civil

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA CENTROAMERICANA
CAMPUS TEGUCIGALPA
MAESTRIA EN ESTRUCTURAS
AIGNATURA: PROPEDEUTICO DE ANALISIS ESTRUCTURAL
AUTOR: DR. ING. ALEXIS NEGRÍN HERNÁNDEZ
PROFESOR TITULAR.
UNIVERSIDAD CENTRAL DE LAS VILLAS,
CUBA.
PROFESOR INVITADO. UNITEC.
PROFESOR: DR. ING. JORGE LUIS BROCHE LORENZO
PROFESOR AUXILIAR
UNIVERSIDAD CENTRAL DE LAS VILLAS,
CUBA.
PROFESOR INVITADO. UNITEC.
ENERO 2007

2. 2
TEMA I GENERALIDADES SOBRE EL CÁLCULO ESTRUCTURAL
1.0 Introducción
El avance de las nuevas técnicas CAD, y su introducción en todos los campos de la
ciencia y la técnica hacen en la actualidad, para todos los ingenieros, que el conocimiento
y aplicación de software profesionales y especializados sea de vital necesidad e
importancia para el desarrollo completo de sus carreras como profesionales en el campo
de la Ingeniería Civil.
Conjuntamente con el avance científico en los campos del análisis y diseño de las
estructuras, es necesario el dominio de Sistemas de Ayudas a la Ingeniería, que facilitan y
permiten obtener mayor rapidez y eficiencia en la aplicación de las más actuales
tendencias mundiales en los procedimientos y metodologías de diseño implementadas en
la Ingeniería Estructural. Así como el conocer de software especializados de nuestro
campo, que permiten el análisis y diseño de estructuras complejas, que por los métodos
tradicionales convencionales se hacen prácticamente imposible, o poco precisos.
Para poder llegar a dominar esas herramientas de cómputo, primero que todo, hay que
conocer con bastante grado de precisión las hipótesis y teorías sobre las que se basan. La
cuestión no es tener muchas habilidades en computación, si no tener ciertas
posibilidades de “comunicarse” con el sistema, aprovecharlo al máximo y sobre todo:
saber dar los datos correctamente e interpretar los resultados. Para eso es
imprescindible conocer con profundidad las bases de cálculo en que se fundamentan
los software.
Pretendemos en este Diplomado dar Sistemas de Cómputos (STAAD.pro) y que se
logren habilidades mínimas en los mismos, pero sobre la base de un conocimiento de las
hipótesis y bases de cálculo de dichos sistemas, que no son mas que los métodos de
análisis y diseño estructural que se estudia en clases con alguna actualidad, lógica de los
avances técnicos de estos tiempos.
Teniendo en cuenta lo anterior, antes de comenzar el uso de STAAD para el análisis
estructural, es imprescindible en el presente módulo, dar una visión general, y en algunos
casos particularizar, sobre el cálculo estructural, fundamentalmente en lo referente a la
modelación y el análisis estructural. Veremos con cierto grado de detalle en que consiste
el proceso del análisis y diseño estructural. Como se realiza la modelación de una
estructura. Estudiaremos, sin mucho grado de detalle en virtud del tiempo, la modelación
de las cargas según la propuesta de Código Hondureño de Construcción.
Se estudiará también con más o menos grado de detalles: Generalidades sobre Análisis
Estructural. Métodos de Análisis: Método de las fuerzas y método de los
desplazamientos. Métodos aproximado e iterativos. Enfoque matricial. Generalidades de
Análisis estructural asistido por computadora.
Con todo esto lograremos cumplir el objetivo de conocer (más bien: recordar con un
mayor grado de profundidad y con una óptica de visión de conjunto) todos los

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fundamentos de modelación y análisis estructural en que se basan los software
especializados.
No aspiramos en el Tema a profundizar mucho en los detalles teóricos, aunque estos son
siempre importantes, más que todo se quiere hacer una adecuada interpretación física del
fenómeno que se trata, desarrollar la intuición y dar herramientas de trabajo, sobre todo a
los que se ocupan de la labor de proyección de estructuras.
1.1 El Diseño Estructural
1.1.1 El Ámbito del Diseño Estructural
De forma genérica se puede definir como las diversas actividades que realiza el ingeniero
estructural, en constante interacción con el arquitecto (aunque en esta etapa la
responsabilidad máxima es del Ingeniero), para determinar la forma, dimensiones (o
rectificaciones al predimensionamiento inicial) y características detalladas de una
estructura que tiene como función absorber las solicitaciones provocadas por las cargas
que se presentan durante su vida útil.
Dentro de esas actividades está hacer cumplir los requisitos para que una estructura
cumpla sus funciones sin que sufra fallas o mal comportamiento debido a su incapacidad
para soportar las cargas que sobre ellas se imponen en un período de tiempo dado.
Es práctica común que el Ingeniero Estructural sólo presente atención a la parte
estructural de un proyecto dado, pero queda claro que un proyecto de una obra no es sólo
el proyecto estructural, hay muchos subsistemas y especialistas moviéndose alrededor de
dicho proyecto. Por eso es de vital importancia un trabajo conjunto y una interacción
constante (recordar que un proyecto lleva una amplia y sólida componente arquitectónica,
instalaciones, vías de acceso, etc), la cual, desgraciadamente, no se realiza en conjunto la
mayoría de las veces, “tirando” por su lado cada especialista. Debe quedar claro la
solución óptima sale del trabajo conjunto y la ponderación de factores, además, en
particular para el Ingeniero estructural, debe quedar claro que, como expresó Don
Eduardo Torroja en su libro Razón y Ser de los Tipos Estructurales: “Las obras no se
construyen para que resistan. Se construyen para alguna otra finalidad o función
que lleva, como consecuencia esencial, el que la construcción mantenga su forma y
condiciones a lo largo del tiempo. Su resistencia es una condición fundamental, pero
no es la finalidad única, ni siquiera la finalidad primaria.”
Es evidente entonces que el proyecto estructural es sólo una parte de ese gran conjunto
que es el proyecto de una obra, donde está también el proyecto arquitectónico, de
instalaciones, equipamiento, etc. y que en el trabajo conjunto de los diferentes
especialistas está el secreto del logro de un buen proyecto en general. La aplicación de la
ingeniería de sistemas al diseño de obras ha conducido al diseño por equipo. En este
enfoque, bajo la dirección de un jefe o coordinador, un grupo de especialistas colabora en
la elaboración de un proyecto desde su concepción inicial. La especialidad del
coordinador depende del tipo de obra. Por ejemplo, si el proyecto es de un edificio social
sería dirigido por el responsable del proyecto arquitectónico; si fuera un puente el
proyectista estructural sería el máximo responsable.

4. 4
Otro aspecto muy importante a la hora de proyectar estructuras, son las cuestiones
tecnológico-constructivas; el proyectista estructural debe tener siempre presente que lo
proyectado se tendrá que construir y eligiendo las soluciones que mejor se ajusten a los
materiales y técnicas constructivas disponibles. Por eso en el trabajo conjunto nunca se
debe prescindir del “constructor” y su experiencia constructiva, además un buen
proyectista, en alguna etapa de su vida, debe haber construido y conocer las técnicas de
ejecución de obras.
La interacción con los contratistas responsables ( contrapartida) del proyecto es otra
cuestión de interés. Es frecuente que estos pidan, por una razón u otra, cambios en el
proyecto original, esto puede originar que haya que repetir partes importantes en el
proceso de diseño estructural, en estos casos nunca se deben tomar decisiones
apresuradas que puedan atentar contra la economía de la construcción, e incluso en
algunos casos contra la seguridad.
Las preocupaciones de los daños ecológicos, también deben estar dentro del ámbito del
diseño estructural y debemos reconocer que los proyectistas, poco nos hemos preocupado
y ocupado de estas cuestiones, hoy más que nunca hay que tener presente el impacto que
puede tener una obra sobre el medio ambiente. Ejemplo de daños causados por la
construcción de obras de ingeniería al entorno hay por miles: daños al subsuelo y el
suelo, al clima, a la contaminación ambiental, al manto freático, etc.
Con el avance de la computación y la Investigación de Operaciones, en el Diseño
Estructural se abre otro nuevo campo de desarrollo: El Diseño Optimo de Estructuras, el
cual permite obtener la variante o variantes más racionales desde el punto de vista
económico, lográndose obras que cumplen todas sus funciones y requisitos, pero que a la
vez, su costo es mínimo. En este curso no se tiene por objetivo desarrollar el tema
profundamente, pues él solo necesita de un curso completo para su impartición, no
obstante se tratarán algunas ideas generales y se darán, sobre todo en el segundo tema
muchas recomendaciones al respecto.
Por último queremos dejar una idea muy clara: un buen proyecto es aquel que cumple
cabalmente los siguientes requisitos:
1. Requisitos de funcionabilidad y arquitectónicos
2. Requisitos de resistencia (tanto para carga última como de servicio)
3. Requisitos tecnológicos-constructivos
4. Requisitos de economía
5. Requisitos ecológicos
Con otras palabras: Un buen proyecto es aquel que garantiza que la obra sea bella,
funcional, bien acoplada al entorno, que soporte las cargas sin daños que acorten su
vida útil, fácilmente construible, con gastos mínimos y sin dañar el medio ambiente.
A veces un requisito se opone al otro la solución debe ser de compromiso ¡ese es el arte
de proyectar!
Citando textualmente a Meli Piralla (ver referencias bibliográficas): “Cualquiera que
sea la metodología seguida en el diseño de una obra el ingeniero estructural debe
saber encuadrar su actividad dentro del proceso general del proyecto. Al igual que

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no debe imponer soluciones que resulten inconvenientes o ineficientes para el
funcionamiento general de la construcción, debe pugnar para que no se le impongan
esquemas o restricciones que conduzcan a un diseño estructural poco racional o
antieconómico”.
1.1.2 El proceso del diseño estructural
El diseño estructural es un proceso creativo (y recalcamos: creativo) mediante el cual se
definen las características de un sistema de manera que cumpla en forma óptima con sus
objetivos. El objetivo de un sistema estructural es resistir las fuerzas a las que va a estar
sometido, sin fallo o mal comportamiento. Las soluciones estructurales están sujetas que
surgen de la interacción con otros aspectos del proyecto y a las limitaciones generales de
costo y tiempo de ejecución.
En cuanto a lo creativo (citando a Meli Piralla): “La bondad del proyecto depende
esencialmente del acierto que se haya tenido en imaginar un sistema estructural que
resulte el más idóneo para absorber los efectos de las acciones exteriores a que va a
estar sujeto. Los cálculos y comprobaciones posteriores basados en la teoría del
diseño estructural sirven para definir en detalle las características de la estructura y
para confirmar o rechazar la viabilidad del sistema propuesto. Podrá lograrse que
una estructura mal ideada cumpla con requisitos de estabilidad, pero seguramente
se tratará de una solución antieconómica o antifuncional. Esta parte creativa del
proceso no esta divorciada del conocimiento de la teoría estructural. La posibilidad
de intuir un sistema estructural eficiente e imaginarlo en sus aspectos esenciales, es
el fruto sólo en parte de cualidades innatas; es resultado también de la asimilación
de conocimientos teóricos y de la experiencia adquirida en el ejercicio del proceso de
diseño y en la observación del comportamiento de las estructuras. Lo que
comúnmente se denomina “buen criterio estructural” no esta basado sólo en la
intuición y en la práctica, sino que también debe estar apoyada en sólidos
conocimientos teóricos.” (fin de la cita).
Ahora bien, ¿cómo se adquiere “buen criterio estructural”? ¿cómo se desarrolla la
intuición, pues somos partidarios que esta se desarrolla? Esto se logra con la combinación
de varios factores: primero que todo con una sólida formación teórica lograda en los
estudios durante la carrera y durante el ejercicio de la profesión, el avance acelerado de la
ciencia lo exige y para ello hay que estar en contacto directo con la literatura cuyo
volumen crece a diario. En este sentido no es leer y dominar toda la literatura ¡ eso sería
imposible!, sino mantenerse actualizado, saber donde encontrar lo que buscamos en un
momento dado frente a un problema del ejercicio de la profesión. Otro factor importante
es la práctica, el ejercicio serio y responsable de la actividad profesional aporta
notablemente en la formación profesional y es donde se comprueban nuestros criterios.
En ese sentido conocemos casos de estudiantes mediocres que ejerciendo la profesión se
han convertido en excelentes ingenieros, claro, para eso han tenido que recuperar “el
tiempo perdido” en la Universidad. Por último y no por eso menos importante, el
contacto directo y prolongado con especialistas más maduros y el trabajo en equipo son

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una herramienta imprescindible, que unido al intercambio profesional aporta mucho a la
formación de un buen profesional.
Retomemos el tema del proceso del diseño estructural. Para clasificar o subdividirlo en
sus partes componentes no se puede caer en esquemas, unas partes interactúan con las
otras y se complementan entre si, unos autores lo subdividen de una forma otros de otra,
al final lo que debe quedar claro es su esencia y los pasos a seguir para realizar un buen
proyecto estructural. Veamos una subdivisión: (partiendo de la idea que en la interacción
con el arquitecto y demás especialistas ya se llegó a decidir el sistema estructural y que
esta paso es el más importante del proceso).
Análisis Estructural: se incluyen todas las actividades que lleven hasta la obtención de
las solicitaciones para diseñar los elementos, estas son:
1. Definición del esquema de análisis: es la modelación de la estructura, la idealización
de la estructura real por medio de un modelo teórico factible a ser analizado con las
herramientas de cálculo que poseemos. Como veremos mas adelante este es uno de
los pasos vitales en el proceso del proyecto estructural. Un ejemplo de la idealización
de un edificio de columnas, vigas y losas de concreto por medio de un sistema de
marcos planos formados por barras de propiedades equivalentes.
2. Determinación de los esquemas de carga: Otro paso muy importante, a el está
vinculado la determinación de todas las cargas posibles y en posibilidades más
críticas tanto para la etapa última como de servicio y teniendo en cuenta el diseño de
cada elemento de la estructura.
3. Determinación de las solicitaciones para el diseño: A partir de los esquemas de carga
se obtiene los gráficos de solicitaciones (momentos flectores, torsores, carga axial,
cortante, etc.) para posteriormente combinar y diseñar los elementos. En la actualidad
este proceso, gracias a la computación, es completamente automatizado.
Diseño Estructural: se incluyen todas las actividades que lleven hasta el completo
diseño del elemento, estas son:
1. Mayoración de las solicitaciones y combinación de carga: en este paso,
extremadamente importante para el diseño, se mayoran las solicitaciones provocadas
por las cargas y se combinan los efectos buscando las solicitaciones críticas para el
diseño de los elementos. No puede ser un paso mecánico, para esto hay que aplicar la
lógica ingenieril y estamos en contra de normar este proceso como hacen algunos
códigos (mas adelante completaremos esta idea).
2. Evaluación de soluciones preliminares: Para comenzar el diseño de los elementos se
pueden proponer varias variantes de diseño, se evalúan y se sacan las más racionales
(en un proceso de diseño óptimo de estructuras esto se realiza de otro modo,
comenzando desde la misma etapa de elección del sistema estructural o en el
análisis).
3. Diseño detallado: una vez seleccionada la opción más conveniente, se procede al
diseño detallado; comprobación del predimensionamiento de la sección, deformación
de los aceros resistentes, chequeos de deflexiones y grietas, despiezo de barras, etc.
4. Transferencia de los resultados del diseño: No es más que el dibujo detallado de los
planos de los elementos con toda la información posible para los usuarios y los

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constructores (recuérdese que se construye con los planos y la memoria descriptiva
del proyecto, el constructor no posee los cálculos estructurales del proyectista).
5. Supervisión o control de autor: Puede parecer que la etapa de diseño termina en el
paso anterior y nos hemos acostumbrado a ello, pero el proyectista esta en el deber y
el derecho de comprobar, durante la ejecución de la obra, que se estén interpretando
sus criterios vertidos en el diseño y representados en los planos y en el caso de
alguna variación el debe dar la decisión final.
1.1.3 Herramientas de diseño
Para desarrollar su trabajo, en la actualidad, el proyectista cuenta con varias herramientas:
métodos analíticos, normas y manuales, programas de computación y resultado de la
experimentación. Deben considerarse éstas como herramientas que ayudan y facilitan el
proceso mental a través del cual se desarrolla el diseño y no como la esencia del diseño
mismo que puede sustituir el proceso creativo, el razonamiento lógico, la interpretación
física del fenómeno, el análisis de invariantes y el examen crítico del problema.
Sobre métodos de análisis en los últimos tiempos se ha avanzado mucho: hay métodos de
análisis que tienen en cuenta el comportamiento no lineal del hormigón, la interacción
suelo-estructura, los efectos dinámicos, el efecto espacial, métodos más exactos como el
Método de los Elementos Finitos, etc. Pero hay que tener presente que estos métodos
analizan “modelos” con idealizaciones físico-matemáticas y que el proyectista diseña
estructuras reales. Aunque por regla general debe tenderse al empleo de métodos
refinados de análisis (y mucho más a través de la computación) hay que alertar del
peligro que representa que un proyectista poco familiarizado, pierda el sentido físico del
problema que esta resolviendo, que no sepa determinar de manera adecuada los datos que
alimentan el modelo y que no tenga idea para evaluar si los resultados que esta
obteniendo son reales o no.
Las normas y manuales resumen y ordenan todas las metodologías de cálculo estructural
y son una herramienta muy eficaz para el proyectista. Hay normas para la determinación
de cargas, recomendaciones de diseño, metodologías de cálculo, especificaciones de
diseño, detalles constructivos, etc.. Debe prevenirse contra el empleo indiscriminado de
esta herramienta, el proyectista debe ejercer su juicio para determinar si su caso particular
cumple con las hipótesis y limitaciones con que se elaboraron las tablas, gráficas,
metodologías o especificaciones. Además cada expresión de cálculo, cada especificación
debe ser interpretada físicamente, en la mayoría de los códigos y manuales, es nuestra
apreciación personal, estas cuestiones se ponen muy esquemáticamente aunque el
proyectista si puede profundizar en la interpretación (en este curso veremos varios
ejemplos de ello).
Los programas de computación son otra arma muy valiosa en manos del proyectista y
lleva al diseño estructural a planos superiores, pero debe quedar claro una cosa, los
programas de computación (hoy en día los hay para calcular de todo) no sustituyen al
ingeniero ni resta importancia a la intuición y experiencia, muy por el contrario, exige de
él mayor nivel técnico, mayor iniciativa y mayor capacidad. Por poner un ejemplo: ¿para

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que sirve un programa de diseño de cimientos muy potente en manos de un proyectista
inexperto, si no sabe los requisitos fundamentales que debe cumplir un correcto diseño?;
en este caso sólo resuelve una solución elemental sin valorar otros factores pues el
proyectista no le puede sacar mas al programa. En la clase veremos otros ejemplos de
esta índole.
Para el empleo de manuales de cálculo y programas, Meli Piralla recomienda:
1- Nunca uses una de estas herramientas si no sabes en que teoría se basa, que hipótesis
tiene implícitas y que limitaciones tiene para su uso.
2- Después de asegurarte que es aplicable a tu caso particular, cuida que puedas obtener
datos que se requieren para su empleo y pon atención en emplear las unidades
correctas.
3- Una vez obtenidos los resultados, examínalos críticamente, ve si hacen sentido; si es
posible compruébalos con otro procedimiento aproximado hasta que estés convencido
de que no hay errores gruesos en el proceso.
4- Analiza que aspectos no han sido tomados en cuenta en ese proceso y asegúrate que
no alteran el diseño. Por ejemplo, ninguna de esas herramientas suele tomar en cuenta
concentración de esfuerzos en los puntos de aplicación de la carga o de
irregularidades locales; si se dan estas condiciones en tu estructura, revísalas por
separado.
1.2 Modelación Estructural: Estructura Real, Esquema de Análisis y
Esquema de Carga
Veamos en este epígrafe dos de los pasos más importantes de un proyecto estructural y
que tiene que ver con el acertado modelación de la estructura para su correcto cálculo
estructural.
A la hora de modelar una estructura real para comenzar su análisis estructural ¿Qué tipo
de apoyo considero para la edificación que voy a crear? O ¿Cuál es el tipo de apoyo que
mejor se ajusta a esta construcción ya ejecutada? O en otras palabras ¿Cómo logro una
articulación, un empotramiento o un simple apoyo?
Recordemos un poco los apoyos teóricos ya estudiados en los cursos de Mecánica de la
Construcción.
Simple apoyo: elimina un grado de libertad, el desplazamiento a lo largo del eje del
apoyo. La simbología en los distintos textos es:
Articulación: elimina dos grados de libertad, los dos desplazamientos posibles en el
plano. Simbología:

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Empotramiento: elimina los tres grados de libertad posibles en el plano. Los dos de
desplazamiento y el giro. Simbología:
A todo lo anterior habría que añadir una palabra: COMPLETAMENTE, ¡todo grado de
libertad que cada uno de estos apoyos elimina lo es completamente!
Veamos un ejemplo sencillo de modelación de una estructura real: pórtico plano que
descansa sobre un suelo que en un lado hay roca y en el otro arcilla blanda (ver figura).
Siendo una estructura sin otras limitaciones y teniendo en cuenta que se plantea
construirla con concreto fundido “in situ”, podemos considerar que las uniones del dintel,
en este caso una viga a las columnas pueden ser empotradas, con lo cual aprovechamos el
efecto del monolitismo, presente en toda construcción fundida “in situ”, el cimiento que
descansa sobre la roca sana, lo podemos considerar perfectamente empotrado al disco
tierra, ya que dicha roca resulta un material muy rígido en el cual podemos admitir la
completa imposibilidad de desplazamientos y giros; todo lo contrario ocurre con la arcilla
blanda, que es un material muy deformable, en el cual siempre aparecen giros en las
cimentaciones provocadas por el reparto desigual de tensiones, debido a esto no
podremos considerar al cimiento que descansa sobre ella como empotrado, sino que
admitiremos que en este punto contamos con una articulación.
L
NPT
H
ROCA
ARCILLA BLANDA

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De lo anterior podemos concluir que la modelación de la estructura (esquema de análisis)
quedará:
Además del esquema hay que modelar las dimensiones y características geométricas y de
rigidez de cada elemento que vienen definidas por las áreas de la sección transversal, las
inercias y los módulos de deformación y cortante.
Considerando que podemos resolver la cubierta mediante una losa plana de concreto
armado y que esta descansa sobre el dintel, podremos asumir la losa como una carga
linealmente distribuida que en KN/m (resultado de multiplicar el peso por unidad de
volumen del concreto por el espesor y por el intercolumnio) y si no consideramos otras
posibles acciones sobre nuestra estructura y le agregamos el peso por metro lineal de la
viga, llegaremos a una fase más avanzada del proceso: el esquema de carga o esquema de
cálculo, para este caso específico, el esquema de carga permanente o carga muerta, que
nos permitirá calcular las solicitaciones que actúan sobre los elementos y diseñar cada
uno de ellos.. Es evidente que sólo con el esquema de carga muerta no podemos diseñar,
faltan los otros esquemas de carga posibles, cosa que veremos posteriormente con más
profundidad. Para este caso quedará:
EN CONCLUSIÓN: LA MODELACIÓN ESTRUCTURAL CONSISTE EN :
1.-MODELACIÓN DE LA GEOMETRÍA:
H
L
E,G,Iv,Av
E,G,Ic,Ac
H
L
E,G,Iv,Av
E,G,Ic,Ac
qD(kN/m)

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Se modelan las dimensiones y las características geométricas de las secciones (área e
inercia).
2.-MODELACIÓN DE LOS MATERIALES:
Se modelan las propiedades de los materiales, representadas por los módulos de
deformación y cortante. Si para el cálculo de las solicitaciones se usa el método de las
deformaciones y se trabaja con todos los términos de la integral de Mohr (como en el
caso del análisis estructural con el uso de la computación) se hace necesario el G y el área
de la sección.
3.-MODELACIÓN DE LOS APOYOS:
Se modelan las uniones entre los elementos y las uniones a tierra.
4.- MODELACIÓN DE LAS CARGAS:
Se modelan cada una de las cargas posibles actuar sobre la estructura según los códigos
correspondientes y para las condiciones concretas que existen.
5.-MODELACIÓN DE LA MASA:
Para el caso de la modelación de la carga de sismo es necesario tener en cuenta donde se
consideraran las concentraciones de masa.
En el ejemplo anterior al ir pasando gradualmente de la estructura real al esquema de
cálculo, fuimos simplificando parejamente los elementos y las uniones entre ellos, así los
elementos quedan representados por sus ejes y se simplifican las uniones entre ellos,
hasta llevarlos a los esquemas que ya conocemos. Es obvio que al despreciar las
dimensiones y las masas de los elementos en nuestro esquema de análisis hemos
introducido fuentes de imprecisión, pero no tenemos otra posibilidad al modelar la
estructura: sustituimos los elementos por barras lineales y unimos estos elementos por
apoyos puntuales teóricos.
En el caso que analizabamos, el cimiento de la izquierda que se asienta sobre roca sana y
en vista de la gran rigidez de la misma, resulta despreciable cualquier posible
deformación y por tanto es válido considerar un apoyo rígido. En este caso hay una buena
aproximación entre la realidad y el modelo, pero no es más que eso una aproximación,
basta decir que no existe un material totalmente rígido, no lo es la roca como tampoco lo
es el concreto.
El cimiento sobre la arcilla blanda no tiene capacidad apreciable para resistir los giros,
puede tomar cargas axiales solamente, estamos en presencia de una articulación, pero en
realidad este cimiento si puede tomar algún valor de momento, aunque su valor sea
relativamente bajo y además el valor de la fuerza axial estará sujeto a la consideración del
asiento esperado. De hecho al evaluar el asiento estaremos evaluando la rigidez del apoyo
elástico.
Acabamos de hablar del apoyo elástico, como podríamos hablar de empotramiento
elástico, en estos casos los vínculos imponen sólo una restricción parcial, siempre son
capaces de permitir cierto grado de libertad, al menos en parte.
Entonces surgen dos nuevos tipos de apoyos teóricos:
El apoyo elástico: que puede sufrir desplazamiento según su eje, cosa que no admite un
simple apoyo indesplazable elástico.

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El empotramiento elástico: que puede permitir cierto grado de giro, cosa que no admite el
empotramiento rígido.
En realidad estos apoyos pocas veces son usados directamente en los cálculos, pues se
dificulta mucho evaluar el grado de rigidez que tenga frente a los desplazamientos o giros
que permiten, pero si sirven para representar la verdadera clase de vínculo que une dos
elementos de una estructura, se representa por los siguientes símbolos:
Debemos recalcar la importancia que tiene el paso de llevar la estructura real a esquema
de análisis, de hacerlo mal ninguno de los cálculos posteriores son válidos: ¡estamos
calculando otra estructura, no la que nos compete!
La mayoría de los casos de fallos prematuros de estructuras han sido por un error en la
concepción del esquema de análisis, veamos un ejemplo: supongamos en el caso anterior
de cimiento derecho sobre arcilla blanda, que un proyectista decide que es
empotramiento, comparemos entonces los resultados (si verdaderamente se acerca más a
la articulación) en los dos casos los gráficos de momento flector quedarían así:
M4 > M1 , M5 > M2 , M6 > M3
En el caso de los dos apoyos empotrados los momentos se reparten mejor en toda la
estructura, se elevan los momentos negativos del dintel en comparación con los positivos,
como el apoyo derecho es en realidad una articulación, eso disminuye los momentos
negativos y aumenta el positivo en el centro de la luz de la viga, este fenómeno se hará
más pronunciado por cuanto inicialmente estamos precipitando el mecanismo de la
Empotramiento elástico Apoyo elástico
M6
M1
M2 M3
M4
M5
APOYO EMPOTRADO APOYO ARTICULADO

13. 13
articulación, al enviar momento a ese apoyo bajo determinadas condiciones de carga o de
dimensiones del pórtico, puede sobrevenir el fallo de la estructura, tanto por asentamiento
y giro excesivo o por rotura de la viga en su zona de momento positivo y de la columna
de la derecha.
En realidad nos estamos refiriendo a la naturaleza de las conexiones entre elementos
estructurales, pues son éstos los que interesan al ingeniero estructural, pero esta categoría
puede aplicarse a la relación de apoyos o vínculos entre cuerpos materiales cualesquiera,
es más, al ver un ejemplo de este tipo podremos definir mejor los elementos que integran
el análisis de un apoyo dado.
1.3 Modelación de Cargas
Primero que todo demos una definición lo más concreta posible sobre carga: se define
por cargas toda acción o acciones que producen sobre una estructura
estados de esfuerzos y por tanto deformaciones.
Esta definición es muy completa y ayuda a comprender más el concepto, pues a veces
pensamos que carga es un hecho físico perfectamente perceptible y hay acciones, que son
carga también y que cuesta trabajo percibir, como es el caso del efecto de variaciones de
temperaturas en estructuras hiperestáticas, movimiento de apoyos, etc..
Las cargas se dividen en varias formas: por sus efectos sobre las estructuras, por la
probabilidad de actuación, por su variación de intensidad en el tiempo, etc.. Los
diferentes códigos y autores las clasifican de distinto modo, pero eso no tiene una mayor
importancia, lo más importante es saber que cargas probables actúan sobre una estructura
y saber calcularlas para el posterior diseño. Por esa razón daremos aquí una clasificación
que nos permita estudiarlas en un orden dado, dentro de lo posible, comentaremos las
definiciones dadas por otros códigos y autores, pero creemos que esta clasificación tiene
un valor más metodológico. Posteriormente analizaremos la propuesta de Código
Hondureño
1.3.1 Clasificación
De acuerdo con la probabilidad de actuación las cargas se pueden dividir en:
- Cargas permanentes (también definida por otros autores como cargas muertas):
estas son las cargas que actúan permanentemente sobre la estructura durante su vida
útil.
- Sobrecargas: son cargas que pueden estar presentes o no en la estructura con un grado
mayor o menor de permanencia, pueden ser de varios tipos según su naturaleza u
origen:
 Sobrecarga de explotación o de uso: que dependen del uso que se le vaya a dar
a la estructura y dependen evidentemente de su funcionabilidad, algunos autores la
llaman carga viva.

14. 14
 Sobrecargas ecológicas(cargas ambientales): se deben a causas de la naturaleza
como son las acciones del viento, sismo, variaciones térmicas o higrométricas del
ambiente, movimiento de apoyos, etc..
 Cargas de ejecución: son inducidas por el proceso constructivo.
 Cargas tecnológicas(pudieran estar también en la subdivisión de cargas de
explotación): son cargas que introducen los procesos tecnológicos.
 Cargas excepcionales: cargas de carácter anormal y difícilmente previsibles.
Veamos algunos detalles particulares de cada tipo de carga y varios ejemplos de cada
caso:
Carga permanente o muertas
Son aquellas que obran de forma continua sobre la estructura y cuya intensidad puede
considerarse que no varía con el tiempo. Entran en esta categoría: las cargas muertas del
peso propio de los elementos estructurales, las soluciones de tratamiento de pisos y
techos, empujes de tierra y líquidos en recipientes, efecto del pretensado, etc..
Carga de uso o cargas vivas
Son las cargas provocadas por los pesos de las personas y los objetos en los locales, estas,
dependen de las características del local, pueden considerarse carga de uso también para
el caso de un puente, las cargas que introducen los vehículos, etc.. Debe quedar claro que
esta carga puede o no existir en un momento dado, puede estar a su máximo valor u otro
intermedio y esto debe ser muy tenido en cuenta a la hora de combinarla con otras cargas.
Cargas ecológicas
Los ejemplos ya fueron comentados, solo resta advertir su importancia en el diseño y el
cuidado que se debe tener para elegir la combinación crítica de carga, al combinarlas con
otras desde conceptos lógicos, por ejemplos: nunca se deben combinar con carga
tecnológica(se puede tener en cuenta su combinación con el sismo) , no se deben
combinar tampoco con toda la carga de uso, etc.. Otras recomendaciones en esa dirección
daremos más adelante.
Cargas de ejecución
Aquí se pueden poner muchos ejemplos: el izaje y transportación de elementos
prefabricados (que puede llegar a ser carga crítica), sobrecarga del compactador en un
muro de contención, peso de equipo de la construcción actuando sobre las estructuras
durante su ejecución, etc.. Este tipo de carga no se combina con la de uso, es evidente que
la edificación no se está usando en el momento que se construye.
Cargas excepcionales
Las cargas excepcionales son valores de carga muy altos y que rara vez ocurren en la
estructura, aunque siempre existe una probabilidad, para ello no se puede diseñar pues
sería diseños antieconómicos, solo es justificable en estructuras muy sensibles que su
fallo implique desastres totales, como son los casos de los reactores de las
termonucleares. Ejemplos de cargas son: impacto de un avión al caer sobre una estructura
(esto si se tiene en cuenta en el diseño del reactor), maremotos, explosiones, caída de un

15. 15
elemento estructural sobre otro en el proceso de montaje de una obra prefabricada,
impactos de vehículos sobre estructuras, combinación de viento y terremoto a la vez en
su máxima acción (se puede imaginar un terremoto, en un lugar determinado, y a la vez
un huracán, para esto no se podrían diseñar las estructuras), hay muchos más ejemplos
pero no necesitamos profundizar, la idea queda clara.
1.3.2 Enfoque probabilístico de las cargas
Las cargas, en un proyecto, se calculan según códigos que reglamentan esos cálculos y
que se fundamentan en análisis estadísticos de cada tipo de carga, los valores varían, para
un tipo de carga determinada, de un código a otro, eso tiene que ver con las condiciones
particulares de esos países y con el grado de profundidad que se ha hecho el estudio. Es
bueno aclarar que un estudio de este tipo es costoso y que sólo se puede hacer cuando se
cuenten con recursos para eso, desgraciadamente hay países que no pueden darse ese
“lujo tan necesario”, aunque en Cuba hay un estudio muy serio y objetivo con la carga de
viento y sismo y en Honduras también. Por eso es práctica común implantar códigos de
otros países y en eso hay que tener mucho cuidado, posteriormente volveremos sobre esta
idea. Ahora solo pretendemos dar algunos conceptos básicos.
Si estuviéramos estudiando estadísticamente un tipo de carga, digamos la carga viva de
un local docente y contáramos con suficientes datos, para procesarlos cuando
construyamos el histograma veríamos que sigue aproximadamente una distribución
normal de la siguiente forma:
De aquí se pueden sacar varios conceptos como son:
Carga media(Qm): que es el valor de carga que más se repite y que tiene una
probabilidad de ocurrencia de un 50%, es decir, que durante la vida útil de la estructura se
repite la mitad de las veces; para ilustrarlo de otra manera y muy a groso modo: puede
ocurrir un día si y otro no (esto no es así exactamente sólo una ilustración muy burda).
FRECUENCIA
Qu Qk Qm Qk Qu VALOR DE CARGA

16. 16
Carga característica o normativa(Qk): que es el valor de carga que presenta una
probabilidad previamente fijada de no ser sobrepasada por los valores más desfavorables,
algunos códigos fijan esa probabilidad en un 5%, esto quiere decir, muy elementalmente
que en 100 días de vida de la estructura esta carga es alcanzada en 5 de ellos.
La relación entre carga característica y media se expresa de la siguiente forma:
Qk = Qm(1 ± )
Donde:
: coeficiente que depende de la probabilidad deseada y del número de muestras
para el estudio.
: coeficiente de variación o desviación relativa.
 =
n
Q
Q i
m )
( 
 Qm =
n
Qi
 Qi = Resultado de una medición cualquiera
n = número de mediciones
De aquí queremos destacar varias cosas, primero que todo el doble signo; el signo mas
(+) se usa cuando la carga actuante afecta la estructura, es decir que mientras mayor sea
más peligroso es para la estructura, en este caso es lógico que la carga característica sea
mayor que la media. El signo menos (-) se usa cuando la carga ayuda a la estabilidad de
la estructura, en este caso, mientras menor sea la carga peor es para la estructura. (ese
valor de carga característica esta expresado en la figura como Qk y esta a la izquierda del
valor de Qm.
Otro concepto que debemos destacar es el de carga de cálculo o de diseño (QU), un
concepto muy bien definido en los códigos que se basan en los Estados Límites, pero que
aparece también en el código ACI (quizás un poco indirectamente) y no es más que la
carga característica afectada por un factor de carga o mayoración que para la misma (en
algunos códigos tiene en cuenta también: el control de ejecución, la importancia del fallo,
etc..).
El valor de QU a la izquierda es para el caso de cuando la carga aporta a la estabilidad
(aquí es donde se usan factores de carga menor que la unidad).
1.3.3 Breve análisis e interpretación física de algunos tipos de carga
En este epígrafe entraremos a estudiar cada una de las cargas anteriormente clasificadas,
pero no la forma precisa de su cálculo, eso fue objetivo de asignaturas anteriormente
cursadas en la carrera, ni tampoco por un código específico, solamente nos ocuparemos
de hacer un análisis profundo de su influencia en el diseño de los elementos estructurales,
de interpretar físicamente el fenómeno y de dar algunas recomendaciones para proceder a
su cálculo, claro esta que para eso debemos tomar la esencia de algunos códigos.
1.3.3.1 Carga muerta
Para desarrollar este aspecto usaremos algunos párrafos del texto de Meli Piralla, por
venir muy bien explicadas las ideas que queremos exponer, en otros casos son criterios
nuestros, separaremos entre comillas las ideas del texto de Meli.

17. 17
“La valuación de la carga muerta es en general sencilla, ya que sólo requiere la
determinación de los volúmenes de los distintos componentes de la construcción y su
multiplicación por los pesos volumétricos de sus materiales constitutivos. En su mayoría
las cargas muertas se representan por medio de cargas uniformemente distribuidas sobre
las distintas áreas de la construcción, aunque hay casos de cargas lineales (muros
divisorios) y concentradas (equipos fijos)”.
Para estos cálculos lo que hay que tener muy presente es el área tributaria de carga, sobre
el elemento que se quiere calcular, por ejemplo si fuera una viga de un pórtico esta sería:
Las vigas más críticas son las de los pórticos 2, 3 y 4 por tener más área tributaria para
estos casos sería I . L y las menos cargadas las 1 y 5 cuya área sería (I/2 ) · L. Esto es un
ejemplo muy sencillo y sólo para ilustrar, para otros casos hay que analizar
detalladamente las condiciones del elemento en particular, pero la cuestión no es
compleja y esta al alcance de cualquier ingeniero estructural, por tal razón no
profundizaremos en ello. Debe quedar claro que a este nivel se debe saber calcular
cualquier tipo de carga muerta y para cualquier elemento, sólo se necesita los pesos
volumétricos y las características geométricas de la estructura y sus elementos
constitutivos.
“Es común la creencia de que las cargas muertas pueden calcularse con mucha exactitud;
sin embargo, aunque éstas son las acciones que presentan menor grado de incertidumbre,
las diferencias que suelen haber entre los valores de cálculo y los reales no son
despreciables. Esto se debe a las diferencias entre las dimensiones especificadas en el
proyecto y las que resultan en la construcción, a modificaciones y adiciones en los
elementos no estructurales y a las variaciones de los pesos volumétricos de los
materiales”. Pero eso lo tiene en cuenta el coeficiente de mayoración.
La propuesta de Código Hondureño no da valores de carga muerta, en fin de cuentas esos
son los valores de peso específico de los materiales que se pueden tomar de cualquier
Código o texto de Análisis y Diseño Estructural.
Veamos algunos valores de la Norma Cubana:
L
A
B
1 2 3 4 5
I I I I
I
L

18. 18
Materiales (Peso en KN/m3
)
Cocreto armado compactación normal 24
Concreto armado compactación mecánica 25
Concreto pretensado 25
Concreto pesado mayor que 26
Mortero de cemento Portland 20
Cemento Portland 15
Mortero de cal 18
Mortero de arcilla 18
Acero laminado 78.5
Peso de impermeabilizantes de cubierta (Peso en KN/m2
)
Soladura de losas de barro 0.20
3 capas de papel asfáltico, asfalto y gravilla 0.40
3 capas de papel asfáltico 0.075
2 capas de asfalto y arena 0.10
Enrajonado (relleno de mejoramiento con cierta compactación)
0.18 KN/m2
/cm de
espesor
Terminaciones de pisos (Peso en KN/m2
)
Losas de cerámica 0.20
Losas de granito 0.26
Mosaicos 0.23
Losas de mármol 0.26
Bloques, ladrillos y paredes (Peso en KN/m2
)
Terminaciones de pisos (Peso en KN/m2
)
Losas de cerámica 0.20
Losas de granito 0.26
Mosaicos 0.23
Losas de mármol 0.26
Bloques, ladrillos y paredes (Peso en KN/m2
)
Bloque de 10 cm de espesor (usado como pared) 1.60
Bloque de 15 cm de espesor 2.00
Bloque de 20 cm de espesor 2.80
Ladrillos de 10 cm de espesor 1.80
Ladrillos de 15 cm de espesor 2.80
Ladrillos de 20 cm de espesor 6.00
Para terminar con la carga muerta hagamos un pequeño ejemplo de determinación de
esquema de carga de una estructura: Hagámoslo para el ejemplo visto en el epígrafe 1.2
(edificio sobre roca y arcilla blanda), supongamos que la luz de la viga es de 10 metros y
su sección transversal de 75 x 35 cm, la losa de 12 cm de espesor, el intercolumnio de 5
metros, sobre la losa hay 10 cm de enrajonado y sobre este tratamiento de soladura,

19. 19
calculemos con los pesos dados por la norma cubana: (supongamos también altura de 5
metros y soladura de 1.25 cm).
La carga muerta, sobre la viga del pórtico más crítico, uniformemente distribuida en
kN/m se determina de la siguiente manera:
Peso de la viga (de concreto armado) : 0.75m · 0.35m · 24Kn/m3
= 6.3
kN/m
Peso de la losa : 0.12m · 5m · 24Kn/ m3
= 14.4
kN/m
Peso del relleno : 10cm · 0.18Kn/m2
/cm · 5m = 9.0
kN/m
Peso de soladura (no hay que
considerar el espesor) : 0.20Kn/m2
· 5m = 1.0
kN/m
Carga Total = 30.7
kN/m
Entonces el esquema de carga muerta o permanente de esa estructura quedará:
1.3.3.2 Carga viva o de uso
LAS SIGUIENTES CARGAS LAS TRATEREMOS POR LA PROPUESTA DE
CÓDIGO HONDUREÑO (SE ANEXA A ESTE MATERIAL)
HACER UNA EXPLICACIÓN GENERAL DE CADA CARGA POR EL CÓDIGO, EN
CADA CASO, CERRAR QUE LOS EJEMPLOS QUE VIENEN A CONTINUACIÓN.
Las cargas de uso, viva o accidentales se diferencian de las cargas permanentes en que
sus acciones no son constantes, son temporales, teniendo sus duraciones y períodos de
acción un carácter variable y aleatorio. Realmente, por la duración de estas cargas, las
mismas pueden clasificarse en: cargas temporales de larga duración (como el peso de los
objetos: sillas, armarios, equipos, etc..) y cargas temporales de corta duración y esta
qD = 30.7 kN/m
5 m
10 m

20. 20
clasificación es muy importante a la hora de combinar cargas y de considerar efectos de
cargas o estados de servicio sobre las estructuras, más adelante tocaremos de nuevo este
tema.
Las cargas de uso son muy fácil de determinar, se buscan directamente en los códigos y
normas que los ofrecen en función de las características de la obra que se trate. Ver
páginas XII-9, XII-11 y XII-12 del Código Hondureño.
Como de costumbre llamamos a la reflexión de estos valores, a su interpretación: ¿Son de
verdad posible que estos valores de carga existan en nuestras estructuras?, ¿No serán
compatibles para el estilo de vida de países desarrollados y con otros climas, no
tropicales?. De todas formas hay que trabajar con ellos, pero estar seguros de que
significan esos valores, de la probabilidad de ocurrencia de los factores de sobrediseño o
peligro de fallo (esta carga también puede ayudar a la estabilidad de la estructura). Casi
todas estas cosas están normadas: hay normas para la reducción de la carga de viva por el
aumento del número de pisos de la estructura, para reducir por aumento del área
expuesta(ver página XII-13), etc.. Pero en el plano personal, no nos gustan que esas
cosas se normen, esto debe dejarse a criterio del proyectista, pues el más que nadie sabe
el destino de su obra y las posibles causales de su fallo.
Los reglamentos de construcciones incluyen tablas de cargas vivas para los distintos usos
de las zonas de un edificio. Una comparación de las cargas vivas especificadas por
códigos diversos se muestra a continuación (tomado del texto de Meli). Se aprecia que,
en general, los valores son similares, aunque existen algunas discrepancias notables, que
ponen en evidencia que las cargas no se fijaron con un criterio racional común y
pensamos que eso es lógico, cada país puede tener condiciones particulares distintas.
Destino del piso México USA URSS Japón Alemania G. Bretaña
RDF-76 ANSI-81 SNIP-75 AIJ DIN-61 CP3-67
Hab. En casas y departamentos 1.90 1.95 1.50 1.80 1.50 1.53
Hoteles 1.90 1.95 1.50 1.80 1.50 2.04
Hospitales 1.90 1.95 2.00 1.80 - 2.04
Oficinas 1.90 2.44 2.00 3.00 2.00 2.55
Escaleras 3.50 4.88 3.00 - - 3.00 a 5.00
Lugares de reunión con asientos fijos 3.00 2.93 4.00 3.00 5.00 4.08
sin asiento fijo 4.50 4.88 5.00 3.60 5.00 5.10
Balcones 3.00 4.88 4.00 3.00 5.00 1.53
Garajes para autos 1.50 2.44 - 5.50 3.50 2.55
Hacer a esta tabla las interpretaciones pertinentes, es mucho lo que se puede decir al
respecto.
Para concluir el epígrafe hagamos el esquema de carga viva del ejemplo que venimos
desarrollando desde el epígrafe anterior, supongamos que la cubierta es con desagüe libre
con acceso a la conservación:
La carga lineal sobre la viga se determina muy fácilmente, sólo hay que multiplicar la
carga por unidad de superficie por el intercolumnio, es decir:

21. 21
El valor de carga viva de techo plano (ver Tabla 1.5-1 de página XII-12) y área
tributaria de 50 m2 (10 metros de luz y 5 metros de intercolumnio) será de 80 kg/m2
(0.8
kN/m2
)
qD = 0.8 kN/m2
. 5 metros = 4 kN/m
El esquema de carga quedará:
1.3.3.3 Cargas ecológicas
En este epígrafe nos ocuparemos de las cargas ecológicas haremos interpretaciones
físicas de las mismas que es el objetivo básico del curso y para los ejemplos de cálculo
usaremos el Código Hondureño. Comencemos por la carga de viento.
Carga de Viento
La acción del viento de ciclones y huracanes (vientos extremos), que es realmente la que
se considera en el diseño (aunque para combinar con carga tecnológica importa también
el viento no extremo), puede ser conocida con una aproximación bastante grande. Todo el
desarrollo de la meteorología esta a nuestro servicio (la actual norma cubana de viento
NC-53-41: 2003 se basa en amplios datos estadísticos que en algunas estaciones
meteorológicas, como la de Casa Blanca, Ciudad de la Habana los hay desde el principio
del siglo XX). La propuesta de Norma Hondureña también se basa en
gran cantidad de datos estadísticos.
Podemos simular la corriente de viento al flujo de un fluido que se traslada por encima de
la superficie terrestre (similar al flujo del agua en una tubería pero con el extremo
superior libre):
qL = 4 kN/m
5 m
10 m

22. 22
De esta forma las estructuras representan obstáculos que el flujo tiene que salvar. Las
líneas de corrientes al chocar contra la cara anterior del obstáculo, que es la estructura,
crean turbulencias o remolinos que amortigua el golpe de las ráfagas. Por la misma razón
se crea una zona de turbulencias en la cara posterior, provocando una diferencia acusada
de presiones creando succiones y, por tanto, acciones sobre esa cara. Lo mismo ocurre en
la cubierta o en cualquier parte saliente de la estructura. Este efecto es mayor, cuanto
mayor es el área expuesta y también cuanto mayor o peor, aerodinámicamente hablando,
sea la forma de la estructura. Lo anterior explica el hecho de que cuando aumenta
convenientemente el área expuesta, de forma que la acción de la resultante de todas las
presiones de viento se aleja convenientemente de los bordes del edificio, menor será la
influencia relativa de las turbulencias. Por ello en edificios altos y anchos es factible
reducir considerablemente el efecto de succión, incluso el de presión.
El viento actúa desde la superestructura a los cimientos y en cualquier dirección. Por otra
parte, y esto es de gran importancia, la frecuencia de las ráfagas no es uniforme por lo
general y mucho menos consistente, esto hace que sea poco probable que la estructura
entre en resonancia con las oscilaciones del viento, aunque se han dado casos en que esto
ha ocurrido.
Por todo lo anterior es que el fenómeno de viento, con todo y ser de naturaleza dinámica,
puede ser reducido a un símil estático. La Norma Cubana tiene los dos enfoques: el
estático y el dinámico, especificando que: la componente dinámica de la carga de viento
debe ser considerada en obras y estructuras con períodos de oscilaciones propias de T = 5
seg, como ocurre en: torres, chimeneas, postes de transmisión, mástiles, edificios altos
muy esbeltos, etc..
Estudiando todos estos detalles generales veamos de forma general la expresión para
calcular la carga de viento, pero antes razonemos un poco, conociendo el símil y las
características el viento ¿qué factores deben influir en ella?
Es evidente que la zona geográfica; en el Caribe debe haber vientos más fuertes que en
Europa, para ilustrarlo con números diremos que: la carga de viento en un edificio
calculado en la Islas de la Bahía es superior en 3 a 4 veces y más a uno similar en
Centroeuropa.
Otro factor evidente es la altura del edificio, a mayor altura las acciones del viento deben
ser superiores.
Las condiciones topográficas también influyen: una zona montañosa puede servir de
“cortina rompe viento”.
Las características de forma aerodinámica de la estructura son muy importantes y eso no
hay que analizarlo mucho esta muy claro.

23. 23
La importancia de la obra y el tiempo de su vida útil también influye, una obra construida
para 100 años tiene más posibilidades de sufrir un ciclón grande que una construida para
20 años.
Y así sucesivamente se pueden seguir interpretando los factores. Los códigos de distinto
países no necesariamente tienen que ser semejantes en valores, pero si debe quedar claro
una idea: para que sean objetivos debe evaluar concretamente estos factores.
Esta forma de interpretación es a lo que llamamos interpretación física, de esa manera
siempre será muy fácil interpretar códigos y manuales de cálculo.
Para construir los esquemas de carga de viento, primero que todo hay que tener en cuenta
la variación de la carga con la altura, definido por el coeficiente de altura. En este sentido
el proyectista debe hacer las adecuadas simplificaciones y adaptaciones (sin sobrediseñar
mucho y sin ir en contra de la seguridad) ya que cada punto de la estructura tiene un
coeficiente de altura distinto, en este sentido no daremos leyes, sólo algunas ideas de
nuestra experiencia. Para esto hay que valorar la distribución real de la carga y la altura
de la edificación y hacer las simplificaciones pertinentes, lo ilustraremos con dos figuras:
una de un edificio relativamente bajo y uno alto.
Para terminar con la carga de viento construyamos el esquema de carga de viento
extremo del ejemplo que vinimos tomando desde el principio, supongamos que esa
estructura se construirá en La Ceiba, al lado del mar.
Distribución
muy
conservadora
Distribución real
Distribución aprox.
racional
EDIFICIO BAJO
Distribución real
EDIFICO ALTO
Distribución aprox.

24. 24
Para el cálculo de la carga de viento (presiones de diseño) usaremos la expresión 2.6-1
(página XII-20):
P = Ce Cq qs Iw
La velocidad básica del viento en Ceiba es de 180 Km/h (ver figura 2.4-1 página XII-
21. Entrando con esa velocidad a la tabla 2.3-1 (página XII-18) se obtiene una presión
base del viento de 156.7 kg/m2
(1.567 kN/m2
).
La construcción se hará el la línea costera por tal razón la exposición será tipo D y con
una altura de edificio de 5 metros se obtiene en la tabla 2.3-2 (página XII-18) un
coeficiente combinado de altura, exposición y ráfaga Ce = 1.39.
Los coeficientes de forma o presión Cq se obtiene en la tabla 2.3-3 (página XII-19) que
son para un edificio aporticado:
Cq = 0.8 empuje para muro de barlovento (frente al viento)
Cq = 0.5 succión para muro de sotavento (detrás del viento)
Cq = 0.7 succión para el techo
El factor de importancia Iw = 1 se obtiene de la tabla 3.4-3 (página XII-29) para una
estructura ordinaria.
Entonces la carga de viento lineal se obtiene por:
qW = Ce Cq qs Iw por el intercolumnio (kN/m)
Frente al viento:
qW = 1.39. 0.8. 1.567 kN/m2
.1. 5m = 8.71 kN/m
Detrás del viento:
qW = 1.39. 0.5. 1.567 kN/m2
.1. 5m = 5.45 kN/m
En el techo:
qW = 1.39. 0.7. 1.567 kN/m2
.1. 5m = 7.62 kN/m
El esquema de cálculo para la carga de viento quedará:
5 m
10 m
7.62 kN/m
8.71
kN/m
5.45
kN/m 5 m

25. 25
Carga de Sismo
Comencemos el tema con algunos comentarios de Meli Piralla: “La acción de un sismo
en una estructura reviste aspecto netamente distintos de los de la mayoría de las otras
acciones. La diferencia no reside tanto en las características dinámicas de la acción,
cuanto entre el movimiento sísmico, las propiedades del suelo subyacente y las
estructuras mismas.”
“El diseño sismoresistente implica mucho más que la simple consideración de un
conjunto de cargas estáticas que se aplican a la estructura; requiere, además y
principalmente, la selección de un sistema estructural idóneo y eficiente para absorber los
efectos sísmicos y de un cuidado especial en la observancia de requisitos de
dimesionamiento y de detalle de los elementos estructurales y aún de los no estructurales.
Esto implica que un diseño adecuado para soportar las acciones comunes puede resultar
totalmente inapropiado para resistir efectos sísmicos, como lo demuestran las frecuentes
fallas y problemas que se tienen al utilizar sistemas constructivos desarrollados para
zonas no sísmicas en otras en que estos efectos son críticos.”
A grandes rasgos el diseño sísmico enmarca las siguientes etapas:
- La definición de las acciones de diseño.
- La selección de una estructuración adecuada.
- El cálculo de la respuesta estructural
- El dimensionamiento y detalle de la estructura.
Ahora ocupémonos de interpretar la carga sísmica y dar algunos detalles de algún código
en específico que nos sirva de base para la interpretación de los factores.
Un terremoto puede tener su centro generador o epicentro a varios kilómetros e la
estructura, tal como pasa con los ciclones, pero aquí la onda se desplaza por la corteza
terrestre, por tanto su efecto llega a la estructura por los cimientos y la mueve o sacude en
todas direcciones, en genera, piénsese en el símil de un péndulo invertido. Es evidente
que la acción del sismo rompe con la tradicional transferencia de carga sobre la
estructura, es decir: la carga baja normalmente de las losas a las vigas, de éstas a las
columnas y de allí a los cimientos. En el sismo la carga comienza por los cimientos, esto
le da un marcado efecto dinámico, además, las vibraciones y oscilaciones si se pueden
sostener sobre las estructuras, a diferencia del viento, esto hace más pronunciada la
naturaleza dinámica del sismo en comparación con el viento e introduce otro motivo de
fallo: la resonancia de la estructura y su posterior colapso.
Por todo lo anterior es que el fenómeno del terremoto no se debe tratar con un símil
estático y el viento si, aunque para algunas estructuras bajas el modelo estático es
considerado en algunos códigos mundiales.
Otras características generales del sismo se pueden resumir así:
- Carga ecológica horizontal y vertical para el caso de los voladizos.
- Efecto dinámico que no se debe tratar con modelos estáticos.
- Poca información, no se puede predecir. La información que existe generalmente es
del grado del terremoto, su epicentro (después de desarrollada la sismografía) y los

26. 26
daños causados. Sobre la predicción mucho se ha adelantado, pero somos de la
opinión de que se pueda predecir con exactitud, en lugar y magnitud, un terremoto es
muy poco probable. Los exSoviéticos y norteamericanos han adelantado algo,
también los chino y japoneses: se habla de satélites que mandan señales e
información al respecto, se especula (a nuestro criterio) sobre la sensibilidad de
algunos animales a este fenómeno (en la provincia de Shechuán, China, en septiembre
de 1972 un equipo de predicción anunció otro terremoto tras observar el pánico de las
gallinas, de los cerdos, que se negaban a entrar en las cochiqueras y de los caballos y
ovejas que corrían de un lado para otro desenfrenadamente), se trabaja información
con probabilidades estadísticas, etc. La realidad es una: cuando se pueda predecir
exactamente un terremoto se evitarán grandes daños, sobre todo en vidas humanas.
- Actúa de los cimientos a la superestructura, acusando su naturaleza dinámica (símil
de péndulo invertido)
- Oscilaciones mantenidas, posible resonancia. Los primeros embates del sismo son
fuertes y variables, luego del reacomodo, la carga sísmica es menor, pero las
oscilaciones tienden a ser mantenidas y ese es el momento del peligro de resonancia.
Veamos ahora el modelo físico de una estructura ante el sismo, tanto para un edificio bajo
como alto:
Se sustituyen los elementos por sus masas (colocadas en su centro de masa) y se tiene en
cuenta las rigideces de los elementos definidos por las inercias de la sección transversal y
los módulos de elasticidad o deformación de los materiales constitutivos.
Otra cuestión que debe quedar clara es la magnitud e intensidad del sismo: “La magnitud
de un sismo es una medida del tamaño del mismo que es independiente del lugar donde
se hace la observación y que se relaciona en forma aproximada con la cantidad de energía
que se libera durante el evento. Se determinan a partir de las amplitudes de registros de
sismógrafos. La escala más conocida de magnitudes es la de Richter. Cada incremento de
una unidad en la escala de Richter implica un aumento de 32 veces en la cantidad de
energía liberada.” La intensidad de un sismo es una medida de los efectos que éste
produce en un sitio dado, o sea de las características del terreno y del potencial
destructivo del sismo, en ese lugar en particular y en lo que concierne a sus efectos en las
construcciones. Las intensidades varían en grados desde I al XII y un buen ejemplo de
ese tipo de escala lo es el MSK – 1964.
EI EI
. m
m
2EI
Primer modo de
vibración

27. 27
Es frecuente la confusión entre magnitud e intensidad. La magnitud es una medida de la
potencia del sismo, independiente del lugar donde se mide. La intensidad es una medida
de las características del movimiento del terreno que el sismo provoca en un sitio dado.
Desde el punto de vista nuestro, lo que interesa son las intensidades que pueden
presentarse en el lugar donde se va a construir la estructura. Una misma intensidad puede
ser producida por un sismo lejano de gran magnitud o por uno cercano de menor
magnitud. Por ejemplo, el sismo que destruyó Managua en 1972 fue de magnitud
relativamente baja, en la escala de Richter fue de 5.7, pero su foco epicentro se localizó,
sin embargo, en el mismo centro de la ciudad, así que la intensidad del movimiento del
terreno fue muy alta del orden de IX o X y la destrucción que provocó fue extraordinaria.
Sigamos interpretando el sismo para llegar luego algún método de cálculo relativamente
sencillo que nos de más ideas al respecto. Interesa conocer desde el punto de vista del
comportamiento estructural la fuerza que se desarrolla horizontalmente por el
movimiento. La fuerza vertical no es tan importante en un principio, solo se consideran
las cargas verticales en los voladizos. Dichas fuerzas se consideran actuando en el centro
de gravedad del voladizo y sus valores son considerables, son del orden del doble del
valor de la carga horizontal que hay a ese nivel, por eso es muy recomendable, en zonas
sísmicas, evitar las partes sobresalientes.
En el cálculo de las estructuras, las cargas sísmicas se consideran en cada nivel actuando
concentradas, en el centro de masa del mismo. Si el nivel o entrepiso tiene suficiente
rigidez, esa fuerza será repartida entre los elementos verticales, que son entonces apoyos
elásticos que tomarán estas cargas en proporción a su rigidez y de acuerdo con sus
posiciones.
Si el entrepiso no tuviera la suficiente rigidez se deformará en su plano, se torcerá y
probablemente aparecerán grietas y hasta fallará en las zonas más solicitadas. Por otra
parte, ante esta eventualidad, es muy difícil determinar que elementos estructurales
estarán trabajando para resistir esta acción, o si lo hacen simultáneamente y en que
proporción.
La acción sísmica es por tanto una carga ecológica que se considera actuando en el centro
de gravedad o masa de cada nivel de la estructura, pudiéndose analizar cada estructura
para sus dos direcciones principales. Las direcciones principales resultan las que
normalmente interesan.
Veamos como interpretar físicamente la acción del sismo: un edificio, analizado
globalmente, puede considerarse como un voladizo vertical donde el empotramiento esta
dado por la cimentación. Es por tanto, un péndulo invertido donde las masas m1, m2,
…. mn, serán ubicadas a nivel de entrepiso o cubierta.
Analicemos ahora como se origina el efecto vibratorio sobre un péndulo: supongamos
que a un péndulo del que pende una masa m, mediante un efecto externo desplazamos la
masa m una distancia x de su posición de equilibrio y luego liberamos, dejando de actuar
sobre el dicho efecto, debido a la inercia (que es función de la masa m) el péndulo tiende

28. 28
a recuperar su posición de equilibrio que, si no existe ninguna fricción con el medio,
darán origen a una oscilación armónica de duración infinita.
La fuerza F, llamada de recuperación, es proporcional a la distancia x y de la masa del
péndulo:
De esta misma característica es la fuerza inducida por el sismo, con la particularidad de
que la salida del péndulo de su posición de equilibrio es causada por una oscilación en su
base: el terremoto.
Ya tenemos bastantes factores analizados y estamos en disposición de entrar a bosquejar
el código para determinar el valor de la carga de sismo y poder seguir interpretando.
Calculemos el esquema de sismo estático para el edificio del ejemplo que venimos
resolviendo, pero para obtener una carga de sismo mayor, tengamos en cuenta que se
ejecutará en Choluteca(Zona sísmica mayor en Honduras. Las columnas son de 35 por 35
centímetros y el cierre lateral es de paredes de ladrillos de 15 centímetros de espesor.
Para determinar el cortante de diseño en la base se usa la expresión 3.5-1 (XII-34):
V = W
R
ZIC
W
Choluteca esta es Zona Sísmica 6 : Z = 0.35 (ver mapa de figura 3.4-1 página XII-27)
El peso sísmico para un pórtico se obtiene por:
W = WD + % WL (OJO con lo que aparece en 3.5.1 de página XII-34)
WD = peso del techo + peso de dos columnas + peso de dos tramos de pared
El peso del techo se obtiene fácilmente del esquema de carga muerta:
Peso del techo: 30.7 kN/m . 10 m = 307 kN
Peso de dos columnas = 0.35 m . 0.35 m . 5 m . 24 kN/m3
. 2 = 29.4 kN
x x
t1
t2
t0
F1
F1

29. 29
Peso de las paredes:
Área tributaria: 5 m . 5 m . 0.75 = 18.75 m2
Peso del ladrillo de 15 cms es 2.80 kN/m2
(ver tabla de página 18 de este material)
Peso de las dos paredes: 18.75 m2
. 2.80 kN/m2
. 2 = 105 kN
WD = 307 kN + 29.4 kN + 105 kN = 441.4 kN
Para obtener el aporte al peso sísmico de la carga viva tendremos en cuenta que hay
probabilidades de que esté un 50% de la carga cuando ocurra el sismo.
WL = 4 kN/m . 10 m . 0.5 = 20 kN
W = 441.4 kN +20 kN = 461.4 kN
C = 75
.
2
25
.
1
3
/
2

T
S
T = Ct (hn)
3/4
Para marco rígido de concreto armado Ct = 0.0731 (ver página XII-34)
T = 0.0731 (5 m)
3/4
= 0.244 seg
Como el perfil del suelo no es conocido se tomará suelo tipo S3 (ver tabla 3.4-2 de
página XII-28. Con suelo tipo S3 se obtiene un coeficiente del suelo S = 1.5
C = 75
.
2
8
.
4
)
244
.
0
(
)
5
.
1
(
25
.
1
3
/
2

 se toma C = 2.75
I = 1 Estructura ordinaria (ver tabla 3.4.-3 de página XII-29)
5 m
5 m
Esta área baja a la
zapata

30. 30
Para determinar el factor de ductilidad Rw consideraremos que el pórtico es un marco
semirígido de concreto armado con diseño totalmente dúctil (fallo por tensión o
subreforzado)
Rw = 8 (ver tabla 3.4-6 página XII-31)
Se debe chequear que C/ Rw ≥ 0.075 : 2.75/8 = 0.343 > 0.075 O.K.
Entonces el cortante en la base será:
kN
kN
V 5
.
55
4
.
461
.
8
75
.
2
.
1
.
35
.
0


Como solo hay un piso no hay que hacer distribución vertical de la fuerza de cortante
en la base según la expresión 3.5-8 de la página XII-36. Toda queda concentrada en el
techo.
El esquema de carga de sismo quedará:
Los esquemas de las 4 cargas más importantes a tener en cuenta en un edificio ya están
calculados, pero no se ha terminado la modelación geométrica ni la de los materiales.
Suponiendo que las solicitaciones M, V y N las determinaremos a mano solo nos hace
falta los I y E de cada elemento:
Las columnas son iguales sus inercias serán:
IC = 4
3
00125
.
0
)
35
.
0
)(
35
.
0
(
12
1
m
m 
5 m
10 m
55.5 kN

31. 31
La inercia de la viga es:
IV = 4
3
0123
.
0
)
75
.
0
)(
35
.
0
(
12
1
m
m 
Suponiendo que la viga y las columnas se harán del mismo concreto y que este sea de
3000 lb/plg2
(210 kg/cm2
ó 21 MPa) el módulo de deformación será:
EC = 57 000 c
f ´ en lb/plg2
ó EC = 4 800 c
f ´ en Mpa
EC = 4 800 21 = 21996 Mpa (2.2 x 107
kN/m2
)
Como los valores de E son constante para los elementos la rigidez la decide la inercia y
en este caso lo que nos importa, para determinar las solicitaciones por métodos manuales,
son las relaciones de rigideces entre las columnas y las vigas, tomando la unidad la
inercia de las columnas:
IC = I
IV = 0.0123/0.00125 = 9.8I
Por ejemplo para determinar las solicitaciones que provoca la carga de sismo tendríamos
que resolver el siguiente problema de análisis:
TEMA II : ANÁLISIS ESTRUCTURAL
2.1 Historia del análisis estructural
Introducción
Cualquier tipo de diseño estructural es casi tan antiguo como la misma construcción. Los
griegos tenían reglas empíricas muy minuciosas para las proporciones de columnas y
10 m
55.5 kN
I I
9.8
I
5 m

32. 32
dinteles. Durante el Renacimiento hubo una rápida multiplicación de tales reglas y estas
se multiplicaron a lo largo de los siglos.Una característica de las reglas estructurales
empíricas clásicas es su condición esencialmente geométrica.
La principal debilidad de las reglas empíricas radica en su limitado campo de aplicación,
así como en la dificultad de distinguir entre aquellas basadas en el sano empirismo y las
derivadas de viejas supersticiones o de erróneas generalizaciones obtenidas de
construcciones famosas realizadas con éxito.
La tendencia hacia un diseño estructural basado en extensos cálculos numéricos es el
responsable del desarrollo de la ingeniería estructural como una profesión separada,
cuyos especialistas tienen antecedentes educativos distintos de los que poseen los
arquitectos.
A fines del siglo IXX comenzó esa tendencia que se ha ido desarrollando hasta los días
de hoy.
Queda marcada claramente la responsabilidad del arquitecto y del ingeniero
estructural.
El Renacimiento y el comienzo del estudio de la mecánica.
El siglo XV trajo un resurgimiento de las ideas clásicas en la arquitectura y en las
ciencias. En esa etapa comenzó el desarrollo del la Mecánica como ciencia.
Los comienzos de la Mecánica Estructural pueden haber tenido origen en la antigua
Grecia (Arquímedes descubrió el principio de la palanca y fue capaz de determinar
centros de gravedad de figuras geométricas por poner dos ejemplos) pero sus principales
aplicaciones prácticas tuvieron lugar en la Ingeniería Militar (diseño de máquinas,
erección de grandes pesos, murallas, etc)
El no haber dado los filósofos griegos un uso más práctico a sus considerables
conocimientos estructurales se debió, en gran medida, a su renuncia a considerar la
resistencia de un edificio como tema de estudio científico. Los más perfectos mecanismos
elaborados no cumplían ningún objetivo significativo dentro de la ingeniería. Aunque los
griegos legaron a la arquitectura un maravilloso sistema completo de geometría, el
estudio serio de la Mecánica no comenzó hasta el Renacimiento.
Ese serio estudio debe haber comenzado por la definición de FUERZA. Antes de que
pudiera hablar de un análisis de las fuerzas que actúan sobre una estructura, fue necesario
definir la noción de fuerza como una unidad vectorial, es decir, como una cantidad que
tiene magnitud y dirección. Fue una tarea que demandó un gran esfuerzo de abstracción.
LEONARDO DA VINCI fue el primero en resolver este problema.
Consideró la condición de equilibrio de dos cuerdas inclinadas que sostienen un peso;
dibujando a escala las fuerzas en las cuerdas y las fuerzas debidas al peso en la dirección
en que estaban actuando, obteniendo el paralelogramo de fuerzas, que es la clave de la
mayoría de los problemas de la Mecánica Estructural Elemental.

33. 33
Las investigaciones de Leonardo no tuvieron incidencia inmediata sobre el diseño.
Aunque los arquitectos del Renacimiento revivieron métodos romanos, hicieron pocos
progresos. La aplicación de la Mecánica durante los dos siglos siguientes se concentró en
la manipulación de grandes pesos. Sin embargo, el desarrollo de los nuevos
acontecimientos se hizo sentir indirectamente en el diseño estructural.
El Renacimiento creó un sistema de proporciones altamente complicado
para el diseño de planta y alzado de edificios y en algunos casos esto ayudó a lograr una
solución del empuje.
Se especificaban forma y grosor de arcos, proporciones de miembros estructurales, etc. El
advenimiento de la imprenta facilitó el intercambio de datos numéricos sobre
proporciones estructurales; la estructura del Renacimiento se hizo considerablemente más
ligera y elegante que la de los romanos, aunque sus proporciones no tenían una base
estrictamente científica.
Los conocimientos científicos de algunos arquitectos del Renacimiento incidieron y
ayudaron a comprender mejor el comportamiento estructural, pero para un posterior
desarrollo de la Mecánica Estructural tuvo que desarrollarse primero la Física y la
Matemática.
La aparición de la Ingeniería Estructural dependió del desarrollo de una simple y precisa
teoría de diseño (para eso era necesario el desarrollo previo de las “Ciencias Básicas”),
así como de la producción en masa de materiales con propiedades requeridas tales como:
el hierro, el acero, el concreto, el concreto armado, etc.
El desarrollo de las “Ciencias Básicas”, fundamentalmente la Física, llevó al
nacimiento, como disciplina individual, de: la Estática, la Resistencia de Materiales y la
Teoría de Elasticidad en general. De estas tres surgió el Análisis Estructural como
disciplina particular.
Etapas del desarrollo de la Ingeniería Estructural. (Particularmente veremos el
Análisis Estructural. Para un estudio más o menos cronológico, desde el punto de vista
metodológico proponemos las siguientes posibles etapas:
P
T

34. 34
1.Edad antigua (Nacimiento de las construcciones rudimentarias, etapa de reglas
empíricas griegas, nacimiento de la Mecánica “rudimentaria”)
2.Renacimiento, comienzo del estudio de la Mecánica (siglos XV y XVI)
3.Desarrollo de la física, matemática y la mecánica estructural. Desde finales de siglo
XVI hasta la Revolución Industrial
4.Surgimiento y desarrollo de la Resistencia de Materiales y el Análisis Estructural como
ciencia particular (siglos XVIII y XIX)
5.Desarrollo del Análisis (y diseño) Estructural Moderno (finales del siglo XIX a
mediados del XX)
6.Etapa de Métodos Aproximados e iterativos (Siglo XX décadas del 30-60)
7.Retorno a los “Métodos Clásicos Exactos” con enfoque matricial (gracias a la
Revolución de la Computación, después de los años 60)
8.Análisis Estructural “Superior”, modelación “más exacta” interacción suelo estructura,
aplicación de Métodos Numéricos, aplicación a la Biónica, etc. (en nuestros días)
La Edad Antigua y el Renacimiento lo vimos en la Introducción analicemos las etapas
posteriores y sobre todos los aportes hechos por los distintos científicos y autores.
3.-Desarrollo de la física, matemática y la mecánica estructural. Desde finales de siglo
XVI hasta la Revolución Industrial
Desde los albores de la historia, la ingeniería estructural ha sido parte de esencial del
esfuerzo humano. Sin embargo, no fue hasta alrededor de la mitad del siglo XVII que los
ingenieros empezaron a aplicar el conocimiento de la mecánica (las matemáticas y las
ciencias) en el diseño de estructuras. Las primeras estructuras de ingeniería se diseñaron
por tanteos y por la aplicación de reglas empíricas basadas en la experiencia pasada.
Algunas de las magníficas estructuras de las eras antiguas, como las pirámides de
egipcias (alrededor del año 3000 a. C), los templos griegos (500–200 a.C.), los coliseos y
acueductos romanos (200 a.C-200 d.C.) y la catedrales Góticas (1000-1500 d.C.), todavía
en pié, son en la actualidad testimonio del ingenio de sus constructores.
En general, Galileo Galilei (1564-1642) se considera como el iniciador de la teoría de las
estructuras. En su libro titulado Dos ciencias Nuevas, que se publicó en 1638, Galileo
analizó la falla de algunas estructuras simples, incluyendo las vigas en voladizos. Aun
cuando las predicciones de Galileo de las resistencias de las vigas solo fueron
aproximadas, su trabajo puso el cimiento para los desarrollos futuros en la teoría de las
estructuras y anunció una nueva era de la ingeniería estructural, en la cual los principios
analíticos de la mecánica y la resistencia de los materiales tendrían una importante
influencia en el diseño de las estructuras.

35. 35
Después del trabajo precursor de Galileo, el conocimiento de la mecánica estructural
avanzó a paso rápido en la segunda mitad de siglo XVII y hacia el XVIII. Entre los
investigadores notables de ese período se encuentran Robert Hooke (1635-1703), quien
desarrolló la ley de las relaciones lineales entre la fuerza y la deformación de los
materiales (Ley de Hooke); Sir Isaac Newton (1642-1727), quien formuló las leyes del
movimiento y desarrolló en cálculo; John Bernoulli (1667-1748), quien formuló el
principio del trabajo virtual; Leonhard Euler (1707-1783), quien desarrolló la teoría del
panel de las columnas y C.A. de Coulomb (1736-1806), quien presentó el análisis de la
flexión de las vigas elásticas.
4.-Surgimiento y desarrollo de la Resistencia de Materiales y el Análisis Estructural
como ciencia particular (siglos XVIII y XIX)
En 1826, L.M. Navier (1875-1836) publicó un tratado sobre el comportamiento elástico
de las estructuras, en el cual se considera como el primer libro de texto sobre la teoría
moderna de la resistencia de los materiales. El desarrollo de la mecánica estructural
continuó a un paso tremendo durante todo el resto de siglo XIX y hacia la primera mitad
del XX. Cuando se desarrollaron la mayor parte de los métodos clásicos para el análisis
de las estructuras que se describen en este texto.
Los colaboradores importantes de este período incluyeron a B.P. Clapeyron (1799-1864),
quien formuló la ecuación de los tres momentos para el análisis de las vigas continuas;
J.C. Maxwell (1831-1879), quien presentó el método de las deformaciones coherentes y
la ley de las deflexiones recíprocas; Otto Mohr (1835-1918), quien desarrolló el método
de la viga conjugada para el cálculo de las deflexiones y los círculos de Mohr y del
esfuerzo y la deformación unitaria (los famosos integrales de Mohr son la base del
nacimiento del Análisis Hiperestático, fundamentalmente para el Método de las fuerzas
Alberto Catigliano (1847-1884), quien formuló el teorema del trabajo mínimo
considerado el Primer Método de Análisis Hiperestático.
Este método, el cual sólo se puede aplicar a las estructuras linealmente elásticas, fue
presentado inicialmente por Alberto Castigliano, en 1873 (lo publico en un libro en
1879), y, de manera común, se le conoce como Segundo Teorema de Castigliano.
5.-Desarrollo del Análisis (y diseño) Estructural Moderno (finales del siglo XIX a
mediados del XX)
Los trabajos de Maxwell-Mohr y Castigliano son los precursores del Análisis Estructural
Moderno, a partir de ahí surgieron los Métodos de las fuerzas y de la Deformaciones. En
esa etapa es destacable: C.E. Greene (1842-1939), quien desarrolló el método del
momento-área; H. Müller-Breslau (1851-1925), quien presentó un principio para la
construcción de las líneas de influencia; G.A. Maney (1888-1947), quien desarrolló en
método de la pendiente-deflexión, que se considera como el precursor del método
matricial de las rigideces (método de las deformaciones).
6.-Etapa de Métodos Aproximados e iterativos (Siglo XX décadas del 30-60)
En la última década del siglo IXX comenzó la explosión de la construcción de
rascacielos en EE.UU., los “Métodos Exactos” eran imposibles de utilizar por su

36. 36
complejidad de cálculo (tres grados de hiperestaticidad por cada piso). Para resolver este
problema surgen los Métodos Aproximados, entre otros: método del Portal, método del
Voladizo, etc. De ahí en adelante surgen muchos métodos aproximados que van
refinado las hipótesis para buscar mas exactitud.
También en esta etapa surgen los métodos iterativos: Cross y Kani fundamentalmente.
Hardy Cross (1885-1959), quien desarrolló el método de la distribución de momentos, en
1924; el método de la distribución de momentos proporciona a los ingenieros un
procedimiento iterativo sencillo para el análisis de estructuras estáticamente
indeterminadas con intensidad. Este método, que fue usado con mayor amplitud por los
ingenieros en estructuras durante el período de 1930-1970, contribuyó de manera
significativa a comprender el comportamiento de los armazones estáticamente
indeterminados. Se diseñaron muchas estructuras durante este período, como edificios
muy altos, lo cual no habría sido posible sin disponer del método de la distribución de
momentos.
7.-Retorno a los “Métodos Clásicos Exactos” con enfoque matricial (gracias a la
Revolución de la Computación, después de los años 60)
El desarrollo de las técnicas de cómputo llevó a una revolución en el campo de la
Ingeniería Estructural: la vuelta a los “Métodos Exactos Clásicos” siendo un ejemplo de
lo que se llama en Teoría del Conocimiento Desarrollo en Espiral : volver al estado
inicial pero a un nivel superior. Es evidente que con potentes medios de cómputos se
programaran los métodos exactos, dejándose a un lado los método a aproximados, aunque
estos últimos deben seguir estudiándose, con menor profundidad claro esta, en las
universidades por su gran valor metodológico y de interpretación física.
El enfoque matricial esta claramente justificado por ser la mejor forma, desde el punto de
vista de la programación, de presentar el problema del cálculo estructural. El enfoque
Matricial del Método de los Desplazamientos es el más usado por una razón muy lógica:
el Método de los Desplazamientos tiene un solo sistema base, el de las Fuerzas tiene
múltiples, en este último caso habría que usar una interfase hombre-máquina para la
decisión del sistema base a emplear.
8.-Análisis Estructural “Superior”, modelación “más exacta” interacción suelo
estructura, aplicación de Métodos Numéricos, aplicación a la Biónica, etc. (en nuestros
días)
En la etapa actual se ha rebasado la asimilación de la computación, ahora tomando esta
como herramienta estamos yendo a etapas superiores. Las corrientes contemporáneas del
Análisis Estructural son amplias, no pretendemos describirlas todas pero podemos
mencionar: modelación “más exacta” de las estructuras dando mayor aprovechamiento a
las técnicas de cómputo, interacción suelo estructura, aplicación de Métodos Numéricos
en toda su profundidad para resolver problemas ingeneiriles que antes solo tenia una
solución aproximada , aplicación a la Biónica, etc.
Para cerrar este epígrafe de historia de la Ingeniería Estructural es imprescindible
mencionar el nombre de uno de los científicos que más aportó, en la etapa moderna, al
desarrollo del Análisis Estructural:

37. 37
Stephen Timoshenko (1878-1972) famoso científico, ingeniero y profesor. Nació en
Rusia y emigró a EEUU en 1922. Profesor de varias universidades norteamericanas. Hizo
muchas contribuciones originales, teóricas y experimentales, al campo de la mecánica
aplicada. Escribió doce libros de texto que revolucionaron la enseñanza de la Mecánica
Aplicada en EEUU y el mundo. Estos libros se han traducido a 35 idiomas y tratan los
temas de: estática, dinámica, mecánica de materiales, vibraciones, teoría estructural,
estabilidad, elasticidad, placas y cascarones. Hizo muchos aportes científicos y en el
campo de la enseñanza docente fue el creador del estilo actual de la enseñanza del
análisis estructural, sus libros tienen un gran valor metodológico, además del aporte
técnico.
2.2 Cálculo de deflexiones y giros
Las deflexiones y giros elásticos en los elementos de estructuras son productos de
diversas causas como: carga impuesta, asentamiento de apoyos, errores constructivos y
efectos de temperatura. En fin de cuentas a todos efectos se pueden considerar como
carga, aunque algunos de ellos los efectos no sean sensorialmente perceptibles.
2.2.1 Razones para calcular deflexiones
En el diseño de elementos estructurales el cumplimiento de los Estados Límites Últimos
asegura un adecuado margen de seguridad contra la falla, sea a carga axial, flexión,
cortante, efectos combinados y otros. Para estos casos se considera un estado de
sobrecarga hipotético con coeficientes de carga muy superiores a la unidad.
Con esto sólo no se garantiza un buen diseño; es importante también, que el
comportamiento del elemento sea satisfactorio para el nivel de servicio normal cuando las
cargas son realmente las que se esperan; son los llamados Estados Límites de Utilización:
control de fisuración (para elementos de concreto armado) y de deflexión; en
innumerables casos, estos últimos, son totalmente decisivos en un diseño.
Es decir, un diseño completo de un elemento, por ejemplo una viga de acero, debe
cumplir las siguientes condiciones:
a) Para la resistencia a flexión: Mu ≤ φMn
b) Para la resistencia a cortante: Vu ≤ φVn
c) Chequeo de deflexión: Δ ≤ [Δ]permisible
No solo se limitan las deflexiones de elementos a flexión, se limitan las deflexiones de
columnas, de muros de cortante en edificios altos, de elementos de maquinarias, etc
Es necesario calcular las deflexiones para poder evaluarlas y controlarlas, pero la teoría
de cálculo de deflexiones y giros no sólo se estudia para eso, a partir de ella nace el
Análisis Estructural Hiperestático por esa razón, en los libros y cursos de Análisis
Estructural, el Capítulo precedente a los Métodos de Análisis Hiperestático es el Capítulo
de Cálculo de Deflexiones. Los primeros aportes hechos al Análisis Hiperestático
partieron de autores que estudiaron ampliamente (e hicieron legados sustanciales), todo lo
referente al cálculo de deflexiones: Alberto Castigliano, James Clerk Maxwell, Otto
Mohr y Heinrich Müller-Breslau.
2.2.2 Métodos para el cálculo de deflexiones
No es objetivo de este curso profundizar sobre los Métodos de Cálculo de Deflexiones,
solo pretendemos comentarlos, dar una valoración general y posteriormente, usaremos el
Método de las Carga Unitaria para los cálculos necesarios de desplazamientos que hay
que hacer al aplicar el Método de las Fuerzas.

38. 38
De forma general los Métodos para el cálculo de deflexiones se puede dividir en dos
grandes grupos:
A los métodos geométricos se les llama así porque las deflexiones se obtienen
directamente de las deformaciones de la estructura. Los desplazamientos (deflexiones y
giros) en un punto particular se determinan sumando los efectos de las deformaciones en
la estructura.
Los métodos energéticos son los que se basan en el principio de la conservación de la
energía. Para estructuras muy complicadas estos métodos resultan más eficientes que los
geométricos, son los que se aplican para determinar desplazamientos en los Métodos de
Análisis Hiperestáticos.
De los métodos anteriores usaremos de Trabajo Virtual, a veces llamado carga unitaria.
Se enfoca de la siguiente manera para elementos a carga axial:
Δ = dx
EA
Nn
l

0
para el caso de armaduras queda: Δ =  EA
Nnl
Para elementos donde predomina la flexión:
Δ = dx
EI
Mm
l

0
DESARROLLAR EN LA PIZARRA UN EJEMPLO DE COMO SE APLICA EL
MÉTODO
2.2.3 Interpretación física de los integrales de Mohr
Los integrales de Mohr tienen un enorme valor metodológico para el cálculo de
desplazamiento y resumen todos los trabajo previos hechos hasta ese momento.
Significan, a nuestro modo de ver, el inicio del Análisis Estructural Moderno por su
MÉTODOS DE
CÁLCULO DE
DESPLAZAMIENTOS
MÉTODOS
GEOMÉTRICOS
MÉTODOS
ENERGÉTICOS
-Teorema de área de
momento
-Carga elástica
-Viga conjugada
- Carga unitaria (trabajo
virtual)
- Teorema de Castigliano

39. 39
directa aplicación, sobre todo al primero de los métodos “clásicos”: el Método de las
Fuerzas.
Es muy importante interpretar físicamente estos integrales y analizar la interacción que
hay entre solicitación provocada por la carga y rigidez del elemento.
Δ = dx
EI
Mm
l

0
+ dx
EA
Nn
l

0
+ K dx
GA
Vv
l

0
HACER INTERPRETACIÓN FÍSICA DE CADA TERMINO
2.3 Métodos de análisis
COMENTAR SOMERAMENTE CADA MÉTODO Y SEÑALAR EL PAPEL
JUGADO HISTÓRICAMENTE POR CADA MÉTODO
2.3.1 Método aproximados
Los métodos “exactos” son muy precisos pero sin una computadora son imposibles de
utilizar, incluso una calculadora programable no sería suficiente. Téngase en cuenta que
el Grado de Hiperestaticidad(GH) de una estructura es 3 por cada marco cerrado, un
simple edificio de 5 niveles tiene un GH de15, estamos hablando de resolver un sistema
de 15 ecuaciones con 15 incógnitas.
Estos métodos surgieron cuando se comenzaron a calcular edificios altos a finales del
siglo XIX y principios del XX. Por ejemplo el Método del Portal fue expuesto por
primera vez por el ingeniero Albert Smith en 1915.
MÉTODOS
DE
ANÁLISIS
 Método de las fuerzas
 Método de los desplazamientos
 Métodos aproximados
 Métodos simplificados
 Métodos iterativos
 Métodos matriciales
Voladizo
Portal
Vierendeel, etc
Cross
Kani
Met. Mixtos(Gvozdiev)
Met. Baykov
Met. Bowman
Met. Simetría y
Antimetría, etc

40. 40
Los dos métodos(Portal y Voladizo) se emplearon con éxito en muchos diseños de
edificios altos y llegaron a convertirse en el procedimiento estándar de análisis estructural
antes de la aparición de las computadoras modernas.
Hoy día en la era de la computación no tiene lógica usarlo, pero vale la pena estudiarlo
por las grandes posibilidades de interpretación física que tienen, esto le da un valor
metodológico grande, además de servir para un cálculo aproximado rápido, fuera del
gabinete sin posibilidades de medios de cómputo.
Analicemos el Método del Portal usado para el análisis de carga concentradas
horizontales de viento o sismo:
Una estructura hiperestática no se puede calcular solamente con las ecuaciones de la
estática, hay que buscar ecuaciones complementarias para suplir las redundantes. En el
Método del Portal se plantean las siguientes hipótesis complementarias:
1. Las columnas se deforman de manera que en su punto medio se forma un
punto de inflexión (punto de momento nulo)
2. Las vigas se deforman de modo que en su punto medio se forma un punto
de inflexión
3. Las fuerzas cortantes horizontales, en cada nivel, están distribuidas
arbitrariamente en las columnas. Una distribución que se puede emplear
es que la fuerza cortante se reparte entre las columnas en función del
ancho tributario.
Ilustremos con un ejemplo: Supongamos que queremos determinar las solicitaciones de
la siguiente estructura de edificio sometido a carga de viento (previamente se
concentraron las cargas a nivel de entrepiso):
a) Cortante en las columnas:
Cortante en el segundo nivel:
VCB = VDE = 90/2 = 45 kN (Igual ancho tributario de 6/2 = 3 m)
3m 90kN
135kN
6m
6m 6m
A
B
C
D
E
F
G
H

41. 41
Cortante en el primer nivel:
VEF = 2 VBA = 2 VGH (La columnas EF tiene doble anchor tributario)
135 + 90 = X + 2X + X X = 56.25 kN; VEF = 2 (56.25) = 112.5 kN ;
VBA = VGH = 56.25 kN
b) Momentos en las columnas:
Suponemos que el punto de momento nulo esta en el punto medio de la columna,
entonces el momento flector, en sus partes superiores e inferiores, es igual a la
multiplicación del cortante por la mitad de la altura de la columna.
MCB = 45 kN . 1.5 m = 67.5 kN.m ; MBA = 56.25 kN . 3 m = 168.75 kN.m ;
MEF = 112.5 kN . 3 m = 337.5 kN.m
Los momentos de las columnas quedarían: (Los diagramas de M se dibujarán por la fibra
tensionada)
c) Momentos en las vigas:
Después de tener todos los momentos en los extremos de las columnas, por equilibrio en
los nudos se pueden tener los valores de momento en las vigas y finalmente lograr el
diagrama de momento.
En nudo C: MCD = 67.5 kN.m tensionando por abajo
En nudo D: MDC = 67.5 kN.m tensionando por arriba
En nudo B: MBE = 168.75 + 67.5 = 236.25 kN.m tensionando por abajo
En nudo E: MEB = 236.25 kN.m tensionando por arriba
MEG = 337.5 – 236.25 + 67.5 = 168.75 kN.m
El equilibrio del nudo G nos sirve para comprobar: MDE = 67.5 kN.m
El Diagrama de Momento (en kN.m) quedará:
67.5
67.5
168.75
168.75
337.5

42. 42
d) Cortante en las vigas:
Como el punto de inflexión de las vigas también está en el centro del elemento, los
cortantes se obtiene dividiendo los momentos por la mitad de la longitud de la viga.
VCD = 67.5KN.m/3 m = 22.5 kN ; VBE = 236.25KN.m/3 m = 78.75 kN ;
VEG = 168.75KN.m/3 m = 56.25 kN ;
El Diagrama de Cortante (en kN) quedará:
e)Fuerzas axiales:
Las fuerzas axiales en los elementos se obtienen de los equilibrios de fuerzas en los
nudos considerando las fuerzas cortantes y las cargas externas.
Por ejemplo en el nudo C:
67.5
67.5
168.75
168.75
337.5
236.25
168.75 337.5 168.75
56.25 112.5 56.25
+
+
78.75
+
+ + +
+
+
56.25
45
22.5
45

43. 43
Procediendo de la misma manera en cada nudo se obtienen todas las fuerzas axiales.
El Diagrama de Fuerza Axial (en kN) quedará:
Con todo lo analizado del Método del Portal es suficiente para cumplir el objetivo que
perseguimos: ver la esencia de los Métodos aproximados, el valor histórico que tuvieron
y el valor metodológico que todavía poseen.
2.3.2 Método de las fuerzas
Este método fue desarrollado originalmente por James Clerk Maxwell en 1864 y
perfeccionado posteriormente por Otto Mohr y Múller-Breslau. Mohr, diez años después,
de forma independiente, amplió la teoría casi a su estado actual de desarrollo.
En este método se suprimen las redundantes(cantidad de reacciones que hacen
hiperestático el problema, evidentemente que el número de redundantes es igual al GH)
lográndose una estructura estable y estáticamente determinada, que en algunos textos se
le llama sistema base. Se calculas los desplazamientos en la dirección de las redundantes
NCD
NCB
22.5kN
45kN
90kN
ΣFx = 0
NCD +90 – 45 = 0
NCD = - 45 kN (a compresión)
ΣFy = 0
NCB - 22.5 = 0 ; NCB = 22.5 (tensión)
101.25 45 56.25
-
_
123.75
+
+
_
_
_
56.25
22.5
45
22.5
_

44. 44
eliminadas. Como al final los puntos donde están las redundantes no se pueden mover,
estas deben tener un valor tal que haga a esos puntos volver a su estado inicial. Se
establece una ecuación para la condición de deflexión nula en cada redundante y estas se
despejan de las ecuaciones resultantes. A este sistema de ecuaciones se les llama
“ecuaciones canónicas”. A este método se le llama también: Método de la Flexibilidad,
Deflexiones Compatibles, Deformaciones Consistentes o Maxwell-Mohr. Cada uno de
los nombres se explica por si solo.
Esencia del método
Sea la siguiente viga hiperestática con un Grado de Hiperestaticidad:
Hay tres reacciones, una de ellas se toma como redundante, en este caso tomaremos R1.
Si no existiera el apoyo 1 las cargas provocarían un desplazamiento en ese punto
Si el apoyo 1 no existe el punto se desplaza un valor δ1 hacia abajo, para determinar
ese desplazamiento usando el método de la carga unitaria, basta con poner
una carga unitaria en el punto y aplicar la expresión:
2
P1 P2
1 3
R2
R1
R3
P1 P2
Viga original
Apoyo 1 eliminado
δ1
1
δ11
P1 P2
R2 R1 R3
Carga unitaria en 1
Apoyo 1 reemplazado
Por reacción

45. 45
δ1 = dx
EI
Mm
l

0
1
Para poder determinar el desplazamiento que hace la carga unitaria en el
punto 1 (δ11) se debe aplicar:
δ11 = dx
EI
m
l

0
2
1
El verdadero valor de desplazamiento que hace R1 para llevar el punto 1 a su lugar
original será: δ11R1 , entonces la ecuación de compatibilidad de deflexiones será:
δ1 + δ11R1 = 0 (Llamada ecuación canónica)
La reacción redundante se obtiene por:
R1 = - δ1/ δ11
De ahí en adelante el problema se vuelve estáticamente determinado.
Interpretación física de las ecuaciones canónicas:
HACER LA INTERPRETACIÓN Y COMENTAR CADA TÉRMINO
Suponiendo un problema con n redundantes el sistema de ecuaciones quedaría:
δ1 + δ11R1 + δ12R2 + δ13R3 + ... + δ1nRn = 0
δ2 + δ21R1 + δ22R2 + δ23R3 + ... + δ2nRn = 0
δ3 + δ31R1 + δ32R2 + δ33R3 + ... + δ3nRn = 0
....................................................................
δn + δn1R1 + δn2R2 + δn3R3 + ... + δnnRn = 0
A los δij se les llama coeficiente de flexibilidad lineal y los δi se les llama términos
independientes.
Teorema de Maxwell sobre desplazamientos recíprocos. Ley de Betti.

46. 46
Cuando Maxwell desarrolló su método también presentó un teorema que relaciona los
coeficientes de flexibilidad de dos puntos cualquiera de una estructura. Cuando el
teorema de los desplazamientos recíprocos se formaliza en un sentido más general, se
conoce como ley de Betti. La esencia de esa ley es:
Ejemplo
Apliquemos el Método de las Fuerzas para determinar los diagramas de solicitaciones del
esquema de carga muerta de la estructura que modelamos en el Capítulo anterior:
Se tomará como redundante las reacciones en la articulación D.
COMENTAR SOBRE LOS DISTINTOS POSIBLES SISTEMAS BASES Y CUAL ES
EL MEJOR.
El sistema base quedará:
δij = δji
10 m
I I
9.8
I
5 m
30.7kN/m
C
A
B
D
R2
R1
30.7kN/m
C
A
B
D
Sistema base con
carga externa y
reacciones(obtenidas
Por ecuaciones de la
Estática)
0
1535
kN.m
307kN

47. 47
Las ecuaciones canónicas para este caso son:
δ1 + δ11R1 + δ12R2 = 0
δ2 + δ21R1 + δ22R2 = 0
Determinación de los términos independientes:
Determinación de δ1
δ1 = dx
EI
Mm
l

0
1
Tramo DC:
C
C
A
B
D
Carga unitaria
horizontal (1) y
reacciones
1
1
A
B
D
Carga unitaria
vertical (2) y
reacciones
1
1
10m

48. 48
M = 0
m1 = -x M. m1 = 0
Tramo CB:
M = - 30.7 x x/2 = - 15.35 x2
m1 = - 5 M. m1 = 76.75 x2

10
0
2
)
75
.
76
(
8
.
9
1
dx
x
EI
=
3
75
.
76
8
.
9
1 3
10
0
x
EI
=
EI
5
.
2610
Tramo AB:
M = - 1535
m1 = -x M. m1 = 1535 x
dx
x
EI
)
1535
(
1 5
0
 =
EI
5
.
19187
δ1 = 2610.5/EI + 19187.5/EI = 21 798/EI
Determinación de δ2
δ2 = dx
EI
Mm
l

0
2 = - 80 665.8/EI
Determinación de los coeficientes de flexibilidad:
Determinación de δ11
δ11 = dx
EI
m
l

0
2
1
Tramo DC= AB
m1 = - x m 1
2
= x2

5
0
2
)
(
1
dx
x
EI
=
5
0
1
EI 3
3
x
= 41.67/EI

49. 49
Tramo CB:
m1 = - 5 m 1
2
= 25

10
0
25
8
.
9
1
dx
EI
= 25.51/EI
δ11 = 2(41.67/EI) + 25.51/EI = 108.85/EI
Determinación de δ22
δ22 = dx
EI
m
l

0
2
2 = 534/EI
Determinación de δ12 = δ21
δ12 = δ21 = dx
EI
m
l

0
2
2 = - 150.5/EI
Sistema de ecuaciones y solución:
21798/EI + (108.85/EI) R1 – (150.5/EI) R2 = 0
- 80665.8/EI – (150.5/EI) R1 + (534/EI) R2 = 0
SOLUCIÓN: R1 = 155 kN y R2 = 14 kN
Con estas reacciones calculadas el problema se convierte en isostático. Por las ecuaciones
de la estática calculamos las otras ecuaciones y hacemos los gráficos de solicitaciones:
10 m
5 m
30.7kN/m
C
A
B
D
155
kN
14 kN
152kN
15kN.m
14kN

50. 50
El máximo momento en el tramo CB se determina:
MX = 155 X – 30.7X2
/2 – 70 ;
dx
dM = 155 – 30.7 X = 0 ; X = 5.05 m
MX = 155 (5.05) – 30.7(5.05)2
/2 – 70 = 321.3 kN.m
Diagrama de M
(En kN.m)
55
70
15
321.3
5.05m
Diagrama de V
(En kN)
14
_
14
+
+
_
152
155
5.05m

51. 51
Cálculo de asientos:
En estructuras hiperestática los asientos diferenciales provocan solicitaciones.
Para el cálculo de asientos en una viga continua solo hay que agregar el valor de lo que se
asienta el apoyo a la ecuación canónica correspondiente. En este caso hay que tener en
cuenta los verdaderos valores de EI y que todas las unidades sean compatibles.
Por ejemplo, suponiendo que en la siguiente viga el apoyo 2 se asiente 20 mm, y
considerando la reacción en dos como redundante:
La ecuación canónica quedará:
δ2 + δ22R2 – 0.022m = 0
Los valores de δi = ∫ (Mm/EI)dx deben ser calculados poniendo los valores de M en
kN.m, m estaria en metros, entonces Mm = kN.m2, las longitudes (dx) en metros, E en
kN/m y las inercias en metros a la cuarta:
4
2
2
.
/
)
(
.
m
m
kN
m
m
kN entonces los δi quedaría en metros; los coeficientes de flexibilidad se
determinan por: δij = ∫(mi mj/EI)dx , entonces:
4
2
.
/
)
)(
)(
(
m
m
kN
m
m
m
en metros/kN.
Diagrama de M
(En kN)
152
_
155
_
- 14
1 2 3