Los números reales son el conjunto que incluye los números naturales, enteros, racionales e irracionales. Se representa con la letra ℜ. La palabra real se usa para distinguir estos números del número imaginario i, que es igual a la raíz cuadrada de -1, o √-1. Esta expresión se usa para simplificar la interpretación matemática de efectos como los fenómenos eléctricos.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR
UNIVERSIDAD POLITECNICA TERRITORIAL ANDRES ELOY BLANCO
BARQUISIMETO- ESTADO LARA
“Números Reales”
INTEGRANTE:
Hernández Yeifred
Área: Matemática
Sección: 0401

2. Números reales
El conjunto de los números reales se forma al combinar el conjunto de números racionales y el
conjunto de números irracionales. El conjunto de números reales consiste en todos los números que
tienen un lugar en la recta numérica.
Conjuntos de números
Números reales cualquier número que sea racional o irracional
Números racionales cualquier número que se puede escribir como el radio de dos enteros y
que termina o se repite en su forma decimal
Enteros …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
Números completos 0, 1, 2, 3, …
Números naturales 1, 2, 3, …
Números irracionales cualquier número que no se puede escribir como el radio de dos enteros
y que no termina ni se repite en su forma decimal
Propiedades de los números reales
Propiedad conmutativa de la suma y la multiplicación:
a + b = b + a ab = va.
3
2.1 Propiedades de los números reales Maten áticas Cero
Propiedad asociativa de la suma y la multiplicación:
a + (b + c) = (a + b) + c a(bc) = (ab)c.
Elemento neutro de la suma y de la multiplicación:
a + 0 = 0 + a = a a · 1 = 1 · a = a.
Elemento opuesto de la suma:
a + (−a) = (−a) + a = 0.
Consecuencia: La resta se define en términos de la suma:
a − b significa a + (−b).
Elemento inverso de la multiplicación:
para a 6= 0, a · a

3. −1 = a
−1
· a = 1.
Consecuencia: La división se define en términos de la multiplicación:
a/b significa a · b
−1
Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma:
A (b + c) = a · b + a · c.
Números reales
Los números reales son el conjunto que incluye los números naturales, enteros, racionales e
irracionales. Se representa con la letra ℜ.
La palabra real se usa para distinguir estos números del número imaginario i, que es igual a la raíz
cuadrada de -1, o √-1. Esta expresión se usa para simplificar la interpretación matemática de efectos
como los fenómenos eléctricos.
Desigualdades
Los enunciados a > b y a < b, junto con las expresiones a £ b (a < b o a = b) y a ³ b (a > b o a = b) se
conocen como desigualdades. Las primeras se llaman desigualdades estrictas y las segundas,
desigualdades no estrictas o amplias.
En numerosas oportunidades y situaciones cotidianas surge la necesidad de comparar dos
cantidades y establecer una relación entre ellas. Las desigualdades se comportan muy bien con
respecto a la suma pero se debe tener cuidado en el caso de la división y la multiplicación.
Ejemplos.
· Como 2 < 5 entonces 2 + 4 < 5 + 4, es decir, 6 < 9.
· Como 8 > 3 entonces 8 - 4 > 3 - 4, esto es, 4 > - 1
· Como 7 < 10 entonces 7.3 < 10.3, es decir, 21 < 30
· Como 7 < 10 entonces 7. (- 3) > 10.(- 3), esto es - 21 > - 30
En los diferentes ejemplos se observa que:

4. · al sumar un mismo número a ambos miembros de una desigualdad, el sentido
de la misma se mantiene
· al restar un mismo número a ambos miembros de una desigualdad, el sentido de
la misma se mantiene
· la multiplicación por un número positivo mantiene el sentido de la desigualdad,
· la multiplicación por un número negativo invierte el sentido de la desigualdad.
Se pueden enunciar algunas propiedades relacionadas con las desigualdades.
Sean a, b y c números reales cualesquiera:
· Si a < b entonces a + c < b + c
· Si a < b y c > 0 entonces a.c < b.c
· Si a < b y c < 0 entonces a.c > b.c
Cuando se verifica que a < b y b < c, decimos que b está comprendido entre a y c. En
símbolos a < b < c.
Todas las definiciones y propiedades son también válidas para las
desigualdades >, £ y ³ .
Valor absoluto de un número real
Cualquier número a tiene su representación en la recta real. El valor absoluto de un número
representa la distancia desde ese número al origen
Observe en el dibujo que la distancia del 6 al origen es 6 unidades, igualmente la distancia del punto
−6 al origen es 6. En notación, esto es |−6| = 6 .
Las barras se leen como el valor absoluto de lo que esta dentro de ellas.
En el valor absoluto no importa en que lado de la recta real está representado el número.

5. De modo general, el valor absoluto de un número real a , se escribe |a| , es el mismo número a
cuando es positivo o cero , y opuesto de a , si a es negativo
Analíticamente podemos ver que si a es positivo, es decir esta a la derecha del cero, entonces |a| = a y si está a
la izquierda del origen, es decir si a es negativo, entonces | a| = −a .
Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real |a| está definido por:
Por definición, el valor absoluto de |a| siempre será mayor o igual que ceroy nunca negativo.
Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real |a| es siempre positivo o cero, pero
nunca negativo.
En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales |a − b| es la distancia entre ellos.
Veamos los siguientes ejemplos
Ejemplo 1
a)
b)
Observe como el valor absoluto a una cantidad positiva la deja igual y a una cantidad negativa le cambia el
signo.
c) Si x > 2 entonces | x – 2| = x – 2 , pues x − 2 > 0 . Dicho de otra manera, si la expresión a la que le estamos
tomando valor absoluto es de signo positivo, el valor absoluto la deja igual.
d) Si x < 2 entonces |x – 2| = – (x – 2) , pues x − 2 < 0 . Dicho de otro modo, si la expresión a la que le
estamos tomando valor absoluto es de signo negativo, el valor absoluto la cambia de signo.
Ecuaciones con valor absoluto
Si x es una incógnita en la expresión |x − 3| , entonces no sabemos si x − 3 es positivo o negativo. Ahora bien,
si tenemos la ecuación:
|x − 3| = 5
deberíamos considerar las dos posibilidades de signo. Es decir hay dos alternativas:
x − 3 = 5
o bien
x − 3 = −5
La primera es en el caso de que x − 3 sea positivo, la segunda en la situación de que sea negativo.
Resolviendo las dos ecuación, tenemos que
x = 8 o bien x = −2
Efectivamente, estos valores de x satisfacen la ecuación: |x − 3| = 5

6. Desigualdades de valor absoluto
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor absoluto con una
variable dentro.
Desigualdades de valor absoluto
La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4.
Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera numéros reales a y b , si | a | < b , entonces a < b Y a >
- b .
Ejemplo:
Resuelva y grafique.
| x – 7| < 3
Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos descomponerla en una desigualdad
compuesta .
x – 7 < 3 Y x – 7 > –3
–3 < x – 7 < 3
Sume 7 en cada expresión.
-3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7
4 < x <10
La gráfica se vería así: