Analisis estructural 2003 2004

PROYECTO DE ESTRUCTURAS 2003-2004
BORO BORCHA VILA – PROFESOR TITULAR DAVID GALLARDO LLOPIS – PROFESOR TITULAR
ANALISIS ESTRUCTURAL

INTRODUCCION
LECCIONES 1 a 8
INTRODUCCIÓN
Es nuestra intención, orientar al alumno, que lo precise, sobre los conceptos estructurales
básicos que debe; recordar, ordenar, o en su caso, estudiar, para poder acometer con
soltura y seguridad el proceso de Análisis y Diseño de Estructuras.
Para ello presentamos, en forma de lecciones, una serie de conceptos que consideramos
imprescindibles, o más bien básicos, para sedimentar los conocimientos estudiados en años
anteriores y poder abordar el estudio de cualquier tema no contemplado en los temarios
estudiados.
El contenido de estas lecciones, ya ha sido expuesto en cursos anteriores, por lo que no
pretendemos exponer los temas, exhaustiva y repetitivamente, sino con una visión de
recuerdo, síntesis y ordenación de los conocimientos que, por otra parte, se suponen ya
adquiridos, insistiendo, como ya se ha mencionado en los Conceptos Estructurales Básicos
que constituyen el objetivo fundamental que nos ocupa.
Para el mejor seguimiento de las clases teóricas, se presentan guiones, de cada una de las
lecciones, con referencias bibliográficas, de las fuentes a utilizar por el alumno en el estudio
de los temas.

Recomendamos, porque no nos atrevemos a exigir, la lectura y estudio de tres
publicaciones que presentamos:
“RAZÓN Y SER DE LOS TIPOS ESTRUCTURALES”
Eduardo Torroja.
Instituto E. Torroja de la Construcción y el Cemento. Madrid.
“ PLATEAMIENTO GENERAL DE PROBLEMA.
En la literatura técnica de la construcción se encuentran cientos de obras, de
carácter teórico, sobre el cálculo de sus estructuras; muy pocas sobre las
condiciones generales de sus diferentes tipos, sobre las razones fundamentales
que los determinan, sobre las bases que han de orientar el problema de su
elección y las ideas rectoras que guían al proyectista en su trabajo inicial,
siguiendo principios que, poco a poco, han ido asimilando su mente, pero en
los que rara vez se para a reflexionar. ......
...... Las teorías rara vez dan más que una comprobación de la bondad o del
desacierto de las fórmulas y proporciones que se imaginan para la obra. Están
han de surgir primero de un fondo intuitivo de los fenómenos, que ha quedado
como un poso íntimo de estudios y experiencias a lo largo de la vida
profesional. De esto y sólo de esto se pretende tratar ahora.
El cálculo no es más que una herramienta para prever si las formas y
dimensiones de una construcción, simplemente imaginada o ya realizada, son
aptas para soportar las cargas a que ha de estar sometida. No es más que la
técnica operatoria que permite el paso de unas concepciones abstractas de los
fenómenos resistentes a los resultados numéricos y concretos de cada caso o
grupo especial de ellos. El asombroso avance, que en las teorías mecánicas de
las estructuras o elementos sustentantes de las construcciones han producido
los siglos XIX y XX, hace menospreciar excesivamente el estudio ontológico de
la morfología resistente. Todo proyectista que descuide el conocimiento de sus
principios, está expuesto a graves fracasos; y el caso es que en las escuelas hay
tanto que aprender que rara vez queda tiempo para pensar.
Para acertar en la concepción y traza de las estructuras, y aun de las
construcciones en general, es necesario meditar y conocer bien las causas
profundas, la razón de ser, de su mayor o menor aptitud resistente; y se trata
de enfocar, ahora, la cuestión, prescindiendo de todo lo accesorio y, en
especial, de todo lo que representa un proceso o un valor numérico; se trata de
considerar el problema desde puntos de vista más generales y cualitativos.

Porque es absurdo descender a la concreción cuantitativa sin la seguridad de
tener encajado el conjunto en sus acertados dominios. Es un error demasiado
corriente empezar a calcular la viga número 1 sin haber antes meditado si la
construcción debe llevar vigas o no.
El empeño es audaz, porque, como decía Confuncio, tan inútil es aprender sin
meditar, como es peligroso pensar sin antes haber aprendido de otros......
...... Las obras no se construyen para que resistan. Se construyen para alguna
otra finalidad o función que lleva, como consecuencia esencial, el que la
construcción mantenga su forma y condiciones a lo largo del tiempo. Su
resistencia es una condición fundamental; pero, no es la finalidad única, ni
siquiera la finalidad primaria.
Para lo que aquí interesa, las finalidades funcionales primarias podrían
agruparse en la siguiente forma:
1º. Aislar un determinado volumen del exterior. O sea, defender ese volumen de
los agentes naturales exteriores: viento, lluvia, nieve, ruidos, temperaturas, vistas
de otras personas, etc., Desde el punto de vista estructural suelen distinguirse,
en este grupo, los muros de cierre y las cubiertas.
2º. Sostener cargas fijas o móviles. Es decir, pontear o establecer una
plataforma que permita el paso de personas, vehículos, etc. Son, de una parte,
los pisos de los edificios, y de otra, los puentes viaductos, pasarelas, etc.
3º. Contener empujes horizontales o establecer un paramento, que soporte los
empujes de tierras, aguas u otros materiales líquidos, áridos o materias
análogas. Son presas, paredes de depósitos y silos, muros de contención,
diques de abrigo, etc. ......
...... Existen, pues, unas condiciones imprescriptibles, otras puramente accesorias
o de conveniencia, y unas intermedias absolutamente necesarias
cualitativamente, pero que admiten, en lo cuantitativo, un margen mayor o
menor. Por un puente colgante, sin viga de rigidez, podrá ser posible el paso
como en un tobogán, pero, nadie admitiría esta solución; sin embargo, una
pequeña flecha es bien aceptable. Hasta dónde se acepta la elasticidad del
sistema es punto difícil de concretar y está sujeto a opiniones puramente
subjetivas. ......
...... Porque no basta que su resistencia aleje el peligro de rotura. Es necesario
también que la construcción sea estable e inmóvil. Una obra puede caerse o
volcar sin romperse –que se rompa o no al llegar al suelo es secundario -,

puede deslizar sobre el cimiento, o acomodarse al movimiento de las olas
como un barco. Las construcciones que se van a tratar aquí, no deben admitir
semejantes movimientos ni resultar deformables como un trampolín. Quizá, en
lugar de hablar de una función resistente, sería, pues, mejor hablar, con más
generalidad, de una función estática.
La función estática es siempre esencial; porque si una cosa, para cumplir su
finalidad, no necesita ser resistente y estable, no se la llama construcción; o no
entra en las que aquí interesan. ......
...... Pero, no debe olvidarse que, alrededor del fenómeno de resistencia
tensional interna, se presenten multitud de variantes, cada una de las cuales
requiere, del material, una propiedad específica diferente. En unos casos, se
requiere resistencia superficial a la abrasión –como en un piso -, porque ha de
estar sometida a un cierto tipo de desgaste; en otros, se exige una cierto tipo
de desgaste; en otros, se exige una cierta dureza, etc. Pero conviene dejar, para
más adelante, la discriminación del tema, porque es largo y requiere capítulo
aparte. ......
..... Conviene, pues, solamente recordar –para no volver sobre ello -. Que en la
economía total de un tipo de construcción o de un elemento, pueden influir
factores tan variados como: el clima, la superficie y densidad de población
nacional, la facilidad de sus transportes, la industrialización del país, la
capacitación del personal obrero, el volumen de elementos análogos en otras
obras simultáneas o que se han de realizar en un futuro próximo, etc., etc.
Unido o en pugna con la condición económica, se presenta el plazo de
construcción. Toda obra, en una región y una época determinadas, tiene una
marcha de ejecución que es la más económica o de menor costo directo. Pero,
hay que tener en cuenta otras razones que pueden hacer conveniente alterar
esta marcha, incluso por razones económicas, cuando el problema se enfoca en
su conjunto; y, como consecuencia de ello, puede incluso cambiar el tipo
estructural que convenga elegir. ......
...... En resumen: cada construcción tiene su finalidad y sus características
propias; tiene, en consecuencia, unas condiciones resistentes que cumplir; tiene
unas exigencias económicas y de plazo de construcción; y, en general, tiene,
también, una interpretación estética más o menos exigente. Para realizar dicha
obra se dispone de unos materiales con características propias y de unas
técnicas para manejarlos y realizar la obra. ......

...... La función resistente o estática es esencial, por cuanto, de no serlo, la obra
sea saldría del tema que aquí se trata; pero, no es nunca la razón única y
primordial de la construcción: Sin embargo, interesa destacarla, por cuanto es
aquella –o lo que ella impone en relación íntima con las demás condiciones -,
el tema que se ha de analizar y que se podría definirse así: “De cómo elegir el
tipo estructural, que adecuado y económico para construirlo con los materiales
y las técnicas de que se disponen “. Aclarando que, al decir tipo estructural,
mantener sus formas y cualidades a lo largo del tiempo, bajo la acción de las
cargas y agentes exteriores a que ha de estar sometido; es decir, a la parte de
la construcción que garantiza la función estática antes citada y que, a falta de
otra palabra mejor, se llama “estructura”.
Se da, aquí, a esta palabra un sentido más lato del corriente, que la refiere
solamente al conjunto de piezas prismáticas o asimilables a ellas, al que se
aplica normalmente la teoría de la Resistencia de Materiales- lo que
antiguamente se llamaba la palazón -. Aquí se llama, ahora, estructura,
igualmente a eso que a un muro macizo o a una presa de gravedad; y, para
distinguir mejor, podría reservarse el nombre de “entramado” para el primer
grupo de estructuras.
En las construcciones de la antigüedad, no era tan frecuente, el separar la parte
estructura, o sustentante de la construcción, del resto de los elementos de
relleno. Hoy, esta distinción total es corriente; y, por ello, hay motivo para
ocuparse de la estructura en sí y en sus relaciones con el resto de sus
elementos. Cuando todos ellos se funden en uno solo, como sucede, por
ejemplo, en la presa, el problema sigue interesando igualmente desde estos
puntos de vista......”
Los textos anteriores, han sido transcritos de la 3ª Edición de la Obra al
principio citada, publicada en 1960.
“ESTRUCTURAS PARA ARQUITECTOS”
Mario Salvadori y Robert Heller.
Editorial. CP 76, Buenos aires.
“......Prólogo
En este libro, medianamente escrito, el profesor Salvadori trata de eliminar una
de las más serias diferencias existentes en la teoría y la práctica en el campo de
las estructuras. Su finalidad es tender un puente entre la intuición más o menos
consciente acerca de las estructuras –intuición común a todos los seres

humanos- y el conocimiento científico acerca de ellas, que brinda una adecuada
representación de la realidad física sobre la base de postulados matemáticos.
Nadie duda que sea posible salvar esa diferencia ni de que, una vez logrado,
ello resulte sumamente útil.
Para inventar una estructura y darle proporciones exactas, se debe seguir tanto
el camino intuitivo como el matemático.
Las grandes obras del pasado, construidas en una época en que no existían las
teorías científicas, atestiguan la eficacia y poderío de la intuición.
En nuestra época se desarrollan sin cesar teorías modernas y su
perfeccionamiento queda ejemplificado en la construcción de estructuras más y
más grandes, más y más osadas.
Si la invención estructural ha de permitir la solución eficiente de los nuevos
problemas planteados a diario por el crecimiento de la actividad en el campo
de la construcción, debe llegar a ser una combinación armónica de nuestra
intuición personal con una ciencia estructural impersonal, objetiva, realista y
rigurosa.
En otras palabras, la teoría debe encontrar en la intuición una fuerza capaz de
dar vida a las fórmulas, de tornarlas más humanas y comprensivas y de
aminorar los resultados exactos necesarios para obtener “lo mas con lo menos”,
pues tal es la meta última de todas las actividades humanas.
Por medio de ejemplos siempre claros y, a veces, sumamente elementales, el
libro del profesor Salvadori tiende a unificar estos dos puntos de vista (casi iba
a decir estas dos mentalidades), que deben fundirse en una síntesis única si han
de dar nacimiento a la unidad esencial de todas las grandes estructuras.
A los futuros arquitectos les resultará particularmente útil estudiar este libro a
fondo y reflexionar sobre su contenido, pues aun cuando puedan confiar el
cálculo de una estructura a un especialista, primero deben ser capaces de
inventarla y de darle proporciones correctas. Sólo entonces, habrá nacido una
estructura sana, vital y, en lo posible, hermosa.
Creo que debemos sentirnos especialmente agradecidos al profesor Salvadori
por haber emprendido esta tarea nada fácil.

PIER LUIGI NERVI
..... Capítulo quince
Conclusión.
La intuición es un proceso esencialmente sintético: genera la comprensión
repentina, directa, de ideas analizadas más o menos conscientemente durante
cierto lapso. Resulta un camino satisfactorio hacia el conocimiento, si reúne dos
condiciones: debe basarse en abundante experiencia previa y es necesario
verificarlo con sumo cuidado.
La práctica puede significar un refinamiento extraordinario de la intuición. Una
de las mejores herramientas para refinar la intuición. Una de las mejores
herramientas para refinar la intuición estructural es un laboratorio, donde se
puedan mostrar las diversas acciones estructurales consideradas en este libro.
Como todas las acciones estructurales implican movimientos, y los movimientos
son el resultado visual de esas acciones, los modelos constituyen elementos
ideales para la presentación intuitiva de conceptos estructurales.
Por este motivo, en varios lugares hemos invitado al lector a construir modelos
elementales que demuestren, de manera mucho más convincente que cualquier
dibujo, el comportamiento estructural de elementos simples.
Por otra parte, nunca se insistirá demasiado en que sin experiencia la intuición
resulta herramienta peligrosa, pues es imposible medir sus sugerencias. En una
situación física cualquiera y, sobre todo, en l o que se refiere al aspecto
geométrico de una estructura, el lector debe cuidarse de la idea según la cual
“lo que él parece sentir debe suceder”. Es difícil creer, en un primer momento,
que los lados rectos de una bóveda cilíndrica se desplazan hacia adentro bajo
acción de una carga, porque la sección curva del cilindro sugiere una acción de
arco, y “es bien sabido” que los arcos presentan empuje hacia fuera.......”
Textos transcriptos de la 3ª edición de la obra mencionada publicada en Buenos
Aires en 1987
“ LA ESTRUCTURA”
H. Werner Rosehthal.
Editorial. BLUME. Barcelona. Madrid.

“.....Prefacio
Este libro intenta señalar las principales leyes que determinan el
comportamiento de las estructuras. Estas leyes pueden reducirse a un solo
concepto: el “equilibrio estático”. Y esto tanto si lo aplicamos a una distribución
espacial como a un solo elemento. Este concepto se aplica a cualquier material
indistintamente; las únicas diferencias son las debidas a su elasticidad y
resistencia.
En consecuencia, se ha suprimido la antigua división entre “estática”
(especialmente “estática gráfica”) y “resistencia de materiales”.
En este libro no se presta interés al aspecto de “calculo”, y si se hace es para
señalar algunos casos interesantes. No se pretende que las fórmulas sean
códigos mágicos que resolverán los exámenes, sino descripciones abreviadas
del comportamiento de las estructuras, y nunca razonamientos puramente
matemáticos. No obstante, para mejor conocimiento del lector, se incluyen
varios apéndices con la resolución de algunos tipos de problemas. Estos
ejemplos se efectúan en unidades de algunos tipos de problemas. Estos
ejemplos se efectúan en unidades SI y se acompaña una tabla de conversión.
Resumiendo, sobre el inmenso campo del análisis estructural, este libro intenta
ayudar, tanto al arquitecto como al constructor, a la mejor comprensión del
significado y razón de la forma estructural. El ingeniero no encontrará aquí
ninguna novedad, pero si se interesa por el cálculo de estructuras puede
encontrar interesante este libro en los aspectos que controlan principalmente el
proceso de diseño.
Puede ser una ayuda para el que quiera familiarizarse con las implicaciones
estructurales de los edificios a los largo de los tiempos.......
H. WERNER ROSENTHAL.”
Introducción.
Por J. E. Gordon.
Profesor de Tecnología de los Materiales
Universidad de Reading.
“.......Hasta ahora existían pocos libros que siguieran esta línea. Este será
particularmente bien recibido. Puede ser útil no tal solo para los arquitectos
sino también para los ingenieros; y puede serlo para mucha gente, aun para

diseñadores de muebles. Todo está relacionado con las estructuras. ¿O debería
estarlo?
Existe una dificultad subjetiva para aprender la naturaleza de las estructuras. Los
animales –pájaros, gatos, monos, etc., _ que generalmente viven o transitan por
las ramas de los árboles, rara vez las rompen. Parecen tener un tipo de instinto
para reconocer la resistencia de estas estructuras, del que carecen los humanos
aun en el caso de tener que sentarse en una silla. .......
J. E. GORDON”
Quizás esta introducción al libro de Rosenthal alentara al profesor Gordon a publicar en
1978 su espléndida obra “Estructuras o por quë las cosas no se caen” cuya lectura tambien
recomendamos.
1. ANÁLISIS ESTRUCTURAL.
Lección 1
ELEMENTOS ESTRUCTURALES Y MODELOS FACTIBLES DE CÁLCULO: (MP,
269)
1.1.1 LOS ELEMENTOS ESTRUCTURALES BÁSICOS.
.......Artículo 18.º Idealización de la estructura.
18.1. Modelos estructurales.
Para la realización del análisis, se idealizan tanto la geometría de la
estructura como las acciones y las condiciones de apoyo mediante un

modelo matemático adecuado. El modelo elegido deberá ser capaz
siempre de reproducir el comportamiento estructural dominante.
Para el análisis, los elementos estructurales se clasifican en
unidimensional, cuando una de sus dimensiones es mucho mayor que
las restantes, bidimensionales, cuando una de sus dimensiones es
pequeña comparada con las otras dos, y tridimensionales cuando
ninguna de sus dimensiones resulta sensiblemente mayor que las
otras.......
“EHE Instrucción de hormigón estructural. Ministerio de Fomento. Pag.
39”
ELEMENTOS LINEALES: El soporte, el dintel, la viga y el arco. (LS, 259, 400)
“ .......El soporte es, en la construcción de todos los tiempos, uno de los
elementos más fundamentales. De entre ellos, el más genuino y logrado es la
columna: ¿ Cuánto ha trabajado y sentido la Humanidad sobre ella? En sus
tallas se siente el paso deleitoso de los mayores artistas. Si ella no fuera, de
por sí, un monumento, la Humanidad debería habérselo erigido”.......
“RAZÓN Y SER DE LOS TIPOS ESTRUCTURALES. E. TORROJA Pag. 87”
“ ...... El dintel monolítico, sobre dos pilastras o sobre las jambas del muro
ciclópeo, es el primer triunfo del humano constructor para salvar un vano con
caracteres de permanencia en su obra. El no sabía e1que aquello trabajaba a
flexión; no conocía a Galileo , A Euler, a Navier ni s St. Venant; pero debió
aprender pronto que, si el canto era pequeño en relación con la luz, la piedra
se partía por abajo; y si se impedía el movimiento horizontal, afianzado los
extremos del borde inferior contra los muros, el peligro de rotura era menor;
Y que lo mismo sucedía si se aumentaba el canto hacía en centro, donde los
momentos flectores con máximos. Pronto aprendieron, en fin, los límites ya
que se podía llegar, e incluso establecieron arcos de descarga rudimentarios
para salvar de la rotura el monolito del dintel.....
“ .....El arco es el mayor invento tensional del arte clásico. Él sigue
impresionando al vulgo, y la Humanidad ha tardado mucho en acostumbrarse
a su fenómeno resistente: prueba de ello es la frecuencia con que la leyenda
achaca al diablo su construcción.

Si la columna es arquitectura pura es ingeniería; o mejor dicho –para alejar
toda interpretación profesional -, si la columna es arte, el arco es técnica; sin
que esto quiera decir, ni que a la columna le falte técnica, ni que el arco sea
incapaz de vivísima expresión estética......”
ELEMENTOS PLANOS: El muro, las losas, los forjados. LS
(173)
“ ...... El muro no es tampoco un elemento moderno precisamente; pues hay
que pensar que, detenidos frente a la barrera infranqueable de los bloques
ciclópeos de sus murallas, empezaron los pueblos a hacer la historia sin
saberlo; y, más de una vez, utilizaron sus paños para ensayar sus escrituras y
grabar en ellos el pregón más duradero de sus glorias. De sus tres funciones
principales, que son cerrar, soportar y contener, las tres vienen de la más
remota antigüedad.......”
“ ......La placa es un elemento en el que lo tensional toma importancia más
fundamental; por lo que, en ello, habrá que extenderse relativamente más que
une otros elementos.
En primer lugar, cuando en la viga de sección rectangular el ancho es varias
veces superior al canto y se hace comparable como la luz, en el lenguaje
técnico no se habla de una viga, sino de una losa. Este elemento constituye la
forma más elemental de cubrir una superficie entre dos muros o líneas de
apoyo paralelos; pero ha tenido poco desarrollo hasta que el hormigón armado
ha permitido construirla monolíticamente.
Si actúa sobre la losa una carga concentrada o simplemente una carga
desigualmente repartida de una banda más cargada tiene que ir acompañada,
no sólo de flexiones longitudinales decrecientes en las bandas contiguas, sino
que, simultáneamente y por exigencias de la continuidad geométrica, ha de
producirse una flexión transversal. Esta presenta igual signo que la longitudinal
junto a la zona cargada y signo contrario a los dos lados de ella, para enlazar
con la zona no interesada por el fenómeno de carga local ......”

ELEMENTOS DE SUPERFICIE CURVA: El arco y la bóveda. La cúpula y estructuras laminares.
(LS- 400)
“ ...... La bóveda es uno de los elementos de más historia en la técnica de la
construcción; y entre ellas, es a la bóveda en cañón a quien corresponde la
ricia. Parece ser que los griegos concedían a Demócrito los honores del
invento, pero debía ser sólo patente de introducción porque los egipcios la
utilizaban ya, hace bastante más de 4.000 años.
La bóveda continua, sobre muros corridos, podría considerarse como una
sucesión de arcos independientes colocados una al lado del otro. Sin
embargo, tiene algo que supera este concepto simplista; y ese algo es
continuidad a lo largo de las generatrices, que le permite trabajar con flexión
según esa dirección. Cada arco puede, de esta forma, ayudarse de los
contiguos, repartiendo el exceso de cara que puede concentrarse sobre él.......
”.
“...... Una cúpula si se comporta “adecuadamente” se desarrolla tensiones de
membrana en casi todos sus puntos; se dice entonces que resiste las cargas
por acción de cáscaras. Como se demostró anteriormente, una cúpula debe
satisfacer las tres condiciones siguientes para desarrollar esa acción de cáscara
delgada:
1) La cúpula debe ser delgada; con ello, resultará incapaz desarrollar flexión
en grado sustancial.
2) Debe tener curvatura adecuada; de esa manera será resistente y rígida,
debido a la resistencia derivada de su forma.
3) Debe tener apoyo adecuado; de esa manera desarrollará una pequeña
flexión en una porción limitada de la cáscara.
Estas tres condiciones son esenciales para la acción de cáscara delgada, sea
cual fuere su forma y las cargas que actúen sobre ella. Cuando estas
condiciones no se reúnen debido a las dificultades de construcción,
consideraciones estéticas o requerimientos arquitectónicos, la acción de
flexión se hace importante y se reduce la eficiencia estructural de la
cáscara.......”
ESTRUCTURAS PARA ARQUITECTOS. MARIO SALVADORI Y ROBERT HELLER.
Pag. 206.

“ ......Así por ejemplo, se habla de la adecuación de la teoría de membrana
para representar los esfuerzos que se producen en superficies de doble
curvatura, bajo la acción de las cargas. Esto dicho así, de pronto, como se dice
en muchos libros, constituye una afirmación de apariencia arbitraria y
dogmática que, por lo visto, hay que creer como artículo de fe. Si acaso, suele
decirse que, puesto que loe espesores de las láminas son insignificantes, estas
no pueden resistir flexiones y tiene, por tanto, que trabajar por esfuerzos
directos. Este razonamiento es totalmente falso, por que el espesor mínimo
es una consecuencia y no una causa. Por delgada que sea una lámina tiene
una cierta resistencia a la flexión y, de todos modos, se rompería doblándose
y aparecerían deformaciones inadmisibles si, efectivamente, pudieran existir
tales esfuerzos de flexión. La imposibilidad de que existan tales
deformaciones, cuando las láminas están ejecutadas con los materiales
relativamente inextensibles que se emplean en construcción, es la verdadera
justificación de la hipótesis de membrana ......”
EN DEFENSA DEL FORMALISMO Y OTROS ESCRITOS. FELIX CANDELA. Pag. 98
LAS UNIONES Y LOS APOYOS:
(MP 408)
1.1.2 LOS SISTEMAS Y SUBSISTEMAS ESTRUCURALES (MP 287, 300,301) (LS, 33,173) (AJ,
48)
“ .....Sección 1: INTRODUCCIÓN.
En capítulos anteriores se sugirió que existe una simplificación conceptual
básica muy ventajosa para el análisis estructural, mediante la consideración de
la forma del edificio como un todo, un sistema estructural total. Aquí se
muestra cómo se puede aplicar este mismo enfoque al diseño de subsistemas
estructurales principales. Esto es importante porque significa que no se tiene
que aprender un conjunto de conceptos para diseñar un esquema estructural
de conjunto y luego un conjunto diferente para el diseño de sus subsistemas.
Por tanto, un cambio en el nivel de concepción de forma espacial no cambiará
la jerarquía básica de concepción del diseño estructural.
Por ejemplo, generalmente las necesidades funcionales de habitación
requieren que las superficies piso y muro sean relativamente planas. Para
obtener estas superficies, usualmente los edificios se hacen de subsistemas
estructurales horizontales y verticales principales que también son planos. Los
subsistemas horizontales se pueden visualizar como conjuntos

bidimensionales que actúan verticalmente para soportar las cargas de piso o
techo para que no se flexiones, y horizontalmente como diafragmas y/o
pueden ver como conjuntos que actúan para recoger las cargas de los
sistemas de techos y plafones pueden ser totalmente planos, como se verá
aquí, o bien, curvos, como se tratará por separado en el capitulo 11.
Las superficies horizontales se pueden diseñare como subsistemas de losa,
vigas, retícula o armadura, y se puede realizar en diversos materiales. Pero
debe señalarse que el diseño y construcción de los subsistemas horizontales
están relacionados con la distribución de los subsistemas verticales de apoyo,
y éstos pueden consistir en una organización regular de columnas, marcos,
muros de apoyo y/o cañones. Por lo tanto, al hacer el diseño real, ambas
tipos de sistemas se tiene que considerar más o menos simultáneamente. Sin
embargo, por conveniencia y claridad, en este capítulo las condiciones de
apoyo, y en el siguiente capítulo, se verán los subsistemas verticales.
En términos de la estructura sola, en general sería más económico espaciar los
apoyos verticales en vez de acercarlos, por ejemplo, con una separación de 10
ó 15 pies, para reducir al mínimo el claro del subsistema horizontal. No
obstante, en el contexto más específico de las necesidades de funcionalidad
arquitectónica, se requiere mayores claros para aumentar la abertura de los
espacios cerrados y la flexibilidad de su uso. En consecuencia, a menudo es
conveniente espaciar los apoyos verticales a mayor distancia.
Es obvio que mientras mayores sean los claros entre apoyos verticales mayor
peralte tendrán los subsistemas horizontales. Por tanto, se requerirá más
material estructural para claros largos que para los cortos, aunque hay cierto
ahorro en el número de apoyos verticales. Así, un diseñador hábil tratará de
obtener el máximo espacio utilizable con la menor obstrucción, y aún así
reducir al mínimo la cantidad extra de material estructural o de energía de
construcción necesaria para lograr espacio abierto. En otras palabras, tendrá
que tratar de optimizar el diseño de conjunto considerando los objetivos
tanto espaciales como de funcionalidad estructural.
Con este objetivo presente, en las siguientes secciones se estudiarán los
requisitos básicos para el diseño eficiente de diversos tipos de subsistemas de
piso. Los subsistemas de techo plano se pueden tratar de manera similar, con
la única diferencia de que se diseñan usualmente, para soportar cargas vivas y
muertas menores, pero más cargas ambientales, como las de viento, lluvia y
nieve. Además, los techos deben tener algunas veces claros mucho mayores

que los pisos típicos, ya que a menudo en los edificios de un solo piso se
necesitan grandes áreas abiertas para actividades especiales, o bien, resultan
convenientes en el último piso de los edificios muy altos. Estos sistemas de
techos de claros grandes, junto con los subsistemas curvos, se tratarán por
separado en el capítulo 11.
Recuerde que este capítulo se centra sólo en los aspectos estructurales
básicos del diseño de subsistemas, y que se tiene que considerar otros
requerimientos físicos para completar el diseño de subsistemas horizontales.
Algunos de éstos son los siguientes:
1. Apoyo para componentes no estructurales del edificio, como la colección y
distribución de servicios, equipo mecánico y materiales de acabados
(acabado de piso y plafón), tubería, ductos, alambrado, iluminación, etc.
2. Resistencia a la vibración, propiedades de transmisión y absorción acústica.
3. Protección de o resistencia a los daños causados por el incendio,
exposición al sol, calor, heladas/deshielo, y ambiente químico agresivo que
causa corrosión.
4. Facilidad y accesibilidad para el mantenimiento y reparación......”
CONCEPTOS Y SISTEMAS ESTRUCTURALES PARA ARQUITECTOS E
INGENIEROS. T.Y.LIN-S.D STOTESBURY. Pag. 173-174-175
1.1.3 LOS MODELOS ANALÍTICOS DE LA ESTRUCTURA: (MP 320) (AJ
42)
MODELO GEOMÉTRICO:
La barra: la viga, el arco.
Entramados de barras:
De nudos rígidos: plano, espacial.
De nudos articulados: celosía plana, malla espacial plana, bóveda y cúpula
triangulares.
Superficies:
Planas, sistemas basándose en placas.
De curvatura simple. (Desarrollables)
De doble curvatura. (Sinclásticas y anticlásticas)
MODELO DE LAS CONDICIONES DE CONTINUIDAD: (MP-
327)
El nudo, Las condiciones de apoyo.

MODELO DE COMPORTAMIENTO DE LOS MATERIALES: (MP
256,322)
Relación Acción - Respuesta (solicitación, deformación)
Análisis lineal.
Análisis no lineal.
Análisis lineal con redistribución limitada.
Análisis plástico (MP 334)
(NW 21)
“ ...... Artículo 19º Métodos de cálculo.
19.1. Principios básicos.
Las condiciones que, en principio, debe satisfacer todo análisis
estructural son las de equilibrio y las de compatibilidad teniendo en
cuenta el comportamiento tenso-deformacional de los materiales.
Generalmente, las condiciones de compatibilidad o las relaciones tenso-
deformacionales de los materiales resultan difíciles de satisfacer
estrictamente, por lo que pueden adoptarse soluciones en que estas
condiciones se cumplan parcialmente, siempre que sean equilibradas y
que se satisfagan a posteriori las condiciones de ductilidad apropiadas.
19.2 Tipos de análisis.
El análisis global de una estructura puede llevarse a cabo de acuerdo
con las moteodologías siguientes:
- Análisis lineal.
- Análisis no lineal
- Análisis lineal con redistribución limitada.
- Análisis plástico.
19.2.1 Análisis lineal
Es el que está basado en la hipótesis de comportamiento elástico-lineal
de los materiales constituyentes y en la consideración del equilibrio en
la estructura sin deformar. En este caso se puede utilizar la sección
bruta de hormigón para el cálculo de las solicitaciones.
19.2.2 Análisis no lineal.
Es el que tiene en cuenta la no-linealidad mecánica, esto es, el
comportamiento tensodermocional no lineal de los materiales y la no-

linealidad geométrica, es decir, la consideración del equilibrio de la
estructura en su situación deformada.
El comportamiento no lineal hace que la respuesta estructural dependa
de la historia de carga. Por ello, para obtener la carga última es a
menudo preciso proceder de forma incremental, recorriendo los rangos
elásticos, fisurado y previo al agotamiento.
En análisis no lineal requiere, para un nivel determinado de carga, un
proceso iterativo en el que, tras sucesivos análisis lineales, se converge a
una solución que satisface las condiciones de equilibrio tenso-
deformacionales y de compatibilidad. Estas condiciones se comprueban
en un número determinado de secciones, dependiendo de la
discretización, que deberá ser suficiente para garantizar que se
representa adecuadamente la respuesta estructural. El comportamiento
no lineal lleva intrínseco la invalidez del principio de superposición y,
por tanto, el formato de seguridad del capítulo III no es aplicable
directamente en el análisis no lineal.
19.2.3 Análisis lineal con redistribución limitada.
Es aquel en que los esfuerzos se determinan a partir de los obtenidos
mediante un análisis lineal, como el descrito en 19.2.1 y, posteriormente
se efectúen redistribuciones que satisfacen las condiciones de equilibrio.
En análisis lineal con redistribución limitada exigen unas condiciones de
ductilidad adecuadas que garanticen las redistribuciones requeridas para
las leyes de esfuerzos adoptadas.
19.2.4 Análisis plástico.
Es aquel que está basado en un comportamiento plástico, elasto-
plástico o rígido-plástico de los materiales y que cumplen al menos uno
de los teoremas básicos de la plasticidad: el límite inferior, el de limite
superior o el de unicidad.
EHE INSTRUCCIÓN DE HORMIGÓN ESTRUCTURAL. Pag. 41-43
MODELO DE LAS ACCIONES CONSIDERADAS:
Cargas puntuales o repartidas. Fijas o móviles.

1.1.4 BIBLIOGRAFÍA BÁSICA
(AB) Abdilla & Basset. “Modelos estructurales y diseño estructural”
F. Stansfield. “Models”
(MP) R. Meli Piralla. “Diseño estructural”
(AJ) Manuales A.J “Estructura”
(NW) Norris & Wilbur. “ Análisis elemental de estructuras”
D. J. Fraser. “Conceptual design and preliminary analysis of structures”
(LS) Lyn & Stotesbury. “Conceptos y diseños estructurales para arquitectos e
ingenieros”.
(FC) Feliz Candela. “En defensa del Formalismo y otros escritos”.
(EHE) Cmsión. Permanente del hormigón. ”EHE Instrucción de Hormigón Estructural”.

Lección 2
LA ESTABILIDAD Y LAS FORMAS DE RESISTIR:
1.2.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES. RESPUESTAS DE LA ESTRUCTURA Y ESTADO
LIMITE. (SL, 165) (MP, 52) (EHE,23)
“ Bajo la acción de las diversas fuerzas y cargas tratadas en las secciones anteriores, la
estructura debe poder responder con un comportamiento propio y una estabilidad
prescrita. Tal vez esto se pueda entender mejor por la historia del comportamiento

bajo carga de una estructura, que se ilustra en la figura 5.5.
* Se considera solamente carga viva parcial o cero junto con la carga por viento o
terremoto.
Figura 5.5 Historial del comportamiento de una estructura.
Cuando se aplican diversas cargas a una estructura, ésta se flexiona tanto vertical
como horizontalmente. En la figura 5.5, el eje vertical representa el aumento de carga
durante varias etapas, y el eje horizontal mide la deflexión, que es una medida de la
respuesta de la estructura de la estructura a las cargas.
Con la aplicación de carga muerta solamente, por lo general la estructura tiene poca
deflexión, si acaso la tiene, en dirección lateral; pero varias partes de ésta tendrán
cierta cantidad de deflexión vertical. Por ejemplo los pisos se flexionarán y los muros,
columnas y cañones se acortarán un poco. En general, bajo carga muerta, todas las
partes de un edificio tendrán sólo una cantidad de esfuerzo y una deflexión
relativamente escasas.
Cuando se agrega carga viva al edificio, localmente se producen más deflexión y
esfuerzos más altos. Aunque usualmente la carga viva es sólo una fracción de la carga
muerta y no debe producir ningún movimiento adicional severo, puede causar
deflexiones y vibraciones indeseables.
En cuanto a la estructura total, el efecto horizontal del viento o de sismo puede ser
muy fuerte en contraste con los de cargas viva y muerta. Cuando se presenta carga
viva o sísmica sobre un edificio, se producirá deflexión lateral apreciable en la
estructura en su conjunto. En consecuencia, en los diversos componentes de la
estructura se producirán fuerzas y esfuerzos mayores. En estas condiciones, la
deflexión y la vibración, así como los esfuerzos, deben estar dentro de ciertos límites,
aunque estos pueden ser más altos que los que se aplican para la carga por gravedad
solamente. Cuando se consideran las cargas de viento y por sismo en casi todos los
reglamentos de construcción se especifica que se permite un aumento de un tercio
en los esfuerzos admisibles, ya que dichas cargas se presentan con poca frecuencia.
No es necesario considerar el caso en que las cargas de viento y las sísmicas actúan
simultáneamente, puesto que la probabilidad de que esto ocurra es muy baja. No
existen antecedentes históricos de que se haya presentado un viento de velocidad
extrema y un terremoto catastrófico al mismo tiempo, afectando a un edificio.
Además, en general no se considera la carga viva completa cuando actúan las fuerzas
de diseño de viento o de terremoto.

Obsérvese también que hay una reserva de capacidad de carga por encima y más allá
de la combinación especificada de carga muerta, carga viva y carga por viento o
sismo. Esta capacidad de carga de reserva es necesaria para resistir cargas
inesperadas de viento fuerte, huracanes o sismos catastróficos. Esto se puede
denominar “margen de seguridad” previsto para los edificios.
La reserva de capacidad de carga no sólo da el margen adicional de seguridad para
absorber fuerzas de catástrofe, sino que también mantiene la conducta de la
estructura dentro de límites tolerables y de movimiento y deformación bajo las
condiciones de viento fuerte o sismo que normalmente se pueden esperar.
Usualmente, estos límites están proscritos por el denominado rango de
comportamiento elástico de un material. Por lo tanto, se espera que bajo la acción de
carga de viento o de un sismo común, en combinación, por supuesto, con la carga
muerta y cierta cantidad de carga viva, la estructura se comporte aún dentro del
límite elástico. Por lo tanto, las deflexiones verticales y horizontales del edificio no
pueden ser excesivas y se pueden predecir por el comportamiento elástico o lineal
usual.
Se da una situación diferente en el caso de la resistencia a un terremoto catastrófico.
Como se explicó, las fuerzas sísmicas especificadas en los reglamentos representan
sólo la acción de un terremoto moderadamente fuerte, bajo el cual se esperaría que
se mantuviera el comportamiento elástico de la estructura. Pero un sismo muy fuerte
puede producir fuerzas o movimientos en varias ocasiones, por ejemplo, tres o cuatro,
de las prescritas en el reglamento para sismos. Aunque se puede aducir que se debe
diseñar para soportar este sismo catastrófico, con la estructura entera actuando
dentro del límite elástico, se sabe que esto requeriría gastos prohibitivos y un
aumento del costo de la estructura del edificio. La mayoría de las veces el propietario
no estará dispuesto a pagar tan alto precio para asegurar que el edificio se comporte
dentro del límite elástico cuando se presente un sismo intenso. Por lo tanto, en
general se está de acuerdo en que bajo sismos fuertes, se permite que el edificio vaya
más allá del límite plástico y que ciertas partes del edificio sufran daños menores,
siempre que se asegure la estabilidad de la estructura en su conjunto.
Ocasionalmente, debido a esta práctica el comportamiento de la estructura llega al
límite plástico (figura 5.5); pero, afortunadamente, la fuerza máxima producida por un
sismo es de corta duración, y en consecuencia, el momento del edificio puede
absorberla más fácilmente que la carga estática sostenida.
En la figura 5.5 se puede ver que en el diseño de una estructura se deben considerar
las diversas etapas de las condiciones de carga, de tal manera que en cada etapa sea

posible un comportamiento diferente del edificio. Además de esta historia normal de
una estructura, se deben considerar condiciones especiales. Ciertas partes de un
edificio pueden estar sometidas a cargas repetidas, por ejemplo, a la acción de un
camión en movimiento, viento agitado o vibración sísmica. Estas cargas repetidas
pueden producir fallas de fatiga que no se producen en un solo ciclo de carga.
Ciertas partes del edificio pueden tener cargas sostenidas, como las cargas muertas
muy altas u otras de almacenamiento, que pueden producir deformaciones de
deslizamientos en algunas partes de la estructura, provocando así movimientos
excesivos o indeseables.
Otro efecto ambiental es el cambio de temperatura, como se mencionó en la sección
4. Los repetidos cambios de temperatura de gran magnitud pueden ocasionar fallas
de fatiga de ciertas zonas del edificio, y también se deben considerar.
*Se considera solamente carga viva parcial o cero junto con la carga por viento o
terremoto.
Figura 5.6 La curva de historial de comportamiento se desplaza por el pretensado
para equilibrar la curvatura de deflexión por carga muerta.
Es deseable que la historia de la vida de una estructura de edificio se aproxime a la
de curvatura ilustrada en la figura 5.5. Debe empezar con una respuesta elástica lineal
hasta un punto más allá de las combinaciones de carga esperadas normalmente. Al
mismo tiempo, debe poseer ductilidad suficiente para absorber energía bajo sismos
catastróficos y asegurar aun que la estructura no se caerá.

En la figura 5.6 se ilustra el efecto de pretensado en la curva de historia debida de un
miembro a flexión. Nótese que hay poca o ninguna deflexión bajo condiciones de
carga muerta. Pero si no hubiera carga muerta, o se redujera en gran medida, podría
haber una combadura indeseable (deflexión hacia arriba).”
“CONCEPTOS Y SISTEMAS ESTRUCTURALES PARA ARQUITECTOS E INGENIEROS”. T.Y.
LIN & S.D. STOTESBURY ED. LIMUSA. Pag. 165-168
1.2.2. EQUILIBRIO GENERAL Acciones y reacciones. (NW, 6) (SL, 143) (MP
72)
“ Hay una condición y sólo una para la estabilidad de una construcción: el equilibrio.
Los edificios y sus componentes están sujetos a diversas fuerzas que tienden a
desbaratar este equilibrio. La estructura ha de ser capaz de soportar estas
perturbaciones.
Las “fuerzas”, como tales, son intangibles. Sólo pueden percibirse por sus efectos. Por
ejemplo, la gravedad (que es la más importante) provoca un movimiento que
nosotros percibimos como el peso. En estado de equilibrio, un objeto permanece
“estático”, esto es, el movimiento creado por la gravedad está contrarrestado. Este
concepto de fuerza como movimiento o cambio de estado es reconocido en el
sistema SI (Sistema Internacional) (ver apéndice 1), donde las fuerzas se miden en
“newtons” de acuerdo con la segunda ley de Newton sobre el movimiento. Este
define una fuerza como la “aceleración de una masa”. Así como el peso es un
concepto concretamente localizado, existente en un campo gravitatorio, la masa es
una designación objetiva, válida tanto en el espacio como en nuestro planeta. No
obstante, mientras las condiciones terrestres en cuanto a campos gravitatorios varíen
solamente en pequeños valores, no tenemos por qué preocuparnos demasiado por
ello.
Las unidades son fácilmente transformables. Por ejemplo, una fuerza de 1 lb es
equivalente a 4.44822 N y también a 450 gramos. Un N es aproximadamente 100 g

(ver apéndice 1). Así como las fuerzas provocan movimientos que nosotros tratamos
de contrarrestar, la mayoría de los comportamientos estructurales pueden deducirse
observando o visualizando el movimiento que se produciría al faltar algún elemento
que contribuye al equilibrio general.
En la figura 4, por ejemplo, la barra seccionada actuaría trabajando a tracción. En la
figura 5, la barra trabajaría a compresión. De una manera parecida, el pedazo de
madera de la figura 6 trabajaría a compresión y el de la figura 7 a tracción.
En la viga en celosía de la figura 8 de la barra en diagonal que falta trabajaría a
tracción, actuando en este punto junto con el esfuerzo cortante (véase pág. 73)
La figura 9 nos muestra los esfuerzos que provocan un par de vigas que se equilibran
por la fuerza T (un tirante), o por un par de contrafuertes para resistir el efecto de
vuelco (fig. 10). La mayoría de comportamientos estructurales, aunque no todos,
pueden apreciarse cualitativamente (sin evaluar el esfuerzo). Los demás casos
podemos solucionarlos con la geometría de acción de fuerzas que también nos
permite hallar soluciones cuantitativas que ayudarán a dimensionar los elementos
para que soporten los efectos de los esfuerzos de la mejor manera posible.

Puede darse el caso de que este tipo de valoraciones de esfuerzos nos hagan ver que
los elementos de la estructura no pueden usarse perfectamente en toda su capacidad
y deben someterse a otro tipo de solicitaciones. Hay un único estado de equilibrio: la
acción de una fuerza en una dirección que se equilibra con una igual y opuesta en la
misma línea de acción (fig. 11). Todo sistema de fuerzas de una estructura se reduce a
este estado básico de equilibrio.
Hay que usar el sistema más directo para llegar a este estado citado, así llegaremos a
la solución más simple y económica. Esta transmisión “directa” de esfuerzos ocurre
solamente en dos casos: el cable de la figura 12 trabajando a tracción, y la columna
de la figura 13 trabajando a compresión. Cualquier estructura que haga el máximo
uso de este principio será económica en uso de materiales, especialmente si la
mayoría de sus elementos trabajan directamente a tracción o compresión.
En cuanto a los elementos trabajando directamente a compresión tenemos que citar
la posibilidad del pandeo (pag.81). La figura 14 muestra un puente colgante en el que
la acción de grandes cargas se soporta y equilibra mediante delgados cables que
trabajan a tracción. El arco del puente de la figura 15 es pura compresión. Son dos
estructuras complementarias.
El arco es un método antiguo para salvar un espacio, mientras que el trabajo de los
cables a tracción es de uso mucho más reciente debido a la gran capacidad de
trabajo de estos materiales. Estudiaremos detalladamente estos conceptos
posteriormente.

Desgraciadamente, en nuestros esfuerzos
para salvar o cubrir un espacio, las fuerzas
raramente se equilibra directamente.
Recorren caminos más largos hasta llegar al
suelo como vemos en la figura 16. La línea
de puntos señala el camino más corto, pero
así perderíamos parte del espacio cubierto.
Si la fuerza W se divide en dos iguales.
Aplicadas como indica la figura 17, los
caminos recorridos según las líneas de
puntos serían más cortos, la estructura
resultante más ligera y el espacio perdido
menor. En otras palabras, el tipo de carga mejor tolerada es la repartida. Las cargas
puntuales deberían evitarse, y la peor de todas es la aplicada a un voladizo (fig. 18)”
“ LA ESTRUCTURA”H. WERNER ROSENTHAL. ED. Blume Pag. 21-26
EQUILIBRIO ESTÁTICO Y EQUILIBRIO DINÁMICO (NW,
558)
El termino “esfuerzo dinámico” se aplica a un esfuerzo que varía en función del
tiempo. Así, si se quiere analizar las tensiones y la deformación de una viga apoyada
sobre dos apoyos simples solicitada en su punto medio por una carga puntual P

estática, es suficiente con recurrir a la resistencia de materiales para obtener los
resultados deseados; por contra, si P es un esfuerzo dinámico, variables con el tiempo
t, P(t), la deformación varía en función de t y produce aceleraciones, que generan
fuerzas de inercia opuestas a P(t).
La importancia de estas fuerzas de inercia depende de la velocidad de la carga, de la
rigidez de la viga y de su masa propia. Si el proceso de carga de la viga es muy lento,
podrá asimilarse a una carga estática, pero si este proceso de carga tiene lugar
rápidamente, las fuerzas de inercia no pueden despreciarse en el cálculo de las
tensiones. Es preciso entonces determinar la respuesta de la viga a la excitación P(t).
La dificultad de este problema radica en el hecho de que las deformaciones que
llevan a la creación de las fuerzas de inercia son a su vez función de las fuerzas de
inercia.
Grados de libertad de una estructura.
Las fuerzas de inercia que intervienen en una estructura pueden deteminarse
evaluando los desplazamientos ( y como consecuencia las aceleraciones) de todas las
masas elementales de la estructura. El problema se simplifica si la estructura puede
descomponerse en un cierto número de masas convenientemente elegidas; en el caso
de la viga isostática sometida al esfuerzo dinámico P(t), una descompresión de la
masa en tres masas elementales corresponde a un sistema de 3 grados de libertad. En
efecto, el desplazamiento de las tres masas viene dado por las coordenadas Va, Vb, Vc,
siendo suficiente en este caso determinar las aceleraciones en estas tres masas.
La solución del problema puede obtenerse utilizando un desarrollo en serie de
Fourier:
L
xn
YV n
n
x

sen
1




Considerando los tres primeros términos de la serie, se tendrá en el caso del ejemplo
elegido:

L
x
Y
L
Y
L
x
YxV
 3
sen
2
sensen)( 321 
Los tres coeficientes Y1,Y2,Y3, definen completamente la deformación de la viga para
este sistema de 3 grados de libertad.
A partir de una solicitación inicial, la respuesta dinámica de una estructura viene
definida por la variación, a lo largo del tiempo, de estas deformaciones.
Las ecuaciones que permiten
determinar estos desplazamientos
se obtienen expresando el
equilibrio de todas las fuerzas que
solicitan la estructura; se tendrá una
ecuación para cada grado de
libertad y generalmente podrá
expresarse la ecuación de equilibrio
a partir de una única coordenada
que define la deformación de la
estructura (por ejemplo, la flecha máxima).
“CÁLCULO PRÁCTICO DE ESTRUCTURAS DE EDIFICIOS EN HORMIGÓN ARMADO.
TORSIÓN, PANDEO, OSCILACIONES Y DEFORMACIONES PLÁSTICAS”. ALVERT
FUENTES ED. Técnicos Asociados S. A. Pag. 159-161

1.2.2 EQUILIBRIO DE LOS DISTINTOS ELEMENTOS ESTRUCTURALES. Solicitaciones y
corrimientos.
SÓLIDO RÍGIDO, SÓLIDO ELÁSTICO Y PRISMA MECÁNICO.
EL TORSOR DE SOLICITACIONES.
ANÁLISIS DE SECCIONES EN RÉGIMEN ELÁSTICO Y PLÁSTICO.
TORSOR DE
SOLICITACIONES
DISTRIBUCIÓN DE TENSIONES
MODELO ELÁSTICO MODELO PLÁSTICO
Nx AXIL


Nx
x 

Nx
x
Qy CORTANTE
yBI
yQB
y
yy
xy 


yQ
xy
Q2 CORTANTE
22
2
bI
zQB zz
x 
Mx TORSIÓN
p
x
I
M *
 
My FLEXIÓN y
y
y
y
x
W
M
y
I
M

  *2
4
y
yy
x
W
M
y
bh
M

M2 FLEXIÓN z
z
z
z
x
W
M
z
I
M

  *2
4
z
zz
x
W
M
bh
M


1.2.4 EQUILIBRIO INTERNO. Tensiones y deformaciones.
.......El imaginar la estructura deformándose, bajo la acción de las cargas a que se la
somete, es indudablemente la mejor ayuda que se puede tener al tratar de imaginar,
no sólo el estado de tensión del sólido, sino también el lugar y la forma en que el
material puede fallar. Del mismo modo que la experiencia diaria habitúa a ver las mal
llamadas piezas prismáticas deformarse y romperse pr tracción o flexión, se puede
alcanzar ese mismo hábito y esa intuición en otros casos más complejos; e incluso,
comprender mejor cómo trabaja y cómo falla el material en aquellos casos sencillos.
Para ello, conviene siempre analizar la figura deformada y estudiar las líneas de
deslizamiento a 45º con aquellas isostáticas y, en definitiva, los plexos deformatorio y
tensional. Todo el tiempo que se dedica a discurrir sobre ellos es siempre una fuente
fecundada de inagotables enseñanzas.
Un buen maestro recomendaba a sus discípulos, cuando empezaban a estudiar estas
cuestiones tensionales, que llevasen siempre en el bolsillo una goma de borrar, con
una retícula y unas circunferencias trazadas en sus caras, para observar sus
deformaciones. Así se ve cómo las circunferencias se convierten en elipses (fig. II. 4ª)y
cómo las direcciones incialmente perpendiculares, varían de ángulo entre sí, excepto
cuando las direcciones de la retícula coinciden con las tensiones principales.
La experiencia se aclara todavía más cuando se complementa con la observación de
otra barra análoga del material plástico, como la cera o la arcilla de alfarero. En ésta
se ve bien claramente que el material puede romper por separación
perpendicularmente a la dirección de la máxima tracción (fig. II. 4b), o fallar por
deslizamientos sucesivos (b´) según planos a 45º con ella, en los que la proyección del
esfuerzo da lugar a una tensión tangencial máxima, provocadora del deslizamiento.
Parecidos deslizamientos se observan al someter la probeta a compresión; si bien
entonces la inclinación de los planos de deslizamiento y rotura puede variar por
efecto del rozamiento interno; y aun en ciertos materiales puede aparecer la rotura,
según planos paralelos a la compresión (c´), por la dilatación correspondiente al
efecto Poisson.
Bajo un esfuerzo cortante puro, el material, según sus características intrínsecas,
romperá por deslizamiento según estas orientaciones de la tensión cortante (d´), o
por separación a 45º con ellas (d); porque este tipo de esfuerzo – como es sabido –
no es otra cosa que el efecto de dos tensiones principales iguales y de opuesto signo
(tracción una y compresión la otra), que dan lugar a una tensión cortante de igual

valor según los planos bisectores de aquellas. Interesa también, en relación con la
resistencia, llevar al ánimo del proyectista – y en particular al ocuparse de los detalles
de una estructura, tipos de enlaces, etc. -, que la rotura no depende sólo de la mayor
tensión principal a que se somete, sino también de las otras dos, normales a ella, y
que no siempre son despreciables.
En efecto: las diferentes curvas de resistencia intrínseca de los diversos materiales de
construcción demuestran la importancia, en la resistencia y en el tipo de rotura, tanto
del valor y del signo de la tensión principal máxima como de la diferencia entre la
máxima y la mínima. Si es cierto que unos materiales son frágiles y otros dúctiles, no
lo es menos que la mayoría de éstos, si no todos, acaban por romper frágil y
bruscamente si se les somete a una equitracción en todas direcciones; y, por el
contrario, se ductilizan y acaban por aceptar deslizamientos importantes, sin
romperse, bajo elevadísimas compresiones triples.
RAZÓN Y SER DE LOS TPOS ESTRUCTURALES. Eduardo Torroja. Pag. 20-21
1.2.5 BIBLIOGRAFÍA BÁSICA.
(CW) Croll & Walker “Elementos de estabilidad estructural”.
(FC) C. Fernandez Casado. “Resistencia”.
(S) R. Saliger. “Estática Aplicada”.
(NW) Norris & Wilbur. “Analisis elemental de estructuras”.
(TY) Timoshenko & Young. “Teoría de las estructuras”.
(LS) T.Y. Lin & S.D. Stotesbury “Conceptos y Sistemas Estruct. para Arquitectos e
Ingenieros”.
(AF) Alvert Fuentes “Cálculo de Estructuras de Edificios en Hormigón
Armado. Torsión, Pandeo, Oscilaciones y Deformaciones plásticas.”
Lección 3
EQUILIBRIO GENERAL: ACCIONES Y REACCIONES Y SUS EFECTOS EN LAS ESTRUCTURAS:
1.3.1 ACCIONES: (MP, 121) (SH, 18-31) (LS, 149,153,159)
(EHE 37)
CONCEPTO DE ACCIÓN: VALOR REAL, VALOR CARACTERÍSTICO Y VALOR LEGAL.
CLASIFICACIÓN DE ACCIONES:
ACCIONES VARIABLES
CARGAS VIVAS.
EFECTOS DE LA TEMPERATURA.
EFECTOS DE CAMBIOS VOLUMÉTRICOS.
ACCIONES PERMANENTES.
CARGAS MUERTAS.

CON CARGAS.
EMPUJES DE TIERRAS Y LÍQUIDOS.
ASIENTOS DIFERENCIALES.
ACCIONES ACCIDENTALES.
CARGAS DE NIEVE, LLUVIA, GRANIZO Y HIELO.
EMPUJES DEL VIENTO.
SISMO.
DE IMPACTO.
INCENDIO.
EXPLOSIONES.
ACCIONES DEL PROCESO CONSTRUCTIVO.
.......Artículo 9.º Clasificación de las acciones.
Las acciones a considerar en el proyecto de una estructura o elemento
estrucutral se pueden clasificar según los criterios siguientes:
- Clasificación por su naturaleza.
- Clasificación por su variación en el tiempo.
- Clasificación por su variación en el espacio.
9.1. Clasificación de las acciones por su naturaleza.
Las acciones se pueden clasificar según su naturaleza en los
siguientes grupos
:
- Acciones directas: Son aquellas que se aplican directamente sobre la
estructura. En este grupo se incluyen el peso propio de la estructura, las
restantes cargas permanentes, las sobrecargas de uso, etc.
- Acciones indirectas. Son aquellas deformaciones o aceleraciones
impuestas capaces de dar lugar, de un modo indirecto, a fuerzas. En este grupo
se incluyen los efectos debidos a la temperatura, asientos de la cimentación,
acciones reológicas, acciones sísmicas, etc.
9.2. Clasificación de las acciones por su variación en el tiempo.
Las acciones se pueden clasificar por su variación en el tiempo en los siguientes
grupos:
Acciones permanentes (G). Son aquellas que actúan en todo momento y son
constantes en magnitud y posición. Dentro de este grupo se engloban el peso
propio de la estructura, de los elementos embebidos, accesorios y del
equipamiento fijo.
- Acciones Permanentes de Valor no Constante (G*). Son aquellas que
actúan en todo momento pero cuya magnitud no es constante. Dentro de este
grupo se incluyen aquellas acciones cuya variación es función del tiempo

transcurrido y se producen en un único sentido tendiendo a un valor límite,
tales como las acciones reológicas, etc. El pretensado (P) puede considerarse de
este tipo.
- Acciones Variables (Q). Son aquellas que pueden actuar o no sobre la
estructura. Dentro de este grupo se incluyen sobrecargas de uso, acciones
climáticas, acciones debidas al proceso constructivo, etc.
- Acciones accidentales (A). Son aquellas cuya posibilidad de actuación es
pequeña pero de gran importancia. En este grupo se incluyen las acciones
debidas a impactos, explosiones, etc. Los efectos sísmicos pueden considerarse
de este tipo.
9.3 Clasificación de las acciones por su variación en el espacio.
Las acciones se pueden clasificar según su variación en el espacio en los
siguientes grupos:
- Acciones fijas. Son aquellas que se aplican siempre en la misma posición.
Dentro de este grupo se incluyen básicamente las acciones debidas al peso
propio de los elementos estructurales y funcionales.
- Acciones libres. Son aquellas cuya posición puede ser variable en la
estructura. Dentro de este grupo se incluyen fundamentalmente las sobrecargas
de uso.
Artículo 10.º Valores característicos de las acciones.
10.1 Generalidades.
El valor característico de una acción es su principal valor representativo. Puede
venir determinado por un valor medio, un valor nominal o, en los casos en que
se fije mediante criterios estadísticos, por un valor correspondiente a una
determinada probabilidad de no ser superpuesto durante un periodo de
referencia, que tiene en cuanta la vida útil de la estructura y la duración de la
acción.
10.2 Valores característicos de las acciones permanentes.
Para las acciones permanentes en las cuales se prevean dispersiones
importantes, o en aquellas que puedan tener una cierta variación durante el
periodo de servicio de la estructura, se tomarán los valores característicos
superior e inferior. En caso contrario es suficiente adoptar un único valor.
En general, para el peso propio de la estructura se adoptará como acción
característica un único valor deducido de las dimensiones nominales y de los
pesos específicos medios. Para los elementos de hormigón se tomarán las
siguientes densidades:
Hormigón en masa: 2.300 Kg/m3
Hormigón armado y pretensado: 2.500 Kg/m3

“INSTRUCCIÓN DE HORMIGÓN ESTRUCTURAL.” Ministerio de Fomento
1.3.2 REACCIONES:
CARACTERÍSTICAS DE LOS SUELOS. (MP, 173-179)
REACCIONES DEL TERRENO (FM, 77-
127)
(RS) R. Saliger. “Estática aplicada”.
(MP) R. Meli Piralla. “Diseño estructural”.
(NW) Norris & Wilbu. “Analisis elemental de estructuras”.
Shreyer. “Estática de las estructuras”.
K. Terzaghi. “Mecánica de suelos en la ingeniería práctica”.
(FM) F. Mañá. “Cimentaciones superficiales”.

Lección 4
EQUILIBRIO DE LOS DISTINTOS ELEMENTOS ESTRUCTURALES:
1.4.1 APLICACIÓN DE LOS CONCEPTOS BÁSICOS (AF1, 98-159)
CALCULO DE GIROS Y DESPLAZAMIENTOS.
Teoremas de Mohr.
Aplicación a vigas continuas.
Deformaciones en los pórticos.
VIGAS DE INERCIA VARIABLE.
TORSIÓN.
Tensiones originadas por los momentos torsores.
Formula general. Formulación para las secciones simples más usuales.
Centro de torsión.
Elementos solicitados a torsión.
Viga de inercia constante empotrada en sus extremos.
Mensulas perpendiculares.
Pórtico de borde con brochales ortogonales.
Torsión y alabeo.
(AF1) A. Fuentes. “Calculo practico de estructuras en edificios de hormigón armado.
Edificios corrientes y de gran altura”.
(AF2) A. Fuentes. “Calculo practico de estructuras en edificios de hormigón armado.
Torsión, pandeo, oscilaciones y deformaciones plásticas”.
(AF3) A. Fuentes. “Nuevas bases de cálculo de hormigón armado”.
(NW) Norris & Wilbur. “Análisis elemental de estructuras”.
(TY) Timoshenko & Young “Teoría de estructuras”.
(MP) R. Meli Piralla. “Diseño estructural”.

Lección 5
EQUILIBRIO INTERNO
CONCEPTO DE TENSIÓN EN UN PUNTO.
RESIST. DE MATERIALES Y TEORÍA DE ELASTICIDAD. (AJ, 32) (WR,
67)
TEORÍA DE LA PLASTICIDAD. ENERGÍA DE DEFORMACIÓN . (WR,
133)
LAS FORMAS DE RESISTIR. CRITERIOS PARA ESTABLECER LA ROTURA. (MP,
84)
“Teoría de la rotura.
Hemos visto en los diferentes ensayos que al aumentar gradualmente las
fuerzas que solicitan a la probeta las deformaciones de ésta aumentan, y llega
un momento en que se desintegra en partes.
Lo mismo ocurre con las estructuras de fábrica (incluyendo en éstas el
hormigón armado); si las fuerzas que actúan crecen continuamente se llega a
una situación en que la estructura se divide en partes, las cuales, en ciertos
casos, pueden seguir en equilibrio, resistiendo los esfuerzos, pero si el aumento
de éstos persiste, la estructura acaba por arruinarse. En las estructuras metálicas
la mayoría de las veces el proceso destructivo es distinto; la estructura no se

subdivide, pero cambia de forma, pudiendo llegar a resultar impropia para la
función que tiene que desempeñar, aunque siga soportando las fuerzas
exteriores. Continuando el incremento de éstas podemos llegar al
derrumbamiento sin desintegración de la estructura.
Se comprende inmediatamente que el problema de la rotura ha de abordarse
por vía experimental (como acabamos de ver), ya que se refiere a un fenómeno
cuya realidad no puede ser más brutal. Pero es preciso tener presente que la
experiencia no es puramente observación de hechos, sino comprobación de
hipótesis previamente elaboradas. Entre ellas seleccionamos cuatro grupos, que
sitúan el momento de la rotura en las condiciones siguientes:
Máxima tensión principal (LAMË, RANKINE), cuando una de las tensiones
principales de compresión o tracción iguala a la tensión de rotura en
compresión o tracción pura, respectivamente.
Máxima dilatación principal (SAINT VENANT), cuando la dilatación o
contracción en dirección de una tensión principal llega a alcanzar el mismo
valor que en rotura por tracción o compresión pura.
Máxima tensión tangencial (COULOMB, GUEST), cuando la componente
tangencial máxima alcanza el valor correspondiente a rotura por cortadura pura.
COULOMB hace intervenir en algunos casos la componente normal a través del
rozamiento interno.
Máximo trabajo de deformación, en BELTRAMI, HAIGH, cuando se emplea en
deformar la unidad de volumen del cuerpo, el trabajo correspondiente a rotura
por tracción simple. Según VON MISES, HENCKY, cuando la energía potencial
acumulada en el material, debida a la deformación tangencial exclusivamente,
iguala a la que se emplea para romper el material en cortadura pura.
La primera hipótesis queda invalidada al considerar la solicitación del cuerpo
que corresponde a tensiones principales de tracción y compresión iguales, pues
el máximo valor de la componente tangencial también iguala a los anteriores y,
por consiguiente, la tensión de rotura por cortadura debería ser, por lo menos,
igual a la de tracción, lo cual es falso para casi todos los metales.
La segunda también se invalida al comparara la solicitación de tracción sencilla
con la de tracción triple. Es evidente que las condiciones se empeoran en el
segundo caso, mientras que la hipótesis indica todo lo contrario; pues al reducir
por efecto POISSON las deformaciones, en cualquiera de los sentidos, puede
aumentar la tensión para estar a la misma distancia de la rotura que en el
primer caso.

La tercera hipótesis aplicada a la solicitación de tracción simple exigiría que la tensión
de rotura por cortadura fuese inferior a la mitad de la correspondiente a tracción
sencilla, lo cual sólo se verifica en los materiales dúctiles.
La cuarta hipótesis parece muy adecuada en el caso de materiales metálicos
sometidos a solicitaciones compuestas.
Cada una de estas hipótesis proporciona un criterio distinto de rotura, pudiendo
conducir a resultados muy divergentes. Por ejemplo, aplicadas a la solicitación por
cortadura pura, las condiciones que imponen a las tensiones máximas son las
reunidas en el cuadro, que particularizadas para un módulo de POISSON igual a 0,3
(caso típico del acero), proporcionan los valores numéricos indicados, en los que
vemos existen divergencias del orden del 50 por 100.
En realidad, es arbitrario querer aplicar criterio único a todos los materiales y modos
de solicitación, pues el fenómeno de la rotura hemos visto ya que varía con estas dos
circunstancias, y, además, con el tipo de estructura, modo de aplicación de los
esfuerzos, velocidad de crecimiento de éstos, historia anterior, temperatura, etc. Como
dice ROSS: una teoría de rotura que no hace concesiones a la textura del material no
es posible, debido al hecho de que es muy diferente el comportamiento de materiales
de distinta estructura interna. Cada material requier3 su propia teoría de rotura,
consecuencia de esta estructura interna y del comportamiento al deformarse.
De este mismo autor tomamos la clasificación de los tipos de rotura, distinguiendo:
rotura por estallido, por deslizamiento, intermedia, por fluencia y por fatiga. En todos
casos se tiene separación de moléculas; la compresión hidrostática no conduce a la
rotura.
El modo más lógico de abordar el problema es determinar, mediante experimentación
directa, las condiciones de rotura para unos cuantos modos de solicitación y llevarlos
a curvas que definan las correspondientes a todos los casos posibles. Así se obtienen
las llamadas curvas de resistencia intrínseca, tomando a partir de un origen los
vectores que representan las tensiones de rotura con el mismo convenio que el

trazado del círculo de MöHR, es decir, en dos ejes de coordenados,  y . Esta curva
divide la superficie del plano en dos regiones, de las cales sólo tienen realidad física
los puntos en el interior de la curva. Como por otro lado ya hemos visto que el
círculo de MöHR define con respecto al mismo origen la región teórica de puntos
representativos de una solicitación determinada, deducimos que para que ésta sea
además posible en el material de que se trata, el círculo ha de quedar dentro de la
curva, y en el caso límite, es decir, para las condiciones de rotura en ese tipo de
solicitación, ambas curvas han de ser tangentes.
La noción formal de la curva de resistencia intrínseca se apoya en la hipótesis de
isotropía del material, y en la de rotura según secciones planas, y su realización es
posible porque se miden valores de las tensiones de rotura. Las experiencias básicas
para esta determinación son los ensayos para solicitaciones simples que hemos
estudiado y, además, un cierto número de solicitaciones compuestas de fácil ejecución
e interpretación. Vamos a pasar revista a todas ellas, estudiando su significación en la
citada curva según los materiales.

Rotura por compresión o tracción simple.- El círculo de MöHR pasa por el origen,
quedando a la derecha del eje vertical, en compresión, y a la izquierda, en tracción.
Existe una diferencia muy marcada entre las condiciones correspondientes a los
materiales dúctiles (tipo acero) y los frágiles (tipo hormigón), pues en los primeros las
tensiones de rotura son aproximadamente iguales en ambos modos de solicitación,
mientras que en los segundos es mucho menor la de tracción (alrededor de la décima
parte en hormigones).
Rotura por cortadura pura.- El círculo de MöHR tiene su centro en el origen. Aunque
este modo de solicitación no corresponde realmente a casos prácticos, define la
resistencia al deslizamiento interno y caracteriza la curva de resistencia intrínseca al
dar la separación de sus ramas en el eje vertical.
Rotura por compresión triple.- Esta solicitación se define por tres tensiones
principales de compresión, y se realiza sometiendo probetas prismáticas del material a
compresiones en sus caras opuestas, bien mediante presión de platillos o por presión
hidráulica combinada, o bien en hormigones mediante zunchado de probeta cilíndrica
que se somete a compresión simple. El círculo de MöHR se parta del origen, y en el
caso de que las tres tensiones principales sean iguales, se reduce a un punto. Esto
significa que el material no se rompería nunca bajo este modo de solicitación
(compresión hidrostática), pues el círculo de MöHR no puede dilatarse hasta llegar a
la curva de resistencia intrínseca. Al aumentar los esfuerzos, el punto representativo se
desliza por el eje en la zona abierta de la curva. También vemos que las condiciones
de trabajo del material mejoran notablemente al pasar de la solicitación simple a la
triple, ya que, al separarse del origen el punto de tangencia, define una tensión de
rotura mucho más importante. Esto se ha comprobado en las experiencias de
KARMAN y BOKER, con cilindros de mármol y arenisca, de RICHAR y BRANDTZAEG
sobre cilindros de hormigón y hormigón armado, CAQUOT, etc.
Rotura por tracción triple.- Como en el caso anterior, pero con tensiones principales
de tracción. El círculo se desplaza hacia la izquierda y vemos que sus condiciones de
trabajo se empeoran, especialmente en materiales frágiles, pues los círculos
tangentes a la curva tienen cada vez menor radio. Es mucho más difícil de realizar
que la compresión triple y tienen menos importancia práctica. Si se igualan los valores
de las tres tensiones principales, el círculo de MöHR se reduce a un punto, que al
aumentar los esfuerzos se desplaza en el eje hacia el vértice de la curva, punto límite
que representa por consiguiente el valor de la cohesión, pues corresponde a rotura
por estallido, sin deslizamiento interno.
Rotura por compresión y tracción combinada.- Nos representan puntos diversos en
la curva, y los círculos de MöHR cortan al eje vertical. El modo más sencillo de
obtener las condiciones de solicitación correspondientes en materiales metálicos es
someter tubos delgados a efectos combinados de torsión, tracción o compresión y

presión hidráulica interna o externa. Es preciso tomar precauciones para que no se
produzcan fenómenos de pandeo. Son clásicas las experiencias de GUEST (1900).
Resumiendo los resultados anteriores con respecto a la forma de las curvas de
resistencia intrínseca, vemos que en todos los materiales se obtienen curvas simétricas
respecto al eje horizontal (en realidad, se trata de superficies de revolución que
pueden definirse por la curva generatriz) con un vértice a la izquierda del origen, cuya
abscisa define el valor de la cohesión, del mismo modo que la ordenada en el origen
define la resistencia al deslizamiento plástico.
En los materiales pétreos, la gran diferencia entre las tensiones de rotura por
tracción y compresión da a la curva una forma de ramas muy abiertas, que van a
cerrase muy cerca del origen. La resistencia al deslizamiento plástico es superior a la
cohesión.
En los materiales metálicos dúctiles, por el contrario, las resistencias a la tracción y a
la compresión simple son sensiblemente iguales y, por lo tanto, las dos ramas son
casi paralelas al cortar al eje vertical, teniendo el vértice bastante alejado de este eje.
La cohesión es mucho mayor que la resistencia al deslizamiento plástico y ésta es
aproximadamente la mitad de la resistencia a tracción o compresión sencilla.
Pueden obtenerse también curvas de resistencia intrínseca en muestras de terrenos
con cohesiones. Suelen ser, aproximadamente, rectas, que en arena pasan
aproximadamente por el origen, y en arcilla para ensayo rápido son paralelas al eje
horizontal en la zona de compresiones. El paralelismo de las ramas caracterizan las
condiciones de plasticidad pura, y como incluso en los materiales frágiles, a medida
que nos alejamos del origen, la inclinación de éstas tiende a la horizontal, quiere decir
que para solicitaciones de compresión triple muy elevadas todos los materiales se
transforman en plásticos, lo que se comprueba en las experiencias
En la curva de resistencia intrínseca se tienen elementos para definir, de un modo
adecuado, las propiedades de los cuerpos que tiene relación con el fenómeno de
resistencia, como son: fragilidad, ductilidad, resiliencia

El coeficiente de fragilidad puede definirse por la relación entre las tensiones de
rotura por tracción hidrostática y por cortadura pura, es decir, por la que corresponde
a los dos segmentos que intercepta la curva en ambos ejes. Esta propiedad no varía
en sentido inverso de la resistencia, como parece a primera vista. Así, por ejemplo, los
hormigones de cemento fundido son más frágiles que los de Portland, y si
aumentamos la compacidad de un hormigón, aunque se incrementan las resistencias
a compresión y a tracción, como la primera crece más deprisa que la segunda, la
fragilidad también aumenta.
Para la ductilidad es fundamental el valor de la tensión de rotura por cortadura, es
decir, por deslizamiento plástico, mientras que para la resiliencia lo es el de la tensión
de rotura por tracción hidrostática (el cuadrado de esta tensión se denomina
resiliencia verdadera), y como estas dos propiedades entran en juego, según el modo
de aplicación de las cargas, estático o por el choque, respectivamente, vemos que en
los metales pueden producirse dos tipos de rotura: o por deslizamiento plástico con
desplazamientos importantes y tensiones moderadas, o bien por estallido con
pequeños desplazamientos y grandes tensiones. En este segundo caso se vence
directamente la cohesión de la materia; en otro, se destruye la estabilidad de la

estructura interna por ataque de flanco. Son, por consiguiente, dos modos de resistir
que caracterizan a un metal y que en cierto modo son independientes, y desde luego
no varían en el mismo sentido. Por ejemplo, en los aceros especiales al níquel, al
cromo, etc., se obtiene una mejora en la resistencia al deslizamiento, pues los cuerpos
añadidos dan lugar a interposiciones en la estructura interna, que hacen el oficio de
llaves que coartan el deslizamiento, pero que al mismo tiempo disminuyen la
cohesión. Para una misma familia de aceros la resistencia a tracción y la resiliencia
varían en sentido contrario.
Mediante las curvas de resistencia intrínseca se aclaran las formas de rotura de las
probetas correspondientes a materiales frágiles y tenaces. En los primeros ocurre
siempre que el plano de rotura es paralelo a la tensión principal de menor valor
algebraico, es decir, perpendicular a la dirección del esfuerzo en tracción, y paralela al
mismo en compresión sencilla. Este último es difícil de concebir, pero se comprende
fácilmente, dada la forma de la curva, pues el punto de tangencia del círculo de
MöHR está muy próximo al eje de ordenadas, la tensión de rotura está casi en esta
dirección y corresponde, por lo tanto, a secciones casi paralelas a la dirección del
esfuerzo. También vemos en la curva que el punto de tangencia, lo mismo para
tracción simple que para cortadura pura, está muy próximo al vértice y corresponde a
planos perpendiculares a la tensión principal de tracción.
En las probetas a tracción de materiales tenaces hemos visto que la rotura comenzaba
en el centro, por estallido, y después se formaban dos superficies inclinadas
denotando rotura por deslizamiento. La explicación más satisfactoria es la siguiente: a
consecuencia de las diferentes condiciones en que se encuentran las fibras interiores y
las exteriores, en la transformación metalográfica que supone el estirado, se hacen
desiguales los coeficientes de elasticidad, deformándose de un modo diferente, lo
cual da lugar a la aparición de extricciones. Al localizarse éstas en una zona reducida,
la distribución de isostáticas se altera profundamente, sufriendo una doble incurvación
las longitudinales, lo que da lugar, como ya sabemos, a la aparición de tensiones de
tracción transversales, aumentando desde el contorno hacia el centro y desde la
sección normal a la de máxima extricción. Por consiguiente, mientras que los puntos
del contorno siguen sometidos a tracción sencilla los del interior lo están a tracción
simple, llegando a alcanzarse el punto de tracción isostática (vértice de la curva), en
cuyo caso saltan las fibras interiores, rompiéndose después las externas, con la
inclinación de deslizamiento correspondiente a tracción sencilla.
Explicación análoga puede darse en la rotura por esfuerzos alternados, pues toda
desigualdad interna da lugar a una alteración en la distribución de isostáticas, es
decir, a una doble incurvación, lo que significa empeoramiento de las condiciones de

resistencia por aparición de tracciones transversales, y aun que el círculo de MöHR,
que define las condiciones medias, queda dentro de la curva intrínseca, alguno local
puede rebasarlo lo que dará lugar a deformaciones permanentes que, acumulándose
en ciclos sucesivos, llevan a la rotura.
Del estudio de las curvas de resistencia intrínseca se deducen otras consecuencias
muy interesantes. Por ejemplo, con relación al zunchado; en los materiales metálicos,
al introducir en la solicitación de compresión sencilla una compresión lateral, ON1, la
tensión longitudinal de rotura se incrementa únicamente en esta cantidad, pues el
círculo apenas cambia de radio, mientras que en los pétreos este aumento puede
llegar hasta cuatro veces la compresión lateral introducida, pues el círculo de MöHR
aumenta mucho de radio, debido a la divergencia de las dos ramas de la curva.

Otra explicación interesante es la disminución de fragilidad que se obtiene en el
hormigón cuando se introducen fibras de amianto. Mientras que la tensión de
compresión no cambia, aumenta mucho la tensión de tracción, y el vértice de la curva
avanza hacia la izquierda.

Vemos, por lo tanto, que es inadmisible el método de comprobación de la resistencia
de una estructura por comparación de las tensiones principales, aisladamente con las
que corresponde a rotura por tracción o compresión sencilla. Este procedimiento
supone ya un avancen relación al de comparar las componentes normal y tangencial
aisladamente, pero ha quedado demostrado que son las dos tensiones principales
extremas las que definen simultáneamente las condiciones de trabajo del material.

El considerar únicamente las dos tensiones principales extremas es, en realidad, una
hipótesis, que algunas experiencias han demostrado como ligeramente inadecuada
(Böquer, Richart, Brandizaeg, Lodé, etc.). Esto significa que no existe una sola curva
de resistencia intrínseca para cada cuerpo, sino mas bien un haz. Este es uno de los
defectos de la interpretación de la rotura mediante estas curvas. Otros importantes
son que la rotura no se localiza en un punto, sino que abarca una cierta zona y por
consiguiente depende de la distribución de tensiones en dicha zona; además va
precedida de importantes de importantes deformaciones permanentes que implican
perdida de isotropia del material y, por consiguiente, alteración de los círculos
representativos.
Estos dos hechos invalidan las dos hipótesis de rotura según planos e isotropia
alrededor de un punto, que eran fundamentales par la interpretación de la curva de
resistencia intrínseca. Además esta curva no tiene en cuenta las condiciones de rotura
por esfuerzos alternativos, ni las de pandeo, importantes ambas en las estructuras
metálicas. Se amolda mucho mejor a las condiciones de los materiales pétreos,
especialmente el hormigón, que es donde sus resultados son mucho más interesantes.
En la figura damos la curva obtenida por la Comisión del Reglamento para
construcciones de hormigón armado de la Cámara Sindical de constructores
franceses.
En realidad las condiciones de rotura son muy complicadas y, en general, el
fenómeno correspondiente queda definido de un modo impreciso; además, en ciertos
materiales no es el que debe regular el aprovechamiento del material, pues
particularmente, en los metales, existen fases de comportamiento que no se deben
rebasar, por ejemplo, el paso a la zona francamente plástica. También encontraremos
dificultades para definir experimentalmente esta fase, pues la condición de
proporcionalidad o elasticidad perfecta ya dijimos que representa conceptos limites
cuya aplicación depende de la exactitud con que se realiza la medición de las
deformaciones. En cambio, un punto claramente definido en las experiencias es el
limite de fluencia en los materiales en que se presenta dicho fenomeno. Podemos
entonces obtener curvas anaslogas a las de resistencia intrínseca, para las tensiones
principales en que tiene lugar dicho fenómeno y queque nos pueden servir para
definir una curva homotetica con la reducción correspondiente al coeficiente de
seguridad, dentro de la cual es preciso permanecer en la practica.
En los terrenos tampoco es la rotura el fenómeno que manda en la fijación de las
condiciones de utilización, sino el paso a la zona de comportamiento plástico. Así la
condición fundamental es la que se denomina condición de plasticidad, que puede
exprsarse analíticamente aplicando los criterios expuestos al principio de este

capitulo, siendo valido el de MISES, que conduce a la ecuación 78, y con menos
aproximación, el de MÖHR (79).
“RESISTENCIA” Carlos Fernández Casado. Madrid 1941
Lección 6
LA FILOSOFÍA DEL MÉTODO DE CROSS.
1.6.1 CONCEPTOS BÁSICOS:
Criterios de signos. Acciones de barra sobre nudo y viceversa.
Conceptos de rigidez, coeficientes de transmisión: barras rectas, curvas, de inercia
constante.
Equilibrio de nudo. Coeficientes de reparto.
Distribución de momentos flectores y esfuerzos cortantes en función de los
momentos transmitido por los nudos a la barra.
1.6.2 VIGAS CONTINUAS.
1.6.3 PÓRTICOS PLANOS INDESPLAZABLES.
1.6.4 PÓRTICOS PLANOS DESPLAZABLES.

1.6.5 PÓRTICOS ESPACIALES.
1.6.6 APLICACIÓN AL PROYECTO DE LA ESTRUCTURA.
P. Charon. “Metodo de Cross y el calculo práctico de las construcciones”.
S. Zaytzeff. “Calculo de las construcciones hiperestáticas”.

Lección 7
MÉTODOS DEDUCTIVOS PARA ANALIZAR LA RESPUESTA DE LAS ESTRUCTURAS
HIPERESTÁTICAS
1.7.1 BASES FUNDAMENTALES.
Relaciones Momento flector - Deformada.
Relaciones Cargas - Esfuerzos Cortantes.
Relaciones Momentos - Esfuerzos Cortantes.
Equilibrio de nudos.
1.7.2 DEDUCCIONES A PARTIR DE LA DEFORMADA.
1.7.3 DEDUCCIONES A PARTIR DE LA FILOSOFÍA DEL METODO DE CROSS.
1.7.4 EJEMPLOS.
P. Charon. “Método de Cross y el calculo práctico de las construcciones”.
Norris & Wilbur. “Análisis elemental de estructuras”.
R. Meli Piralla. “Diseño estructural”.

Lección 8
ANÁLISIS SIMPLIFICADOS DE ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS.
1.8.1 INTRODUCCIÓN GENERAL.
1.8.2 MÉTODOS BASADOS EN EL TRAZADO APROXIMADO DE LA ELÁSTICA:
Vigas continuas, pórticos simples, pórticos planos sometidos a cargas verticales,
pórticos planos sometidos a cargas verticales.
1.8.3 MÉTODOS BASADOS EN EL TEOREMA DEL LÍMITE EXTERIOR.
1.8.4 ANÁLISIS APROXIMADO DE CELOSÍAS Y PÓRTICOS INDUSTRIALES.
1.8.5 MÉTODOS RECOGIDOS EN LAS NORMATIVAS.
1.8.6 OTROS MÉTODOS.
1.8.7 BIBLIOGRAFÍA BASICA.
Norris & Wilbur. “Análisis elemental de estructuras”.
Mañac, A. “La Estructura”.
H. Werner Rosenthal. “La Estructura”.

H. Parker. “Calculo simplificado de estructuras de acero”.
R. Meli Piralla. “Diseño estructural”.
J. Ambrose & D. Vergun. “Diseño simplificado de edificios para cargas de viento y
sismo”.

Analisis estructural 2003 2004

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