos (y toscos)
para refinarlos luego. Solamente de ese modo se puede tener control sobre la validez de los
resultados.
Por último, el ejemplo elegido no es casual: muchas construcciones del Oeste Argentino
tienen esas características.
La calidad de los programas
El avance de la computación es explosivo. En los veinte años transcurridos desde que se
puso una computadora sobre el escritorio del profesional las máquinas han alcanzado una
capacidad que antes sólo era propia de los “main frames”. La velocidad de este cambio ha
impedido que se descubran y exploten todas las posibilidades de utilizar la máquina como
instrumento de aprendizaje de las distintas disciplinas. Es inevitable que muchos
profesores tengan poca experiencia en el uso de computadoras y programas en los temas
específicos de sus materias, lo que irá cambiando con el tiempo. Es frecuente que los
alumnos tengan más afinidad con la computadora que sus profesores y esto les da una falsa
sensación de superioridad, porque no tienen la experiencia para reconocer las limitaciones de
ese instrumento. De todos modos es malo negar la posibilidad del uso de programas durante
la formación del profesional.
En una primera época heroica el profesional debía preparar muchos de los programas si
quería utilizar la máquina. Hoy es inevitable que la programación se profesionalice cada vez
más por la creciente complejidad de las máquinas, la necesidad de utilizarlas eficientemente y
la especificidad del tema. En consecuencia hay una tendencia irreversible a utilizar programas
“enlatados”, lo que en sí mismo no es malo y, en todo caso, parece inevitable.
Es malo utilizar el programa como sustituto del conocimiento conceptual del tema, sin
conocer los fundamentos del programa, sus posibilidades y limitaciones. Es malo usar los
programas sin juicio crítico, sin analizar la validez de los resultados. En esos casos el
profesional se convierte en un periférico de su computadora.
Por otra parte no todos los programas son iguales en calidad. La diferencia entre un programa
que resuelve un determinado algoritmo y uno que ayuda a resolver un problema de ingeniería
es enorme y generalmente se refleja en el costo. Los buenos programas para ingeniería son
resultado de equipos grandes donde hay ingenieros expertos en ingeniería que diseñan el
programa y programadores que los resuelven en detalle. Un programa es tanto más confiable
cuanto más detalladamente se describan sus posibilidades y, sobre todo, sus limitaciones. Y
en esto no se puede caer en la ingenuidad de pensar que los programas están exentos de los

vicios de otros productos comerciales, en los que la publicidad pretende disfrazar las
limitaciones del producto.
La piratería informática - muy corriente en esta época - ha provocado la difusión extraordinaria
de programas “pirateados”. Muchos usuarios inexpertos han obtenido esos programas,
algunos de dudosa calidad, sin contar con información suficiente.
Antes de usar un programa - en cualquier caso pero más en éste - el usuario debería estudiar
los fundamentos teóricos del tema, debería conocer la procedencia del programa y tener
acceso a manuales, ejemplos de uso, descripciones del funcionamiento y de los métodos
empleados. Y debería probarlo antes de comprarlo.
El modelado de la construcción
Ningún programa modela la estructura. Es el proyectista quien lo hace. Debe aprender a
representar el funcionamiento de la estructura utilizando las herramientas que le
proporciona el programa. Este aprendizaje es continuo porque cada estructura presenta
problemas nuevos y necesidades nuevas de representación 8
.
Entre las cuestiones a considerar están los vínculos externos e internos, la representación de
las propiedades de los materiales estructurales y, aunque parezca paradójico, la definición de
la estructura. Una cuestión insoslayable es valorar la validez del modelo.
Los vínculos
Es común considerar sólo los tipos elementales de vínculos que forman parte de los cursos
curriculares de Estabilidad: apoyos móviles, articulaciones y empotramientos (que restringen
desde 1 hasta 6 grados de libertad, según su caso) perfectos. Pero tales fijaciones no
existen en la vida real. Todos los sistemas de vínculo son más o menos imperfectos.
La práctica de los países más destacados en la ingeniería antisísmica (Estados Unidos, Japón
o Chile, por ejemplo) es apoyar los edificios importantes en grandes plateas o cajones de
fundación que garantizan deformaciones relativas muy pequeñas entre los distintos
sistemas verticales al nivel de la fundación. En esos casos y sólo para un análisis estático
es válido considerar los sistemas verticales empotrados rígidamente en la fundación. Esta
simplificación es completamente inválida cuando se hace cualquier tipo de estudio dinámico,
aún la elemental determinación del período propio 9
.
La práctica más común en el oeste Argentino es fundar los distintos sistemas en forma
independiente. En estos casos la simplificación de considerar empotramientos perfectos es
inválida aún para un análisis estático.
Los mismos razonamientos pueden aplicarse a los otros tipos de vínculos. Entonces la
cuestión es tratar de representar con razonable fidelidad las fijaciones internas y,
especialmente, externas de la construcción. Esta representación es crucial para cualquier
análisis, más aún para un análisis dinámico.
Las propiedades de los materiales
Los programas comerciales de uso más difundido sólo aceptan materiales lineales. En
algunos casos se pueden incluir rutinas de análisis con materiales de comportamiento
discontinuo: sólo en compresión o sólo en tracción, pero lineales. La dificultad es que los
materiales reales no son linealmente elásticos.
8
Ya se señaló que normalmente el ingeniero joven ha recibido poca o ninguna información sobre este aspecto del
análisis estructural.
9
Ver [9]

Otra cuestión es que todos los materiales muestran una diferencia muy marcada entre el
comportamiento para cargas estáticas o cuasi estáticas, el comportamiento para acciones
variables con frecuencias bajas y el comportamiento correspondiente a las frecuencias de un
sismo. En general se advierte un aumento de la rigidez al aumentar la velocidad de
deformación.
Se puede linealizar el comportamiento de los materiales adoptando un “módulo de elasticidad”
que corresponda a la tangente de la ley tensión-deformación pero el rango de tensiones varía
permanentemente durante el sismo. Por lo tanto se aconseja adoptar un módulo equivalente
que se vincula con un determinado estado de deformación en la curva de un ensayo estático.
La definición de este valor suele ser causa de discusiones interminables entre los
proyectistas.
Sin embargo cabe una reflexión: la mayoría se preocupa mucho por los materiales que
componen la superestructura, cuando lo que más incertidumbre aporta es el comportamiento
del suelo. Frente a esta incertidumbre el resto pasa a segundo plano.
En realidad no hay soluciones simples para este problema. La única posibilidad es hacer un
estudio de sensibilidad: analizar el modelo con diversos valores para los módulos, interpretar
los resultados y, eventualmente, tratar de obtener cotas máximas y mínimas para los
resultados. En algunos casos se comprueba que la estructura es relativamente insensible a
las variaciones de estos parámetros, en otros que la variación entre colocar un valor finito y
despreciar la influencia por completo es mucho más significativa que las variaciones debidas
a los diferentes valores adoptados. Otras veces se comprueba que la estructura realmente es
muy sensible a las variaciones mencionadas y en ese caso sólo se pueden adoptar los
valores extremos y hacer una cuidadosa interpretación de los resultados.
La definición de la estructura
Estructura es todo lo que restringe la deformación, no importa qué carácter le haya asignado
el proyectista en su modelo. Sin embargo se sigue haciendo distinción entre la “estructura” y
los “componentes no estructurales”, que muchas veces se designan un tanto
despectivamente como “secundarios”. Generalmente estos elementos aportan una rigidez
considerable. A veces también tienen mucha resistencia. Siempre son muy costosos.
Cuando la construcción se deforma todos los componentes que estén unidos a la estructura -
y todos tienen que estar unidos de una u otra manera a ella - restringen de alguna manera las
deformaciones. Estas restricciones originan dos tipos de efectos: la estructura puede alterar
descontroladamente su funcionamiento - que es lo más grave - o los componentes pueden
averiarse, lo que resulta en costos de reparación importantes 10
.
Es obvio que el modelo de análisis debe incluir los componentes que puedan restringir la
deformación de la construcción, sean ellos estructurales o no desde el punto de vista
reglamentario. También, en este caso, puede ser necesario analizar la construcción con
varias hipótesis (con los componentes en cuestión sanos o rotos) para acotar los resultados y
prever el comportamiento efectivo durante el terremoto.
10
Se ha propuesto independizar los componentes no estructurales pero en ese caso las juntas deben estar libres (con
aire) para que los cuerpos o componentes supuestamente independientes puedan moverse. Los rellenos “blandos”
no son tales durante el sismo. Hay que señalar que a la velocidad de deformación que se origina durante un sismo
muy pocas cosas permiten la deformación de la estructura.
La única solución para evitar las interferencias de los componentes llamados no estructurales está en el diseño de la
estructura principal, no en el método de análisis. Desde el principio se debe proyectar la estructura para que sea
relativamente insensible a la presencia de esos componentes. Un diseño inteligente puede aprovechar la presencia
de componentes “reglamentariamente no estructurales” como lineas de defensa escalonadas para que con su falla
gasten la energía del terremoto destructivo pero esto exige proyectar la estructura considerando su presencia como
parte de la misma. Dicho de otro modo la estructura debe ser coherente con la construcción.

La validez del modelo
Nos encontramos con la paradoja de tratar de representar el funcionamiento de una
construcción cuyo funcionamiento no conocemos con un modelo que supuestamente indicará
como funciona y cuya validez queremos apreciar. No podemos hacer el ensayo físico, por
razones obvias. El único modo es comparar la respuesta del modelo - las deformaciones -
con la construcción real y nuestra interpretación física de esa construcción.
Es necesario insistir en el aprendizaje gradual, en la necesidad de empezar interpretando los
resultados de modelos sencillos para ajustar las ideas y comprender las hipótesis implícitas
en cada modelo analítico 11
. Este aprendizaje gradual se refiere tanto a la gestación de la
solución de un caso concreto como a la propia vida profesional. En éste último aspecto los
profesionales más jóvenes necesitan aplicarse con paciencia a aprender empezando por
ejemplos muy sencillos.
Algunas particularidades de la modelación
Es común aplicar ciertos procedimientos de modelación de manera automática, a modo de
recetas. Esto puede ocasionar errores importantes porque no hay procedimientos de validez
universal. Es necesario reflexionar sobre el funcionamiento de la construcción para elegir el
modo más adecuado de modelarla. Nada reemplaza al buen criterio: el “juicio ingenieril”.
Definición de los grados de libertad
Esta definición implica ya una interpretación del funcionamiento de la construcción. Se eligen
movimientos que pueden representar adecuadamente todo el intercambio de energía entre la
construcción y el suelo. La tentación actual es definir un número muy grande de movimientos
o grados de libertad, lo que al final conduce a un modelo cuyos resultados son difíciles de
interpretar. Esto se agrava porque hay muchos programas de elementos finitos que definen
los mismos grados de libertad para el análisis estático que para el análisis dinámico, sin
posibilidades de condensar los grados de libertad menos significativos para el estudio
dinámico 12
.
La definición de grados de libertad para el análisis dinámico está asociada con la definición de
las masas o “agrupamientos de masas”. Aún cuando las estructuras pueden ser continuas los
programas de elementos finitos discretizan las masas suponiéndolas concentradas en los
nudos del sistema.
El sistema discreto de masas debe representar razonablemente el intercambio de energía. Es
necesario comprobarlo y para eso se puede estudiar la deformación del sistema con fuerzas
horizontales estáticas proporcionales a los pesos de los distintos componentes (esta es la
base del método de Rayleigh para la determinación del período fundamental).
El Código de construcciones sismo resistentes de Mendoza (1987) proporciona un método
orientador para definir las concentraciones de masas: Las masas de los componentes cuyas
11
Por eso el CCSR exige que se compruebe la validez de cada procedimiento aproximado estudiando la deformación
de algún modelo muy simple que pretende representar el fenómeno más general.
12
Por condensación o condensación estática se entiende la reformulación del sistema de ecuaciones de modo que las
incógnitas sean solamente aquellas que realmente se necesitan al final. Supongamos una barra que por
necesidades de representación se divide en varios tramos, pero que sólo interesaran los corrimientos de los nudos
extremos. Se puede expresar el corrimiento de los nudos extremos en función de los intermedios y de ese modo
utilizar los nudos intermedios para la formulación del sistema pero eliminarlos como incógnitas del sistema. Un caso
típico es el del llamado “Método matricial para distribución espacial de fuerzas horizontales en estructuras de
edificios”. En este método se parte de los planos estructurales con un número grande de grados de libertad (tres por
nudo) para llegar, por condensación, a un sistema de tres corrimientos por piso. Hay muchas técnicas de
condensación, que pueden estudiarse en los textos modernos de teoría de las estructuras.

deformaciones locales son insignificantes comparadas con los corrimientos de sus extremos
pueden ser agrupadas con las que están directamente vinculadas a los extremos.13
Muchas veces se puede representar bien el sistema con un número relativamente pequeño de
grados de libertad y de masas asociadas. Ese es el caso de edificios comunes con
entrepisos rígidos en los que se puede suponer todas las masas concentradas en las losas
pero este modelo no puede aplicarse siempre. Hay muchas construcciones, particularmente
industriales, donde las masas se ubican de maneras muy diferentes.
En un sistema bien modelado los movimientos locales de las agrupaciones de masas sólo
tendrían importancia para los vínculos relativos y no afectarían sensiblemente la respuesta del
conjunto estructural. Estos movimientos locales deberían ser estudiados para evaluar las
solicitaciones sobre los soportes o estructuras propias de los componentes en cuestión. Son
las llamadas “partes de la construcción”.
Sin embargo el criterio de definición de “parte” debe ser manejado con cuidado. Un hecho real
ocurrido hace algunos años permite entender la idea: Se trataba de un edificio industrial de
tres niveles de losas con cargas relativamente pesadas y un conjunto de silos apoyados sobre
la losa de azotea. La masa de los silos era mayor que la masa del resto del edificio. Los
proyectistas utilizaron el programa SAP para modelar la estructura suponiendo los silos como
parte de la construcción, en consecuencia su masa se agregó al nivel de la última losa.
Llegaron a un modelo de varios cientos de grados de libertad. Con ese modelo realizaron el
análisis dinámico por superposición modal aplicando la norma INPRES - CIRSOC 103. Luego
trataron de aplicar a los silos las disposiciones correspondientes a partes de la construcción,
con lo que resultaban solicitaciones imposibles de soportar. Es obvio que en este caso con
sólo tres grados de libertad por piso y un grado de libertad para cada dirección en el
centro de gravedad de cada silo se describía la estructura de un modo más eficiente. Es lo
que se sugirió y los resultados fueron mucho más sensatos. Todo el episodio proviene de una
aplicación literal de la norma, sin reflexionar sobre el significado físico de las disposiciones, del
fenómento en sí y de los resultados.
Generación del modelo
Es casi imposible, salvo para las construcciones más sencillas, llegar a un modelo
satisfactorio en el primer intento. Más todavía cuando el proyectista tiene poca experiencia, no
sólo por sus años sino por su relación con el tema que está resolviendo. Es necesario
proceder por etapas y con prudencia. Lo que parece una repetición de trabajo suele evitar
muchos esfuerzos inútiles.
En primer término debe imaginarse la construcción funcionando en el espacio. Aunque
parezca una exageración estudiar una maqueta espacial es un paso indispensable en muchos
casos. Hoy se puede construir una maqueta electrónica (con programas CAD), aunque es
mejor si es física, que se pueda deformar empujándola con la mano 14
.
El estudio de la construcción en el espacio permite formarse una idea de los agrupamientos
de masas posibles y de los correspondientes grados de libertad a definir. De todos modos
conviene proceder paso a paso, inciando el análisis con un modelo relativamente tosco y por
procedimientos estáticos, antes de hacer un análisis dinámico.
Los resultados, sobre todo las deformaciones, se deben estudiar con cuidado. Solamente las
deformaciones pueden dar una idea del ajuste entre el modelo y la realidad. A partir de los
13
CCSR 4.5.2
14
El producto más importante de la maqueta es visualizar y ayudar a mejorar el diseño conceptual de la estructura,
luego permitirá ayudar con el modelo. En los últimos años se está haciendo una experiencia muy interesante en la
Facultad de Ingeniería con alumnos del curso de Hormigón II. Uno de los trabajos prácticos consiste en el proyecto de
la estructura para un edificio real. A medida que el proyecto evoluciona se construye (y evoluciona) una maqueta
estructural. Los resultados de aprendizaje son sorprendentes hasta para los mismos alumnos.

resultados se puede mejorar el modelo, sin perder de vista que lo más importante es
descubrir los problemas de diseño de la estructura para corregirlos.

El método de superposición modal
“En los proyectistas que utilizan técnicas de
superposición modal para definir las fuerzas sísmicas de
proyecto hay una tendencia a dejarse llevar por la
elegancia de las matemáticas involucradas y a olvidar las
incertidumbres asociadas con los datos...”
T. Paulay - N. Priestley [5]
Por la generalización creciente del uso de este método y, particularmente, por la difusión de
programas que admiten su aplicación automática conviene presentar algunos comentarios.
En particular se analizan las limitaciones y las posibilidades cuando se aplica al análisis de
estructuras sismo resistentes.
Descripción del método
Desde el punto de vista matemático el movimiento de un vibrador complejo se puede
representar por superposición de los movimientos de los vibradores que representan los
distintos modos naturales de vibración. Una ventaja importantísima del método es que
generalmente un número relativamente pequeño de modos (normalmente los primeros) tiene
influencia significativa en la respuesta de la estructura y esto permite simplificar el análisis.
En consecuencia es necesario evaluar la respuesta para cada modo y luego superponer la
influencia de los distintos modos. Esto es relativamente fácil cuando las excitaciones son
sencillas, en particular una excitación periódica, porque la respuesta se puede expresar en
forma cerrada.
Se puede aplicar al estudio de la respuesta para excitaciones caóticas por integración directa.
En ese caso es más sencillo integrar N ecuaciones independientes y sumar los resultados
que integrar un sistema de N ecuaciones simultáneas 15
.
Sin embargo la aplicación más común del método es la obtención de valores de la respuesta
estructural elegida (es decir los valores máximos de las variables que supuestamente
representan el comportamiento de la construcción) por superposición de respuestas
espectrales.
Resultados posibles
Superposición modal para movimientos armónicos
El tema tiene un carácter académico para nosotros. Es de interés señalar que se pueden
aplicar los métodos propios de otras disciplinas (la electrónica, por ejemplo) y utilizar métodos
como el Análisis de Fourier para determinar en forma cerrada las distintas respuestas
elegidas. Algunas veces se lo utiliza para el análisis de la transmisión de ondas elásticas en el
suelo.
Superposición modal para movimientos caóticos
Una vez elegida la respuesta más apropiada para describir el comportamiento de la estructura
el resultado se puede obtener de dos modos. Obtener el valor máximo por integración
15
Ver [2]: Summary of mode superposition procedure

directa, lo que implica definir acelerogramas de excitación, o bien utilizar el espectro de
proyecto y superponer los valores de las respuestas modales.
Este es el método más común, el más sencillo y al que casi sin excepción los profesionales
se refieren cuando mencionan “superposición modal”. Más apropiado sería llamarlo
superposición espectral de las respuestas modales.
El espectro de proyecto permite obtener el valor máximo probable de la respuesta elegida para
cada uno de los vibradores simples que representan a cada modo. Ese valor máximo
corresponde a la máxima excitación sísmica que se supone puede ocurrir en la zona.
El estudio probabilístico clásico de la respuesta para excitaciones caóticas en sistemas
elásticos (lineales) de varios grados de libertad conduce a que el valor máximo probable de
la respuesta (cualquiera sea) se obtiene por la suma geométrica de las respuestas modales
cuando los modos tienen períodos suficientemente diferentes:
R = √ΣRi
2
.
Cuando los modos tienen períodos próximos el valor máximo más probable corresponde a la
suma de valores absolutos.
R = ΣRi .
En ambos casos el valor obtenido es el máximo más probable, en valor absoluto.
Trabajos más modernos adoptan la llamada Superposición Cuadrática Completa “CQC” 16
,
que toma en cuanta la relación de períodos en forma continua, que también da un valor
absoluto máximo probable para la respuesta.
La utilidad de ese valor depende del tipo de estructura, de la respuesta que se pretende
obtener, de la simultaneidad o no de excitación de los distintos grados de libertad y del
comportamiento del material estructural. Todos estos aspectos deberían ser analizados
cuidadosamente antes de dar crédito a los resultados del análisis y de emplearlos para
justificar el dimensionamiento de la construcción.
En sistemas de varios grados de libertad se utilizará un programa y en consecuencia se
aplican todos los comentarios hechos al tratar ese tema.
Limitaciones teóricas a la validez
El método de superposición modal en cualquiera de sus formas es aplicable solamente a
estructuras lineales. Esta primera limitación es extremadamente importante en el análisis
práctico de estructuras sismo resistentes y aunque es conocida se la tiene poco en cuenta.
Hay otras limitaciones importantes relativas a la superposición modal espectral que son
menos conocidas.
Estructuras “planas”
Toda estructura es espacial, pero aquí nos referimos a aquellos casos en que la espacialidad
influye poco en el comportamiento: la seguridad de los componentes depende de
solicitaciones ubicadas en un solo plano. Muchas veces los resultados son inconsistentes si
se elige como respuesta una solicitación que puede cambiar de sentido. En el modelo
matemático el cambio de sentido se representa necesariamente con signos distintos y
como el método de superposición espectral elimina la influencia del signo el resultado queda
distorsionado por completo.
16
[5] Summary of mode superposition procedure: R = √(Σi ΣjRi.ρij.Rj). Se remite al lector a la referencia indicada
para los detalles del procedimiento. El coeficiente de superposición ρij es función del amortiguamiento y de la
relación de períodos de los modos. Algunos programas modernos tienen incorporado este procedimiento.

Estructuras espaciales
Nos referimos a los casos en que la seguridad de los componentes depende de solicitaciones
ubicadas en planos diferentes del espacio. por ejemplo las columnas solicitadas en flexión en
dos planos, con excitaciones provenientes de las acciones sísmicas en ambas direcciones, o
bien sistemas como cáscaras o mallas espaciales. En esos casos el valor más probable
obtenido por aplicación del método indicado en el apartado anterior puede carecer totalmente
de significado. El valor más probable para cada componente de solicitación es “atemporal” y
es evidente que las respuestas de vectores ubicados en ejes diferentes no pueden
componerse porque no son simultáneas. Por lo tanto el método indicado no tiene validez.
Limitaciones prácticas a la validez
Las estructuras reales
Cuando los materiales o las piezas tienen comportamiento diferente al cambiar el sentido de
la solicitación el método no es aplicable en forma directa. Por ejemplo en vigas de hormigón
armado con armaduras asimétricas (nudos de pórtico), el momento obtenido por
superposición sería siempre positivo y no tomaría para nada en cuenta la posible inversión. Lo
mismo sucede con piezas solicitadas axilmente: columnas o barras de reticulado, donde no
podría tomarse en cuenta el posible efecto de pandeo porque el esfuerzo normal sería
siempre positivo (cualquiera fuera el significado de ese signo).
Por último como el método de superposición no toma para nada en cuenta el tiempo de
ocurrencia de la respuesta máxima se suscitan dos cuestiones: la consideración apropiada
del estado más peligroso y la posibilidad de sobredimensionar indiscriminadamente un
componente estructural. En cuanto a la primera cuestión en muchos casos la superposición
directa de máximos (absolutos) no conduce necesariamente a la situación más peligrosa para
el componente o sistema: en una columna de hormigón armado en flexión compuesta puede
ser más peligroso el esfuerzo normal de menor compresión con el momento simultáneo que
un estado de máxima compresión y máxima flexión. En cuanto a la segunda es posible que la
pieza quede sobredimensionada al superponer máximos absolutos no simultáneos, con lo que
la absorción de energía se concentrará en menos piezas y la ductilidad requerida a éstas
últimas crecerá. Inevitablemente la verificación debe hacerse para estados de solicitaciones
simultáneas.
Comportamiento elastoplástico
El método de superposición modal es inaplicable en esos casos porque no es aplicable el
principio de superposición. La aplicación de valores espectrales “reducidos por ductilidad”
puede conducir a resultados totalmente inciertos.
El desarrollo de la ductilidad de una estructura resulta de la plastificación de distintas zonas
críticas en las que se alcanza la capacidad sin que se produzca la destrucción de la pieza.
Esto posibilita la redistribución de esfuerzos entre otros componentes menos solicitados,
cambia las características dinámicas de la construcción y disipa energía del terremoto. Todos
esos resultados son beneficiosos y aprovechar esas características es la esencia de los
criterios actuales de proyecto sismo resistente.
Lo que debe tenerse presente es que el comportamiento elastoplástico depende de la
secuencia de plastificación. En consecuencia la aplicación indiscriminada de un espectro
reducido por ductilidad, con un valor de reducción establecido a priori, es completamente
inconsistente. Los resultados pueden ser extremadamente peligrosos porque las zonas

críticas y los modos de falla pueden ser muy distintos que los implicados en la asignación de
ductilidad 17
.
Ejemplos
Algunos ejemplos ayudarán a comprender el significado de las limitaciones mencionadas. En
estos ejemplos numéricos se omitieron los desarrollos en detalle y, salvo en uno, la reducción
por ductilidad. Todo ello en mérito a la brevedad y porque lo que se pretende mostrar son las
limitaciones teóricas y prácticas del método de superposición modal espectral así como sus
consecuencias para el análisis estructural y no la aplicación detallada del método de análisis
dinámico.
Pórtico plano de tres niveles
En este ejemplo se analizará la influencia de la falta de signo de los valores resultantes de la
superposición modal espectral y se mostrará un método posible para tomar en cuenta el
signo.
Los datos de la estructura están en la figura 1. La estructura es ficticia pero corresponde a un
caso posible. La Figura 2 es el diagrama de momentos flectores por cargas verticales.
Se obtienen los tres modos de vibración con un programa que emplea el método de Stodola
Viannello. Luego se aplica el espectro de proyecto elástico del CCSR y se obtienen las
solicitaciones por acción sísmica en las secciones críticas de vigas y de columnas. El
programa permite obtener directamente las solicitaciones para cada modo y la superposición
geométrica para el valor máximo más probable.
Figura 1 Figura 2
La Figura 3 es el diagrama de momentos máximos probables por sismo obtenidos por
superposición modal espectral. Como ya se ha explicado los valores son todos positivos.
Una consecuencia directa de la pérdida de los signos es que no se satisfacen las condiciones
de equilibrio en los nudos. La Figura 4 es el diagrama de momentos flectores resultante de
sumar las solicitaciones por acciones sísmicas con las solicitaciones por cargas verticales.
Este diagrama es directamente la envolvente para la verificación porque no hay alternancia
de sentidos en el diagrama de momentos por sismo. Es evidente que este diagrama no
proporciona datos útiles para verificar la seguridad de la estructura. Los momentos en
17
Es habitual que la influencia de la ductilidad se asigne como un valor de reglamento, sin pensar en el modo y la
distribución de la absorción de energía en el total de la construcción.

columnas producen tracción de un solo lado y en las vigas, salvo las del último piso, no
aparecen tracciones en el borde superior. Este resultado es totalmente contrario a la
interpretación física de la deformación de la estructura y no es válido en absoluto.
Figura 3 Figura 4
Debemos intentar algún método que permita conservar los signos de las solicitaciones. La
figura 5 es el diagrama de momentos obtenidos por superposición modal espectral corregido
con el signo de los momentos del primer modo. La figura 6 es el diagrama resultante de
sumar los momentos por sismo con los momentos por cargas verticales.
Figura 5 Figura 6

Finalmente la figura 7 es el diagrama
envolvente obtenido al considerar ambos
sentidos de sismo. En este caso los resultados
son coherentes con la interpretación de las
deformaciones de la estructura.
Son evidentes las diferencias entre uno y otro
diagrama, así como es fácil entender las
consecuencias de utilizar uno u otro para
verificar la seguridad de la construcción.
Alguien podría sugerir que se empleen los
resultados de la superposición modal espectral
con signos alternativos, pero este método no
proporciona resultados aceptables porque,
entre otras razones, no se respeta el equilibrio
en los nudos, es evidente que las solicitaciones
en las zonas de nudos son inconsistentes y
además se sobredimensionarían
indiscriminadamente algunas partes de la estructura.
El lector podría descubrir esas cuestiones si realizara las superposiciones y las operaciones
correspondientes. Nosotros preferimos seguir comentando las consecuencias del “uso
automático” de programas.
Los programas disponibles no asignan signo a los resultados de superposición. Por otra parte
sólo cuando el primer modo es dominante es válido el método que se empleó para obtener la
figura 5. Parece entonces que es necesario hacer un análisis de las solicitaciones obtenidas
para cada modo para definir el signo.
Esta es una estructura extremadamente simple y el programa utilizado proporciona los
valores de respuesta para cada modo con su signo, además de la superposición. Sin
embargo ¿cómo analizar los valores individuales en una estructura con muchos grados de
libertad?... más aún: ¿qué sucede cuando los resultados son utilizados directamente para la
verificación por programas “enganchados”?
Pórtico plano de muchos niveles
En el primer ejemplo la influencia de la variación del esfuerzo normal en las columnas por
sismo es poco significativa. En este ejemplo se analizará la influencia de considerar
simultáneamente el máximo de compresión con el máximo de flexión en una columna y se
mostrará un método para tomar en cuenta los valores simultáneos. Se trata de un edificio de
10 pisos cuya estructura sismo resistente principal está formada por dos tabiques en una
dirección y dos pórticos en la otra Figura 8.
Figura 7

Figura 8
La configuración de este edificio admite el análisis independiente para cada dirección. Se
analiza en la dirección de los pórticos utilizando el mismo programa del ejemplo anterior. Se
obtienen los seis primeros modos y, por superposición modal espectral se obtienen las
solicitaciones en las secciones críticas de las columnas del primer nivel (C1) y del segundo
nivel (C2). También se obtiene el corte global por nivel. Para considerar la reducción de
solicitaciones por comportamiento no lineal se calcula el factor de reducción por ductilidad
para cada modo y el de la estructura según especifica el CCSR. Se supone un mecanismo de
colapso por flexión de las piezas (γe = 1). Ver la Tabla 1.
Tabla 1
MODO Ti(seg) fpi Sai Ri
1 1,258 1,305 0,457 2,500
2 0,401 0,459 0,750 2,500
3 0,220 0,251 0,630 2,101
4 0,145 0,175 0,518 1,726
5 0,108 0,141 0,463 1,542
6 0,080 0,111 0,420 1,401
Factor de reducción global: R = 2,317
En la tabla 2 se muestran los momentos flectores y los esfuerzos normales para las
secciones de pie y cabeza de las columnas del primero y segundo nivel obtenidas por
superposición modal espectral. Son solicitaciones últimas elásticas
Tabla 2
COLUMN
A
∆Ns (t) ∆Msp (tm) ∆Msc (tm)
C1 446,07 231,11 203,52
C2 367,96 210,88 215,18

En la tabla 3 se muestran las solicitaciones por cargas verticales y las solicitaciones por
acción sísmica, reducidas por ductilidad. Notar que sólo se reducen las solicitaciones por
acción sísmica, no las solicitaciones combinadas.
Tabla 3
COLUMNA SECCIÓN Nq (t) ∆Ns (t) Mq(tm) ∆MS (tm)
C1 Pie -240,00 192,52 1,23 -99,75
Cab. -240,00 192,52 -18,73 87,83
C2 Pie -216,00 158,81 25,73 -91,01
Cab. -216,00 158,81 -22,47 92,87
El proyectista desprevenido se encuentra con dos valores extremos de esfuerzo normal y dos
valores extremos de momento flector para cada sección. ¿Cuáles considerar? Supongamos
una columna de 75x75 cm, H17 y ADN420, con armadura simétrica concentrada en los
bordes. La tabla 4 muestra todas las combinaciones posibles y las armaduras
correspondientes.
Tabla 4
NIVEL SEC. COMBINACIÓN N (t) Mx (tm) A (cm2
)
C1 Pie 1) N + ∆Ns+ M + ∆Ms -47,49 -98,52 * 59,14
2) N + ∆Ns+ M - ∆Ms -47,49 100,98 ++ 60,90
3) N - ∆Ns+ M + ∆Ms -432,51 -98,52 30,88
4) N - ∆Ns+ M - ∆Ms -432,51 100,98 32,86
Cab. 1) N + ∆Ns+ M + ∆Ms -47,49 69,10 * 38,02
2) N + ∆Ns+ M - ∆Ms -47,49 -106,56 ++ 64,90
3) N - ∆Ns+ M + ∆Ms -432,51 69,10 6,52
4) N - ∆Ns+ M - ∆Ms -432,51 -106,56 37,29
C2 Pie 1) N + ∆Ns+ M + ∆Ms -57,19 -65,28 33,10
2) N + ∆Ns+ M - ∆Ms -57,19 116,74 ++ 70,00
3) N - ∆Ns+ M + ∆Ms -374,81 -65,28 0,21
4) N - ∆Ns+ M - ∆Ms -374,81 116,74 * 38,90
Cab. 1) N + ∆Ns+ M + ∆Ms -57,19 70,40 36,78
2) N + ∆Ns+ M - ∆Ms -57,19 -115,34 ++ 69,00
3) N - ∆Ns+ M + ∆Ms -374,81 70,40 4,22
4) N - ∆Ns+ M - ∆Ms -374,81 -115,34 * 37,87
Si se examinan los diagramas de momentos por cargas verticales y por sismo (Figuras 2 y 5)
del pórtico de 3 pisos se advierte que la columna cuyo momento aumenta se comprime y
aquella para la que el momento disminuye también disminuye la compresión (o aún se
tracciona). Por lo que en este caso sólo son válidas las combinaciones 1 y 4. Sin embargo
hay programas de dimensionamiento automático que sólo consideran la combinación 4
(máximo valor absoluto del momento flector y máximo valor absoluto del esfuerzo normal), o 4
y 2 (máximo valor absoluto del momento flector con ambos valores extremos del esfuerzo
normal). Otros programas analizan todas las combinaciones posibles y toman el valor mayor
de armadura. En la tabla anterior se indica con (*) el valor determinante de la armadura para
las combinaciones válidas y con (++) el mayor valor de armadura obtenido de todas las
combinaciones en cada sección. En este caso particular ninguno de esos valores máximos
corresponde a combinaciones válidas.
El proyectista formado en la tradición que “el valor mayor de armadura está del lado de la
seguridad en todos los otros casos” se inclinaría a aceptar ese último procedimiento sin
reservas. Sin embargo las consecuencias del sobredimensionamiento en flexión de las

columnas podría ser una desastrosa falla por corte. Observar el esfuerzo de corte último
obtenido a partir de los momentos últimos correspondientes a los esfuerzos normales de los
dos casos válidos para cada una de las armaduras en la tabla 5. El esfuerzo de corte que
realmente desarrollarían las columnas durante un sismo sería 37 % mayor si se dimensionara
la armadura con el criterio de adoptar el mayor valor posible.
Tabla 5
NIVEL SEC. ESTADO N (t) A (cm2
) Mu(tm) Qu (t)
C1 (v1) Pie 1) Q+S+
-47,49 59,14 98,52 55,87
Cab -47,49 38,02 69,09
Pie 2) Q+S-
-432,51 59,14 134,59 (*) 80,69
Cab -432,51 38,02 107,48
C1(v2) Pie 1) Q+S+
-47,49 60,90 100,98 69,18
Cab -47,49 64,90 106,56
Pie 2) Q+S-
-432,51 60,90 136,88 (++) 93,00
Cab -432,51 64,90 142,11
C2 (v1) Pie 1) Q+S+
-57,19 38,90 73,75 48,42
Cab -57,19 37,87 71,91
Pie 2) Q+S-
-374,81 38,90 116,75 (*) 77,37
Cab -374,81 37,87 115,34
C2 (v2) Pie 1) Q+S-
-57,19 70,00 116,74 77,36
Cab -57,19 69,00 115,34
Pie 2) Q+S-
-374,81 70,00 159,32 (++) 105,76
Cab -374,81 69,00 157,95
(v1) indica versión 1: Armadura máxima determinada con las combinaciones posibles.
(v2) indica versión 2: Armadura máxima determinada con todas las combinaciones.
Como en el ejemplo anterior la estructura es muy sencilla y el análisis conceptual de la
simultaneidad que hemos hecho es relativamente simple, aunque demande bastante trabajo.
¿Qué sucede en una estructura muy compleja con muchos nudos? ¿Qué sucede cuando se
utiliza un programa de dimensionamiento automático enganchado directamente con el
programa de análisis?
Una manera de llegar a manejar adecuadamente la simultaneidad de solicitaciones es
formular un estado de acciones estáticas que resulte equivalente de la acción sísmica. Hay
dos posibilidades para esta idea. La primera es adoptar como respuesta las fuerzas de inercia
en cada masa, asignando a todas el mismo sentido. La segunda es obtener como respuesta
la solicitación global más peligrosa - habitualmente el corte - y a partir de ese estado formular
un estado de cargas horizontales equivalentes. Podría haber más de una solicitación global
peligrosa cada una para distintos componentes de la estructura y consecuentemente podría
haber más de un estado estático, cada uno válido para el grupo de componentes
correspondiente. En la tabla 6 se muestran los esfuerzos de corte globales obtenidos por
superposición espectral y las fuerzas estáticas equivalentes que permiten obtener la
misma envolvente de corte (sin reducir por ductilidad).
Tabla 6
NIVEL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Qmáx(t) 575,7 561,5 534,4 497,8 454,0 403,6 345,8 278,5 199,5 107,0
Fie (t) 14,2 27,1 36,6 43,8 50,4 57,9 67,3 79,0 92,5 107,0
Con estas fuerzas y las cargas verticales correspondientes se analizó el pórtico y se
obtuvieron los valores de la tabla 7 (ya reducidos por ductilidad) para las columnas C1 y C2:

Tabla 7
COL. Nq (t) Mq (tm) ∆Ns (t) ∆Ms
(tm)
Nq+s (t) Mq+s
(tm)
Nq-s (t) Mq-s (tm)
C1p -240,0 1,2 456,4 -230,2 -42,8 -98,2 -437,2 100,61
C1c -18,7 201,8 68,4 -105,8
C2p -216,0 25,7 387,6 -211,3 -48,6 -65,5 -383,4 117,0
C2c -22,5 210,0 68,3 -113,1
Estos valores difieren poco de los obtenidos por superposición directa. Las diferencias son
insignificantes para los fines prácticos del dimensionamiento de armaduras y más aún si se
toman en consideración las otras incertidumbres que afectan todo estudio sísmico. Lo más
importante es que de este modo se puede tener un control más efectivo sobre la validez de
los resultados, aún en estructuras complejas.
Esta última conclusión es consecuencia de un hecho simple: el método de superposición
modal espectral puede dar valores confiables para los máximos probables de las respuestas,
pero no indica la simultaneidad de los valores. El modo aparentemente indirecto de determinar
las solicitaciones en la estructura utilizado en la segunda parte del ejemplo adopta una única
respuesta como indicador: el corte entre niveles. Por consiguiente se independiza de la
temporalidad de la respuesta, al menos en sus aspectos prácticos más importantes.
Consideremos ahora las diferencias entre los valores obtenidos por uno u otro método. La
diferencia más importante se tiene en los valores de esfuerzo normal en el estado que origina
menos compresión (la acción sísmica origina tracción en esa columna) 17 % para la columna
C1 y 11 % para la columna C2; en los demás casos la diferencia no supera el 2 %.
Esto se debe a dos circunstancias. En primer término la resta de valores aumenta el valor
relativo de la variación entre ambos resultados porque el valor de comparación final es más
chico que en el caso de la suma. En segundo lugar se puede observar que en el segundo
método se exageran los valores de tracción por sismo respecto del método directo; eso
ocurre porque la influencia de los modos superiores, en los que hay inversión del sentido de
las fuerzas, es más importante sobre el momento global (causante del esfuerzo normal en las
columnas) que sobre el corte global (causante de la flexión de las columnas). O sea que los
problemas de temporalidad han disminuido pero no han desaparecido 18
.
En este caso el método proporciona una solución válida, pero de ninguna manera está
garantizada su confiabilidad en cualquier estructura. Por lo tanto siempre se requiere el
análisis cuidadoso y la interpretación de los resultados.
18
Todo ello se debe a que habría que dimensionar instante a instante la armadura con las combinaciones M, N
correspondientes y elegir la mayor armadura.

Modelos espaciales
Son muy pocas las referencias a la utilización práctica y a las limitaciones de los modelos
espaciales en la bibliografía.
En general se admite que las construcciones pueden analizarse por separado en dos
direcciones cuando no hay acoplamiento entre los grados de libertad correspondientes. Se
deben considerar también los efectos rotacionales. En caso contrario las construcciones
deben analizarse utilizando modelos espaciales. Se debe recordar que los modelos
espaciales son mucho más complejos para formular y para interpretar los resultados, así
como requieren mucho más tiempo de proceso que los modelos planos.
La cuestión es determinar cuando se presenta ese acoplamiento. De nuevo el modo más
simple de estudiar el problema es analizar las deformaciones de la estructura sometida a
cargas horizontales estáticas y comparar los valores que corresponden a la dirección de la
excitación con las que corresponden a la dirección perpendicular. Para evaluar los efectos
rotacionales se pueden comparar las traslaciones debidas a la rotación del sistema con las
traslaciones directas 19
.
La mayoría de los programas comerciales de elementos finitos permiten formular modelos
espaciales para análisis dinámicos en forma automática. Esto aparentemente liberaría a los
proyectistas de una tarea extraordinariamente penosa. Sin embargo ya se han señalado
algunas limitaciones importantes, sobre las que se vuelve a continuación.
Particularidades de la modelación espacial
Limitaciones provenientes de los programas
Pocos de los programas de elementos finitos permiten seleccionar un conjunto de grados de
libertad para el análisis dinámico distinto del conjunto adoptado para definir el sistema
estructural. La consecuencia inmediata es que el tamaño de los modelos, en términos
computacionales, crece muchísimo. Consecuentemente el tiempo de proceso y la masa de
resultados son muy importantes.
Por otra parte pocos de esos programas proporcionan el factor de participación para cada
modo. El cálculo directo de los factores de participación es posible a partir de las formas
modales pero en modelos grandes esa tarea no puede hacerse manualmente. En definitiva el
proyectista no sólo queda obligado a superponer todos los modos con las rutinas internas del
programa, sino que tampoco puede valorar con certeza la importancia de los distintos
movimientos.
Finalmente no todos los programas admiten la excitación por separado de los distintos grados
de libertad, lo que origina respuestas falsas: por ejemplo se excitan con la misma intensidad
todos los grados de libertad, cualquiera sea su dirección.
Limitaciones de la superposición modal en modelos espaciales
Las respuestas se deben seleccionar tomando en cuenta que resulten luego significativas
para el proyecto sismo resistente. Las solicitaciones en planos distintos, que inevitablemente
aparecen en una estructura espacial, son magnitudes vectoriales cuyos máximos no pueden
componerse en forma directa porque no son simultáneos.
19
Las expresiones de CCSR 4.9.1.2 tienen ese propósito.

Si el programa admite la excitación por direcciones independientes se puede llegar a obtener
resultados utilizables de acciones estáticas equivalentes en cada grado de libertad. Si el
programa no tiene esa facilidad sólo se pueden utilizar los resultados para cada modo y luego
obtener la superposición en forma externa para poder determinar sentidos y simultaneidades.
Esta tarea puede ser extremadamente penosa en modelos muy grandes.
Acoplamiento de vibraciones en direcciones distintas
Casi todos los casos de acoplamiento importante de movimientos entre direcciones distintas
se deben a defectos de diseño. Como tales deben ser analizados y corregidos. Es cierto que
si el acoplamiento es débil el análisis espacial no es necesario, lo que confirma que las
estructuras más confiables siempre admiten procedimientos más sencillos.
Un caso que es verdaderamente crítico es aquel en que hay resonancia (períodos muy
próximos) entre los modos correspondientes a movimientos en direcciones distintas. Esto
indica que la estructura se excita simultáneamente en ambas direcciones y por consiguiente
crea el riesgo de superposición de efectos en los componentes más críticos de la estructura.
En esos casos la solución es modificar el diseño.
Un ejemplo de estructura espacial
En este caso se muestra la influencia de la simultaneidad de solicitaciones en planos
distintos. A las dificultades ya señaladas en el ejemplo 2 (simultaneidad entre esfuerzo normal
y momento flector en una estructura plana) se añade ahora la simultaneidad entre las
solicitaciones por movimientos en direcciones diferentes que originan variaciones de esfuerzo
normal no simultáneas y momentos flectores en planos perpendiculares. Luego se aplica el
procedimiento de generar estados de cargas estáticas equivalentes a partir de las
solicitaciones globales para definir estados simultáneos de solicitación en los componentes
estructurales.
Se analiza el pórtico espacial indicado en la figura 9:
es una estructura regular con columnas a 5 m entre
ejes en ambas direcciones y 3 m de altura entre
losas, vigas de 30x60 cm y columnas de 50x50 cm.
Se determinaron los modos de vibración. Se estudia
la sección de cabeza de la columna de la esquina en
el nivel inferior como ejemplo y se obtuvieron por
superposición modal espectral las solicitaciones (N,
Mx y My).
La tabla 8 muestra las solicitaciones debidas a las
cargas verticales y las variaciones debidas a la
acción sísmica según resulta de la superposición
modal espectral.
Tabla 8
Nq (t) Mqx (tm) Mqy (tm)
-25,66 0,52 0,52
∆Ns (t) ∆Msx (tm) ∆Msy (tm)
33,66 38,09 22,92
Aún cuando se haya hecho la corrección de signos utilizando el procedimiento indicado en el
ejemplo 1 se tienen que combinar ahora tres variables: el esfuerzo normal y los momentos
flectores en cada plano de la columna. La tabla 8 sólo proporciona los valores máximos
probables de las solicitaciones debidas a la acción sísmica, no hay ninguna referencia
para estudiar la simultaneidad entre ellas. La tabla 9 muestra las combinaciones que podrían
Figura 9

hacerse en una interpretación “un tanto libre” del reglamento 20
y las armaduras
correspondientes. De todos modos se están superponiendo los valores máximos en cada
dirección con la variación máxima del esfuerzo normal. El método no ofrece otras
posibilidades en este caso. Se dimensionaron las armaduras para la columna de hormigón
con H17, ADN 420.
Tabla 9
COMBINACIÓN N (t) Mx (tm) My (tm) A (cm2
)
1) N + ∆Ns+ Mx+ 0,3 My -59,32 38,61 7,40 39,33
2) N + ∆Ns- Mx - 0,3 My -59,32 -37,57 -6,35 37,20
3) N + ∆Ns+ 0,3Mx + My -59,32 11,95 23,44 21,52
4) N + ∆Ns- 0,3Mx - My -59,32 -10,91 -22,40 19,18
5) N - ∆Ns+ Mx + 0,3 My 8,00 38,61 7,40 48,89
6) N - ∆Ns- Mx - 0,3 My 8,00 -37,57 -6,35 47,03
7) N - ∆Ns+ 0,3Mx + My 8,00 11,95 23,44 32,50
8) N - ∆Ns- 0,3Mx - My 8,00 -10,91 -22,40 30,49
Para este ejemplo se considera que el esfuerzo de corte por piso es la solicitación global más
peligrosa 21
. En consecuencia los esfuerzos de corte globales máximos probables por piso
se obtuvieron por superposición modal espectral. Con ellos se determinaron estados de
cargas estáticas equivalentes en cada nivel para cada dirección (elásticas) tabla 10.
Tabla 10
NIVEL Qx (t) Fxi (t) QY (t) Fyi (t)
1 301,76 55,23 300,76 54,55
2 246,53 105,62 246,21 104,62
3 140,91 140,91 141,59 141,59
El pórtico se analizó nuevamente y se obtuvieron los resultados que se muestran en la tabla
11, para la misma columna.
Tabla 11
COMBINACIÓN N (t) Mx (tm) My (tm) A (cm2
)
1 1,75 Q -44,90 2,11 2,12 0,00
2 Q + Sx + 0,3 Sy -2,96 8,53 21,70 26,20
3 Q - Sx - 0,3 Sy -48,40 -6,12 -24,10 19,90
4 Q + Sy + 0,3 Sx -52,10 25,60 5,65 19,35
5 Q - Sy - 0,3 Sx 0,73 -23,20 -8,08 28,58
6 Q + Sx - 0,3 Sy 18,90 -6,12 21,70 29,82
7 Q - Sx + 0,3 Sy -70,30 8,53 -24,10 18,24
8 Q + Sy - 0,3 Sx -72,30 25,60 -8,08 19,76
9 Q - Sy + 0,3 Sx 20,90 -23,20 5,65 31,89
Las diferencias son notables y, para los que ya conocen las consecuencias de
sobredimensionar en flexión, poco tranquilizadoras. Parece entonces que es más conveniente
estudiar acciones globales más que solicitaciones, al menos cuando se trata de estructuras
“de pisos” o “en cadena” como son los edificios regulares.
20
[8] Art. 5.2.- En este artículo se indica la superposición de estados de carga. En la tabla se han tomado los momentos
en cada dirección como debidos a la acción sísmica en esa dirección, lo que es cierto en esta estructura (simétrica).
21
Esta solicitación tendería a exagerar la influencia de la variación de esfuerzos normales (que en última instancia
representa la influencia del momento global) en las columnas. Si esto fuera muy significativo, como puede ocurrir en
estructuras de tabiques y en sus fundaciones, se podría verificar el corte de las piezas con el estado de carga
obtenido a partir del corte global y el momento con el estado de carga obtenido a partir del momento global.

También se calcularon las fuerzas de inercia (elásticas) sobre las masas por superposición
modal espectral y se obtuvieron los valores de la tabla 12. Se consigna la diferencia con los
valores de la tabla 10. Las diferencias son insignificantes para el proyecto de la estructura,
pese a la mayor diferencia en el nivel 1.
Tabla 12
NIVEL Fx (t) ∆Fxi (%) FY (t) ∆Fyi (%)
1 60,44 +9,4 60,53 +11,0
2 108,03 +2,3 107,68 +2,9
3 140,91 0 141,59 0
Σ=Fs 309,38 +2,5 309,80 +3,0
Estos métodos son los únicos modos prácticos de resolver la cuestión de la simultaneidad de
solicitaciones dentro del análisis modal por superposición espectral en el caso de la estructura
espacial de este ejemplo. Así se señala claramente en textos recientes que “descienden” al
plano de las aplicaciones prácticas 22
.
Para concluir caben las mismas reflexiones ya hechas en los ejemplos anteriores. ¿Qué
sucede cuando el programa sigue directamente con el dimensionamiento? ¿Qué casos
analiza y como superpone los valores? ¿Cómo correlaciona la resistencia al corte con la
resistencia a flexión?
22
Ver [5]

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