Ecuaciones de segundo grado

Ecuaciones de segundo grado
(Completas e incompletas)
Francisco Javier Ros Castell´on
I.P.E.P. Almer´ıa
29 de abril de 2020
Francisco Javier Ros (IPEP Almer´ıa) 29 de abril de 2020 1 / 25

Ecuación de segundo grado completa
Tabla de contenidos
1 Ecuación de segundo grado completa
2 Ecuaciones de segundo grado incompletas
Caso 1. b=0
Caso 2. c=0
3 Resumen final

F´ormula para resolverlas
Se dice que una ecuaci´on es de segundo grado (completa) cuando puede
expresarse en la forma:
ax2
+ bx + c = 0

Fórmula para resolverlas
Se dice que una ecuación es de segundo grado (completa) cuando puede
expresarse en la forma:
ax2
+ bx + c = 0
Para resolverla utilizaremos la fórmula general:
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a

Ecuaci´on de segundo grado completa Ejemplos de ecuaciones de segundo grado completas
Ejemplos de ecuaciones de segundo grado completas
Ejemplos
• Ejemplo 1
2x2
− 7x + 3 = 0

Ejemplos
• Ejemplo 1
2x2
− 7x + 3 = 0
• Ejemplo 2
8x2
+ 2x − 3 = 0

Ejemplos
• Ejemplo 1
2x2
− 7x + 3 = 0
• Ejemplo 2
8x2
+ 2x − 3 = 0
• Ejemplo 3
9x2
− 6x + 1 = 0

Ejemplos
• Ejemplo 1
2x2
− 7x + 3 = 0
• Ejemplo 2
8x2
+ 2x − 3 = 0
• Ejemplo 3
9x2
− 6x + 1 = 0
• Ejemplo 4
x2
+ 4x + 5 = 0

Ejemplo 1.
2x2
− 7x + 3 = 0
En este caso,
a =

Ejemplo 1.
2x2
− 7x + 3 = 0
En este caso,
a = 2

Ejemplo 1.
2x2
− 7x + 3 = 0
En este caso,
a = 2
b =

Ejemplo 1.
2x2
− 7x + 3 = 0
En este caso,
a = 2
b = −7

Ejemplo 1.
2x2
− 7x + 3 = 0
En este caso,
a = 2
b = −7
c =

Ejemplo 1.
2x2
− 7x + 3 = 0
En este caso,
a = 2
b = −7
c = 3

Ejemplo 1.
2x2
− 7x + 3 = 0
En este caso,
a = 2
b = −7
c = 3
luego, aplicando la f´ormula y sustituyendo estos valores, obtenemos:
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
=

Ejemplo 1.
2x2
− 7x + 3 = 0
En este caso,
a = 2
b = −7
c = 3
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
=
7 ± (−7)2 − 4 · 2 · 3
2 · 2
=

Ejemplo 1.
2x2
− 7x + 3 = 0
En este caso,
a = 2
b = −7
c = 3
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
=
7 ± (−7)2 − 4 · 2 · 3
2 · 2
=
7 ±
√
49 − 24
4
=

Ejemplo 1.
2x2
− 7x + 3 = 0
En este caso,
a = 2
b = −7
c = 3
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
=
7 ± (−7)2 − 4 · 2 · 3
2 · 2
=
7 ±
√
49 − 24
4
=
=
7 ±
√
25
4
=

Ejemplo 1.
2x2
− 7x + 3 = 0
En este caso,
a = 2
b = −7
c = 3
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
=
7 ± (−7)2 − 4 · 2 · 3
2 · 2
=
7 ±
√
49 − 24
4
=
=
7 ±
√
25
4
=
7 ± 5
4
=

Ejemplo 1.
2x2
− 7x + 3 = 0
En este caso,
a = 2
b = −7
c = 3
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
=
7 ± (−7)2 − 4 · 2 · 3
2 · 2
=
7 ±
√
49 − 24
4
=
=
7 ±
√
25
4
=
7 ± 5
4
=



x1 =

Ejemplo 1.
2x2
− 7x + 3 = 0
En este caso,
a = 2
b = −7
c = 3
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
=
7 ± (−7)2 − 4 · 2 · 3
2 · 2
=
7 ±
√
49 − 24
4
=
=
7 ±
√
25
4
=
7 ± 5
4
=



x1 =
7 + 5
4

Ejemplo 1.
2x2
− 7x + 3 = 0
En este caso,
a = 2
b = −7
c = 3
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
=
7 ± (−7)2 − 4 · 2 · 3
2 · 2
=
7 ±
√
49 − 24
4
=
=
7 ±
√
25
4
=
7 ± 5
4
=



x1 =
7 + 5
4
=
12
4
=

Ejemplo 1.
2x2
− 7x + 3 = 0
En este caso,
a = 2
b = −7
c = 3
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
=
7 ± (−7)2 − 4 · 2 · 3
2 · 2
=
7 ±
√
49 − 24
4
=
=
7 ±
√
25
4
=
7 ± 5
4
=



x1 =
7 + 5
4
=
12
4
= 3

Ejemplo 1.
2x2
− 7x + 3 = 0
En este caso,
a = 2
b = −7
c = 3
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
=
7 ± (−7)2 − 4 · 2 · 3
2 · 2
=
7 ±
√
49 − 24
4
=
=
7 ±
√
25
4
=
7 ± 5
4
=



x1 =
7 + 5
4
=
12
4
= 3
x2 =

Ejemplo 1.
2x2
− 7x + 3 = 0
En este caso,
a = 2
b = −7
c = 3
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
=
7 ± (−7)2 − 4 · 2 · 3
2 · 2
=
7 ±
√
49 − 24
4
=
=
7 ±
√
25
4
=
7 ± 5
4
=



x1 =
7 + 5
4
=
12
4
= 3
x2 =
7 − 5
4
=

Ejemplo 1.
2x2
− 7x + 3 = 0
En este caso,
a = 2
b = −7
c = 3
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
=
7 ± (−7)2 − 4 · 2 · 3
2 · 2
=
7 ±
√
49 − 24
4
=
=
7 ±
√
25
4
=
7 ± 5
4
=



x1 =
7 + 5
4
=
12
4
= 3
x2 =
7 − 5
4
=
2
4
=

Ejemplo 1.
2x2
− 7x + 3 = 0
En este caso,
a = 2
b = −7
c = 3
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
=
7 ± (−7)2 − 4 · 2 · 3
2 · 2
=
7 ±
√
49 − 24
4
=
=
7 ±
√
25
4
=
7 ± 5
4
=



x1 =
7 + 5
4
=
12
4
= 3
x2 =
7 − 5
4
=
2
4
=
1
2

Ejemplo 2.
8x2
+ 2x − 3 = 0
En este caso,
a =

Ejemplo 2.
8x2
+ 2x − 3 = 0
En este caso,
a = 8

Ejemplo 2.
8x2
+ 2x − 3 = 0
En este caso,
a = 8
b =

Ejemplo 2.
8x2
+ 2x − 3 = 0
En este caso,
a = 8
b = 2

Ejemplo 2.
8x2
+ 2x − 3 = 0
En este caso,
a = 8
b = 2
c =

Ejemplo 2.
8x2
+ 2x − 3 = 0
En este caso,
a = 8
b = 2
c = −3

Ejemplo 2.
8x2
+ 2x − 3 = 0
En este caso,
a = 8
b = 2
c = −3
luego,
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
=

Ejemplo 2.
8x2
+ 2x − 3 = 0
En este caso,
a = 8
b = 2
c = −3
luego,
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
=
−2 ± 22 − 4 · 8 · (−3)
2 · 8
=

Ejemplo 2.
8x2
+ 2x − 3 = 0
En este caso,
a = 8
b = 2
c = −3
luego,
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
=
−2 ± 22 − 4 · 8 · (−3)
2 · 8
=
−2 ±
√
4 + 96
16
=

Ejemplo 2.
8x2
+ 2x − 3 = 0
En este caso,
a = 8
b = 2
c = −3
luego,
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
=
−2 ± 22 − 4 · 8 · (−3)
2 · 8
=
−2 ±
√
4 + 96
16
=
=
−2 ±
√
100
16
=

Ejemplo 2.
8x2
+ 2x − 3 = 0
En este caso,
a = 8
b = 2
c = −3
luego,
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
=
−2 ± 22 − 4 · 8 · (−3)
2 · 8
=
−2 ±
√
4 + 96
16
=
=
−2 ±
√
100
16
=
−2 ± 10
16
=

Ejemplo 2.
8x2
+ 2x − 3 = 0
En este caso,
a = 8
b = 2
c = −3
luego,
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
=
−2 ± 22 − 4 · 8 · (−3)
2 · 8
=
−2 ±
√
4 + 96
16
=
=
−2 ±
√
100
16
=
−2 ± 10
16
=



x1 =

Ejemplo 2.
8x2
+ 2x − 3 = 0
En este caso,
a = 8
b = 2
c = −3
luego,
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
=
−2 ± 22 − 4 · 8 · (−3)
2 · 8
=
−2 ±
√
4 + 96
16
=
=
−2 ±
√
100
16
=
−2 ± 10
16
=



x1 =
−2 + 10
16

Ejemplo 2.
8x2
+ 2x − 3 = 0
En este caso,
a = 8
b = 2
c = −3
luego,
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
=
−2 ± 22 − 4 · 8 · (−3)
2 · 8
=
−2 ±
√
4 + 96
16
=
=
−2 ±
√
100
16
=
−2 ± 10
16
=



x1 =
−2 + 10
16
=
8
16
=

Ejemplo 2.
8x2
+ 2x − 3 = 0
En este caso,
a = 8
b = 2
c = −3
luego,
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
=
−2 ± 22 − 4 · 8 · (−3)
2 · 8
=
−2 ±
√
4 + 96
16
=
=
−2 ±
√
100
16
=
−2 ± 10
16
=



x1 =
−2 + 10
16
=
8
16
=
1
2

Ejemplo 2.
8x2
+ 2x − 3 = 0
En este caso,
a = 8
b = 2
c = −3
luego,
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
=
−2 ± 22 − 4 · 8 · (−3)
2 · 8
=
−2 ±
√
4 + 96
16
=
=
−2 ±
√
100
16
=
−2 ± 10
16
=



x1 =
−2 + 10
16
=
8
16
=
1
2
x2 =

Ejemplo 2.
8x2
+ 2x − 3 = 0
En este caso,
a = 8
b = 2
c = −3
luego,
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
=
−2 ± 22 − 4 · 8 · (−3)
2 · 8
=
−2 ±
√
4 + 96
16
=
=
−2 ±
√
100
16
=
−2 ± 10
16
=



x1 =
−2 + 10
16
=
8
16
=
1
2
x2 =
−2 − 10
16
=

Ejemplo 2.
8x2
+ 2x − 3 = 0
En este caso,
a = 8
b = 2
c = −3
luego,
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
=
−2 ± 22 − 4 · 8 · (−3)
2 · 8
=
−2 ±
√
4 + 96
16
=
=
−2 ±
√
100
16
=
−2 ± 10
16
=



x1 =
−2 + 10
16
=
8
16
=
1
2
x2 =
−2 − 10
16
=
−12
16
=

Ejemplo 2.
8x2
+ 2x − 3 = 0
En este caso,
a = 8
b = 2
c = −3
luego,
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
=
−2 ± 22 − 4 · 8 · (−3)
2 · 8
=
−2 ±
√
4 + 96
16
=
=
−2 ±
√
100
16
=
−2 ± 10
16
=



x1 =
−2 + 10
16
=
8
16
=
1
2
x2 =
−2 − 10
16
=
−12
16
=
−3
4

Ejemplo 3.
9x2
− 6x + 1 = 0
En este caso,
a =

Ejemplo 3.
9x2
− 6x + 1 = 0
En este caso,
a = 9

Ejemplo 3.
9x2
− 6x + 1 = 0
En este caso,
a = 9
b =

Ejemplo 3.
9x2
− 6x + 1 = 0
En este caso,
a = 9
b = −6

Ejemplo 3.
9x2
− 6x + 1 = 0
En este caso,
a = 9
b = −6
c =

Ejemplo 3.
9x2
− 6x + 1 = 0
En este caso,
a = 9
b = −6
c = 1

Ejemplo 3.
9x2
− 6x + 1 = 0
En este caso,
a = 9
b = −6
c = 1
luego,
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
=

Ejemplo 3.
9x2
− 6x + 1 = 0
En este caso,
a = 9
b = −6
c = 1
luego,
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
=
6 ± (−6)2 − 4 · 9 · 1
2 · 9
=

Ejemplo 3.
9x2
− 6x + 1 = 0
En este caso,
a = 9
b = −6
c = 1
luego,
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
=
6 ± (−6)2 − 4 · 9 · 1
2 · 9
=
6 ±
√
36 − 36
18
=

Ejemplo 3.
9x2
− 6x + 1 = 0
En este caso,
a = 9
b = −6
c = 1
luego,
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
=
6 ± (−6)2 − 4 · 9 · 1
2 · 9
=
6 ±
√
36 − 36
18
=
=
6 ±
√
0
18
=

Ejemplo 3.
9x2
− 6x + 1 = 0
En este caso,
a = 9
b = −6
c = 1
luego,
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
=
6 ± (−6)2 − 4 · 9 · 1
2 · 9
=
6 ±
√
36 − 36
18
=
=
6 ±
√
0
18
=
6 ± 0
18
=

Ejemplo 3.
9x2
− 6x + 1 = 0
En este caso,
a = 9
b = −6
c = 1
luego,
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
=
6 ± (−6)2 − 4 · 9 · 1
2 · 9
=
6 ±
√
36 − 36
18
=
=
6 ±
√
0
18
=
6 ± 0
18
=



x1 =

Ejemplo 3.
9x2
− 6x + 1 = 0
En este caso,
a = 9
b = −6
c = 1
luego,
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
=
6 ± (−6)2 − 4 · 9 · 1
2 · 9
=
6 ±
√
36 − 36
18
=
=
6 ±
√
0
18
=
6 ± 0
18
=



x1 =
6 + 0
18

Ejemplo 3.
9x2
− 6x + 1 = 0
En este caso,
a = 9
b = −6
c = 1
luego,
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
=
6 ± (−6)2 − 4 · 9 · 1
2 · 9
=
6 ±
√
36 − 36
18
=
=
6 ±
√
0
18
=
6 ± 0
18
=



x1 =
6 + 0
18
=
6
18
=

Ejemplo 3.
9x2
− 6x + 1 = 0
En este caso,
a = 9
b = −6
c = 1
luego,
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
=
6 ± (−6)2 − 4 · 9 · 1
2 · 9
=
6 ±
√
36 − 36
18
=
=
6 ±
√
0
18
=
6 ± 0
18
=



x1 =
6 + 0
18
=
6
18
=
1
3

Ejemplo 3.
9x2
− 6x + 1 = 0
En este caso,
a = 9
b = −6
c = 1
luego,
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
=
6 ± (−6)2 − 4 · 9 · 1
2 · 9
=
6 ±
√
36 − 36
18
=
=
6 ±
√
0
18
=
6 ± 0
18
=



x1 =
6 + 0
18
=
6
18
=
1
3
x2 =

Ejemplo 3.
9x2
− 6x + 1 = 0
En este caso,
a = 9
b = −6
c = 1
luego,
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
=
6 ± (−6)2 − 4 · 9 · 1
2 · 9
=
6 ±
√
36 − 36
18
=
=
6 ±
√
0
18
=
6 ± 0
18
=



x1 =
6 + 0
18
=
6
18
=
1
3
x2 =
6 − 0
18
=

Ejemplo 3.
9x2
− 6x + 1 = 0
En este caso,
a = 9
b = −6
c = 1
luego,
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
=
6 ± (−6)2 − 4 · 9 · 1
2 · 9
=
6 ±
√
36 − 36
18
=
=
6 ±
√
0
18
=
6 ± 0
18
=



x1 =
6 + 0
18
=
6
18
=
1
3
x2 =
6 − 0
18
=
6
18
=

Ejemplo 3.
9x2
− 6x + 1 = 0
En este caso,
a = 9
b = −6
c = 1
luego,
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
=
6 ± (−6)2 − 4 · 9 · 1
2 · 9
=
6 ±
√
36 − 36
18
=
=
6 ±
√
0
18
=
6 ± 0
18
=



x1 =
6 + 0
18
=
6
18
=
1
3
x2 =
6 − 0
18
=
6
18
=
1
3

Ejemplo 3.
9x2
− 6x + 1 = 0
En este caso,
a = 9
b = −6
c = 1
luego,
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
=
6 ± (−6)2 − 4 · 9 · 1
2 · 9
=
6 ±
√
36 − 36
18
=
=
6 ±
√
0
18
=
6 ± 0
18
=



x1 =
6 + 0
18
=
6
18
=
1
3
x2 =
6 − 0
18
=
6
18
=
1
3
⇒

Ejemplo 3.
9x2
− 6x + 1 = 0
En este caso,
a = 9
b = −6
c = 1
luego,
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
=
6 ± (−6)2 − 4 · 9 · 1
2 · 9
=
6 ±
√
36 − 36
18
=
=
6 ±
√
0
18
=
6 ± 0
18
=



x1 =
6 + 0
18
=
6
18
=
1
3
x2 =
6 − 0
18
=
6
18
=
1
3
⇒ x =

Ejemplo 3.
9x2
− 6x + 1 = 0
En este caso,
a = 9
b = −6
c = 1
luego,
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
=
6 ± (−6)2 − 4 · 9 · 1
2 · 9
=
6 ±
√
36 − 36
18
=
=
6 ±
√
0
18
=
6 ± 0
18
=



x1 =
6 + 0
18
=
6
18
=
1
3
x2 =
6 − 0
18
=
6
18
=
1
3
⇒ x =
1
3

Ejemplo 3.
9x2
− 6x + 1 = 0
En este caso,
a = 9
b = −6
c = 1
luego,
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
=
6 ± (−6)2 − 4 · 9 · 1
2 · 9
=
6 ±
√
36 − 36
18
=
=
6 ±
√
0
18
=
6 ± 0
18
=



x1 =
6 + 0
18
=
6
18
=
1
3
x2 =
6 − 0
18
=
6
18
=
1
3
⇒ x =
1
3
(doble)

Ejemplo 4.
x2
+ 4x + 5 = 0
En este caso,
a =

Ejemplo 4.
x2
+ 4x + 5 = 0
En este caso,
a = 1

Ejemplo 4.
x2
+ 4x + 5 = 0
En este caso,
a = 1
b =

Ejemplo 4.
x2
+ 4x + 5 = 0
En este caso,
a = 1
b = 4

Ejemplo 4.
x2
+ 4x + 5 = 0
En este caso,
a = 1
b = 4
c =

Ejemplo 4.
x2
+ 4x + 5 = 0
En este caso,
a = 1
b = 4
c = 5

Ejemplo 4.
x2
+ 4x + 5 = 0
En este caso,
a = 1
b = 4
c = 5
luego,
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
=

Ejemplo 4.
x2
+ 4x + 5 = 0
En este caso,
a = 1
b = 4
c = 5
luego,
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
=
−4 ±
√
42 − 4 · 1 · 5
2 · 1
=

Ejemplo 4.
x2
+ 4x + 5 = 0
En este caso,
a = 1
b = 4
c = 5
luego,
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
=
−4 ±
√
42 − 4 · 1 · 5
2 · 1
=
−4 ±
√
16 − 20
2
=

Ejemplo 4.
x2
+ 4x + 5 = 0
En este caso,
a = 1
b = 4
c = 5
luego,
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
=
−4 ±
√
42 − 4 · 1 · 5
2 · 1
=
−4 ±
√
16 − 20
2
=
=
−4 ±
√
−4
2
=

Ejemplo 4.
x2
+ 4x + 5 = 0
En este caso,
a = 1
b = 4
c = 5
luego,
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
=
−4 ±
√
42 − 4 · 1 · 5
2 · 1
=
−4 ±
√
16 − 20
2
=
=
−4 ±
√
−4
2
= No tiene soluci´on real

En resumen
Tenemos
Resultados obtenidos
• Ejemplo 1. 2x2
− 7x + 3 = 0

En resumen
Tenemos
• Ejemplo 1. 2x2
− 7x + 3 = 0 tiene dos soluciones distintas x = 3 y
x =
1
2

En resumen
Tenemos
• Ejemplo 1. 2x2
x =
1
2
• Ejemplo 2. 8x2
+ 2x − 3 = 0

En resumen
Tenemos
• Ejemplo 1. 2x2
x =
1
2
• Ejemplo 2. 8x2
+ 2x − 3 = 0 tiene dos soluciones distintas x =
1
2
y
x = −
3
4

En resumen
Tenemos
• Ejemplo 1. 2x2
x =
1
2
• Ejemplo 2. 8x2
1
2
y
x = −
3
4
• Ejemplo 3. 9x2
− 6x + 1 = 0

En resumen
Tenemos
• Ejemplo 1. 2x2
x =
1
2
• Ejemplo 2. 8x2
1
2
y
x = −
3
4
• Ejemplo 3. 9x2
− 6x + 1 = 0 tiene una soluci´on x =
1
3
(doble)

En resumen
Tenemos
• Ejemplo 1. 2x2
x =
1
2
• Ejemplo 2. 8x2
1
2
y
x = −
3
4
• Ejemplo 3. 9x2
1
3
(doble)
• Ejemplo 4. x2
+ 4x + 5 = 0

En resumen
Tenemos
• Ejemplo 1. 2x2
x =
1
2
• Ejemplo 2. 8x2
1
2
y
x = −
3
4
• Ejemplo 3. 9x2
1
3
(doble)
• Ejemplo 4. x2
+ 4x + 5 = 0 no tiene soluci´on real

En resumen
Tenemos
• Ejemplo 1. 2x2
x =
1
2
• Ejemplo 2. 8x2
1
2
y
x = −
3
4
• Ejemplo 3. 9x2
1
3
(doble)
• Ejemplo 4. x2
Conclusiones:

En resumen
Tenemos
• Ejemplo 1. 2x2
x =
1
2
• Ejemplo 2. 8x2
1
2
y
x = −
3
4
• Ejemplo 3. 9x2
1
3
(doble)
• Ejemplo 4. x2
Conclusiones:
Existen ecuaciones de segundo grado con 2 soluciones distintas, otras con
1 soluci´on doble y otras con ninguna soluci´on.

Discriminante ∆ = b2
− 4ac
¿De qué depende que una ecuación de segundo grado tenga dos, una o
ninguna solución?

− 4ac
ninguna soluci´on?
La respuesta es: del discriminante ∆.

− 4ac
ninguna soluci´on?
Llamando ∆ = b2
− 4ac
• Si ∆ > 0

− 4ac
ninguna soluci´on?
Llamando ∆ = b2
− 4ac
• Si ∆ > 0 la ecuaci´on tiene dos soluciones distintas

− 4ac
ninguna soluci´on?
Llamando ∆ = b2
− 4ac
• Si ∆ = 0

− 4ac
ninguna solución?
Llamando ∆ = b2
− 4ac
• Si ∆ = 0 la ecuación tiene una solución (doble)

− 4ac
ninguna soluci´on?
Llamando ∆ = b2
− 4ac
• Si ∆ < 0

− 4ac
ninguna solución?
Llamando ∆ = b2
− 4ac
• Si ∆ < 0 la ecuación no tiene solución real (en el conjunto de los
números reales R)

Ecuaciones de segundo grado incompletas
Tabla de contenidos
Caso 1. b=0
Caso 2. c=0
3 Resumen ﬁnal

Ecuaciones incompletas
Si falta algún término en la ecuación de segundo grado, entonces se llama
ecuación de segundo grado incompleta.

Pueden darse dos casos:

• Caso 1.

• Caso 1. b = 0

• Caso 1. b = 0, con lo que tendr´ıamos ax2
+ c = 0

+ c = 0
• Caso 2.

+ c = 0
• Caso 2. c = 0

+ c = 0
• Caso 2. c = 0, con lo que tendr´ıamos ax2
+ bx = 0

+ c = 0
+ bx = 0
¡Cuidado!

+ c = 0
+ bx = 0
¡Cuidado!
Recordemos que forzosamente a = 0

+ c = 0
+ bx = 0
¡Cuidado!
Recordemos que forzosamente a = 0 ya que, si as´ı fuera, quedar´ıa
bx + c = 0 que es de primer grado.

Ecuaciones de segundo grado incompletas Caso 1. b=0
Si b = 0, entonces nos quedar´ıa ax2
+ c = 0

+ c = 0
Este tipo de ecuaci´on de segundo grado incompleta es muy sencilla de
resolver ya que bastar´ıa con despejar x2

+ c = 0
y obtener x hallando su ra´ız
cuadrada.

+ c = 0
cuadrada.
Esto es:

+ c = 0
cuadrada.
Esto es:
ax2
+ c = 0

+ c = 0
cuadrada.
Esto es:
ax2
+ c = 0 ⇒ ax2
= −c

+ c = 0
cuadrada.
Esto es:
ax2
+ c = 0 ⇒ ax2
= −c ⇒ x2
=
−c
a

+ c = 0
cuadrada.
Esto es:
ax2
+ c = 0 ⇒ ax2
= −c ⇒ x2
=
−c
a
⇒ x = ±
−c
a

Caso 1. b = 0
Ejemplos
• Ejemplo 1
2x2
− 18 = 0

Caso 1. b = 0
Ejemplos
• Ejemplo 1
2x2
− 18 = 0
• Ejemplo 2
3x2
− 75 = 0

Ejemplo 1.
2x2
− 18 = 0
En este caso,

Ejemplo 1.
2x2
− 18 = 0
En este caso,
2x2
= 18

Ejemplo 1.
2x2
− 18 = 0
En este caso,
2x2
= 18
x2
=
18
2

Ejemplo 1.
2x2
− 18 = 0
En este caso,
2x2
= 18
x2
=
18
2
x2
= 9

Ejemplo 1.
2x2
− 18 = 0
En este caso,
2x2
= 18
x2
=
18
2
x2
= 9
x =
√
9

Ejemplo 1.
2x2
− 18 = 0
En este caso,
2x2
= 18
x2
=
18
2
x2
= 9
x =
√
9
x = ±3

Ejemplo 2.
3x2
− 75 = 0
Ahora tendr´ıamos,

Ejemplo 2.
3x2
− 75 = 0
3x2
= 75

Ejemplo 2.
3x2
− 75 = 0
3x2
= 75
x2
=
75
3

Ejemplo 2.
3x2
− 75 = 0
3x2
= 75
x2
=
75
3
x2
= 25

Ejemplo 2.
3x2
− 75 = 0
3x2
= 75
x2
=
75
3
x2
= 25
x =
√
25

Ejemplo 2.
3x2
− 75 = 0
3x2
= 75
x2
=
75
3
x2
= 25
x =
√
25
x = ±5

Ecuaciones de segundo grado incompletas Caso 2. c=0
Si c = 0, entonces nos quedar´ıa ax2
+ bx = 0

+ bx = 0
Este tipo de ecuaciones de segundo grado incompletas es tambi´en
bastante sencillo de resolver de la siguiente forma:

+ bx = 0
Si ax2
+ bx = 0

+ bx = 0
Si ax2
+ bx = 0, entonces, sacando factor com´un a x obtendr´ıamos que:

+ bx = 0
Si ax2
x(ax + b) = 0

+ bx = 0
Si ax2
x(ax + b) = 0
Y ahora,

+ bx = 0
Si ax2
x(ax + b) = 0
Y ahora, si tenemos un producto igual a cero,

+ bx = 0
Si ax2
x(ax + b) = 0
Y ahora, si tenemos un producto igual a cero, alguno de los factores debe
ser cero

+ bx = 0
Si ax2
x(ax + b) = 0
ser cero, luego:

+ bx = 0
Si ax2
x(ax + b) = 0
ser cero, luego:
ax2
+ bx = 0

+ bx = 0
Si ax2
x(ax + b) = 0
ser cero, luego:
ax2
+ bx = 0 ⇒ x(ax + b) = 0

+ bx = 0
Si ax2
x(ax + b) = 0
ser cero, luego:
ax2
+ bx = 0 ⇒ x(ax + b) = 0 ⇒

+ bx = 0
Si ax2
x(ax + b) = 0
ser cero, luego:
ax2
+ bx = 0 ⇒ x(ax + b) = 0 ⇒
x = 0

+ bx = 0
Si ax2
x(ax + b) = 0
ser cero, luego:
ax2
+ bx = 0 ⇒ x(ax + b) = 0 ⇒
x = 0
ax + b = 0

+ bx = 0
Si ax2
x(ax + b) = 0
ser cero, luego:
ax2
+ bx = 0 ⇒ x(ax + b) = 0 ⇒
x = 0
ax + b = 0
⇒

+ bx = 0
Si ax2
x(ax + b) = 0
ser cero, luego:
ax2
+ bx = 0 ⇒ x(ax + b) = 0 ⇒
x = 0
ax + b = 0
⇒
x = 0

+ bx = 0
Si ax2
x(ax + b) = 0
ser cero, luego:
ax2
+ bx = 0 ⇒ x(ax + b) = 0 ⇒
x = 0
ax + b = 0
⇒
x = 0
x = −
b
a

Caso 2. c = 0
Ejemplos
• Ejemplo 1
2x2
+ 7x = 0

Caso 2. c = 0
Ejemplos
• Ejemplo 1
2x2
+ 7x = 0
• Ejemplo 2
3x2
− 4x = 0

Ejemplo 1.
2x2
+ 7x = 0
En este caso,

Ejemplo 1.
2x2
+ 7x = 0
En este caso,
2x2
+ 7x = 0

Ejemplo 1.
2x2
+ 7x = 0
En este caso,
2x2
+ 7x = 0 ⇒ x(2x + 7) = 0

Ejemplo 1.
2x2
+ 7x = 0
En este caso,
2x2
+ 7x = 0 ⇒ x(2x + 7) = 0 ⇒

Ejemplo 1.
2x2
+ 7x = 0
En este caso,
2x2
+ 7x = 0 ⇒ x(2x + 7) = 0 ⇒
x = 0

Ejemplo 1.
2x2
+ 7x = 0
En este caso,
2x2
+ 7x = 0 ⇒ x(2x + 7) = 0 ⇒
x = 0
2x + 7 = 0

Ejemplo 1.
2x2
+ 7x = 0
En este caso,
2x2
+ 7x = 0 ⇒ x(2x + 7) = 0 ⇒
x = 0
2x + 7 = 0
⇒

Ejemplo 1.
2x2
+ 7x = 0
En este caso,
2x2
+ 7x = 0 ⇒ x(2x + 7) = 0 ⇒
x = 0
2x + 7 = 0
⇒
x = 0

Ejemplo 1.
2x2
+ 7x = 0
En este caso,
2x2
+ 7x = 0 ⇒ x(2x + 7) = 0 ⇒
x = 0
2x + 7 = 0
⇒
x = 0
x = −
7
2

Ejemplo 2.
3x2
− 4x = 0
Procediendo de manera an´aloga,

Ejemplo 2.
3x2
− 4x = 0
3x2
− 4x = 0

Ejemplo 2.
3x2
− 4x = 0
3x2
− 4x = 0 ⇒ x(3x − 4) = 0

Ejemplo 2.
3x2
− 4x = 0
3x2
− 4x = 0 ⇒ x(3x − 4) = 0 ⇒

Ejemplo 2.
3x2
− 4x = 0
3x2
− 4x = 0 ⇒ x(3x − 4) = 0 ⇒
x = 0

Ejemplo 2.
3x2
− 4x = 0
3x2
− 4x = 0 ⇒ x(3x − 4) = 0 ⇒
x = 0
3x − 4 = 0

Ejemplo 2.
3x2
− 4x = 0
3x2
− 4x = 0 ⇒ x(3x − 4) = 0 ⇒
x = 0
3x − 4 = 0
⇒

Ejemplo 2.
3x2
− 4x = 0
3x2
− 4x = 0 ⇒ x(3x − 4) = 0 ⇒
x = 0
3x − 4 = 0
⇒
x = 0

Ejemplo 2.
3x2
− 4x = 0
3x2
− 4x = 0 ⇒ x(3x − 4) = 0 ⇒
x = 0
3x − 4 = 0
⇒
x = 0
x =
4
3

Resumen ﬁnal
Tabla de contenidos
Caso 1. b=0
Caso 2. c=0
3 Resumen ﬁnal

Resumen ﬁnal
Ecuaci´on completa

Resumen ﬁnal
Ecuaci´on completa
Si tenemos ax2
+ bx + c = 0

Resumen final
Ecuación completa
Si tenemos ax2
+ bx + c = 0, aplicamos la fórmula general
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a

Resumen ﬁnal
Ecuaci´on incompleta Caso 1. b = 0

Resumen ﬁnal
Si tenemos ax2
+ c = 0

Resumen ﬁnal
Si tenemos ax2
+ c = 0, entonces

Resumen ﬁnal
Si tenemos ax2
+ c = 0, entonces
ax2
+ c = 0

Resumen ﬁnal
Si tenemos ax2
+ c = 0, entonces
ax2
+ c = 0 ⇒

Resumen ﬁnal
Si tenemos ax2
+ c = 0, entonces
ax2
+ c = 0 ⇒ ax2
= −c

Resumen ﬁnal
Si tenemos ax2
+ c = 0, entonces
ax2
+ c = 0 ⇒ ax2
= −c ⇒

Resumen ﬁnal
Si tenemos ax2
+ c = 0, entonces
ax2
+ c = 0 ⇒ ax2
= −c ⇒ x2
=
−c
a

Resumen ﬁnal
Si tenemos ax2
+ c = 0, entonces
ax2
+ c = 0 ⇒ ax2
= −c ⇒ x2
=
−c
a
⇒

Resumen ﬁnal
Si tenemos ax2
+ c = 0, entonces
ax2
+ c = 0 ⇒ ax2
= −c ⇒ x2
=
−c
a
⇒ x = ±
−c
a

Resumen ﬁnal
Ecuaci´on incompleta Caso 2. c = 0

Resumen ﬁnal
Si tenemos ax2
+ bx = 0

Resumen ﬁnal
Si tenemos ax2
+ bx = 0, entonces

Resumen ﬁnal
Si tenemos ax2
+ bx = 0, entonces
ax2
+ bx = 0

Resumen ﬁnal
Si tenemos ax2
+ bx = 0, entonces
ax2
+ bx = 0 ⇒

Resumen ﬁnal
Si tenemos ax2
+ bx = 0, entonces
ax2
+ bx = 0 ⇒ x(ax + b) = 0

Resumen ﬁnal
Si tenemos ax2
+ bx = 0, entonces
ax2
+ bx = 0 ⇒ x(ax + b) = 0 ⇒

Resumen ﬁnal
Si tenemos ax2
+ bx = 0, entonces
ax2
+ bx = 0 ⇒ x(ax + b) = 0 ⇒
x = 0

Resumen ﬁnal
Si tenemos ax2
+ bx = 0, entonces
ax2
+ bx = 0 ⇒ x(ax + b) = 0 ⇒
x = 0
ax + b = 0

Resumen ﬁnal
Si tenemos ax2
+ bx = 0, entonces
ax2
+ bx = 0 ⇒ x(ax + b) = 0 ⇒
x = 0
ax + b = 0
⇒

Resumen ﬁnal
Si tenemos ax2
+ bx = 0, entonces
ax2
+ bx = 0 ⇒ x(ax + b) = 0 ⇒
x = 0
ax + b = 0
⇒
x = 0

Resumen ﬁnal
Si tenemos ax2
+ bx = 0, entonces
ax2
+ bx = 0 ⇒ x(ax + b) = 0 ⇒
x = 0
ax + b = 0
⇒
x = 0
x = −
b
a

Resumen ﬁnal
Despedida
¡Muchas gracias!
FranciscoRos@ipepalmeria.es

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