Este documento describe diferentes modelos de regresión y sus aplicaciones. Explica los modelos de regresión lineal, los modelos de regresión lineal en logaritmos que miden elasticidades, los modelos de regresión múltiple como el modelo Cobb-Douglass, y los modelos de regresión polinomial. También discute cómo elegir la mejor forma funcional para los datos y variables en cuestión.

1. FORMAS FUNCIONALES
DE LOS MODELOS DE
REGRESIÓN
Tomado de Principios de econometría, Damodar N. Gujarati, Tercera
Edición.

2. Problemas de Causalidad
 El investigador suele tener razones teóricas o
prácticas para creer que determinada variable es
causalmente dependiente de una o más
variables distintas.
 Si hay suficientes observaciones empíricas
sobre estas variables, el análisis de regresión es
un método apropiado para describir la
estructura, fuerza y sentido exacto de esta
asociación.
Modelos de Regresión Lineal

3. Problemas de Causalidad
 El modelo permite diferenciar variables explicativas
o independientes (métricas o variables dummy) y
variables a explicar o dependientes (métricas).
 La distinción entre variables dependientes e
independientes debe efectuarse con arreglo a
fundamentos teóricos, por conocimiento o
experiencia y estudios anteriores.
Método de tipo: Y : f (X) en donde se busca
determinar una relación del tipo y = bx+ U
Modelos de Regresión Lineal

4. REGRESIÓN A TRAVÉS DEL ORÍGEN
• Hay ocasiones en que la FRP de dos variables adquiere la siguiente forma:
𝑌𝑖 = 𝛽2 𝑋𝑖 + 𝑢𝑖
La ausencia del intercepto, explica el nombre: regresión a través del origen.
Ejemplos de aplicación:
 Modelo de asignación de precios de activos de capital (CAPM)
 Hipótesis del ingresos permanente de Friedman (consumo permanente es
proporcional al ingreso permanente)
 Teoría del análisis de costos, en donde la variable costo de producción es
proporcional a la producción)
 Tasa de cambio de los precios es proporcional a la tasa de cambio de la oferta
monetaria.
4

5. ¿Cómo se estiman modelos sin intercepto?
𝑌𝑖 = 𝛽2 𝑋𝑖 + 𝑢𝑖
𝛽2 =
𝑋 𝑖 𝑌 𝑖
𝑋𝑖
2 𝛽2 =
𝑥 𝑖 𝑦 𝑖
𝑥 𝑖
2
var 𝛽2 =
𝜎2
𝑋𝑖
2 var 𝛽2 =
𝜎2
𝑥 𝑖
2
𝜎2
=
𝑢 𝑖
2
𝑛−1
𝜎2
=
𝑢 𝑖
2
𝑛−2
𝑟2
𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒 =
𝑋𝑖 𝑌𝑖
2
𝑋𝑖
2
𝑌𝑖
2
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CON INTERCEPTO
• Sumas de cuadrados
ajustadas (de la media) y
productos cruzados
• Los residuos deben ser
siempre cero.
• R cuadrado es no negativo.
SIN INTERCEPTO

6. CONSIDERACIONES
• Hay muchos fenómenos económicos para los que no tienen por qué
resultar adecuados los modelos de regresión lineales en los
parámetros y en las variables.
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𝑌𝑡 = 7,6182 + 0,8414𝑋𝑖Gastos semanales en lotería en
base a la renta disponible
 Queremos medir la elasticidad, modelo logarítmico
 O la tasa de crecimiento a lo largo del tiempo de una determinada variable económica,
modelo semilog

7. TIPOS DE MODELOS DE REGRESIÓN
• Modelos lineales en logaritmos o de elasticidad constantes. En este modelo el coeficiente 𝛽2 mide la
elasticidad de Y respecto a X, es decir, la variación porcentual de Y para determinada variación porcentual
(pequeña) de X.
• Modelos semilog
• Modelos recíprocos
• Modelos de regresión polinomiales
• Modelos de regresión por el origen o con punto de corte nulo.
Característica: son lineales en los parámetros pero no son necesariamente lineales en las variables.
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8. CÓMO SE MIDE LA ELASTICIDAD: EN EL
MODELO LINEAL EN LOGARITMOS
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𝑌𝑡 = A𝑋𝑖
𝐵2
Gasto en lotería
Renta disponible
ln𝒀 𝒕 = 𝒍𝒏𝑨 + 𝑩 𝟐 𝒍𝒏𝑿𝒊
Definimos lnA = 𝐵1
ln𝒀 𝒕 = 𝑩 𝟏 + 𝑩 𝟐 𝒍𝒏𝑿𝒊 + 𝒖𝒊
Coeficiente mide la pendiente o la elasticidad de Y
respecto a X
Variación porcentual de Y para determinada variación porcentual de X
Y representa la
cantidad
demandada de un
bien
X es el precio unitario
Elasticidad precio de la
demanda
Se pueden llamar modelos
log log, doble log o log
lineales

9. MODELO DE ELASTICIDAD CONSTANTE
9
Una característica atractiva del modelo log-log, que lo ha hecho muy popular en el trabajo empírico, es que el
coeficiente de la pendiente 𝛽2 mide la elasticidad de Y respecto de X

10. EJEMPLO DE ELASTICIDAD
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_cons -.6702288 .5624701 -1.19 0.268 -1.967287 .6268295
logX .7256427 .1015726 7.14 0.000 .491416 .9598695
logY Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
Total .509866622 9 .056651847 Root MSE = .09293
Adj R-squared = 0.8476
Residual .069090084 8 .00863626 R-squared = 0.8645
Model .440776538 1 .440776538 Prob > F = 0.0001
F(1, 8) = 51.04
Source SS df MS Number of obs = 10
. reg logY logX
_cons 7.618182 3.05234 2.50 0.037 .5794741 14.65689
X .0814545 .0112159 7.26 0.000 .0555907 .1073184
Y Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
Total 394 9 43.7777778 Root MSE = 2.5468
Adj R-squared = 0.8518
Residual 51.8909091 8 6.48636364 R-squared = 0.8683
Model 342.109091 1 342.109091 Prob > F = 0.0001
F(1, 8) = 52.74
Source SS df MS Number of obs = 10
. reg Y X
Hay que considerar que para comparar modelos tomando el 𝑹 𝟐 la variable dependiente debe
tener la misma forma.

11. EJEMPLO DE ELASTICIDAD
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_cons -.6702288 .5624701 -1.19 0.268 -1.967287 .6268295
logX .7256427 .1015726 7.14 0.000 .491416 .9598695
logY Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
Total .509866622 9 .056651847 Root MSE = .09293
Adj R-squared = 0.8476
Residual .069090084 8 .00863626 R-squared = 0.8645
Model .440776538 1 .440776538 Prob > F = 0.0001
F(1, 8) = 51.04
Source SS df MS Number of obs = 10
. reg logY logX
_cons 7.618182 3.05234 2.50 0.037 .5794741 14.65689
X .0814545 .0112159 7.26 0.000 .0555907 .1073184
Y Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
Total 394 9 43.7777778 Root MSE = 2.5468
Adj R-squared = 0.8518
Residual 51.8909091 8 6.48636364 R-squared = 0.8683
Model 342.109091 1 342.109091 Prob > F = 0.0001
F(1, 8) = 52.74
Source SS df MS Number of obs = 10
. reg Y X
La variación de un logaritmo, mide la variación relativa o proporcional (o la variación
porcentual si se multiplica por cien).

12. Forma gráfica de decidir si el modelo log-
lineal se ajusta a los datos-.4-.2
0
.2.4
-.6 -.4 -.2 0 .2 .4
e( logX | X )
coef = .72564274, se = .10157258, t = 7.14
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Se ajusta la línea a los
datos?

13. ELECCIÓN DE MODELOS
• Cómo elegir el mejor modelo.
1. Revisar diagramas de puntos para verificar la relación entre las
variables sea razonablemente lineal (funciona solo en modelos de dos
variables).
2. Elegir el 𝑅2
mayor que proporcionen los modelos, solo si la variable
dependiente tiene la misma forma ( no es lo mismo Y que lnY)
3. Aún si las dos variables dependientes tienen la misma forma, no es
aconsejable elegir un modelo a partir del criterio del valor elevado del
𝑅2
, por que se puede elevar por medio de adicionar más variables.
4. Considerar la teoría subyacente, y los signos esperados de los
coeficientes de las variables explicativas.
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14. MODELOS DE REGRESIÓN MÚLTIPLE LINEALES
EN LOGARITMOS
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𝑙𝑛𝑌𝑡 = 𝐵1 + 𝐵2 𝑙𝑛𝑋2𝑖 + 𝐵3 𝑙𝑛𝑋3𝑖 + 𝜇𝑖
Coeficientes de elasticidades parciales
En un modelo lineal múltiple en logaritmos, cada coeficiente de la pendiente
parcial mide la elasticidad parcial de la variable dependiente respecto a la
variable explicativa en cuestión, manteniendo constantes todas las demás
variables.

15. MODELOS DE REGRESIÓN MÚLTIPLE LINEALES
EN LOGARITMOS: COBB DOUGLASS
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𝑙𝑛𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑙𝑛𝑋2𝑡 + 𝛽3 𝑙𝑛𝑋3𝑡 + 𝜇 𝑡
Coeficientes de elasticidades parciales
En un modelo de múltiple lineal en logaritmos, cada coeficiente de la
pendiente parcial mide la elasticidad parcial de la variable dependiente
respecto a la variable explicativa en cuestión, manteniendo constantes todas
las demás variables.
𝑌𝑡 = 𝛽1 𝑋2𝑡
𝛽2
𝑋3𝑡
𝛽3
𝑒 𝑢𝑡

16. Propiedades de la función de producción
Cobb-Douglas
 𝛽2 es la elasticidad (parcial) de la producción respecto del insumo trabajo,
es decir, mide el cambio porcentual en la producción debido a una
variación de 1% en el insumo trabajo, con el insumo capital constante
 De igual forma,𝛽3 es la elasticidad (parcial) de la producción respecto del
insumo capital, con el insumo trabajo constante.
 La suma (𝛽2 + 𝛽3) da información sobre los rendimientos a escala, es
decir, la respuesta de la producción a un cambio proporcional en los
insumos. Si esta suma es 1, existen rendimientos constantes a escala, es
decir, la duplicación de los insumos duplica la producción, la triplicación de
los insumos la triplica, y así sucesivamente. Si la suma es menor que 1,
existen rendimientos decrecientes a escala: al duplicar los insumos, la
producción crece en menos del doble. Por último, si la suma es mayor que
1, hay rendimientos crecientes a escala; la duplicación de los insumos
aumenta la producción en más del doble.
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17. Modelos de regresión polinomial
• De amplio uso en la investigación econométrica relacionada con funciones de costo y de producción.
• Considerando la figura que relaciona el costo marginal (CM) de corto plazo de la producción de un bien (¿cómo se
haría? En otras palabras, ¿qué tipo de modelo econométrico expresa la naturaleza primero decreciente y luego
creciente del costo marginal?
• Geométricamente, la curva CM de la figura representa una parábola. Matemáticamente, la parábola está
representada por la siguiente ecuación:
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𝑌𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑡 + 𝛽2 𝑋𝑡
2
+𝑢 𝑡
Función cuadrática o polinomio de segundo grado
Regresión polinomial de segundo grado
Una sola variable X

18. Elección de la forma funcional
1. La teoría tal vez sugiera una forma funcional particular.
2. Es una buena costumbre calcular la tasa de cambio (es decir, la pendiente) de la regresada respecto
de la regresora, así como conocer la elasticidad de la regresada respecto de la regresora.
3. Los coeficientes del modelo escogido deberán satisfacer determinadas expectativas a priori. Por
ejemplo, si consideramos la demanda de automóviles como función del precio y otras variables,
debemos esperar un coeficiente negativo para la variable precio.
4. Algunas veces, más de un modelo puede ajustarse razonablemente bien a un determinado conjunto
de datos. Se debe asegurar de que, al comparar dos valores de r2, la variable dependiente (o
regresada) de los dos modelos sea la misma; la(s) regresora(s) pueden tomar cualquier forma.
5. En general, no se debe sobrevaluar la medida de r 2 en el sentido de creer que mientras más alta sea
r 2 mejor será el modelo. Lo que reviste mayor importancia es la justificación teórica del modelo
elegido, los signos de los coeficientes estimados y su importancia estadística. Si un modelo es bueno
conforme a estos criterios, quizá resulte aceptable un modelo con una r 2 menor.
6. En algunas situaciones tal vez no sea fácil ponerse de acuerdo sobre una forma funcional concreta,
en cuyo caso se pueden usar las llamadas transformaciones Box-Cox.
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