La Hipótesis del Continuo: una proposición independiente

La Hipótesis del Continuo
Una proposición independiente
Freddy William Bustos Rengifo
Matemáticas - Unicauca
3 de abril de 2013
(Matemáticas - Unicauca ) La Hipótesis del Continuo 3 de abril de 2013 1 / 30

Cálculo Proposicional
Elementos
p, q, r, ..., p0 , p1 , p2 , ...
:, _, ^, ), ,, (, )
Si A es fórmula v (A) = F o v (A) = V

Interpretación
A : (p , q) , B : (q _ (:r)) , C : (r ) p)
v (p) = V , v (q) = V , v (r) = F (modelo)
v (A) = V , v (B) = V , v (C) = V
v (p) = V , v (q) = F, v (r) = V
v (A) = F, v (B) = F, v (C) = V

Deducción
A : (p , q) , B : (q _ (:r)) , C : (r ) p) , D : (r ) (p ^ q))
Si v (A) = v (B) = v (C) = V entonces v (D) = V
p q r D
V V V V
V V F V
F F F V

Deducción
A : (p , q) , B : (q _ (:r)) , C : (r ) p) , E : (r ^ (:p))
Si v (A) = v (B) = v (C) = V entonces v (E) = F
p q r E
V V V F
V V F F
F F F F

Inconsistencia
A : (p () q) , B : (p ^ (:q))
Si v (A) = v (B) = V entonces v (q) = F y v (q) = V
Se deduce una contradicción de la forma "q es verdadero y q es falso"

Consistencia
Un conjunto de fórmulas es consistente si no es inconsistente
Si existe una interpretación en la cual son verdaderas todas
las fórmulas de un conjunto, el conjunto es consistente

Independencia
A : (p , q) , B : (q _ (:r)) , C : (r ) p) , G : (r _ (:p))
Si v (A) = v (B) = v (C) = V
p q r G
V V V V
V V F F
El conjunto fA, B, C, Gg es consistente.
El conjunto fA, B, C, :Gg es consistente

Cálculo de Predicados
Elementos
p, q, r, ..., p0 , p1 , p2 , ...
:, _, ^, ), ,, (, )
8, 9
P (x) , Q (x, y) , R(x, y, z), ...
Si A es fórmula v (A) = F o v (A) = V

Interpretación
A : (8a 2 P) ((9y 2 L) ^ (9z 2 L)) ((y 6= z) ^ E (a, y) ^ E (a, z))
B : (8x 2 L) ((9a 2 P) ^ (9b 2 P)) ((a 6= b) ^ E (a, x) ^ E (b, x))
P : profesores de la Universidad del Cauca I - 2013
L : estudiantes de la Universidad del Cauca I - 2013
E (t, u) : t es alumno de u
v (A) =?, v (B) =?
P : puntos en el plano Π
L : rectas en el plano Π
E (t, u) : t está en u o u pasa por t (modelo)
v (A) = V , v (B) = V

Inconsistencia
Un conjunto de fórmulas es inconsistente si para cualquier
interpretación, de ellas se deduce una contradicción de
la forma "q es verdadero y q es falso"

Consistencia
Un conjunto de fórmulas es consistente si no es inconsistente
¿Si existe una interpretación en la cual son verdaderas todas
las fórmulas de un conjunto, el conjunto es consistente?
Si en la interpretación es válida la ley de
contradicción la respuesta es sí.

Ley de Contradicción
(8x 2 A) (: (P (x) ^ :P (x)))

Sistemas Formales
Elementos
términos no de…nidos
postulados
reglas de deducción

Una Geometría Finita
V un conjunto de puntos y líneas.
"x está en y" expresa la misma idea que "y tiene a x".
Cada punto est ´a en exactamente dos líneas.
Cada par de líneas distintas tienen un único punto en común.

cuatro "líneas", seis "puntos"

siete líneas, veintiún puntos

La proposición "existen cuatro líneas" es una
proposición independiente ya que agregando
a los postulados de nuestra geometría …nita
esta proposición o su negación, se obtienen
sistemas consistentes.

El Sistema ZFC
Sistema de Zermelo - Fraenkel con
Axioma de Elección
Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo (Berlín, 27 de julio de 1871 - 21 de
mayo de 1953) presentó en1908 una lista de axiomas para la teoría de
conjuntos con la intención de fundamentar las matemáticas.

El Sistema ZFC
Axioma de Elección
Adolf Abraham Halevi Fraenkel (Munich, 17 de febrero de 1891 -
Jerusalén, 15 de octubre de 1965) presentó en 1922 el axioma de
esquema de reemplazo, el cual perfeccionó el sistema de Zermelo.
También Fraenkel demostró la independencia del Axioma de Elección
(Zermelo, 1904).

El Sistema ZFC
Axioma de Elección
(Zermelo, 1904).
ZFC da sustento a toda la matemática conocida.

El Sistema ZFC
Axioma de Elección
(Zermelo, 1904).
Usando ZFC no han aparecido contradicciones.

El Sistema ZFC
Axioma de Elección
(Zermelo, 1904).
Usando ZFC no han aparecido contradicciones.
ZFC podría ser inconsistente.

Cardinalidad
Cantidad de Elementos en un
Conjunto
1 El conjunto A tiene la misma cantidad de elementos que el conjunto B.
2 El conjunto A tiene a lo sumo la misma cantidad de elementos que el
conjunto B.
3 El conjunto A tiene menos elementos que el conjunto B.
4 El conjunto A tiene siete elementos.
5 El conjunto A tiene @α elementos.

Cardinalidad
De…niciones y Notaciones
1 Existe una biyección de A en B
jAj = jBj
2 Existe una función uno a uno (inyectiva) de A en B
jAj jBj
3 jAj jBj pero no se tiene jAj = jBj jAj < jBj
4 Existe una biyección entre A y el conjunto f0, 1, 2, 3, 4, 5, 6g = 7
jAj = 7
5 Existe una biyección entre A y el conjunto ωα jAj = @α

Cardinalidad
Operaciones
Si κ y λ son cardinales y los conjuntos disjuntos A y B son tales que
jAj = κ y jBj = λ, entonces κ + λ = jA [ Bj
Si κ y λ son cardinales y los conjuntos A y B son tales que jAj = κ y
jBj = λ, entonces κ λ = jA Bj
Si κ y λ son cardinales y los conjuntos A y B son tales que jAj = κ y
jBj = λ, entonces κλ = AB
AB es el conjunto de todas las funciones con dominio A e imagen en B

Cardinalidad
Cardinales Finitos e In…nitos
Los cardinales …nitos son los números naturales.
Los cardinales in…nitos son los aleph y están ordenados
consecutivamente así .
@0 < @1 < @2 < ... < @n < @n+1 < ...
Hay un cardinal in…nito para cada natural n, pero hay más!

Cardinalidad
Algunos Resultados Conocidos
El conjunto de números naturales es N = ω = ω0 y jNj = @0 , el
primer cardinal in…nito.
El conjunto de números reales, R satisface jRj = jP (N)j = 2N ,
luego jRj = 2@0 (la cardinalidad del continuo).
Para cualquier conjunto A se tiene que jAj < jP (A)j (Teorema de
Cantor).
Entonces jNj < jRj .
Se tiene que jZj = jQj = jNj = @0 y jIj = 2@0 .

Hipótesis del Continuo
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (San Petersburgo, 3 de marzo
de 1845 - Halle, 6 de enero de 1918).
En 1877, Cantor conjeturó que 2@0 era el siguiente cardinal después
de @0.
Equivalente: No existe un subconjunto de números reales con una
cardinalidad intermedia entre la de N y la de R.
También: No existe un conjunto con cardinalidad κ con
@0 < κ < 2@0 .

David Hilbert (23 de enero de 1862, Königsberg (Prusia Oriental) -
14 de febrero de 1943, Gotinga.
Hilbert presentó en el II Congreso Internacional de Matemáticas
realizado en París en 1900 una lista de 23 problemas que según él
orientarían el desarrollo de la matemática en el nuevo siglo. El
primero de la lista es ¿cuál es el cardinal del continuo?

No Refutabilidad
Kurt Friedrich Gödel (28 de abril de 1906,Brünn - 14 de enero de
1978, Princeton).
Gödel construyó un modelo para teoría de conjuntos en 1939 llamado
"modelo construible", el cual satisface todos los axiomas de ZFC, un
nuevo axioma (axioma de construibilidad) y la hipótesis del continuo.

Independencia
Paul Joseph Cohen (2 de abril de 1934, Long Branch - 23 de marzo
de 2007, Stanford).
Cohen descubrió un método que le permitió construir un modelo en
donde se satisfacen lo axiomas ZFC y la hipótesis del continuo falla.
El método descubierto por Cohen (forcing) permite construir modelos
en donde 2@0 = @α para diferentes valores de α.
Por este trabajo, Cohen recibió la Medalla Fields en 1966 y la
National Medal of Science en 1967.

Referencias
Hrbacek, Karel - Jech, Thomas. Introduction to Set Theory. Marcel
Dekker, Inc.,1999.
Stabler, Edward Russell.R.An Introduction to Mathematical Thought.
Addison-Wesley Publishing Company, Inc., 1953.
McGough, Nancy. The Continuum Hypothesis.
http://www.ii.com/math/ch/#overview

Fin
GRACIAS
MUCHAS GRACIAS
MUCHÍSIMAS GRACIAS

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