Este documento presenta diferentes formatos para representar números enteros en sistemas binarios, incluyendo signo-magnitud, complemento a 1 y complemento a 2. Explica las operaciones aritméticas básicas como suma, resta, multiplicación y división para cada formato, destacando que el complemento a 1 simplifica la resta al permitir representarla como una suma. También cubre conceptos como rango de valores, aritmética y desbordamientos para cada representación numérica.

1. Matemáticas discretas
Prof.; Víctor Manuel Jiménez Guido
Trabajo; Guía para resolver distintos tipos de problemas en
binario hexadecimal, binario etc.
Integrantes:
Muñoz Sandoval Mauricio Andrés
Ramírez escobar Luis Axel
Omar Nochebuena López
Omar Macías Noval

2. EEssttrruucctuturara ddeell tteemmaa
Introducción
Operaciones aritméticas básicas
Suma
Resta
Multiplicación
División
Representación de números enteros
Signo-magnitud
Complemento a 1
Complemento a 2
SSuummaa bbiinnaarriiaa
La operación de suma se estructura en columnas
El bit menos significativo del resultado de una columna es
la suma de dicha columna
El bit más significativo del resultado de una columna
pasa como acarreo a la columna siguiente
Las cuatro reglas básicas de la suma binaria son:
0 + 0 = 00 suma 0, acarreo 0
0 + 1 = 01 suma 1, acarreo 0
1 + 0 = 01 suma 1, acarreo 0
1 + 1 = 10 suma 0, acarreo 1

3. 1 1
1 1 1 0 14
+ 1 0 1 0 + 10
1 1 0 0 0 24
SSuummaa bbiinnaarriiaa
En el momento en el que aparece un acarreo igual a 1
nos vemos obligados a sumar tres bits en lugar de
dos
1 + 0 + 0 = 01 suma 1, acarreo 0
1 + 0 + 1 = 10 suma 0, acarreo 1
1 + 1 + 0 = 10 suma 0, acarreo 1
1 + 1 + 1 = 11 suma 1, acarreo 1
Ejemplo: 1110 + 1010
SSuummaa bbiinnaarriiaa
Otro ejemplo: 1001001010’11 + 1101010111’1
1
1 0 0 1
1 1 1
0 0 1
1 1 1
0 1 0 ’ 1 1
+ 1 1 0 1
1 0 1 1 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1 ’ 1 0
0 1 0 ’ 0 1
586’75 + 855’5 = 1442’25
6

4. RReessttaa bbiinnaarriiaa
La operación de resta también se organiza en columnas
Si el minuendo es menor que el sustraendo (0 menos 1)
El resultado de la resta es la diferencia entre los dos
Se produce un acarreo negativo, es decir, sumamos 1 al
sustraendo de la siguiente columna
Sumar un acarreo negativo a un 1 en el sustraendo implica la
generación de un nuevo acarreo negativo
Ejemplo: 1101 - 111
1 1 0 1 13
1 1
– 0 1 1 1 – 7
0 1 1 0 6
RReessttaa bbiinnaarriiaa
Otro ejemplo: 1010101110’10 – 1001110100’01
1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 ’ 1 0
1 1 1 1
– 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 ’ 0 1
0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 ’ 0 1
686’5 – 628’25 = 58’25

5. MMuullttiippliliccaacciióónn bbiinnaarriiaa
Las reglas básicas de la multiplicación binaria son:
0 x 0 = 0 1 x 0 = 0
0 x 1 = 0 1 x 1 = 1
La multiplicación se realiza generando productos
parciales, desplazando cada nuevo producto parcial
una posición a la izquierda y luego sumándolos todos
Ejemplo: 11 x 10 1 1 3
x 1 0 x 2
0 0 6
+ 1 1
1 1 0
MMuullttiippliliccaacciióónn bbiinnaarriiaa
Otro ejemplo: 11010 x 101
1 1 0 1 0
x 1 0 1
1
1 1 0 1 0
0 0 0 0 0
1 1
+ 1 1 0 1
1 0 0 0 0
0
0 1 0 26 x 5 = 130

6. DDiivvisiisióónn bbiinanarriiaa
La división binaria sigue el procedimiento tradicional
de multiplicación y resta al que estamos acostumbrados
Ejemplo: 110 / 11
1 1 0 1 1 6 3
– 1 1 1 0
0 0 0
0 2
– 0 0
0
DDiivvisiisióónn bbiinanarriiaa
Otro ejemplo: 100011 / 110
1 0 0 0 1 1 1 1 0
1 1
– 1 1 0
0 0 1 0 1 1
1
– 1 1 0
1 0 1
0 1 0 1
35 / 6 = 5 (resto = 5)

7. NNúúmmeerrooss ccoonn ssiigngnoo
Los sistemas digitales deben ser capaces de
manejar tanto números positivos como números
negativos
Un número binario con signo se caracteriza por
su magnitud y su signo
La magnitud indica el valor del número
El signo indica si es positivo o negativo
Vamos a ver tres formatos binarios para
representar números enteros
En todos ellos, el bit más significativo representa el signo
Todos los números en un ordenador tienen la mismo
cantidad de bits, por lo que el bit de signo tiene una posición
fija

8. 000
001
010
011
0
1
2
3
100
101
110
111
–0
–1
–2
–3
SSiignogno--mmaagngniittuudd
El bit más a la izquierda representa el signo del
número y el resto de bits representan la magnitud del
número
Un número negativo tiene los mismos bits de
magnitud que su versión positiva, pero distinto bit de
signo
Se utiliza un 0 para el signo positivo
Se utiliza un 1 para el signo negativo
Dado que los números usados por un ordenador
tienen tamaño fijo, supondremos números de 8 bits
26
25
24
23
22
21
20
0 0 0 1 0 1 0 1 16 + 4 + 1 21
1 0 0 1 0 1 0 1 16 + 4 + 1 –21
RRangangoo ddee vvaalloorreess eenn ssiignogno--mmaagngniittuudd
Los números binarios naturales de
n bits pueden tener valores que van
desde 0 hasta 2n – 1
Dado que los números en formato
signo-magnitud usan un bit de signo,
un número de n bits sólo dedicará
(n – 1) bits a representar la magnitud
Los números en signo-magnitud
pueden tener valores que van desde
–(2n–1 – 1) hasta +(2n–1 – 1)
binario decimal

9. ArAriittmmééttiiccaa eenn ssiiggnnoo--mmaagngniitutudd
Suma y resta en signo-magnitud
Se comparan el signo y la magnitud de los operandos
Si el signo de los operandos es el mismo se suman
las magnitudes y se mantiene el mismo signo
Si el signo de los operandos es distinto, se resta la
magnitud mayor menos la menor y se pone el signo de la
mayor
Multiplicación y división en signo-magnitud:
Se multiplican o dividen las magnitudes
Si los operandos tienen el mismo signo el resultado
es positivo; en caso contrario el resultado es negativo
DDeessvvententaajjaass eenn ssiignogno--mmaagngniittuudd
En el formato signo-magnitud existen dos ceros, uno
positivo y otro negativo, pero con el mismo
significado
La multiplicación y la división pueden hacerse
basándose en sumas y restas, pero es necesario tener
circuitos capaces tanto de sumar como de restar
Dado que las operaciones de suma y resta necesitan
realizar comparaciones, los circuitos aritméticos en
signo magnitud tienden a ser más lentos de lo deseado

10. EEssttrruucctuturara ddeell tteemmaa
Introducción
Operaciones aritméticas básicas
Suma
Resta
Multiplicación
División
Representación de números enteros
Signo-magnitud
Complemento a 1
Complemento a 2
Resumen y bibliografía
Aritmética binaria 19
CCoommpplleemmententoo aa 11
El complemento a 1 de un número binario se
obtiene cambiando todos los 0 por 1 y todos los 1
por 0
Los números positivos se representan igual que
los números positivos en formato signo-magnitud
Los números negativos son el complemento a 1
del correspondiente número positivo
0 0 0 1 0 1 0 1 21
1 1 1 0 1 0 1 0 –21

11. 000
001
010
011
0
1
2
3
100
101
110
111
–3
–2
–1
–0
VVaalloorr dedecciimmaall eenn ccoommpplleemmeennttoo aa 11
El valor decimal de los números positivos se calcula
de la misma manera que en signo-magnitud
26
25
24
23
22
21
20
0 0 0 1 0 1 0 1
16 + 4 + 1 21
El valor decimal de los números negativos se
calcula asignando el valor negativo del peso
correspondiente al bit de signo y luego sumando uno
al resultado
–27
26
25
24
23
22
21
20
1 1 1 0 1 0 1 0
–128 + 64 + 32 + 8 + 2 –22 + 1 –21
RRangangoo ddee vvaalloorreess eenn ccoommpplleemmententoo aa 11
El bit más significativo de los
números en formato complemento a 1
representa el signo
Un número de n bits sólo dedicará
(n – 1) bits a representar la magnitud
Los números en complemento a 1
pueden tener valores que van desde
–(2n–1 – 1) hasta +(2n–1 – 1)
binario decimal

12. GeneraGeneralilizzaacciióónn:: ccoommpplleemmeennttoo aa llaa babassee –– 11
El complemento a la base menos uno de un número
se calcula restándolo a la potencia de la base que se
corresponde con la cantidad de dígitos del número
y luego restando uno al resultado
Sistema binario Complemento a 1
Con 3 bits 011(2) 1000(2) – 011(2) – 1 = 100(2)
Sistema decimal Complemento a 9
Con 2 dígitos decimales 28(10) 100(10) – 28(10) – 1 = 71(10)
La conversión de un número a este formato se
puede realizar de forma sencilla, dígito a dígito
en binario se intercambian 0’s y 1’s: 011(2) 100(2)
en decimal se resta cada dígito a 9: 28(10) 71(10)
GeneraGeneralilizzaacciióónn:: ccoommpplleemmeennttoo aa llaa babassee –– 11
Representando los números negativos en
complemento a la base menos uno se simplifica la
operación de resta
La resta de dos números se expresa como la suma de
un número positivo y otro negativo
El minuendo se mantiene positivo
El sustraendo se pasa a negativo calculando su
complemento a la base menos uno
con 3 bits 011(2) – 011(2) = 0(2) 011(2) + 100(2) = 111(2) = – 0
con 2 dígitos decimales 28(10) – 28(10) = 0(10) 28(10) + 71 (10) = 99(10) = – 0

13. 0 0 0 1 1 0 0 0
+ 1 1 1 0 0 1 1 0
1 1 1 1 1 1 1 0
ArAriittmmééttiiccaa eenn ccoommpplleemmenenttoo aa 11
La operación de resta es innecesaria: para restar
podemos limitarnos a sumar el complemento a 1 del
número que queremos restar
Por ejemplo, suponiendo números de 8 bits (1 byte):
00011000 – 00011001 = 00011000 + 11100110
24 – 25 = 24 + (–25) = –1
La multiplicación y la división también pueden
realizarse partiendo de la suma
ArAriittmmééttiiccaa eenn ccoommpplleemmenenttoo aa 11
La suma puede producir un acarreo en la
última columna, que no puede representarse en
8 bits
Para obtener el valor correcto debemos sumar
este acarreo al resultado de la suma
Por ejemplo, suponiendo de nuevo números de 8 bits:
00011001 – 00011000 = 00011001 + 11100111
0 0 0 1 1 0 0 1
+ 1 1 1 0 0 1 1 1
1 0 0 0 0 0 0 0 0
+ 1
0 0 0 0 0 0 0 1 25 – 24 = 25 + (–24) = 1

14. DDeessboborrddaammiieentntoo
Dado que los números en un ordenador tienen una
cantidad fija de bits, es posible un desbordamiento, es
decir, que el resultado tenga demasiados bits
Podremos identificar un resultado como incorrecto a
causa de un desbordamiento porque no tendrá el signo
que debería tener
0 1 1 1 1 1 1 1 127
+ 0 0 0 0 0 0 1 1 3
1 0 0 0 0 0 1 0 –125
Dos sumandos positivos no pueden sumar negativo
DDeessvvententaajjaass ddeell ccoommpplleemmeennttoo aa 11
En el formato complemento a 1 existen dos ceros, uno
positivo y otro negativo, pero con el mismo
significado
La multiplicación, la división y la resta pueden hacerse
basándose en sumas, pero los circuitos sumadores se
complican porque en determinadas circunstancias hay
que sumar un acarreo al resultado
Debido a esta complicación, los circuitos aritméticos en
complemento a 1 también tienden a ser más lentos de lo
que se querría

15. EEssttrruucctuturara ddeell tteemmaa
Introducción
Operaciones aritméticas básicas
Suma
Resta
Multiplicación
División
Representación de números enteros
Signo-magnitud
Complemento a 1
Complemento a 2
Resumen y bibliografía
CCoommpplleemmententoo aa 22
El complemento a 2 de un número binario se
obtiene sumando uno al bit menos significativo del
complemento a 1 del número
0 0 0 1 0 1 0 1 21
1 1 1 0 1 0 1 0
+ 1
1 1 1 0 1 0 1 1 –21
Un método alternativo es comenzar por el bit
menos significativo hasta encontrar un 1 y luego
hacer el complemento a 1 del resto del número

16. 000
001
010
011
0
1
2
3
100
101
110
111
–4
–3
–2
–1
VVaalloorr dedecciimmaall eenn ccoommpplleemmeennttoo aa 22
El valor decimal de los números positivos se calcula
de la misma manera que en signo-magnitud
26
25
24
23
22
21
20
0 0 0 1 0 1 0 1
16 + 4 + 1 21
El valor decimal de los números negativos se
calcula asignando el valor negativo del peso
correspondiente al bit de signo
–27
26
25
24
23
22
21
20
1 1 1 0 1 0 1 1
–128 + 64 + 32 + 8 + 2 + 1 –21
RRangangoo ddee vvaalloorreess eenn ccoommpplleemmententoo aa 22
El bit más significativo de los
números en formato complemento a 2
representa el signo
Un número de n bits sólo dedicará
(n – 1) bits a representar la magnitud
Los números en signo-magnitud
pueden tener valores que van desde
–(2n–1) hasta +(2n–1 – 1)
binario decimal

17. GGeneenerraalliizzaacciiónón:: ccoommpplleemmententoo aa llaa bbaassee
El complemento a la base de un número se calcula
restándolo a la potencia de la base correspondiente a
la cantidad de dígitos del número
Sistema binario Complemento a 2
Con 3 bits 011(2) 1000(2) – 011(2) = 101(2)
Sistema decimal Complemento a 10
Con 2 dígitos decimales 28(10) 100(10) – 28(10) = 72(10)
Representando los números negativos en
complemento a la base se simplifica la resta,
permitiendo expresarla como la suma de un número
positivo y otro negativo
Con 3 bits 011(2) – 011(2) = 0(2) 011(2) + 101(2) = 1000(2)
Con 2 dígitos decimales 28(10) – 28(10) = 0(10) 28(10) + 72 (10) = 100(10)
VVententaajjaass ddeell ccoommpplleemmenenttoo aa 22
Solo existe una representación del cero
Todas las operaciones pueden hacerse con un circuito
sumador, más simple que el usado por signo-
magnitud o complemento a 1 y, por tanto, más rápido
Por estos motivos, el complemento a 2 es el
formato más utilizado por los ordenadores actuales
binario signo-magnitud complemento a 1 complemento a 2
000
001
010
011
0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3
100
101
110
111
–0
–1
–2
–3
–3
–2
–1
–0
–4
–3
–2
–1

18. 0 1 1 1 1 1 0 1 125
+ 0 0 1 1 1 0 1 0 58
1 1 1 1 0 1 1 1 183 (max = 27 – 1 = 127)
SSuummaa eenn ccoommpplleemmeentntoo aa 22
Dado que el complemento a 2 es el formato más usado,
estudiaremos su aritmética con más detalle
Vamos a suponer que los números con los
que trabajaremos tienen 8 bits (1 byte)
A la hora de sumar dos números en complemento a
2, existen cuatro situaciones posibles
Ambos números son positivos
Los dos números tienen distinto signo
▫ El número positivo tiene un valor absoluto mayor que el negativo
▫ El número negativo tiene un valor absoluto mayor que el positivo
Ambos números son negativos
SSuummaa eenn ccoommpplleemmeentntoo aa 22
Si los dos valores sumados son positivos, el
resultado también será positivo
Existe la posibilidad de un desbordamiento (overflow),
es decir, de obtener un resultado incorrecto porque
necesita más bits de los que se pueden representar
1 1 1 1
Overflow!! El resultado debe ser positivo

19. SSuummaa eenn ccoommpplleemmeentntoo aa 22
Si los dos valores sumados son negativos el
resultado también será negativo
Existe la posibilidad de que aparezca un acarreo (carry)
pero no invalida el resultado y debe descartarse
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 0 1 1 –5
+ 1 1 1 1 1 0 1 0 –6
1 1 1 1 1 0 1 0 1 –11
Carry!! Se descarta y el resultado es correcto
SSuummaa eenn ccoommpplleemmeentntoo aa 22
Si los dos valores sumados son negativos también
existe la posibilidad de que ocurra un desbordamiento
y, por tanto, el resultado sea incorrecto
1 1
1 0 0 0 0 0 1 1 –125
+ 1 1 0 0 0 1 1 0 –58
1 0 1 0 0 1 0 0 1 –183 (min = –27 = 128)
Overflow!! El resultado debe ser negativo
Carry!! Se descarta

20. SSuummaa eenn ccoommpplleemmeentntoo aa 22
Si los dos valores sumados tienen distinto signo
es imposible que ocurra un desbordamiento
Cuando el valor absoluto del número positivo es
mayor que el del negativo puede aparecer un acarreo,
pero se descarta y el resultado es correcto
1 1 1 1
0 0 1 1 1 0 0 1 57
+ 1 1 1 0 0 0 1 1 –29
1 0 0 0 1 1 1 0 0 28
Carry!! Se descarta y el resultado es correcto
RReessttaa eenn ccoommpplleemmeentntoo aa 22
Para restar dos números se calcula el complemento a 2
del número restado y se suman, descartando cualquiera
acarreo que pueda aparecer y controlando la
posibilidad de que ocurra un desbordamiento
57 – 29 = 57 + (– 29) = 28
1
0
1
0 1 1 1
1
0
1
0 1 57
+ 1 1 1 0 0 0 1 1 –29
1 0 0 0 1 1 1 0 0 28
Carry!! Se descarta y el resultado es correcto

21. RReessttaa eenn ccoommpplleemmeentntoo aa 22
Para restar dos números se calcula el complemento a 2
del número restado y se suman, descartando cualquiera
acarreo que pueda aparecer y controlando la
posibilidad de que ocurra un desbordamiento
–125 – 58 = –125 + (– 58) = –183
1 1
1 0 0 0 0 0 1 1 –125
+ 1 1 0 0 0 1 1 0 –58
1 0 1 0 0 1 0 0 1 –183 (min = –27 = 128)
Overflow!! El resultado debe ser negativo
Carry!! Se descarta
SSuummaass oo rreessttaass eenn ccaaddenenaa
Para sumar o restar varios números aplicamos la
propiedad asociativa, es decir, sumamos o restamos los
números de dos en dos
68 + 27 + 14 + 18 = ( (68 + 27) + 14) + 18 = 127
0 1 0 0 0 1 0 0 68
+ 0 0 0 1 1 0 1 1 27
0 1 0 1 1 1 1 1 95
+ 0 0 0 0 1 1 1 0 14
0 1 1 0 1 1 0 1 109
0 0 0 1 0 0 1 0 18
0 1 1 1 1 1 1 1 127

22. MMuullttiippliliccaacciióónn eenn ccoommpplleemmeennttoo aa 22
La suma directa es el método más simple: sumar
el multiplicando tantas veces como el
multiplicador
La desventaja de este método es que puede llegar a
ser muy lento si el multiplicador es muy grande
El método más común es el de los productos parciales
Se multiplica el multiplicando por cada bit del multiplicador
Cada producto parcial se desplaza un bit a la izquierda
La suma de los productos parciales nos da el resultado
MMuullttiippliliccaacciióónn eenn ccoommpplleemmeennttoo aa 22
El signo del resultado depende de los signos de
los números multiplicados
Si son del mismo signo, el resultado es positivo
Si son de distinto signo, el resultado es negativo
Después de comprobar los signos, los números
a multiplicar deben ser pasados a binario real
Es bastante posible que el resultado tenga más bits
que la representación de los operandos
3 x 3 = 9 11 x 11 = 1001

23. ros positivos 0 1 0 1 0 0 1 1
x 0 0 1 1 1 0 1 1
1 0 1 0 0 1 1
+ 1 0 1 0 0 1 1
1 1 1 1 1 0 0 1
+ 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 1 1 1 0 0 1
+ 1 0 1 0 0 1 1
1 1 1 0 0 1 0 0 0 1
+ 1 0 1 0 0 1 1
1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1
+ 1 0 1 0 0 1 1
1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1
46
MMuullttiippliliccaacciióónn eenn ccoommpplleemmeennttoo aa 22
Ejemplo: 83 X –59 = –4897
Los números tienen distinto signo, luego el
resultado será un número negativo
83 = 01010011
–59 = 11000101
Pasamos los números a binario real
Ignoramos el bit de signo del número positivo
Deshacemos el complemento a 2 del número negativo y
luego ignoramos el bit de signo
83 = 01010011
–59 = 11000101 59 = 00111011
MMuullttiippliliccaacciióónn eenn ccoommpplleemmeennttoo aa 22
Realizamos la
multiplicación entre los dos
núme

24. MMuullttiippliliccaacciióónn eenn ccoommpplleemmeennttoo aa 22
Multiplicando números de 8 bits hemos obtenido
un resultado de 13 bits
Supondremos que el resultado tiene 16 bits
Será importante recordar esto para diseñar multiplicadores
Dado que hemos multiplicado dos números positivos, el bit
de signo debe ser positivo o habrá habido un
desbordamiento
0001001100100001
Una vez obtenido el resultado, y dado que
habíamos determinado que éste era negativo,
calculamos el complemento a 2 del mismo
0001001100100001 1110110011011111
DDiivvisiisióónn eenn ccoommpplleemmenenttoo aa 22
El esquema básico de división usado en los
ordenadores está basado en la resta
Dado que las restas en complemento a 2 son sumas, la
división puede realizarse con circuitos sumadores
El signo del resultado depende de los signos de los
dos operandos de la división
Si son del mismo signo, el resultado es positivo
Si son de distinto signo, el resultado es negativo
Tras comprobar los signos, cualquier número
negativo debe ser convertido en el positivo
corresponidente

25. DDiivvisiisióónn eenn ccoommpplleemmenenttoo aa 22
Ejemplo: 100 / 25 = 4
Los números tienen el mismo signo, luego el
resultado será un número positivo
100 = 01100100
25 = 00011001
En caso de que alguno de ellos hubiera sido un
número negativo hubiéramos tenido que deshacer
el complemento a 2
El valor inicial del cociente es cero
C = 0
DDiivvisiisióónn eenn ccoommpplleemmenenttoo aa 22
Restamos el divisor del dividendo (sumando su complemento a
2) para obtener el primer resto parcial y luego
sumamos uno al cociente
01100100 – 00011001
01100100 + 11100111 = 101001011
C = C + 1 = 0 + 1 = 1
Si el resto parcial es cero o negativo, damos la
división por finalizada
Si el resto parcial es positivo, repetimos el
proceso, restando el divisor del resto parcial y
volviendo a sumar uno al cociente

26. DDiivvisiisióónn eenn ccoommpplleemmenenttoo aa 22
Segunda iteración:
01001011 – 00011001
01001011 + 11100111 = 100110010
C = C + 1 = 1 + 1 = 10
Tercera iteración:
00110010 – 00011001
00110010 + 11100111 = 100011001
C = C + 1 = 10 + 1 = 11
DDiivvisiisióónn eenn ccoommpplleemmenenttoo aa 22
Cuarta iteración:
00011001 – 00011001
00011001 + 11100111 = 100000000
C = C + 1 = 11 + 1 = 100
El resto parcial es cero, por lo que la división termina
Sólo queda asegurarse de que el bit de signo es
el correcto, en este caso, signo positivo
C = 100
7 bits magnitud C = 0000100
1 bit de signo positivo C = 00000100

27. EEssttrruucctuturara ddeell tteemmaa
Introducción
Operaciones aritméticas básicas
Suma
Resta
Multiplicación
División
Representación de números enteros
Signo-magnitud
Complemento a 1
Complemento a 2

28. Permutación:
¿De cuantas maneras pueden quedar asignados los títulos de Campeón y Subcampeón? (A, B,
C, D)
AB , AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA , DB, DC
RESULTADO =12 MANERAS DISTINTAS
EN LA PERMUTACION IMPORTAN LA POCISION DE LOS ELMETOS EN EL GRUPO DE 4
GRUPOS ASIGNADOS EN 2 POCISIONES CAMPEON Y SUBCAPEON.
PASO 1:
nPr=n!/(n-r)!
PASO 2:
4P2=4!/(4-2)!= 4!/2!= 4 ! 3! 2! 1!/ 2! 1! =12
Interesa la posición de los elementos en el grupo.
Combinación:
¿Cuántas son los posibles partidos para definir los títulos de campeón y subcampeón?
AB, AC, AD, BC BD, CD
nCr=n!/(n-r)!r!
aC2= 4!/(4-2)!2!=
4!/2!.2!= 4x3x2x1/2x1x2x1=6 3x2x1=6
Se eliminan los 2
Después mitad de 4 es 2
Interesa la Presencia de los elementos en el grupo formado.

29. Multiplicación:
4 2 5(8) En esta operación a base 8 (octal) se empieza multiplicando como en una
X6 7(8) multiplicación normal.
3 6 2 3 En el primer caso es 7x5=35 como sobrepasa la base 8, el resultado tiene
3 1 7 6 Que ser dividido entre 8. 35/8
3 5 6 0 3 El residuo se pone como resultado y el cociente se lleva como cifra a
El numero siguiente. Se vuelve a multiplicar el 7 pero ahora por el siguiente
número, 7x2=14; Se suma la cifra que llevas, que es el cociente de la operación pasada que es 4, por lo
tanto, es 18/8.
Y se vuelve a repetir el mismo paso con la siguiente que sería 7x4=28 más 2 que llevas es 30/8 por que se
pasa de la base 8.
En el número siguiente que es 6 se vuelve hacer exactamente lo mismo, se multiplica por los factores y si
se pasa de la base ocho se divide entre la misma base(8).
Se multiplica 6x5 resulta 30 se divide entre 8 el residuo es 6 y el cociente es 3.
Se vuelve a multiplicar el 6x2 resulta 12 y 3 que llevas es 15 se divide entre 8, el residuo es 7 y el cociente
es 1.
Se multiplica de nuevo 6x4 resulta 24 y 1 que llevas es 25 se divide entre 8, y como es la ultima el
cociente que es 3 solo se baja.
Solo falta sumar los productor intermedios pero ojo no tiene que pasarse de 8 en la sumatoria y si es el
caso de que llegara a pasarse o que de 8 su divide entre la base.
El 3 solo se baja.
El 0 sale de la suma de 6+8=8 se divide 8/8 el residuo es 0 y es el que se determina como resultado y el
cociente es 1 el cociente se lleva a la siguiente cifra.
Del 1 que llevas se le suma 7+6=13+1=14 se divide 14/8 el residuo es 6 y el cociente es 1.
El 5 sale de la sumatoria de 3+1=4+1=5 y como no se pasa de 8 se determina así como 5.
El 3 solo se baja por que no debes nada de la sumatoria pasada.
Se pone 3 por que residuo es 6 y el cociente es 3 y como no hay
numero por multiplicar solo se baja el número que llevas.

30. División:
1 0 0 1
1 0 1 1 0 1 1 1 0
1 0 1
0 0 0 1 1 0
1 0 1
0 0 1
Es como en el decimal primero determinamos los números necesarios en este caso 3 que seria 101/101
solo cabe 1 vez.
Ahí da lo mismo (101) y se resta; es lo mismo por eso el resultado es 000.
Se baja el siguiente numero como no cabe se baja el siguiente, tampoco cabe se pone 0 y se baja el
siguiente que es 0.
Ahí si cabe 1 vez como se multiplica por 1 da lo mismo (101) y se hace nuevamente la resta.
Y el residuo queda 1.

31. Operaciones Sistema Hexadecimal.
Sumas
Ejemplo:
Los números hexadecimales son usados para representar el código binario usado por las
computadoras. Es un sistema numérico basado en el número 16, lo que significa que todos los
números se representan con 16 dígitos en lugar de 2.
a) Suma de números binarios: Para realizar este tipo de operaciones
Se necesita recordar 3 reglas básicas que son las siguientes:
1+0=1
0+0=0
1+1=10
Pero la suma de 1+1, que sabemos que es 2 en el sistema decimal, debe escribirse
En binario con dos cifras (10) y, por tanto 1+1 es 0 y se arrastra una unidad, que Se suma a la
posición siguiente a la izquierda. El proceso es similar al de la suma decimal como veremos en
el siguiente ejemplo:
Se debe restar o dividir la semisuma de cada columna, cuando la misma exceda la base del
sistema, y colocar en la columna inmediata del lado izquierdo, el valor del acarreo tantas veces

32. se haya superado la base del sistema. Cada unidad que se acarree equivale a dieciséis
unidades de la columna anterior.
2 1 1 <--- ACARREO
F 3 B C
9 D D 0
+ 3 A 0 6 0
------------------
5 3 1 E C