Problemas de la Fase Provincial de la XXX Olimpiada Matemática Thales. Andalucía. Marzo 2014

1. LA CURVA CORAZÓN
Existe en matemáticas
una curva distinta a la que algunos,
los que nunca han dudado de las cosas,
llaman curva de Koch.
Los perplejos en cambio han preferido
denominarla así: copo de nieve.
Se comporta esta curva
multiplicando siempre su tamaño
por cuatro tercios y hacia el interior,
llegando de tan densa al infinito
sin rebasar su área diminuta.
Así mismo, artesana,
te creces muy adentro:
habitándome lenta,
quedándote con todo, sin forzarlo,
este pequeño corazón hermético.
Andrés Neuman

2. Problema nº 1: “El club de los cinco caprichosos”
Problema nº 2 “¡Por una entrada de cine!”
Problema nº 3: “Cerrando puertas”
Problema nº 4: “Original azulejo”
Problema nº 5: “Los billetes del bus”
Problema nº 6: “El gran premio”

3. El club de los cincoEl club de los cinco
caprichososcaprichosos

4. SoluciónSolución MenúMenú
EL CLUB DE LOS CINCO CAPRICHOSOS:
Alberto, Sonia, Carolina, Daniel y Elías son candidatos para un examen
oral. El examinador los deja elegir el orden en que quieren pasar, lo que
genera una disputa. De hecho, ni Alberto ni Elías quieren pasar los últimos y,
Elías, no quiere tampoco pasar el primero; además, Sonia quiere pasar justo
después de su amiga Carolina quien, a su vez, no quiere pasar en lugar impar;
finalmente, Daniel insiste en que él quiere dejar pasar a las dos chicas antes
que él.
Contesta de forma razonada en qué orden deben presentarse para que
todos queden satisfechos.

5. Solución:
EnunciadoEnunciado MenúMenú
Empezamos estudiando las preferencias de cada uno:
• Carolina no quiere pasar en lugar impar, por lo
que pasará la segunda o la cuarta:
Carolina
Carolina

6. Solución:
EnunciadoEnunciado MenúMenú
• Como Sonia quiere pasar después de Carolina,
podrá pasar la tercera o la quinta
Carolina Sonia
Carolina Sonia

7. Solución:
EnunciadoEnunciado MenúMenú
• Daniel insiste en dejar pasar a las dos chicas delante
de él
Carolina Sonia Daniel ?
Carolina Sonia
La segunda opción no es posible
Por tanto, podrá pasar el cuarto o el quinto
Daniel ?

8. Solución:
EnunciadoEnunciado MenúMenú
• Definitivamente Daniel será el quinto, ya que ni Elías ni
Alberto quieren pasar en último lugar.
•Además, Elías tampoco quiere pasar el primero, así que
la única opción es la siguiente:
Carolina Sonia DanielAlberto Elías
Carolina Sonia Daniel

9. Solución:
HEMOS ENCONTRADO LA SOLUCIÓN...
… pero ¿habrá más formas de obtenerla?
EnunciadoEnunciado
Para que todos queden satisfechos deben
presentarse en el siguiente orden:
MenúMenú
1. Alberto
2. Carolina
3. Sonia
4. Elías
5. Daniel

10. ¡Por una entrada de cine!¡Por una entrada de cine!
CINE-TICKET
THALES

11. SoluciónSolución MenúMenú
¡Por una entrada de cine!
A Antonio le han regalado una entrada para el cine. Para decidir a cuál de
sus dos hijos, Benito o Carmen, dársela, les plantea el siguiente juego:
“Sin que me hayáis visto, he dispuesto seis cartas boca abajo, formando un
círculo. El dorso de todas ellas es azul, pero tres de ellas son rojas en su cara
frontal y tres son negras. Las he colocado de tal forma que las de cada color estén
consecutivas.
Pues bien, el juego consistirá en que Benito dará la vuelta a una de ellas. Si la
carta es roja perderá la entrada de cine. En otro caso, siguiendo el sentido de las
agujas del reloj, Carmen dará la vuelta a la siguiente carta. Si es roja perderá la
entrada. Si es negra, Benito girará la siguiente carta y así sucesivamente hasta
que alguien encuentre una carta roja, siendo entonces quien pierda la entrada de
cine”.
Llegados a este punto, Carmen le preguntó a su padre el motivo por el que
empezaba Benito y no ella.
Para saber si la protesta tiene fundamento, contesta a la siguiente pregunta:
¿Tienen las mismas posibilidades de ganar ambos? Si la respuesta es negativa,
¿quién tiene más posibilidades de ganar: el que empieza primero o el segundo?
Razona las respuestas.

12. Solución:
EnunciadoEnunciado MenúMenú
Juego: “Sin que me hayáis visto, he dispuesto seis cartas boca
abajo, formando un círculo. El dorso de todas ellas es azul, pero tres de
ellas son rojas en su cara frontal y tres son negras. Las he colocado de
tal forma que las de cada color estén consecutivas.
Pues bien, el juego consistirá en que Benito dará la vuelta a una de
ellas. Si la carta es roja perderá la entrada de cine. En otro caso,
siguiendo el sentido de las agujas del reloj, Carmen dará la vuelta a la
siguiente carta. Si es roja perderá la entrada. Si es negra, Benito girará
la siguiente carta y así sucesivamente hasta que alguien encuentre una
carta roja, siendo entonces quien pierda la entrada de cine”.

13. Solución:
EnunciadoEnunciado MenúMenú

14. Solución:
EnunciadoEnunciado MenúMenú
1
2
3
4
5
6
Pulsa en el
botón para ver
que ocurre en
las distintas
opciones,
según elija
Benito la carta
1, 2, 3, 4, 5 o 6.

15. Solución:
EnunciadoEnunciado MenúMenú
B C B C1.
Pulsa el botón
para ver que
ocurre en las
distintas
opciones,
según elija
Benito la carta
1, 2, 3, 4, 5 o 6.
1
2
3
4
5
6

16. Solución:
EnunciadoEnunciado MenúMenú
B
B C
C
B C
B
1.
2.
1
2
3
4
5
6
Pulsa el botón
para ver que
ocurre en las
distintas
opciones,
según elija
Benito la carta
1, 2, 3, 4, 5 o 6.

17. Solución:
EnunciadoEnunciado MenúMenú
B
B
B
C
C
B C
B
1.
2.
3. C
1
2
3
4
5
6
Pulsa el botón
para ver que
ocurre en las
distintas
opciones,
según elija
Benito la carta
1, 2, 3, 4, 5 o 6.

18. Solución:
EnunciadoEnunciado MenúMenú
B
B
B
B
C
C
B C
B
C
1.
2.
4.
3.
1
2
3
4
5
6
Pulsa el botón
para ver que
ocurre en las
distintas
opciones,
según elija
Benito la carta
1, 2, 3, 4, 5 o 6.

19. Solución:
EnunciadoEnunciado MenúMenú
B
B
B
B
B
C
C
B C
B
C
1.
2.
4.
5.
3.
1
2
3
4
5
6
Pulsa el botón
para ver que
ocurre en las
distintas
opciones,
según elija
Benito la carta
1, 2, 3, 4, 5 o 6.

20. Solución:
EnunciadoEnunciado MenúMenú
B
B
B
B
B
B
C
C
B C
B
C
1
2
3
4
5
6
1.
2.
4.
5.
6.
3.

21. Solución:
EnunciadoEnunciado MenúMenú
¿Tienen las mismas posibilidades de
ganar ambos?
Si la respuesta es negativa, ¿quién
tiene más posibilidades de ganar: el que
empieza primero o el segundo?
No, si empieza Benito tiene Carmen
más posibilidades de ganar
Benito 2/6
Carmen 4/6
El segundo tiene más posibilidades
de ganar
B
B
B
B
B
B
C
C
B C
B
C
1.
2.
4.
5.
6.
3.

22. Cerrando puertasCerrando puertas

23. MenúMenúSoluciónSolución
El padre, una vez descubierto el dormitorio de
Fermathales Junior, se pregunta, mirando ahora el plano de
su vivienda, si podría hacer lo mismo en su casa.
•¿Crees que podría?
•En caso que no pudiera, ¿qué pequeña modificación
tendría que realizar en su casa para poder hacerlo?
Razona las respuestas.
Viendo este plano de la casa del hijo, ¿podrías ayudar al matemático a encontrar
el dormitorio de su hijo?
¿Podría cambiar su hijo el dormitorio de lugar cumpliéndose las mismas
condiciones?
CERRANDO PUERTAS:
El matemático Fermathales Junior va a visitar a su
padre, también matemático, para enseñarle los planos de su
nueva vivienda. Le cuenta que cada noche, al llegar a casa, va
atravesando y cerrando con llave cada una de las puertas por
donde pasa, sin volver a abrir ninguna de las puertas que ha
cerrado, hasta llegar a su dormitorio, después de haber
pasado por todas las puertas, donde queda encerrado con
todas las llaves.

24. Solución:
EnunciadoEnunciado MenúMenú
Comprobamos que una posible solución del dormitorio de
Fermathales Junior puede ser la siguiente:
DORMITORIO
FERMATHALES
JUNIOR

25. Solución:
EnunciadoEnunciado MenúMenú
Tendríamos que tomar en cuenta que si entra en una habitación
por una puerta y la cierra con llave y sale por otra puerta, que también
cierra, una habitación con 2 puertas quedaría cerrada.
2
4
4 4
6
5
2
2 2
Un razonamiento análogo puede aplicarse al caso de 4 y 6 puertas
sólo que entonces entraría dos y tres veces respectivamente en la
habitación. Este razonamiento puede generalizarse para el caso de un
número par de puertas.
Para quedarse encerrado con todas las llaves en el dormitorio,
éste debe tener un NÚMERO IMPAR DE PUERTAS. Por dicho motivo no
podría cambiar su dormitorio de habitación.
Efectivamente:
DORMITORIO
FERMATHALES
JUNIOR

26. MenúMenú
El padre, una vez descubierto el dormitorio de Fermathales Junior, se
pregunta, mirando ahora el plano de su vivienda, si podría hacer lo mismo
en su casa.
• ¿Crees que podría?
• En caso que no pudiera, ¿qué pequeña modificación tendría que
realizar en su casa para poder hacerlo?
Razona las respuestas.
Solución:
EnunciadoEnunciado

27. Solución:
EnunciadoEnunciado MenúMenú
En la casa de Fermathales padre, el dormitorio solamente puede
estar en una habitación con un número impar de puertas ya que al entrar
y salir obliga a dejar cerradas todas las puertas de 2 en 2.
2
4
3
4
2 3
2
3
2

28. Solución:
EnunciadoEnunciado
Por lo tanto el padre no podría hacer lo mismo que su hijo.
Para poder hacerlo tendría que realizar una de estas dos pequeñas
modificaciones:
1ª) Abrir una puerta en las habitaciones contiguas de número
impar puertas, quedando por tanto un número par de puertas en todas
las habitaciones salvo en el dormitorio.
MenúMenú
2 4
2
4 44
2 3
2DORMITORIO de
FERMATHALES
PADRE

29. Solución:
EnunciadoEnunciado
2ª) Poner un tabique para eliminar la puerta que comparten las
habitaciones contiguas de 3 puertas. De esta forma pasarían a tener dos
puertas cada una y en la casa se quedaría solamente una habitación con
un número impar de puertas, la que tiene 3, que pasaría a ser el
dormitorio, aunque fuese la entrada de la casa.
MenúMenú
2
2 2
2
2
4
4 2
3
DORMITORIO de
FERMATHALES
PADRE

30. Solución:
EnunciadoEnunciado MenúMenú
Puesto que el padre es matemático se ha dado cuenta de que no
puede hacer en su casa un recorrido en las mismas condiciones que su hijo
ya que hay tres habitaciones con un número impar de puertas.
Sin embargo debemos hacer una observación y es que no es
habitual que la habitación de entrada, el vestíbulo, sea el dormitorio,
pero hacer un recorrido euleriano en tu propia casa todos los días, bien
merece una pequeña reforma y la alteración de las costumbres al uso.
Seguramente esa sería la reflexión que hizo nuestro matemático.
HEMOS ENCONTRADO LAS SOLUCIONES...
… pero ¿habrá más formas de obtenerlas?

31. Original azulejoOriginal azulejo

32. SoluciónSolución MenúMenú
ORIGINAL AZULEJO:
La empresa de azulejos Porcelatodo va a inaugurar una nueva fábrica
en Todolandia y por dicho motivo ha lanzado al mercado un nuevo diseño de
azulejos blancos de forma octogonal irregular con un cuadrado de color verde
de lado 10 cm en el centro del mismo (como puede observar en el dibujo).
El famoso escaparatista D. Esbelto Decoralotodo para el día de la
inauguración quiere preparar un panel expositor de 2’25 m2
de superficie.
Dicho panel estaría recubierto con los nuevos azulejos y para cubrir los
huecos que se forman al unir estos azulejos utiliza otras piezas de color verde
y de forma cuadrada de 200 cm2
cada una (como se ve en el dibujo), que
pueden ser troceadas.
¿Qué superficie ocupa el azulejo octogonal?
¿Cuántos azulejos octogonales y cuántas piezas cuadradas necesitará
D. Esbelto Decoralotodo para recubrir todo el panel expositor?
Razona las respuestas.

33. Solución:
EnunciadoEnunciado
Empecemos calculando la superficie del azulejo y para ello
dividamos el octógono en partes como se observa en la figura.
Como se puede comprobar fácilmente el azulejo octogonal está
formado por 5 cuadrados y por 4 mitades, es decir, por un total de 7
cuadrados iguales que tienen de lado 10 cm.
MenúMenú

34. Solución:
EnunciadoEnunciado
Calculemos cuál será la superficie de estos 7 cuadrados
• A cuadrado = lado
2
= 10
2
= 100 cm
2
• A octógono = 7 × A cuadrado = 7 × 100 = 700 cm
2
El azulejo tiene una superficie de 700 cm
2
MenúMenú

35. Solución:
EnunciadoEnunciado
Veamos ahora cuáles serían las dimensiones del panel expositor
que se quiere construir, del cual sabemos que su superficie es de 2’25 m
2
En primer lugar pasemos la superficie a cm
2
2’25 m
2
= 2’25 × 10000 = 22500 cm
2
Si el área del cuadrado se calcula A cuadrado = lado
2
, para averiguar el
lado del mismo tendríamos que calcular la raíz cuadrada de su área.
cmAl 15022500 ===
MenúMenú

36. Solución:
EnunciadoEnunciado
Ya que sabemos la medida del lado del panel expositor (150 cm) vamos a
calcular cuantos azulejos caben en cada lado, para ello necesitamos conocer
cuanto ocupa cada azulejo.
Si observa la figura cada azulejo octogonal ocupa
30 cm (10 + 10 + 10) de ancho y otros 30 cm de largo.
De aquí deducimos que en cada lado del panel expositor (largo y ancho)
caben un total de 150 ÷ 30 = 5 azulejos.
Por todo lo cual el número total de azulejos octogonales que hay en el
panel expositor sería 5 × 5 = 25 azulejos.
Se necesitan 25 azulejos octogonales para el panel expositor.
MenúMenú

37. Solución:
EnunciadoEnunciado
Calculemos ahora el número de piezas cuadrangulares de 200 cm
2
que necesitamos para cubrir los huecos que dejan al unirse los azulejos
octogonales.
Si observamos la reproducción del
panel expositor en la figura veremos que
hay 4 filas de 4 piezas completas y dos
mitades en los extremos (4 + 2 × ½ = 5),
más 2 filas de 4 mitades y 2 cuartos en los
extremos (4 × ½ + 2 × ¼ = 2’5).
El total de piezas cuadradas sería:
4 × 5 + 2 × 2’5 = 20 + 5 = 25
Se necesitan 25 piezas cuadradas para completar el panel expositor
MenúMenú

38. Solución:
EnunciadoEnunciado
Comprobemos los resultados obtenidos:
La superficie del panel expositor es
de:
2’25 m
2
= 22500 cm
2
La superficie de todos los azulejos
octogonales es de:
25 × 700 = 17500 cm
2
.
La superficie de todas las piezas
cuadradas es de:
25 × 200 = 5000 cm
2
.
La superficie de todas las piezas
empleadas coincide con la superficie del
panel :
17500 + 5000 = 22500 cm
2
MenúMenú

39. Solución:
HEMOS ENCONTRADO LAS SOLUCIONES...
… pero ¿habrá más formas de calcularlas?
EnunciadoEnunciado
Se necesitan 25 piezas octogonales
para formar el panel expositor y otras 25
piezas cuadrangulares para recubrir los
huecos que quedan entre ellas.
Los azulejos octogonales ocupan
una superficie de 700 cm2
Hagamos un resumen con las respuestas a las preguntas del problema:
MenúMenú

40. Los billetes del busLos billetes del bus

41. SoluciónSolución MenúMenú
LOS BILLETES DEL BUS:
Raquel y su hermana Ana, van todos los días a clase en el
autobús de la línea 62. Raquel paga siempre los billetes. Cada billete
tiene impreso un número de 5 cifras.
Una mañana observa que los números de sus billetes, el suyo y
el de Ana, además de consecutivos, son tales que la suma de las diez
cifras es precisamente 62. Además observa que las cifras del menor de
los números van todas ellas consecutivas.
Ana entonces le dice: si la suma de las cifras de uno de los
billetes es 35 puedo decirte el número de cada billete.
¿Cuáles eran esos números?
Razona la respuesta.

42. Solución:
EnunciadoEnunciado MenúMenú
Denotemos los billetes de ambas hermanas de la siguiente manera:
Billete con el número menor:
A B C D E
Billete con el número mayor:
F G H I J

43. Solución:
EnunciadoEnunciado MenúMenú
2.- La suma de las diez cifras es 62:
A + B + C + D + E + F + G + H + I + J = 62
3.- Las cifras del menor número son todas consecutivas:
B = A + 1; C= B + 1; D= C + 1; E= D + 1
Resumiendo nos queda que:
B = A + 1; C= A + 2; D= A + 3; E= A + 4
PROPIEDADES QUE CUMPLEN LOS BILLETES
1.- Los billetes son consecutivos

44. Solución:
EnunciadoEnunciado
Por lo tanto el billete con las cifras menores sería de la forma:
A A + 1 A + 2 A + 3 A + 4
Y el consecutivo podría ser:
-- Si A<5 sería de esta forma
5 6 7 9 0
MenúMenú
La suma de los dígitos del billete sería 5A + 10
A A + 1 A + 2 A + 3 A + 5
-- Si A=5 entonces sería de la forma:

45. Solución:
EnunciadoEnunciado
4.- Por último, Ana dice: si la suma de las cifras de uno de los billetes
es 35 puedo decirte el número de cada billete.
Estudiemos las posibilidades:
1ª) Que las cifras del billete mayor fuese 35 y entonces la del
menor sería 62 – 35 = 27.
Por consiguiente:
5A + 10 = 27 → 5A = 17 → No existe solución para A.
Por lo que este caso no es posible.
MenúMenú

46. Solución:
EnunciadoEnunciado
2ª) Que las cifras del billete menor fuese 35 y la del mayor 27.
Por lo tanto se tendría que:
5A + 10 = 35 → 5A = 25 → A= 5
El billete tendría la numeración siguiente:
Y la numeración del consecutivo sería :
5 6 7 8 9
5 6 7 9 0
MenúMenú
Para comprobar la validez, bastaría hacer uso de que la
suma de las diez cifras es 62:
5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 5 + 6 + 7 + 9 + 0 = 62

47. HEMOS ENCONTRADO LA SOLUCIÓN...
… pero ¿habrá más formas de hallarla?
EnunciadoEnunciado MenúMenú
Solución:
5 6 7 8 9
5 6 7 9 0
El billete menor es:
Y el mayor es:

48. El gran premioEl gran premio

49. SoluciónSolución MenúMenú
EL GRAN PREMIO:
El equipo de Marc Márquez para conseguir el título del
Mundial de Motos GP el año 2013 estuvo preparándose para obtener
la victoria en la última prueba, por este motivo tenían en cuenta las
velocidades que se pueden alcanzar en cada una de las curvas del
circuito Ricardo Tormo de la Comunidad Valenciana.
Representa, en unos ejes distancia-velocidad, la gráfica que
muestre la velocidad que pudo llevar Marc en cada uno de los tramos
del circuito, a partir de la segunda vuelta, para sacar el máximo
rendimiento a la carrera. Para ello puede utilizar los siguientes datos:

50. Solución:
EnunciadoEnunciado MenúMenú
En primer lugar, marcaremos en el circuito los puntos de
máxima curvatura en cada una de las 14 curvas y en el inicio
de la 2ª vuelta, que es el punto de salida, obteniendo así los
puntos A, B, ….., N, O como puede apreciarse en la siguiente
figura:

51. Solución:
EnunciadoEnunciado MenúMenú
En la 2ª vuelta, a su paso por A, llevará la velocidad máxima, 327
km/h.
En el punto B deberá disminuir a 142 km/h, aminorando
progresivamente la marcha hasta alcanzar el punto de máxima
curvatura que hemos señalado, para acelerar a continuación hasta
rodar a 327 km/h en la recta hasta la siguiente curva.
Posición
Velocidad
(En km/h)
A B I L M N
327 142 102 80 130 195

52. Solución:
EnunciadoEnunciado MenúMenú
No tenemos los datos de la velocidad en C pero podemos
establecerla comparando con la curva L, pues es aproximadamente
igual de cerrada.
Con análogos razonamientos deducimos las velocidades, siempre
de forma aproximada, en las curvas y elaboramos la tabla superior
con los datos, relacionando posición con velocidad.
Posición
Velocidad
(En km/h)
A B C D E F G H I J K L M N O
327 102142 80 130 142 102 102 195 102 195 195 80 130 195

53. Solución:
EnunciadoEnunciado MenúMenú
Finalmente hacemos la gráfica, representando en el eje de
abscisas las posiciones (distancia al punto de salida), que
medimos con un compás: pinchando en A abrimos el compás
hasta llegar a B y trasladamos esta medida al eje, procediendo de
la misma manera sucesivamente con los demás puntos.
Veamos otra posible solución…

54. Para aproximar las distancias del circuito y trasladarlas
al eje de abscisas, rectificamos su forma mediante una poligonal
que se representa en trazo grueso y en colores para distinguir
los trayectos.
876 m
El dato de la longitud de la recta más larga lo utilizamos
para establecer la escala en el eje de abscisas.
MenúMenúEnunciadoEnunciado
Solución:

55. En la solución anterior describimos la función mediante un
enunciado, la tabla y finalmente la gráfica, elaborada en aquella
ocasión con geogebra y en esta “a mano alzada”
MenúMenúEnunciadoEnunciado
Solución:
Otra posible solución…

56. Otra posible solución en la que tengamos en cuentas las
aceleraciones y desaceleraciones que pueden producirse al salir o
llegar a cada una de las curvas puede ser:
MenúMenúEnunciadoEnunciado
Solución:

57. HEMOS ENCONTRADO ALGUNAS SOLUCIONES...
… pero ¿habrá más formas de obtenerlas?
EnunciadoEnunciado MenúMenú
Este problema requiere hacer aproximaciones, interpretaciones,
comparaciones y decisiones en cuanto a las distancias entre las
curvas, modo en que se acelera y decelera, apertura de las distintas
curvas y escala más adecuada para representar. Pueden admitirse
distintos trazados para la función, como en el caso de las soluciones
presentadas pero en cualquier caso los alumnos y alumnas debieran
exponer el método que han adoptado para elaborar la gráfica a
partir de los datos.
Solución: