Grafos

1. Terminología de la Teoría de Grafos
Tomado de: Rosen, K. (2004). Matemáticas Discretas y sus Aplicaciones
Esteban Andrés Díaz Mina

2. Introducción
Se presenta el vocabulario básico de la teoría de
grafos usado para resolver muchos tipos
distintos de problemas.

3. Definición 1
Se dice que dos vértices u y v en un grafo no
dirigido G se denominan adyacente en G si {u, v}
es una aristas de G.
Si e={u, v}, la arista e es llamada incidente con el
vértice u y v.
La arista e se dice que conecta a u y a v.
Los vértices u y v son llamados puntos finales de
la arista {u, v}.

4. Definición 2
El grado de un vértice en un grafo no dirigido es
el número de aristas que inciden en él, excepto
un ciclo que contribuye con dos al grado de este
vértice.
El grado de un vértice v se denota por g(v).
g(a)=2

5. Definición 2
El grado de un vértice en un grafo no dirigido es
el número de aristas que inciden en él, excepto
un ciclo que contribuye con dos al grado de este
vértice.
El grado de un vértice v se denota por g(v).
g(b)=4

6. Definición 2
El grado de un vértice en un grafo no dirigido es
el número de aristas que inciden en él, excepto
un ciclo que contribuye con dos al grado de este
vértice.
El grado de un vértice v se denota por g(v).
g(f)=4

7. Definición 2
El grado de un vértice en un grafo no dirigido es
el número de aristas que inciden en él, excepto
un ciclo que contribuye con dos al grado de este
vértice.
El grado de un vértice v se denota por g(v).
g(c)=4

8. Definición 2
El grado de un vértice en un grafo no dirigido es
el número de aristas que inciden en él, excepto
un ciclo que contribuye con dos al grado de este
vértice.
El grado de un vértice v se denota por g(v).
g(e)=3

9. Definición 2
El grado de un vértice en un grafo no dirigido es
el número de aristas que inciden en él, excepto
un ciclo que contribuye con dos al grado de este
vértice.
El grado de un vértice v se denota por g(v).
g(d)=1

10. Definición 2
El grado de un vértice en un grafo no dirigido es
el número de aristas que inciden en él, excepto
un ciclo que contribuye con dos al grado de este
vértice.
El grado de un vértice v se denota por g(v).
g(g)=0

11. Definición 2
El grado de un vértice en un grafo no dirigido es
el número de aristas que inciden en él, excepto
un ciclo que contribuye con dos al grado de este
vértice.
El grado de un vértice v se denota por g(v).
g(a)=2 g(b)=4
g(f)=4 g(c)=4
g(e)=3 g(d)=1
g(g)=0

12. Ejemplo
¿Cuál es el grado de cada uno de los vértices del
siguiente grafo?
g(a)=4
g(b)=6
g(c)=1
g(e)=6
g(d)=5

13. Teorema del Apretón de Manos
Sea G=(V,E) un grafo no dirigido con e aristas.
Entonces
2𝑒 =
𝑣 ∈𝑉
𝑔(𝑣)

14. Ejemplo
¿Cuántas aristas hay en un grafo con 6 vértices
con g(a)=2, g(b)=4, g(f)=4, g(c)=4, g(e)=3, g(d)=1?
2e= 2+4+4+4+3+1 = 18. Luego e=9

15. Ejemplo
¿Cuántas aristas existen en un grafo con seis
vértices, cada uno de grado tres?
Dado que la suma de los grados de los vértices es
6*3=18, se concluye que 2e=18.
Entonces, e=9.

16. Teorema 2
Todo grafo no dirigido tiene un número par de
vértices de grado impar.
Demostración.
Sean V1 y V2 el conjunto de vértices de grado par y de grado impar
respectivamente, de un grafo no dirigido G=(V,E). Entonces,
2𝑒 = 𝑣 ∈𝑉 𝑔(𝑣) = 𝑣 ∈𝑉1 𝑔(𝑣)+ 𝑣 ∈𝑉2 𝑔(𝑣)
2𝑒 = 𝑣 ∈𝑉1 𝑔(𝑣)+ 𝑣 ∈𝑉2 𝑔(𝑣) 𝑣 ∈𝑉1 𝑔(𝑣)= 2s
2𝑒 − 2𝑠 = 𝑣 ∈𝑉2 𝑔(𝑣)
2(𝑒 − 𝑠) = 𝑣 ∈𝑉2 𝑔(𝑣) 𝑒 ≥ 𝑠
Se concluye que 𝑣 ∈𝑉2 𝑔(𝑣) debe ser par, por lo tanto la cantidad de
vértices de grado impar debe ser par.

17. Definición 4
En un grafo con aristas dirigidas el grado de
aristas de entrada de un vértice v, denotado por
g-(v), es el número de aristas con v como vértice
terminal.
El grado de aristas de salida de v, denotado por
g+(v), es el número de aristas con v como su
vértice inicial.
(Nota: Un ciclo en un vértice contribuye con 1 al
grado de aristas de entrada y 1 al grado de
aristas de salida de ese vértice).

18. Ejemplo
Encontrar el grado de las aristas de entrada y el
grado de las aristas de salida de cada uno de los
vértices en el siguiente grafo.
g-(a)=2 g+(a)=4

19. Ejemplo
Encontrar el grado de las aristas de entrada y el
grado de las aristas de salida de cada uno de los
vértices en el siguiente grafo.
g-(b)=2 g+(b)=1

20. Ejemplo
Encontrar el grado de las aristas de entrada y el
grado de las aristas de salida de cada uno de los
vértices en el siguiente grafo.
g-(c)=3 g+(c)=2

21. Ejemplo
Encontrar el grado de las aristas de entrada y el
grado de las aristas de salida de cada uno de los
vértices en el siguiente grafo.
g-(e)=3 g+(e)=3

22. Ejemplo
Encontrar el grado de las aristas de entrada y el
grado de las aristas de salida de cada uno de los
vértices en el siguiente grafo.
g-(d)=2 g+(d)=2

23. Ejemplo
Encontrar el grado de las aristas de entrada y el
grado de las aristas de salida de cada uno de los
vértices en el siguiente grafo.
g-(f)=0 g+(f)=0

24. Ejemplo
Encontrar el grado de las aristas de entrada y el
grado de las aristas de salida de cada uno de los
vértices en el siguiente grafo.
g-(a)=2 g+(a)=4
g-(b)=2 g+(b)=1
g-(c)=3 g+(c)=2
g-(e)=3 g+(e)=3
g-(d)=2 g+(d)=2
g-(f)=0 g+(f)=0

25. Teorema 3
Sea G=(V, E) un grafo con aristas dirigidas.
Entonces:
𝑣 ∈𝑉
𝑔 −
(𝑣) =
𝑣 ∈𝑉
𝑔 +
(𝑣) = 𝐸

26. Ejemplo
𝒗 ∈𝑽
𝒈 −
(𝒗) = 𝟏𝟐,
𝒗 ∈𝑽
𝒈 +
(𝒗) = 𝟏𝟐, 𝑬 = 𝟏𝟐
A partir del grafo se puede observar que:
g-(a)=2 g+(a)=4
g-(b)=2 g+(b)=1
g-(c)=3 g+(c)=2
g-(e)=3 g+(e)=3
g-(d)=2 g+(d)=2
g-(f)=0 g+(f)=0

27. Finalizamos
Terminología de la Teoría de Grafos
Hasta pronto