Matematica u0 1er c2010

UBA XXI – Modalidad Virtual

Matemática

NOTACIONES Y SÍMBOLOS USADOS FRECUENTEMENTE

IN = Conjunto de los números naturales
IN0 = Conjunto de los números naturales con el cero
Z = Conjunto de los números Enteros
Q = Conjunto de los números racionales
= Conjunto de los números reales
= Conjunto Vacío

< menor
 menor o igual
> mayor
 mayor o igual
 distinto

 y
 o
 si y solo si
 entonces
 aproximadamente

 incluido
 pertenece
 no pertenece
 intersección
 unión

UBA XXI – MÁTEMATICA

Modalidad virtual

Matemática

1
EXPRESIONES ALGEBRAICAS, FÓRMULAS, ECUACIONES

En matemática es habitual trabajar con relaciones numéricas en las que una o más cantidades son
desconocidas. Estas cantidades se denominan incógnitas o variables y se representan por letras.

Son expresiones algebraicas:

Aquellas expresiones en las que intervienen 2x –3
números y letras, vinculadas mediante
2
operaciones aritméticas se denominan m –2m
expresiones algebraicas.
2
x+y =5

Al traducir un cierto enunciado al lenguaje simbólico se obtienen expresiones algebraicas

Ejemplos

Lenguaje coloquial Lenguaje simbólico
La suma entre un número natural y su consecutivo n + (n +1)
15
El precio de un artículo aumentado en un 15% x x
100
2
El cuadrado de la diferencia entre a y b es 16 (a – b) = 16

Con las expresiones algebraicas se pueden realizar las mismas operaciones que con los números reales,
lo que hace posible reducirlas a expresiones más sencillas.

• Se opera con las expresiones algebraicas de la Ejemplos.
misma forma que con los números reales.
• (4m + 3m) = 8m + 6m
2
2 2 2
• Las operaciones con expresiones algebraicas • 2x + x –4x = 2x – 3x
tienen las mismas propiedades que las • ab + ac = a(b + c)
2 4
operaciones con los números reales. • 2s . s . (-3s) = -6 s

Las expresiones algebraicas aparecen en las fórmulas que se usan, por ejemplo, en Geometría. Una
fórmula es una igualdad algebraica en que dos expresiones representan el mismo número.

En la fórmula que expresa el área de un rectángulo,
A = b . h, el símbolo “A” representa el área lo A=b.h
mismo que la expresión b . h, pero aquí el área se A = 2. 3
expresa en términos de la base (b) y la altura (h) del A=6
h=2
rectángulo.
b=3
Ambos miembros de la igualdad quedan
perfectamente determinados al conocer los valores
de b y de h.

1
Elizondo, Giuggiolini; Módulo 2, Ecuaciones y Sistemas de ecuaciones, UBA XXI, Articulación, 2007
Elizondo, S. Elementos de Matemática y Estadística, TAGU, UBA, 2009

UBA XXI – MÁTEMATICA - Números reales
1

UBA XXI Modalidad virtual

Matemática

Otras igualdades algebraicas involucran números indeterminados.
Por ejemplo:
3(x –1) = 6 sólo se verifica para x = 2.
Mientras que:
(a + b) (a - b) = a2 – b 2 se verifica para cualquier número real a y b.

Definición: El conjunto de valores de las variables para los cuales ambos miembros de una igualdad
algebraica tiene sentido se denomina dominio de definición.

Por ejemplo, el dominio de definición de
3 2x
 3
x 2 x- 3

es el conjunto de los números reales distintos de 2 y de 3 ya que para los números 2 y 3 se anula uno de
los denominadores y por lo tanto resultaría una división por cero que no es admisible.

Cuando una igualdad algebraica es cierta para Cuando una igualdad algebraica es cierta para
algunos valores en su dominio de definición se dice todos los valores en su dominio de definición se
que es una ecuación. dice que es una identidad.

Ecuaciones con una incógnita

 Una ecuación es una igualdad que contiene uno o más números desconocidos llamados
incógnitas.
 En este apartado trataremos ecuaciones con una sola incógnita. Habitualmente a la
incógnita la denominamos “x”

Son ejemplos de ecuaciones:
3x + 2 = 4x – 1
2
x – 3x – 10 = 0
|x – 3| = – 2
Cada valor de la variable que al sustituirlo en la ecuación, hace que la misma
se transforme en una igualdad numérica se denomina solución de la
ecuación dada. Decimos que tal valor satisface o verifica la ecuación.
Por ejemplo, 3 es solución de 3x + 2 = 4x – 1 ya que al sustituir por 2 en la
ecuación obtenemos:
3. 3 + 2 = 4. 3 – 1
9 + 2 = 12 – 1
11 = 11
que es una igualdad numérica.
2
Y, de la misma manera -2 y 5 son soluciones de la ecuación x – 3x -10 = 0
ya que al sustituirlos en la ecuación dada se obtiene;
2
(– 2) – 3 . (– 2) – 10 = 4 + 6 – 10 = 0
2
5 – 3 . 5 – 10 = 25 – 15– 10 = 0
2
Mientras que no existe ningún número real que verifique la ecuación x = – 2
ya que el cuadrado de un número real es siempre mayor o igual que cero.

UBA XXI – MÁTEMATICA - Ecuaciones 2


Matemática

 puede tener una solución,
Una ecuación
 puede no tener solución,
 pero también puede ser que tenga varias.

Para encontrar las soluciones de una ecuación, realizamos operaciones que
permiten ir transformando la ecuación dada en otras equivalentes.
Mediante estas operaciones intentamos aislar la incógnita (“despejar”) en
uno de los miembros. En estos casos utilizamos propiedades de la suma y
multiplicación de números reales.
Pero también puede suceder que necesitemos de otros procedimientos que
nos permitan hallar la solución de la ecuación.
En este texto, trabajaremos ecuaciones lineales o que se reducen a ellas.

Ecuaciones de la forma  x es la incógnita,
a. x = b
 a y b son números reales y a 0
 a se llama coeficiente y - b término independiente.
Se denominan de primer grado (o ecuaciones lineales) porque la incógnita
sólo aparece elevada a la potencia 1.

Para recordar  Resolver una ecuación es encontrar el valor de la incógnita (o
incógnitas) que hace verdadera la igualdad. A estos valores se los
llama solución de la ecuación.
 Cuando un número es solución de una ecuación suele decirse que
“satisface” o “verifica” la ecuación.
 Resolver una ecuación significa hallar todas las soluciones si las
tiene o demostrar que no las tiene.

Revisaremos mediante ejemplos, cómo resolver ecuaciones lineales de primer
grado con una incógnita.

Ejemplos Ejemplo 1. Resolver la ecuación -2x + 5 = -3
Solución
-2x + 5 = -3
-2x + 5 – 5 = - 3 – 5 Sumando miembro a miembro –5
-2x = - 8 Realizando operaciones
x = (-8) : (-2) Dividiendo miembro a miembro por –2
x= 4 Realizando operaciones.
Debemos asegurarnos que x = 4 es solución de la ecuación -2x + 5 = -3.
Para ello, reemplazamos el valor de x que encontramos en la ecuación:
–2. 4 + 5 = -8 + 5 = -3
Como vemos que se cumple la igualdad, podemos afirmar que x = 4 es solución
de la ecuación dada.
Escribimos el conjunto solución de esta manera: S = {4}



Matemática

Observar que:
• Cada paso que se realiza para resolver una ecuación la transforma en otra
más simple. Se forman así ecuaciones equivalentes la última de las cuales
es la solución.
• Llamamos ecuaciones equivalentes a un conjunto de ecuaciones que
tienen exactamente las mismas soluciones.
• Para transformar una ecuación dada en otra equivalente se puede:
o Sumar o restar la misma expresión en ambos lados de la ecuación.
o Multiplicar o dividir ambos miembros de la ecuación por un número
distinto de cero

Ejemplo 2. Resolver 3(x – 1) = -x + 1

Solución.
3(x – 1) = -x + 1

3x – 3 = -x + 1
Distribuyendo en el primer miembro.
3x – 3 + 3 = - x + 1 + 3 Sumando miembro a miembro 3
3x = -x + 4 Resolviendo operaciones
3x + x = -x + 4 +x Sumando miembro a miembro x
4x = 4 Resolviendo operaciones
x=4:4 Dividiendo miembro a miembro por 4.

x=1

Para asegurarnos que x = 1 es solución de la ecuación 3(x – 1) = -x + 1
reemplazamos:

3(1- 1) = -1 + 1  3. 0 = 0  0 = 0

Podemos afirmar que la solución es x = 1 pues al reemplazar en la ecuación
dada se verifica la igualdad:
Escribimos el conjunto solución de esta manera:
S = {1}

x 1 x
Ejemplo 3. Hallar el conjunto de soluciones de    x-1
x 
2 3 2
Solución
x 1 x
    x -1
x 
2 3  2
x x x
  x  1 Se resuelve el paréntesis y se lo elimina.
2 3 6
3 x 2 x x
x - 1 Se reduce a común denominador.
6
4x
x - 1 Resolviendo la suma
6



Matemática

4x
 ( x  ) 
6 1 6 Multiplicando miembro a miembro por 6.
6
4x = 6x – 6 Resolviendo las operaciones
4x – 6x = 6x – 6 – 6x Sumando miembro a miembro 6x
-2x = -6 Resolviendo las operaciones
-2x : -2 = -6 : -2 Dividiendo por –2
x=3

Debemos asegurarnos que x = 3 es solución. Reemplazamos en la ecuación dada.

3 1 3
   3 -1
3 
2 3 2
3 1
  2
1
2 2
1 1 2
Luego es: S = {3}

Ejemplo 4. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) 4x – 1 = -2( 1 –2x)
b) 3x – 2 = 2(x - 1) + x

Solución a)
4x – 1 = -2( 1 –2x)
4x – 1 = -2 + 4x Distribuyendo.
4x – 1 – 4x = -2 + 4x – 4x Sumando el opuesto de 4x.
-1 = -2 Resolviendo las operaciones.

Al resolver las operaciones se llega a un absurdo. Así se concluye que la ecuación
planteada no tiene solución
Se dice que el conjunto solución es vacío y se escribe S = 

Solución b)
3x – 2 = 2(x -1) +x
3x –2 = 2x -2 + x Distribuyendo
3x –2 = 3x -2 Asociando y resolviendo las operaciones.
3x – 3x = -2 + 2 Agrupando los términos en x en un
miembro y los números en el otro

0=0

En este caso, al resolver las operaciones se llega a una igualdad.
Esto significa que la ecuación planteada se verifica para cualquier número real.
Esto es, tiene infinitas soluciones.
Por ejemplo x = 1 satisface la ecuación, pues al reemplazar en la ecuación dada es:
3.1 –2 = 2 (1 – 1) +1  1 = 0 + 1 = 1
Y también x = 0 satisface la ecuación, pues


Matemática

3.0 – 2 = 2 (0-1) + 0 -2 = 2.(-1) = -2
El conjunto solución es el de los números reales.
Lo expresamos: S = 

Revisando los resultados de cada una de las ecuaciones planteadas, se observa
que una ecuación lineal de primer grado con una incógnita puede:
 tener una solución,
 no tener solución,
 tener infinitas soluciones.

Ecuaciones y En muchas ocasiones para resolver situaciones problemáticas enunciadas en
resolución de lenguaje corriente o coloquial es necesario traducir las condiciones del problema a un
problemas lenguaje simbólico apropiado para su resolución. Es decir, plantear una ecuación que
exprese en símbolos matemáticos una condición planteada con palabras. Para ello
es necesario tener en cuenta los siguientes pasos.

• Leer comprensivamente el enunciado.
• Identificar la(s) incógnita(s)
• Traducir al lenguaje simbólico
• Expresar mediante una ecuación las condiciones que deben cumplir las
incógnitas.
• Resolver la ecuación.
• Analizar si la solución hallada responde a las condiciones del problema.

Ejemplo 1.

Si a un número se lo multiplica por 8 el resultado es el mismo número aumentado en
21. Encontrar dicho número.

Solución.

• La incógnita es un número real  x
• Traducir al lenguaje simbólico:
o a un número se lo multiplica por 8  8. x
o el mismo número aumentado en 21  x + 21
• Expresión de la ecuación  8x = x + 21
• Resolución de la ecuación:
8x – x = 21 Restando miembro a miembro x.
7x = 21 Resolviendo la resta
x=3 Dividiendo miembro a miembro
por 7
• Verificar si la solución planteada responde a las condiciones del problema.
8. 3 = 24 = 3 + 21
Como se cumplen las condiciones, el número buscado es x = 3.



Matemática

Ejemplo 2.

La suma de dos números naturales consecutivos es igual al triple del primero más
dos. ¿Cuáles son estos números?
Solución
• Las incógnitas son dos números naturales consecutivos  n y n +1
• Traducimos al lenguaje simbólico:
o La suma de esos números  n + (n +1)
o El triple del primero más dos  3n + 2
• Planteamos la ecuación  n + (n +1) = 3n + 2 (*)
• Resolvemos

Sumando los términos en n del primer miembro de la igualdad es:

2n + 1 = 3n + 2

Agrupando los términos en n en el primer miembro y los números en otro:

2n – 3n = 2 – 1

-n = 1

dividiendo miembro a miembro por –1 (ya que – n = (1) .n): n = -1

• Analizamos la solución hallada.

Si bien el valor de n hallado resuelve la ecuación planteada en (*) no
resuelve el problema ya que el número buscado es un número natural y –1
no lo es.

Luego el problema no tiene solución.

Ejemplo 3.
De su viaje de turismo aventura, Miguel cuenta que la mitad de los días anduvo por
tierra. Después de descansar 3 días reinició la travesía en un bote, allí empleó la
quinta parte del tiempo total. Esta vez necesitó descansar 4 días para emprender el
ascenso a una montaña que sólo le llevó la octava parte del tiempo total ¿Cuántos
días duró el viaje?
Solución
Llamando d a la cantidad de días que duró el viaje, planteamos:
d d d
3  4  d
2 5 8
donde:
d
• 3 es la cantidad de días que anduvo por tierra y lo que descansó;
2
d
• 4 es la cantidad de días que usó en la travesía en bote y lo que
5
descansó.
d
• cantidad de días que le llevó el ascenso a la montaña.
8



Matemática

Al agrupar los términos en d en un miembro de la ecuación y los números en otro,
resulta
d d d
  - d  4 -3
-
2 5 8

20d 8d 5 d 40 d
Reduciendo a común denominador 7
40

Operando y multiplicando miembro a miembro por 40:
20d + 8d + 5d –40d = -7 . 40
-7d = -280
Dividiendo miembro a miembro por –7 y operando d = 40.

Entonces el viaje duró 40 días.

Comprobación
40 40 40
3  4  20 3 8 4 5 40 d
2 5 8

Ejemplo 4.
Resolver en  dando las condiciones de posibilidad.
2 1 3
 
x x
1 1 2x - 2

Solución
Los denominadores contienen expresiones racionales. Se anulan para x = -1 y
x = 1.
Luego la igualdad anterior está definida para x 1 y x -1.

Para resolver consideramos el denominador común que es 2 (x-1) (x+1). La
expresión dada resulta:

2 ( x  )   (x - 1)
1 2 2 3 (x  1)

2  - 1) (x 
(x 1) 2  - 1) (x 
(x 1)

Cancelando denominadores, ya que son distintos de cero, y operando es:
4x + 4 + 2x – 2 = 3x + 3
6x + 2 = 3x + 3
6x – 3x = 3 - 2
3x = 1
1
De donde x  que podemos pensar que es solución ya que cumple la
3
condición de ser distinto de 1 y –1.

Verifique que lo es.


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Matemática

Inecuaciones

Inecuaciones de Expresiones como: “peso máximo 225 kg”, “velocidad mínima 40 km/h”, “lo esperé
primer grado en más de 15 minutos” son habituales en la vida cotidiana.
una variable
Para traducir al lenguaje matemático cualquiera de estas relaciones se hace uso de
desigualdades.
 peso (p) máximo 225 kg  p 225
 velocidad (v) mínima 40 km/h  v 40
 esperé (e) más de 15 minutos  e > 15

Las relaciones algebraicas que se expresan mediante desigualdades reciben el
nombre de inecuaciones.

En la inecuación p 225, cualquier número que cumpla con las condiciones de la
inecuación será solución de la misma.
 p = 200 es solución de p 225 pues 200 225
 p = 225 también es solución de p 225 pues 225 = 225
 También son soluciones p = 100: p = 55, 5 p = 0.
 Pero no lo es p = 300 pues no cumple la relación de menor o igual y tampoco
lo es p = -15 pues no tiene sentido un peso negativo (debe ser p 0)
 En este ejemplo, los números reales que verifican la desigualdad deben ser
mayores o iguales que cero (pues el peso no puede tomar valores negativos)
y menores o iguales que 225, que es la condición inicial de la relación.

Gráficamente, el conjunto solución es el segmento con extremos en 0 y 225.
Todos los puntos del segmento satisfacen la desigualdad.

0 225

Los círculos rellenos en los extremos del segmento indican que 0 y 225 son
solución de la ecuación, esto es pertenecen a su conjunto solución.

Se puede expresar el conjunto de soluciones S como S = {x / 0 x 225}.


En algunos casos como el del ejemplo, es relativamente fácil, hallar su conjunto
solución.
Pero generalmente para resolver una inecuación es preciso transformarla en otras
equivalentes.

Resolución de En las transformaciones es necesario recordar que:
inecuaciones Las siguientes operaciones no cambian el sentido de la desigualdad:
 Sumar o restar un número a ambos miembros de la desigualdad.
 Multiplicar (o dividir) por un número mayor que cero
Pero cambia el sentido de la desigualdad:
 Multiplicar (o dividir) por un número menor que cero.
3 > 1 pero 3 (-2) < 1 (-2) ya que – 6 < -2

UBA XXI – MÁTEMATICA - INECUACIONES 1

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Matemática

Ejemplos En los siguientes ejemplos, se encuentra en forma analítica y gráfica el conjunto de
soluciones de las inecuaciones propuestas.

Ejemplo 1. Resolver x – 3 > 7
Solución.

x– 3 > 7
x -3 + 3 > 7 + 3 Sumando a ambos miembros 3.
x > 10

Los números reales que verifican la desigualdad son todos aquellos mayores
que 10.

Gráficamente, las soluciones quedan expresadas así.(el círculo vacío significa que se
excluye el número)


Luego S = {x / x> 10}

Ejemplo 2. Resolver 3.(1-x) -2 – x
Solución.

3.1 –3x -2 - x Distribuyendo
3 –3x -2-x
3 – 3x +x -2-x +x Sumando x a ambos miembros
3 – 2x -2
-3 + 3 –2x -2 -3 Restando 3 a ambos miembros
–2x  – 5
(-1/2) (-2x) (-1/2)(-5) (Multiplicando 7ambos miembros por –1/2<0, cambia
el sentido de la desigualdad)
x 5/2

Son solución de la inecuación todos los números reales mayores o iguales
que 5/2:

S = {x / x 5/2}

Gráficamente,

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Matemática

Ejemplo 3. Un problema
Para dibujar un rectángulo, los lados de un cuadrado se
aumentaron 2 cm y 5 cm como se muestra en la figura.
Si el perímetro del rectángulo resultante es menor que 39 cm
a) ¿Cuáles son las posibles dimensiones del cuadrado original?
b) Verificar que s = 3 es una solución.
2
c) ¿Qué valores toma s si la longitud del lado del cuadrado es un número entero?

Solución

a) Llamando s al lado del cuadrado, los lados s+5
del rectángulo son:
s
 s + 5 (uno de los lados del s +2
cuadrado aumentado en 5
cm)
 s + 2 (otro de los lados aumentado en 2 cm)

Entonces el perímetro del rectángulo es
p = 2[(s+2)+(s+5)] = 4s +14

Resolviendo las operaciones la inecuación que expresa que “el perímetro del
rectángulo es menor que 39 cm” es

4s + 14 < 39.

Buscamos sus soluciones:
4s + 14 < 39
4s + 14 – 14 < 39 – 14 Restando 14 a ambos miembros.
4s < 25
4s : 4 < 25 : 4 Dividiendo por 4>0 a ambos miembros se
conserva la desigualdad.
s < 25/4


Luego es solución de la inecuación el conjunto S = {x / x < 25/4}
Pero, se tiene una restricción: la longitud “s” del lado del cuadrado debe ser
mayor que cero. Entonces los “s” que responden al problema deben ser
mayores que 0 y menores que 8, esto es:
0< s < 25/4

b) s = 3 pertenece al conjunto solución ya que es 0< 3 < 25
2 2 4
c) Si la longitud del lado son números enteros, los posibles valores que puede
tomar son 1; 2; 3; 4; 5 ó 6..

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Matemática

Para recordar Las soluciones de una inecuación son de la forma
x<a x a x>a x a

y sus representaciones en la recta son respectivamente

O bien

El corchete o punto lleno indica que a pertenece al conjunto solución, mientras
que el paréntesis o punto vacío indica que a no pertenece al conjunto solución.

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Matemática

LOS NÚMEROS REALES 1

Números Naturales

Los números que habitualmente usamos para contar la cantidad de elementos de una colección u
ordenar los elementos de una lista constituyen el conjunto de los números naturales, simbolizado por N.
N = {1, 2, 3, 4, ...}

 N es un conjunto infinito.
 El primer elemento de N es el 1.

 Cada número natural tiene un sucesor o siguiente.

 Un número natural y su siguiente se denominan consecutivos.

N0 denota el conjunto de los números naturales al que se le agrega el cero.

N0 = {0, 1, 2, 3, 4, ...} = N  {0}

 N0 es un conjunto infinito.

 El primer elemento de N 0 es el 0.

Al representar en la recta numérica al conjunto N0:

se observa que
 Entre un número de N0 y su siguiente no hay otro número natural.
 Los conjuntos de números que tienen esta propiedad se llaman discretos.

Números Enteros

Los números naturales, los enteros negativos y el cero constituyen el conjunto de los números enteros
que simbolizamos con la letra Z.
Z = N {0}  {..., -3, -2, -1} = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 , ....}

En la recta numérica los enteros negativos se ubican a la izquierda del cero:

Se observa que cada número negativo es simétrico respecto del cero de un número natural.
Por ejemplo 2 y -2 son simétricos respecto del cero.

1
Elizondo, Giuggiolini; Módulo 1 , Números y operaciones, UBA XXI, Articulación, 2007

UBA XXI – MÁTEMATICA - NÚMEROS REALES
1


Matemática

Se dice que -2 es el opuesto de 2 y que 2 es el opuesto de -2.

Conviene recordar que:

 opuesto de un número a lo simbolizamos –a
El  Si a = 2 el opuesto de a es –a = 2
 a es un número entero, su opuesto –a es un
Si  Si a = -2 el opuesto de a es –a = -(-2) = 2
número entero.
 opuesto de 0 es 0.
El La expresión –a no significa que el número
sea negativo. Sólo indica el opuesto de a.
 a es el opuesto de b, b es el opuesto de a
Si
-2 es un número entero. Su opuesto –(-2) = 2
es también un número entero

Y también

 es un conjunto infinito
Z  N es un conjunto discreto
Cada número entero es el siguiente de otro.  El conjunto de los números naturales es un
subconjunto de los enteros: N Z
Entre un número entero y el siguiente no hay
otro número entero.  A los números naturales también se los
+
llama enteros positivos: N = Z .
Por poseer esta propiedad se dice que el
conjunto de los enteros es un conjunto
discreto.
(El símbolo significa incluido)

Números Racionales

Un sistema más amplio de números lo constituye el de los números racionales (Q)

Los números racionales son aquellos que se expresan como cociente de dos números enteros, donde el
p
divisor es distinto de cero (es decir, con p y q enteros, q 0).
q
Cada número entero a puede representarse
como un número racional en la forma
a (por
1
2 Entre dos números racionales siempre hay otro
ejemplo, 2  ). número racional.
1

Todo número entero es racional:
Por ello se dice que los números racionales
Z Q
forman un conjunto denso.
Además N Z Q

UBA XXI – MÁTEMATICA - NÚMEROS REALES 2


Matemática

a m
a
 Cualquiera que sea el número entero m  0 las expresiones y son equivalentes y
b m
b
representan el mismo número racional.

3 6 9 12
; ; ; son fracciones equivalentes y representan el mismo número racional.
5 10 15 20

 De todas las fracciones equivalentes que representan el mismo número racional existe sólo una
cuyo numerador y denominador son números primos entre sí. Estas fracciones se denominan
irreducibles.

3
es una fracción irreducible
5

 Simplificar una fracción es hallar una fracción irreducible equivalente a ella.

Para comparar fracciones:
10 -1
 Una fracción positiva es siempre mayor que una negativa. Por ejemplo: 
3 5
 Si las fracciones tienen el mismo denominador, es mayor la que tiene mayor numerador. Por
3 1 -1 -3
ejemplo:  ; 
5 5 2 2
 Si las fracciones tienen distinto denominador, conviene expresarlas en fracciones equivalentes a las que
3 1
se quiere comparar y que tengan el mismo denominador. Por ejemplo para comparar y podemos
4 7
3 21 1 4 3 1
escribirlas en forma equivalente  y  entonces 
4 28 7 28 4 7

Expresión fraccionaria y decimal de los números racionales

Todo número racional puede expresarse en forma de fracción o en forma decimal.

 Para obtener la expresión decimal de un número racional expresado en forma fraccionaria se divide el
numerador por el denominador.
Al hacerlo puede suceder:
 El cociente es un número decimal exacto porque después de
2 22
varios pasos el resto de la división es cero.  ;
0,4 5,5
Decimos que es una expresión decimal finita. 5 4

 Que luego de un número de pasos los restos comiencen
a repetirse y también las cifras del cociente se repiten. 5
1,66666... 6
1,
Se trata de expresiones decimales periódicas. 3
7
Al número o bloque de números que se repite se lo llama 0,636363...  63
0,
11
período.
5
0,277777...  7
0,2
18



Matemática

Los decimales exactos y periódicos pueden expresarse en forma de fracción.

 Si la expresión decimal es finita, escribimos la parte decimal como suma de fracciones decimales:

5 1 2 3512
3,512  
3   
10 100 1000 1000

 Si la expresión decimal es periódica:

ˆ
1. Expresión de a = 0,5 como una fracción
ˆ ˆ
Si a = 0,5 , multiplicando por 10 a ambos miembros obtenemos 10 = 5,5 .
a
Restando ambas igualdades (la segunda a la primera), resulta 9 = 5 ; con lo que a = 5
a
9
ˆ
2. Expresión de b = 0,32 como fracción
ˆ
Si b = = 0,32
ˆ
Multiplicando por 100 ambos miembros obtenemos: 100 = 32,2 (1)
b
b ˆ
Si a la misma igualdad la multiplicamos por 10 es 10 = 3,2 (2)
Restando (1) y (2) se tiene que 100 – 10 b = 29.
b
De donde: 90 = 29
b
Así b 29
90

Operaciones con números racionales

Adición de fracciones

 Si los denominadores son iguales se suman los numeradores
Ejemplos
a c a 1 4 1 4 5
 
c 1.   
b b b 3 3 3 3

 Si los numeradores no son iguales, se sustituyen las
2. 2 3 8 15
  
fracciones por otras equivalentes que tengan el mismo
5 4 20 20
denominador.
8 15
m m 
a c 20
a c b
  d 23
b d m m 
20
donde m es el mínimo común múltiplo entre b y d



Matemática

Multiplicación y división de fracciones
Ejemplos
 Para multiplicar dos fracciones se multiplican los
numeradores entre sí y los denominadores entre sí. 7 -1 7 
(-1) -7
1.   
3 2 3.2 6
a c a
c

b d b
d 2. 1 3 1 5
:   
5
4 5 4 3 12
 Para dividir una fracción por otra distinta de cero, se
5 es el inverso multiplicativo de 3
multiplica la primera por el inverso multiplicativo de la
3 5
segunda.
3. 3 3 -1 -3
: (-2)   
Si c0 a c a 1 a d a
d 5 5 2 10
:    
b d b c b c b
c
d

Los números reales

Entre los números conocidos, existen aquellos que no pueden escribirse como el cociente entre dos números
enteros. Son los llamados números irracionales ( I)

Los números irracionales (I), junto con los números racionales (Q) forman el conjunto de los números reales
().
 = I Q

Además
= I Q

Son números irracionales:  Estos números no pueden expresarse como
0, 01001000100001... cociente de dos números enteros.
0,123456789101112...
 Los números irracionales tienen un desarrollo
2 14142135623...
, decimal infinito no periódico.
 ,1415926535...
3
e 2,718281 ...

Operaciones en los reales. Propiedades

En el conjunto de los números reales están definidas dos operaciones:
Adición y multiplicación.

 Por adición entendemos que a todo par de números reales a, b se le asigna un número real
llamado la suma de a con b que indicamos a + b.

 Por multiplicación entendemos que a todo par de números reales a, b se le asigna un número real
llamado producto de a con b que indicamos a b.



Matemática

Propiedades de la adición Propiedades de la multiplicación

Cualesquiera sean los números reales a, b y c se Cualesquiera sean los números reales a, b y c se
verifica: verifica:
 La adición es conmutativa:  La multiplicación es conmutativa:
a+b=b+a a =b
b a
 La adición es asociativa:  La multiplicación es asociativa:
( a + b) + c = a + (b + c) ( a   = a b 
b) c ( c)
 a+0 = 0 + a =a  a  = 1 . a =a
1
(0 es el elemento neutro para la adición) (1 es el elemento neutro para el producto)
-1
 a + (-a) = (-a) + a = 0  a  = 1 (si a 1)
a
-1
(-a es el inverso aditivo de a) (a es el inverso multiplicativo de a)

La propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición, vincula ambas operaciones:

 Cualesquiera sean los números reales a, b y c vale que a . (b + c) = a . b + a . c

Observación

 En el conjunto de los números naturales no se verifican las propiedades de neutro e inverso aditivo
para la adición, ni la de inverso multiplicativo.
 En el conjunto de los números enteros, no se verifica la propiedad de inverso multiplicativo

Otras propiedades importantes

 El opuesto de la suma es la suma de los opuestos:
- (a + b) = - a + (- b )
 El producto de cualquier número real por (-1) es igual al opuesto del número real:
a(-1) = (-1)  = (-a)
a
 El producto de un número real por cero es cero:
a  = 0 =0
0 a
 Si a  = 0 entonces a = 0 ó b = 0
b
 Ley cancelativa:
o de la suma: Si a + c = b + c entonces a = b
o del producto: Si a  = b  y c 0 entonces a = b
c c

Recordamos que:
 Restar dos números reales a y b significa sumar a con el opuesto de b.

a – b = a + (- b )

 Dividir dos números reales a y b (con b0) significa multiplicar a por el inverso multiplicativo
de b
-1
a:b=a.b


Matemática

Orden en 

En  consideramos la relación “menor que”, que denotamos “<” que satisface las siguientes propiedades:

1. Tricotomía. Si a y b son dos números reales, vale una y sólo una de las siguientes
posibilidades:
ab

2. Transitividad: a 0 a < b
c c

También escribiremos:

 a > b para indicar que a es mayor que b.
 a b ó a = b
a
 a b para indicar que a es mayor o igual que b.  b sí y solo sí a 0
2. a b 
c c
4. a >0 a<0 y b<0 ó a>0 y b>0
b
5. a <0 a<0 y b>0 ó a>0 y b<0
b
6. a>b  a –b>0

Los números reales y la recta real

Los números reales se pueden ubicar sobre la recta: a cada punto de la recta le corresponde
un único número real y a cada número real un único punto en la recta.

Consideremos una recta, donde se fija un origen y la unidad de
longitud.

Cada número positivo está representado por un punto situado a
la derecha del origen, y cada número negativo a la izquierda del
mismo.

Para ubicar los números enteros dibujamos consecutivamente
sobre la recta el segmento unidad.
-3 -2 -1 0 1 2 3

Matemática

1
Para ubicar los números racionales de la forma ; q  0 dividimos el segmento de extremos 0 y 1 en q
q
partes iguales.

Por ejemplo, para q = 5
A partir de 0 dibujamos una semirrecta que forme
un ángulo agudo con el segmento unidad y sobre
ella marcamos 5 segmentos de igual longitud. El
último extremo (E) se une con 1 y se trazan
paralelas por A, B, C y D, dividiendo al segmento
unidad en 5 partes iguales. Cada segmento en que
queda dividido el segmento unidad representa 1
5
del mismo.

En forma análoga procedemos para los
p Ejemplo: representación de 3
números racionales de la forma con 5
q
q 0 y menores que la unidad (p < q).

Es suficiente tomar a partir del origen p
1
segmentos de longitud .
q 3
5

Algunos números irracionales, pueden
ubicarse en la recta numérica mediante Representación geométrica de algunos irracionales de la
construcciones geométricas.
forma n (siendo n un entero positivo).
La posibilidad de hacerlo permite ver que
los puntos que han ocupado estaban vacíos
de números racionales. Algunos de los
infinitos huecos que dejan entre sí los 2
números racionales son ocupados por ellos.

Otros números irracionales no pueden
ubicarse en la recta mediante
construcciones geométricas. 2 3 5 6
3
Por ejemplo:  e;
; 2.
En cada caso se aplica el teorema de Pitágoras a un triángulo
rectángulo de catetos 1 y raíz cuadrada del número natural
anterior. Por ejemplo: 3 1  2  1 2
2

En general para representar los números irracionales en la recta numérica usamos una aproximación
decimal de los mismos. Por ejemplo:

  3,14 representa una aproximación del número irracional .
 3 2 1, 25 representa una aproximación del número irracional 3 2.
 4,41 representa una aproximación del número irracional 3 + 2 .
3
 1- 5 -0,71 representa una aproximación del número irracional 1 - 3 5


Matemática

Su representación aproximada es:

1- 35 0 3
2  3+ 2

Conviene recordar
 Cualquier segmento sobre la recta por pequeño que sea contiene infinitos puntos racionales
(densidad de Q) y a pesar de ello contienen otros puntos, también infinitos: los números irracionales
(I).
 Ambos conjuntos: los irracionales (I) junto con los racionales (Q), forman el conjunto de los números
reales  (es decir, tanto los racionales como los irracionales son números reales).
 Los números reales llenan por completo la recta (por eso se la llama recta real).
 Esta propiedad de los números reales se conoce como propiedad de completitud de los números
reales.

Otras operaciones en 

Potenciación y radicación de números reales.

Definición
Si a es un número real cualquiera, y n es un entero positivo entonces la potencia enésima de a es:
a n  a    
   
a a  a
n factores
n
 a es la potencia enésima de a
an exponente
 a se denomina base
 n es el exponente base

Recordamos que: Ejemplos:
1
a = 1 para a 0 5 
0
 1
5
1
 a =a 1 1
3- 2  
32 9
1
 Si n es un entero positivo y a 0, entonces a  
n
1
an  
3
  
1

5
1  
5  
3 3

a 1 b  
 En particular:      
5
b a a
b 
2 2

3 
4 42 16
     2 

4 
3 3 9



Matemática

Propiedades de la potenciación
Si a y b son números reales y además n y m enteros valen las siguientes:

Propiedades
(en algunos casos a 0 y b 0) Ejemplos

1 . am n a mn
a Producto de potencias de igual base (-3) 2  3  2 3  5  243
(-3) (-3) (-3) -
am
a
m -n
2. Cociente de potencias de igual base 35
3  9
5- 2 2
a
n
2
3
3
3. (am ) n a m 
n
Potencia de potencia  (- 5)
(-5) 2 3 6
15.625
4 . (a  
b) a m m

b m
Potencia de un producto   
(-2 4 (-2)
3 3
4 (  )  
3
8 64 512
n 3
  an
a   23
2 8
5.    Potencia del cociente   3 
 b  3
b n 3 27
n 2 2
  4
2
  bn
a 5 4 16
6.    n si a 0      2 
 a
b 
4  5
5 25

Exponente fraccionario.

1
La expresión a n , con n entero mayor que 1, recibe el nombre de raíz n-ésima de a

1 1
Así: a2 es la raíz cuadrada de a y a3 es la raíz cúbica de a.
1 Índice de la
n
La expresión a n se representa también mediante n
a. raíz a Radicando

Recordamos que:

 Si n es par, a debe ser mayor o igual que cero.
 Si n es impar, a puede tomar cualquier valor real, positivo, nulo o negativo.

Definición:
Si a0 es un número real llamamos raíz cuadrada de a y lo simbolizamos a al único número real b 0
2
tal que b = a.
Es decir que:
a = b si y sólo si b 0 y b = a
2

Proposición: Si a es un número real cualquiera a 2 | a |



Matemática

Definición.
 Si m y n son números naturales

m 1 1
m. n
an a n (a m )n  am

Propiedades

Si a es un número real y a > 0 valen las siguientes propiedades:
p m p
m
n q
1. a n  q
a a Producto de potencias de igual base

p mp
m
q n
2. ( an ) a q
Potencia de potencia

m m m
3 . (a  ) n  n  n
b a b Distributividad respecto a la multiplicación.

Ejemplos: Calcular aplicando propiedades

1. 3
16 16
6 Solución:
Usando la notación de exponente fraccionario y propiedades de la
potenciación escribimos:
1 1
3
16 16  3  6
6
16 16
1 1
 3
16 6

1
 2
16
 16 4

216 Solución:
2. 4
625 Por propiedad 3 escribimos:
4
216 216 4
4  
625 4 625 5

3
3. ( 6 )
5 Solución:
Usando la definición de exponente fraccionario y operando:
5
1 

(3 6 )5  6 3 
 
 
1
5 5
 3
6 6 3

4. ( ) 2
16 Solución :

a. Aplicando la propiedad a2 | a | , es: ( ) 2  -16 | 
16 | 16

b. También podemos resolverlo así: ( ) 2  256 
16 16



Matemática

Supresión de raíces en el denominador

Expresiones como: 1 1 1 4
; ; ;
2 3 16 3- 5 6 3

que contienen raíces en el denominador, pueden escribirse en forma equivalente de modo que la nueva
expresión no contenga raíces en el denominador. Vemos algunos ejemplos.

1 2
Ejemplo 1. Ejemplo 2.
5
2 23
Multiplicando numerador y denominador por Multiplicando numerador y denominador por
2 y aplicando propiedades de la potenciación 5 2 3 2 5
2 (ya que 2  = 2 ) y aplicando
2
es:
propiedades de la potenciación es:
1 1 2 2 2
  
2  2 2 2 2 2 2
5 5
2  2 2
2 2
2  
5
23 5
2 3 2 2
5 5 5
2
2  22
5
5
  22
2

n
En ambos ejemplos en el denominador se tiene una expresión del tipo a m . Se busca multiplicar
n p
numerador y denominador por otra expresión con el mismo índice, a , y tal que el producto de sus
m p n
bases a y a sea una potencia de a .

Ejemplo 3. 4
1 5

El denominador es en este caso una diferencia entre dos números. Multiplicando numerador y denominador
por la suma de ellos, y operando es:

4 4   5)
(1

1 5 (1  5 )   5 )
(1
4   5)
(1

1 - ( 5 )2
2

4   5)
(1
  (1  5 )
-
4
Cuando el denominador es la suma o diferencia de dos números, en donde uno de ellos o ambos es un
irracional cuadrático, se multiplica el numerador y el denominador por la diferencia de los términos del
denominador, en el caso de una suma, o por la suma en el caso de una diferencia.

Así el denominador queda expresado en la forma:

(a + b)(a – b) = a 2 – b 2



Matemática

PRACTICO 0. P RACTICO DE REVISION

1. Resolvé los cálculos
a. 5 - (-2) + (- 8) : (-4) –5
b. 7 – (-3) –(- 8) : (- 8) + (-3) : (-1)
c. 6: (-2) + (-7) – (-15) : (-3)  Podés consultar
d. 42 : 2 – 1 - 82 :2 – 1 cualquier texto de la
2 2 5 escuela secundaria
e. 2 –4 :8+2
(1,2  ,8 )2
1 6
f. -
15
, (1,5 - 0,3) 2  ,24
0
2
3  1 
2

g.    
1
4  3 

 
2   
1  1  5
h.     4   
1 :  :
3  2 
  3  6

2. Sustituí cada línea por un número de modo tal de convertir en verdaderas las siguientes
expresiones.

3 5
a. ___ 0 b. - - ___ 0 c. - 1,6 ___ - 1,6 d. 5 (-5) ___
4 6

4 4 2 3
e. - ___  f. ___  1 g. - 5 ___ 0 h. 1 :___ -
3 3 9 2

1 1
3. Dadas las fracciones y , escribí, si es posible, entre ellas:
7 5
a. Dos fracciones.
b. Una fracción con denominador 20.
c. Todas las fracciones con denominador 70.

6 1
4. a. ¿Es posible hallar un número racional con denominador 4 que se encuentre entre - y - ?
5 2
¿Es único?
5
b. Encontrá una fracción equivalente a con denominador igual a una potencia de 10. ¿Cuántas
8
pueden escribirse? ¿Por qué?
2 3
c. Escribí si es posible dos números entre y .
7 7

5. a. ¿Cuántos números con dos cifras decimales hay entre 3,5 y 3,6?
b. ¿Y con más de dos cifras decimales?

Practico 0 – Revisión 1

Matemática

c. Encontrá si es posible, un número decimal a de manera que el número a + 0,0001 esté entre
3,5 y 3,6.

3
6. a. Buscá tres pares de números racionales a y b tal que su producto sea .
10
3
b. Encontrá una multiplicación que tenga como uno de sus factores a y que dé como resultado 5.
7

7. De dos números p y q se sabe que:
 p está entre 13 y 14
 q está entre 8 y 9

¿Entre qué valores se encuentran los siguientes resultados?:
a. p + q b. p q c. p : q d. (p + q): (p - q)

8. Completá con “>”, “=” ó “<” según corresponda.

1 6
a. 0,33___ b. 0,6 ___
3 10
1  2
c. ___ 0,142 d. 0,13 ___
7 15
1 1 1
e. Como - 2 0 y 0 entonces - 2  ___ 0 
4 4 4
5 7 5 7
f. Como  y - 1 0 entonces ) ___ )
( 1 ( 1
2 3 2 3

9. a. Escribí en forma decimal y fraccionaria:
5 décimos = ___ 123 centésimos = ___ 5 centésimos = ___ 82 milésimos= ___
b. ¿De qué número es 200 la quinta parte?
c. ¿De qué número es 850 el 52%?

10. Hallá el valor de las siguientes expresiones; sabiendo que m = - 2 y n = 5.
1 m 1 m n
a. ( 3m ) 2 n 2 b. ( 3m  ) 2
n c. m d. e.
n n m

11. Para cada una de las operaciones de la COLUMNA 1, colocá en el casillero la letra que
corresponde a su resultado tomado de la COLUMNA 2.
Cada una de esas letras puede ser utilizada una vez, más de una vez o ninguna vez.


Matemática

COLUMNA 1 COLUMNA 2
3 1 13
 a.
5 4 30
3 1 2 25
  b.
5 4 3 9
2
 2
 
1 c. 1
 3
25 7
d.
9 30
1 1 7
1  e.
2 2 20
2 2
   4
5
   
 f. Un número distinto
   3
3 de los anteriores

30
1
23
g. No tiene resultado
30

23

12. Resolvé explicitando las propiedades utilizadas (con x ≠0).

2 3 2 3
a. -x ·x e. (-x) ·x
5 -1 -3 4
b. x : x f. x : x
2
c. (x – 3y) (x + 3y) g. (x+2)

2 -2 x3  5
x 2 x
d. [(3x) ] h.
x4 
x 3

13. Calculá las siguientes potencias.

3 0
 2 
1

a.   b.   c. 2 -2 d. (-3) 2 e. (-3) -2
 5 
5
3

3
f. - 125 g. (-1) 25 h. 10 5 i.   j. (0,1) - 2

2


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