Solución de algunos problemas propuestos.

1. n r  n n  k 
1. Sea n un entero positivo demuestre que  .    .
r k  k r  k 

     
n n  k  n! (n  k )! n! (n  k )!
 .
 k   r  k   (n  k )!*k! * ((n  k )  (r  k ))!*(n  k )!  (n  k )!*k! * (n  r )!*(r  k )!

  
 n   n  k  n! 1
 .
 k   r  k   k! * (n  r )!*(r  k )!

  
 n   n  k  n! 1 r!
 .
 k   r  k   k! * (n  r )!*(r  k )! * r!

  
n n  k  n! r!
 .
 k   r  k   (n  r )!r! * * (r  k )!k!

  
n r  n n  k 
 .    .
r k  k r  k 

     

2.  2n   2n   2n  2 
2. Sea n un entero positivo demuestre que 
   
     2

 n  1  n   n  1 
 2 n   2 n   2n  2 

 n  1   n    n  1  2
    
     
 2 n   2n  (2n)! (2n)! n * (2n)!(2n)!*(n  1) (2n)!*[n  (n  1)]

 n  1   n   (n  1)!(n  1)!  n!*n! 
   
    (n  1)!*n! (n  1)!*n!
(2n)!*[n  (n  1)] (2n)!*[2n  1] (2n  1)! (2n  2) (2n  2)!
  * 
(n  1)!*n! (n  1)!*n! (n  1)!*n! (2n  2) (n  1)!*n!*2(n  1)
(2n  2)! (2n  2)! (2n  2)! 1  2n  2 
  *   2
(n  1)!*n!*2(n  1) (n  1)!*(n  1)!*2 (n  1)!*(n  1)! 2  n  1 
 

3. 3. Supongamos que k y n son enteros tales que 1 k n. Demuestre que:
 n  1  n   n  1  n  1  n   n  1

 k  1 *  k  1 *  k    k  *  k  1 *  k  1
          
           
Por la regla de la combinatoria.
 n  1  n   n  1 (n  1)! n! (n  1)!
  *  *   
 k  1  k  1  k  ((n  1)  (k  1))!(k  1)! (n  (k  1))!(k  1)! ((n  1)  k )!k!
     
 n  1  n   n  1 (n  1)! n! (n  1)!
  *  *   
 k  1  k  1  k  (n  k )!(k  1)! (n  k  1)!(k  1)! (n  1  k )!k!
     
 n  1  n   n  1 (n  1)! n! (n  1)!
 * *   
 k  1  k  1  k  (n  k )!(k  1)! (n  k  1)!(k  1)! (n  1  k )! k!
     
Reorganizando los denominadores obtenemos lo siguiente:
 n  1  n   n  1 (n  1)! n! (n  1)!
 * *   
 k  1  k  1  k  (n  k  1)! k! (n  k  1)!(k  1)! (n  k )!(k  1)!
     
Se concluye entonces que:
 n  1  n   n  1  n  1  n   n  1

 k  1 *  k  1 *  k    k  *  k  1 *  k  1
          
           

4. 4. ¿De cuántas formas se puede elegir diez monedas de una canasta que contiene 100 monedas de un euro y 80 monedas de dos euros
si el orden no interesa y si la repetición está permitida?
Respuesta: Por la regla de la combinatoria con repetición.
El tipo de monedas es 2; n=2.
La cantidad de elementos a escoger es 10; r=10
 2  10  1 11 

10  =   =11
 10 
   
Monedas Combinaciones con repetición
1 euro 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 euros 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
5. Problema 9e.