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ÁLGEBRA
LINEAL
CLASE 6
Ing. Andrés Ordoñez Segarra Mgtr

UNIDAD 2 – Vectores R2 y Rn
2
Vectores en el plano. Espacio de
los vectores geométricos.
n – vectores.
Producto punto. Producto Cruz
Rectas
Planos

FÓRMULA DEL PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES EN FUNCIÓN
DE SUS COMPONENTES
3
Sean los vectores u y v, entonces el producto escalar entre ellos es:
𝒖·𝒗 = 𝒂𝟏𝒂𝟐 + 𝒃𝟏𝒃𝟐
𝒖·𝒗 = 𝒖𝒙𝒗𝒙 + 𝒖𝒚𝒗𝒚
Es decir, el producto escalar entre dos vectores es igual a la suma de los productos
entre componentes homólogas.
Sean u = (3;0) y v =(5;5). Calcule el producto escalar u·v.
𝒖·𝒗 = 𝟑 ∗ 𝟓 𝟎 ∗ 𝟓 = 𝟏𝟓

PRODUCTO ESCALAR O PRODUCTO PUNTO DE DOS VECTORES
4
En matemáticas, el producto escalar, también conocido como producto interno o
producto punto, es una operación algebraica que toma dos secuencias de números
de igual dimensión (usualmente en la forma de vectores) y retorna un único número.
Algebraicamente, el producto punto es la suma de los productos de las
correspondientes entradas en dos secuencias de números.

ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES
5
Sean u y v dos vectores diferentes de cero.
Entonces el ángulo φ entre u y v esta
definido como el ángulo no negativo mas
pequeño entre las representaciones de u y v
que tienen el origen como punto inicial. Si u =
αv para algún escalar α, entonces φ = 0 si α
> 0 y φ = π si α < 0 .
Esta definición se ilustra en la figura. Observe
que φ siempre se puede elegir para que sea
un ángulo no negativo en el intervalo [0, π].

6
Sean u y v dos vectores diferentes de cero. Si φ es el ángulo entre ellos,
entonces:
cosφ=
𝒖·𝒗
𝑢 · 𝑣
𝒖·𝒗= 𝑢 · 𝑣 cosφ

7
EJEMPLO: CÁLCULO DEL ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES
Encuentre el ángulo entre los vectores u = 2i + 3j y v = -7i + j.
cosφ=
𝒖·𝒗
𝑢 · 𝑣
=
−11
13 50
=
−11
650
= −0,431455497
𝒖·𝒗 = 𝟐 ∗ −𝟕 + 𝟑 ∗ 𝟏 = −𝟏𝟒 + 𝟑 = −𝟏𝟏
𝑢 = 𝟐𝟐 + 𝟑𝟐 = 𝟏𝟑
𝑣 = (−𝟕)𝟐 + 𝟏𝟐 = 𝟓𝟎
cosφ=cos−1 −0,431455497 ≈ 2,0169°(≈ 115,6°)

VECTORES PARALELOS
8
Dos vectores diferentes de cero u y v son paralelos si el ángulo entre ellos es 0 o π.
Observe que los vectores paralelos tienen la misma dirección o direcciones opuestas.
EJEMPLO:
Demuestre que los vectores u = (2 , -3) y v = (-4 , 6) son paralelos.
cosφ=
𝒖·𝒗
𝑢 · 𝑣
=
−8 − 18
13 52
=
−26
13(2 13)
=
−26
2 13
− 1
Por lo tanto, φ = π (de manera que u y v tienen direcciones opuestas).

VECTORES ORTOGONALES
9
Los vectores u y v diferentes de cero son ortogonales (o perpendiculares) si el
ángulo entre ellos es
𝜋
2
.
EJEMPLO:
Demuestre que los vectores u = 3i + 4j y v = -4i + 3j son ortogonales.
cosφ=
𝒖·𝒗
𝑢 · 𝑣
= 0
Por lo tanto, como φ esta en el intervalo [0, π], φ =
𝜋
2
.
𝒖·𝒗 = 𝟑 ∗ 𝟒 − 𝟒 ∗ 𝟑 = 𝟎

PROYECCIÓN DE VECTORES
10
Sean u y v dos vectores diferentes de cero. Entonces la proyección de u sobre v es un vector
denotado por proyv u, que se define por

12
• Observación 2. Se puede pensar en la proyv u como la componente de v del vector
u.
• Observación 3. Si u y v son ortogonales, entonces u . v = 0, de manera que proyv u
= 0.
• Observación 4. Una definición alternativa de la proyección es: si u y v son vectores
diferentes de cero, entonces proyv u es el único vector con las siguientes
propiedades:

13
CALCULO DE UNA PROYECCIÓN
Sean u = 2i + 3j y v = i + j. Calcule proyv u.
𝑝𝑟𝑜𝑦𝑣𝐮 =
𝐮. 𝐯 𝐯
𝐯 𝟐
5
( 𝟐)2
𝐯
𝐮·𝐯 = 𝟐 ∗ 𝟏 + (𝟑 ∗ 𝟏) = 𝟓
v = 𝟏𝟐 + 𝟏𝟐 = 𝟐
𝐯 =
𝟓
𝟐
𝐢 +
𝟓
𝟐
𝐣
La proyección de (2, 3) sobre (1, 1) es (5/2,
5/2)

14
CALCULO DE UNA PROYECCIÓN
Sean u = 2i - 3j y v = i + j. Calcule proyv u.
𝐮. 𝐯 𝐯
𝐯 𝟐
−1
( 𝟐)2
𝐯
𝐮·𝐯 = 𝟐 ∗ 𝟏 + −𝟑 ∗ 𝟏 = −𝟏
v = 𝟏𝟐 + 𝟏𝟐 = 𝟐
𝐯 = −
𝟏
𝟐
𝐢 + −
𝟏
𝟐
𝐣
La proyección de (2, -3) sobre (1, 1) es (-1/2, -
1/2)

VECTORES EN EL ESPACIO
20
Los vectores constituyen el espacio ℝ3. Para representar un punto en el espacio, se
comienza por elegir un punto en R3. A este punto se le denomina el origen, denotado
por 0. Después se dibujan tres rectas perpendiculares entre si, a las que se llama el eje
x, el eje y y el eje z. Dichos ejes se pueden seleccionar de diferentes formas, pero la
mas común tiene los ejes x y y horizontales y el eje z vertical. Sobre cada eje se elige
una dirección positiva y la distancia a lo largo de cada eje se mide como el numero de
unidades en esta dirección positiva a partir del origen.

21
a) Un sistema derecho;
b) Un sistema izquierdo.
La mano derecha indica las
direcciones de un sistema
derecho.

22
Los tres ejes en nuestro sistema determinan tres planos coordenados, que se denominan
plano xy, plano xz y plano yz. El plano xy contiene los ejes x y y y es simplemente el plano
con el que se ha venido trabajando hasta ahora en la mayor parte del libro. Se puede
pensar en los planos xz y yz de modo similar.
Al tener nuestra estructura construida de ejes coordenados y planos, podemos describir
cualquier punto P en ℝ3 de una sola manera:
𝑷 = (𝒙, 𝒚, 𝒛)
Sean P = (x1, y1, z1) y Q = (x2, y2, z2) dos puntos en el espacio. Entonces la distancia PQ entre P y Q esta dada
por
PQ = 𝒙𝟏 − 𝒙𝟐
𝟐 + 𝒚𝟏 − 𝒚𝟐
𝟐 + 𝒛𝟏 − 𝒛𝟐
𝟐

23
PQ = 𝒙𝟏 − 𝒙𝟐
𝟐 + 𝒚𝟏 − 𝒚𝟐
𝟐 + 𝒛𝟏 − 𝒛𝟐
𝟐
Calcule la distancia entre los puntos (3, -1, 6) y (-2, 3, 5).
PQ = 𝟑 − (−𝟐) 𝟐 + −𝟏 − 𝟑 𝟐 + 𝟔 − 𝟓 𝟐
PQ = 𝟒𝟐

24
𝐯 = 𝐯 = 𝒙𝟏
𝟐 + 𝒚𝟏
𝟐 + 𝒛𝟏
𝟐
Sean P y Q dos puntos distintos en ℝ3. Entonces el segmento de recta dirigido 𝑃𝑄 es
el segmento de recta que se extiende de P a Q. Dos segmentos de recta dirigidos son
equivalentes si tienen la misma magnitud y dirección. Un vector en ℝ3 es el conjunto de
todos los segmentos de recta dirigidos equivalentes a un segmento de recta dirigido
dado, y cualquier segmento dirigido P Q en ese conjunto se llama una representación
del vector.
Hasta aquí las definiciones son idénticas. Por conveniencia, se elige P en el origen para
poder describir el vector v = 0𝑄 mediante las coordenadas (x, y, z) del punto Q.
Entonces la magnitud de:

25
Sea v = (1, 3, -2). Encuentre |v|.
𝐯 = 𝟏𝟒
𝐯 = 𝒙𝟏
𝟐 + 𝒚𝟏
𝟐 + 𝒛𝟏
𝟐
𝐯 = 𝟏 𝟐 + 𝟑 𝟐 + −𝟐 𝟐

27
Un vector unitario u es un vector con magnitud 1. Si v es un vector diferente de cero,
entonces 𝐮 =
v
v
es un vector unitario que tiene la misma dirección que v.
Encuentre un vector unitario que tenga la misma dirección que v = (2, 4, -3).
𝐯 = 2 2 + 4 2 + −3 2
𝐯 = 29
𝒖 =
2
29
,
4
29
, −
3
29

28
Ahora se puede definir formalmente la dirección
de un vector en ℝ3. No se puede definir como el
ángulo θ que forma el vector con el eje x positivo
ya que, por ejemplo, si , por lo que existe un
numero infinito de vectores que forman un
ángulo θ con el lado positivo del eje x, y estos
vectores juntos forman un cono.
Todos los vectores que están
en este cono forman un ángulo
u con la parte positiva del eje x.

29
DIRECCIÓN EN ℝ3
La dirección de un vector v en ℝ3 se define como el vector unitario 𝐮 =
v
v
.
Es conveniente definir la dirección de un
vector v en términos de algunos ángulos.
Sea v el vector 0𝑃. Definimos α como el
ángulo entre v y el eje x positivo, β el
ángulo entre v y el eje y positivo, y γ el
ángulo entre v y el eje z positivo. Los
ángulos α, β, γ se denominan ángulos
directores del vector v.

30
La dirección de un vector v en ℝ3 se define como el vector unitario 𝐮 =
v
v
.
cos 𝛼 =
𝑥0
v cos 𝛽 =
𝑦0
v
cos 𝛾 =
𝑧0
v
Si v es un vector unitario, entonces |v| = 1
cos 𝛼 = 𝑥0
cos 𝛽 = 𝑦0
cos 𝛾 = 𝑧0

31
Si α, β y γ son tres números cualesquiera entre cero y π, entonces determinan de manera única
un vector unitario dado por u = (cos α, cos β , cos γ ).
Observación. Si v = (a, b, c) y |v| ≠ 1, entonces los números a, b y c se llaman números
directores del vector v.
Cálculo de los cosenos directores de un
vector en ℝ3
Encuentre los cosenos directores del vector v = (4, -1, 6).
v
v
=
v
53
=
4
53
−
1
53
,
6
53

32
Cálculo de los cosenos directores de un vector en
ℝ3
Encuentre los cosenos directores del vector v = (4, -1, 6).
cos 𝛼 =
4
53
≈ 0,5494
v
v
=
v
53
=
4
53
−
1
53
,
6
53
cos 𝛽 =
−1
53
≈ −0,1354
cos 𝛾 =
6
53
≈ 0,8242
𝛼 ≈ 56,70°
𝛽 ≈ 97,90°
𝛾 ≈ 34,50°

COMPONENTE PRÁCTICO N°7
35
Realizar los ejercicios solicitados en MATLAB

PRODUCTO CRUZ DE DOS VECTORES
36
Sean 𝐮 = 𝑎1𝐢 + 𝑏1𝐣 + 𝑐1𝐤 y 𝐯 = 𝑎2𝐢 + 𝑏2𝐣 + 𝑐2𝐤. Entonces el producto cruz (cruz
vectorial) de u y v, denotado por u x v, es un nuevo vector definido por:
𝐮 × 𝐯 = 𝑏1𝑐2 − 𝑐1𝑏2 𝐢 + 𝑐1𝑎2 − 𝑎1𝑐2 𝐣 + 𝑎1𝑏2 + 𝑏1𝑎2 𝐤
EJEMPLO
• Sean u = i - j + 2k y v = 2i + 3j - 4k. Calcule w = u X v.
𝐰 = −1 −4 − (2)(3) 𝐢 + 2 2 − (1)(−4) 𝐣 + 1 3 − (−1)(2) 𝐤
𝐰 = −2𝐢 + 8𝐣 + 5𝐤

37
Antes de continuar el estudio de las aplicaciones del producto cruz se observa que
existe una forma sencilla de calcular u X v usando determinantes.

38

39

40

41
Se sabe que, u X v es un vector ortogonal a
u y v, pero siempre habrá dos vectores
unitarios ortogonales a u y v. Los vectores n
y -n (n por la letra inicial de normal) son
ambos ortogonales a u y v. ¿Cual tiene la
dirección de u X v? La respuesta esta dada
por la regla de la mano derecha. Si se
coloca la mano derecha de manera que el
índice apunte en la dirección de u y el dedo
medio en la dirección de v, entonces el
pulgar apuntara en la dirección de u X v.

42
El área del paralelogramo que tiene
lados adyacentes es igual a
𝐮 𝐯 𝑠𝑒𝑛𝜑 = 𝐮 × 𝐯
EJERCICIO
Encuentre el área del paralelogramo con vértices
consecutivos en P = (1, 3, -2), Q = (2, 1, 4) y R = (-3,
1, 6).
Á𝑟𝑒𝑎 = 𝑃𝑄 × 𝑄𝑅 = (𝒊 − 2𝒋 + 6𝒌) × (−5𝒊 + 2𝒌)
=
𝑖 𝑗 𝑘
1 −2 6
−5 0 2
= −4𝒊 − 32𝒋 − 10𝒌 = 1140 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎𝑠

45
BIBLIOGRAFIA.
ALGEBRA LINEAL , STANLEY I. GROSSMAN
ALGEBRA LINEAL, BERNARD KOLMAN, DAVID R HILL.
¡GRACIAS TOTALES!
“La mejor forma de predecir el futuro es creándolo”.
Abraham Lincoln

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