Este documento presenta la teoría de la distribución binomial negativa y la distribución de Polya-Eggenberger en 3 oraciones o menos. Expone los objetivos de analizar los teoremas relacionados con la distribución binomial negativa y explicar las características de la distribución de Polya-Eggenberger. Luego describe la distribución de Polya-Eggenberger usando el experimento de la urna de Polya y establece una fórmula recurrente para calcular la probabilidad de la variable aleatoria con esta distribución.

1. Objetivos
La distribución binomial negativa
Distribución de Polya-Eggenberger
Distribución binomial negativa y Polya-Eggenberger
Lorena Rojas
Pedro Sandoval
Jeisson Lombana
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
.

2. Objetivos Objetivo General
La distribución binomial negativa Objetivos Especicos
Distribución de Polya-Eggenberger
Objetivo General
Exponer la teoría y los conceptos que se involucran en la
distribución y binomial negativa y de Polya-Eggenberger
.

3. Objetivos Objetivo General
La distribución binomial negativa Objetivos Especicos
Distribución de Polya-Eggenberger
Objetivos Especicos.
Analizar los diversos teoremas relacionados de la distribución
binomial negativa
Dar explicación a las caracteristícas fundamentales de la
distribución Polya-Eggenberger
.

4. Objetivos
La distribución binomial negativa
Distribución de Polya-Eggenberger
Propiedades
Una de las caracteristícas mas importantes de esta distribución es
que se encarga de generalizar en cierto sentido la distribución
geométrica al analizar los fracasos en los experimentos antes de
llegar al éxito para esto se recurre a lo que sigue:
los primeros k fracasos hasta obtener los m éxitos
Con esto podemos decir que la suma de las diversas variables
aletorias con esa condición, nos conduce a una distribución
binomial de la siguiente forma
P (ym = k ) = P (Sm+k −1 = m − 1)P (Xm+k = 1)
.

5. Objetivos
La distribución binomial negativa
Distribución de Polya-Eggenberger
m + k − 1 m−1 k
= p q p
m−1
m+k −1 m k
= p q
k
−m
= p m (−q )k
k
.

6. Objetivos
La distribución binomial negativa
Distribución de Polya-Eggenberger
Sea:
1− p
P=
p
1
q=
p
La función caracteristíca está dada por
φ (t ) = (Q − Pe it )−r
y la función generadora de momento está dada por:
x +r −1 r
M (t ) = (e tx ) = ∑ e tx p (1 − p )x
∞
x =0 r −1
.

7. Objetivos
La distribución binomial negativa
Distribución de Polya-Eggenberger
−m
∑ e tx k pm (−q )k
∞
=
x =0
−m
= pm (−qe t )x (1−r −x )
∞
∑ k
x =0
= p m (1 − qe t )−r
p r
1 − qe t
.

8. Objetivos
La distribución binomial negativa
Distribución de Polya-Eggenberger
N = N
ahora si se tiene que
n N −n
M (t ) = p r [1 − (1 − p )e t ]−r
M (t ) = p r (1 − p )r [1 − (1 − p )e t ]r −1 e t
M ”(t ) = (1 − p )rp r (1 − e t + pe t )r −2 .(−1 − e t r + e t pr )e t
.

9. Objetivos
La distribución binomial negativa
Distribución de Polya-Eggenberger
Con las respectivas derivadas de la función generadora de
momentos podemos obtener la ezperanza y al varianza al evaluarlas
en 0 por tanto:
rq
µ1 = M (0) =
p
rq
µ2 = M ”(0) = 2
p
.

10. Objetivos
La distribución binomial negativa
Distribución de Polya-Eggenberger
Denición
En los casos anteriores se analizó las distribuciones con la condición
fundamental de que los eventos que ocurrían bajo la variable
aleatoria fueran independientes,en esta distribución esta hipótesis
los experimentos sufren de contagio es decir que un suceso puede
inuir en el siguiente; Para esta recurrimos al experimento conocido
como La urna de Polya
.

11. Objetivos
La distribución binomial negativa
Distribución de Polya-Eggenberger
Urna de Polya
Consideremos una urna que contenga α1 0 bolas de colores i
donde i = 1, 2, ....m sea m nito; Cada vez que se extrae una bola
se mira su color y se introduce de nuevo a la urna con las demás
del mismo color. Asumiendo que −nc ≤ min(α1 , α2 , .....αm ) la
extracción es repetida n veces. Ahora sea v1 = ni el número de
n
n
veces que la bola de color i es escogida en n selecciones; el vector
v n = [v1 , v2 , ......vm ] dada la distribución de Polya-Eggenberger la
n n n
n
probabilidad P (v , q , c ) está dada por:
n! ∏m 1 αi (αi + c )....(αi + (ni − 1))c
i=
P (v n , q , c ) = m
∏i =1 ni ! N (N + c )....(N + (n − 1)c )
Donde N = ∑m 1 αi
i= el vector q = αi i = 1, 2, ....m
N
.

12. Objetivos
La distribución binomial negativa
Distribución de Polya-Eggenberger
Ahora con la anterior información si el vector q = 1 tenemos que la
anterior probabilidad se simplica a la siguiente forma; pretendiendo
pues, hallar la P (X = r ) sabiendo que para la extracción de bola de
cierto tipo (en este caso la bola color 1) es como sigue
a
primera extracción
N
a +c
Segunda extracción
N +c (pues se habrá reintroducido la bola
anterioirmente extraída supuestamente del tipo 1 con las otras de
su clase por lo tanto el número de bolas en la urna será N +c
siendo de tipo 1 a + c)
a+2c
Tercera extracción
N +2c
.

13. Objetivos
La distribución binomial negativa
Distribución de Polya-Eggenberger
En la r n extracción N+(rr−1))cc
a
+( −1
Supuesto que lo pretendemos hallar, precisamente, la probabilidad
de que en la n extracciones que realicemos sean exactamente r las
bolas del tipo 1 obtenidas , aún habrían de producirse n−r
extracciones más; Para que el suceso mencionado tenga sentido, y
supuesta la extracción de la bola blanca en cada una de las r
extracciones, en las n−r restantes deberá aparecer la bola del tipo
2; Consecuencia de esto la probabilidad de estas n−r extracciones
está dada por:
En la
b
r + 1 extracción N +rc
b c
r + 2 extracción N +(++1)c
En la
r
.

14. Objetivos
La distribución binomial negativa
Distribución de Polya-Eggenberger
En la ns extracción N+(sn−1))cc
b
+( −1
Siendo s = n−r n bolas
el número de bolas del tipo 2 dentro de las
que en el conjunto de las n extracciones aparecerán; así pues la
probabilidad de que en n extracciones habidas aparezcan r bolas
del tipo 1 precisamente en los r primeras y por ello las otras s bolas
del tipo 2 en las s últimas (r + s = n ) será como sigue :
a a + c a + 2c a + (r − 1)c b b+c b + (s − 1)c
. . ....... . . .....
N N + c N + 2c N + (r − 1)c N + rc N + (r + 1)c N + (n − 1)c
.

15. Objetivos
La distribución binomial negativa
Distribución de Polya-Eggenberger
Pero como la extracción de las bolas de la urna no depende del
orden de como se extraigan y además la tasa de contagio es la
misma para todos los casos (ya sea una bola del tipo 1 o del tipo
2), tenemos nalmente:
n a a + c a + 2c a + (r − 1)c b b+c
P (X = r ) = . . ....... . . .
r N N + c N + 2c N + (r − 1)c N + rc N + (r + 1)c
Ahora se requiere simplicar esta expresión, de esta manera
dividimos numerador y denominador por c
a a a b b b
P (X = r ) =
n c ( c + 1)...( c + r − 1) c ( c + 1) ....( c + s − 1)
r N ( N + 1)....( N + r − 1) ( N + r ) ( N + r + 1)...( N + n − 1)
c c c c c c
.

16. Objetivos
La distribución binomial negativa
Distribución de Polya-Eggenberger
Recordemos que:
a a a
( + 1)...( + r − 1) =
c c c
a a a a a
( c + r − 1).....( c + 1) c ( c − 1) ( c − 2)..,3,2,1
a a
( c − 1) ( c − 2)..,3,2,1
=
a
( c + r − 1)!
a
( c − 1)!
.

17. Objetivos
La distribución binomial negativa
Distribución de Polya-Eggenberger
b b b
( + 1)...( + s − 1) =
c c c
( b + s − 1).....( b + 1) b ( b − 1) ( b − 2)..,3,2,1
c c c c c =
( b − 1) ( b − 2)..,3,2,1
c c
( b + s − 1)!
c
( b − 1)!
c
.

18. Objetivos
La distribución binomial negativa
Distribución de Polya-Eggenberger
N N N N N
( + 1)...( + r − 1) ( + r + 1)...( + n − 1) =
c c c c c
( N + n − 1).....( N + r ) ( N + 1) N ( N − 1)..,3,2,1
c c c c c =
( N − 1)..,3,2,1
c
( N + n − 1)!
c
( N − 1)!
c
.

19. Objetivos
La distribución binomial negativa
Distribución de Polya-Eggenberger
Ahora sustituyendo en la expresión original P (X ) = r
n ( c + r − 1)! ( b + s − 1)!
a
c
P (X = r ) = =
r ( c − 1)! ( b − 1)!
a
c
1
( N +n−1)!
c
( N −1)!
c
n = n!
Como
r r ! s! podemos escribir:
( a + r − 1)! ( b + s − 1)!
P (X = r ) = c a c 1
=
r ! ( c − 1)! s ! ( b − 1)!
c
( N +n−1)!
c
n! ( N −1)!
c
.

20. Objetivos
La distribución binomial negativa
Distribución de Polya-Eggenberger
a b
c +r −1 c +s −1
= r s
N +n−1
c
n
Renombrando los términos, llamando la probabilidad inicial de
obtener la bola de tipo 1 como:
a
p=N , para la bola de tipo 2
b
q=N y la tasa de contagio inicial
c
δ = N, podemos hacer estas
igualdades:
p+q = 1
b q
=
c δ
a p
=
c δ
.

21. Objetivos
La distribución binomial negativa
Distribución de Polya-Eggenberger
b q
=
c δ
N 1
=
c δ
Sustituyendo nalmente obtenemos:
p +r −1 q +s −1
P (X = r ) =
δ
r δ
s
1 +n−1
δ
n
.

22. Objetivos
La distribución binomial negativa
Distribución de Polya-Eggenberger
Proposición
Sea X una v.a. con distribución de Polya de parametros p ,δ .
Entonces se verica la siguiente formula recurrente:
p +k −1 s +1
pk = P (X = k ) = δ
q P (X = k − 1 )
k δ +s
donde s = n−k
q +n−1
p0 = P (X = 0) =
δ
n
1 +n−1
δ
n
.

23. Objetivos
La distribución binomial negativa
Distribución de Polya-Eggenberger
Demostración:
p +k −2 q +s
p +k −1 p
s +1 δ +k −1 s +1 k −1 s +1
δ δ
δ
q P (X = k − 1) = q 1 +n−1
k δ +s
k δ +s δ
n
( p +k −2)! ( q +s )!
 
p +k −1 s +1 (k −1)!( p −1)! (s +1)!( q −1)!
δ δ
δ δ
q
δ
=
 
1 +n−1
k δ +s
 
δ
n
.

24. Objetivos
La distribución binomial negativa
Distribución de Polya-Eggenberger
Reagrupando terminos tenemos:
( p +k −1)( p +k −2)! ( q +s )! s +1
k (k −1)!( p −1)! q +s )( q −1)! (s +1)!
δ δ δ
δ (δ δ
= 1 +n−1
δ
n
( p +k −1)! ( q +s −1)!
k !( p −1)! s !( q −1)!
δ δ
δ δ
= 1 +n−1
δ
n
p +k −1 q +s −1
k s
δ δ
= 1 +n−1 = P (X = k )
δ
n
.

25. Bibliografía
Ademas se tiene que:
E (X ) = np
1+ nδ
V (X ) = npq
1+δ
Es decir el efecto contagio, modelizado en esta distribución produce
una media independiente de dicho efecto, e igual a la media en una
distribución binomial, en la que el contagio es nulo. Sin embargo la
varianza aumenta a medida que aumenta la probabilidad de
contagio.
.

26. Bibliografía
Bibliografía
http://arxiv.org/pdf/cond-mat/0612697v1.pdf
http://pouyanne.perso.math.cnrs.fr/barcelona.pdf
[López Cachero, 1996] López Cachero, M. (1996). Estadística
para actuarios. Fundación Mapfre Estudios, Madrid.
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