Una matriz es un conjunto de elementos ordenados en filas y columnas. Las matrices se utilizan en cálculo numérico, sistemas de ecuaciones y geometría. Existen operaciones como suma, producto y multiplicación de matrices que siguen ciertas propiedades. Las tablas de verdad muestran los valores de verdad de proposiciones compuestas y son fundamentales en lógica matemática.

2. MATRICES

3. CONCEPTO DE MATRIZ Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque, en general, suelen ser números ordenados en filas y columnas. Se llama matriz de orden "m × n" a un conjunto rectangular de elementos a ij dispuestos en m filas y en n columnas. El orden de una matriz también se denomina dimensión o tamaño , siendo m y n números naturales.

4. Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc... La utilización de matrices constituye actualmente una parte esencial donde los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas : hojas de cálculo, bases de datos,...

5. Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C, ... y los elementos de las mismas con letras minúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado: a, b, c, ... Un elemento genérico que ocupe la fila i y la columna j se escribe a ij . Si el elemento genérico aparece entre paréntesis también representa a toda la matriz : A = (a ij )

6. Cuando nos referimos indistintamente a filas o columnas hablamos de líneas. El número total de elementos de una matriz Am×n es m·n En matemáticas, tanto las Listas como las Tablas reciben el nombre genérico de matrices.

7. Una lista numérica es un conjunto de números dispuestos uno a continuación del otro. MATRICES IGUALES Dos matrices A = (a ij )m×n y B = (b ij )p×q son iguales, sí y solo si, tienen en los mismo lugares elementos iguales, es decir : ALGUNOS TIPOS DE MATRICES Hay algunas matrices que aparecen frecuentemente y que según su forma, sus elementos, ... reciben nombres diferentes :

12. Para establecer las reglas que rigen el cálculo con matrices se desarrolla un álgebra semejante al álgebra ordinaria, pero en lugar de operar con números lo hacemos con matrices.

13. OPERACIONES CON MATRICES SUMA DE MATRICES La suma de dos matrices A = (a ij )m×n y B = (b ij )p×q de la misma dimensión (equidimensionales) : m = p y n = q es otra matriz C = A+B = (c ij )m×n = (a ij +b ij )

14. Es una ley de composición interna con las siguientes PROPIEDADES : · Asociativa : A+(B+C) = (A+B)+C · Conmutativa : A+B = B+A · Elem. neutro : ( matriz cero 0 m×n ) , 0+A = A+0 = A · Elem. simétrico : ( matriz opuesta -A ) , A + (-A) = (-A) + A = 0 Al conjunto de las matrices de dimensión m×n cuyos elementos son números reales lo vamos a representar por M m×n y como hemos visto, por cumplir las propiedades anteriores, ( M, + ) es un grupo abeliano.

15. PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UNA MATRIZ Para multiplicar un escalar por una matriz se multiplica el escalar por todos los elementos de la matriz, obteniéndose otra matriz del mismo orden.

16. Es una ley de composición externa con las siguientes PROPIEDADES :

17. PRODUCTO DE MATRICES Dadas dos matrices A = (a ij )m×n y B = (b ij )p×q donde n = p, es decir, el número de columnas de la primera matriz A es igual al número de filas de la matriz B , se define el producto A·B de la siguiente forma : El elemento a que ocupa el lugar (i, j) en la matriz producto se obtiene sumando los productos de cada elemento de la fila i de la matriz A por el correspondiente de la columna j de la matriz B. MATRIZ INVERSA Se llama matriz inversa de una matriz cuadrada An y la representamos por A -1 , a la matriz que verifica la siguiente propiedad : A -1 ·A = A·A -1 = I Decimos que una matriz cuadrada es "regular" si su determinante es distinto de cero, y es "singular" si su determinante es igual a cero.

18. PROPIEDADES : Sólo existe matriz inversa de una matriz cuadrada si ésta es regular. La matriz inversa de una matriz cuadrada, si existe, es única. Entre matrices NO existe la operación de división, la matriz inversa realiza funciones análogas .

19. TABLA DE VERDAD

20. TABLA DE VERDAD es una tabla que despliega el valor de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de valores de verdad que se pueda asignar a sus componentes. Fue desarrollada por Charles Sanders Peirce por los años 1880, pero el formato más popular es el que introdujo Ludwig Wittgenstein en su Tractitos logico-philosophicus, publicado en 1921.

21. Definición y algoritmo fundamental Considérese dos proposiciones A y B. Cada una puede tomar uno de dos valores de verdad : o 1 (verdadero), o 0 (falso). Por lo tanto, los valores de verdad de A y de B pueden combinarse de cuatro maneras distintas: o ambas son verdaderas; o A es verdadera y B falsa, o A es falsa y B verdadera, o ambas son falsas. Esto puede expresarse con una tabla simple: 1 2 3 4 5 A B C B\/C A/\(B\/C) V V V V V V V F V V V F V V V V F F F F F V V V F F V F V F F F V V F F F F F F

22. Considérese además a " " como una operación o conjunción lógica que realiza una función de verdad al tomar los valores de verdad de A y de B, y devolver un único valor de verdad. Entonces, existen 16 funciones distintas posibles, y es fácil construir una tabla que muestre qué devuelve cada función frente a las distintas combinaciones de valores de verdad de A y de B.

23. Contradicción Se entiende por proposición contradictoria, o contradicción, aquella proposición que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es F. Dicho de otra forma, su valor F no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones de unas con otras. Sea el caso: [(A/\B)/\¬(A\/B)]/\C 1 2 3 4 5 6 7 8 A B C A/\B A\/B ¬(A\/B) (A/\B)/\¬(A\/B) [(A/\B)/\¬(A\/B)]/\C V V V V V F F F V V F V V F F F V F V F V F F F V F F F V F F F F V V F V F F F F V F F V F F F F F V F F V F F F F F F F V F F

24. Tautologías Se entiende por proposición tautológica, o tautología, aquella proposición que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es V. Dicho de otra forma, su valor V no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones sintácticas de unas con otras. Sea el caso: [(A->B)/\(B->C)] ->(A->C) Siguiendo la mecánica algorítmica de la tabla anterior construiremos su tabla de verdad: A B C A->B B->C (A->B)/\(B->C) (A->C) [(A->B)/\(B->C)] ->(A->C) V V V V V V V V V V F V F F F V V F V F V F V V V F F F V F F V F V V V V V V V F V F V F F V V F F V V V V V V F F F V V V V V

25. Tablas de verdad, proposiciones lógicas y argumentos deductivos En realidad toda la lógica está contenida en las tablas de verdad, en ellas se nos manifestó todo lo que implican las relaciones sintácticas entre las diversas proposiciones. No obstante la sencillez del algoritmo, aparecen dos dificultades. La gran cantidad de operaciones que hay que hacer para una proposición con más de 4 variables. Esta dificultad ha sido magníficamente superada por la rapidez de los ordenadores, y no presenta dificultad alguna. Que únicamente será aplicable a un esquema de inferencia , o argumento cuando la proposición condicionada, como conclusión, sea previamente conocida, al menos como hipótesis, hasta comprobar que su tabla de verdad manifiesta una tautología.

26. LÓGICA MATEMÁTICA

27. Desarrollo. La lógica matemática es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computación para verificar si son o no correctos los programas ; en las ciencias física y naturales, para sacar conclusiones de experimentos ; y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lógico para realizar cualquier actividad.

28. Proposiciones y operaciones lógicas. Una proposición o enunciado es una oración que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez. La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática. A continuación se tienen algunos ejemplos de proposiciones válidas y no válidas, y se explica el porqué algunos enunciados no son proposiciones. Las proposiciones se indican por medio de una letra minúscula, dos puntos y la proposición propiamente dicha. Ejemplo.

29. p: La tierra es plana. q: -17 + 38 = 21 r: x > y-9 s: El Morelia será campeón en la presente temporada de Fut-Bol. t: Hola ¿como estas? w: Lava el coche por favor.

30. Conectivos lógicos y proposiciones compuestas. Existen conectores u operadores lógicas que permiten formar proposiciones compuestas (formadas por varias proposiciones). Los operadores o conectores básicos son: Operador and (y) : Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir para que se pueda obtener un resultado verdadero. Si símbolo es: {Ù, un punto (.), un paréntesis}. Se le conoce como la multiplicación lógica

31. Ejemplo. Sea el siguiente enunciado “El coche enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente la batería” Sean: p: El coche enciende. q: Tiene gasolina el tanque. r: Tiene corriente la batería.

32. Proposiciones condicionales. Una proposición condicional, es aquella que está formada por dos proposiciones simples (o compuesta) p y q. La cual se indica de la siguiente manera: p ® q Se lee “Si p entonces q” Ejemplo. El candidato del PRI dice “Si salgo electo presidente de la República recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año”. Una declaración como esta se conoce como condicional. Su tabla de verdad es la siguiente: Sean p: Salió electo Presidente de la República. q: Recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año.

33. Proposición bicondicional. Sean p y q dos proposiciones entonces se puede indicar la proposición bicondicinal de la siguiente manera: p « q Se lee “p si solo si q” Esto significa que p es verdadera si y solo si q es también verdadera. O bien p es falsa si y solo si q también lo es. Ejemplo; el enunciado siguiente es una proposición bicondicional “ Es buen estudiante, si y solo si; tiene promedio de diez” Donde: p: Es buen estudiante. q: Tiene promedio de diez.

34. Equivalencia lógica. Se dice que dos proposiciones son lógicamente equivalentes, o simplemente equivalentes . Si coinciden sus resultados para los mismo valores de verdad. Se indican como p º q. Considero que un buen ejemplo es el que se estableció para ilustrar la tautología en donde se puede observar que las columnas de (p®q) y (q’®p’) para los mismo valores de verdad, por lo tanto se puede establecer que (p®q) º (q’®p’)

35. Reglas de inferencia Los argumentos basados en tautologías representan métodos de razonamiento universalmente correctos. Su validez depende solamente de la forma de las proposiciones que intervienen y no de los valores de verdad de las variables que contienen. A esos argumentos se les llama reglas de inferencia. Las reglas de inferencia permiten relacionar dos o más tautologías o hipótesis en una demostración.

36. Bibliografía. Libro Autor Editorial Estructuras de Matemáticas Discretas Bernard Kolman, Robert C. Bisby, Sharon Ross Prentice Hall Elements of Discrete Mathematics C.L.Liu Mc graw Hill Matemáticas Discreta y Combinatoria Ralph P. Grimaldi Addiso Wesley Matemáticas Discretas con aplicación a las ciencias de la computación Jean Paul Tremblay, Ram Manohar CECSA Matemáticas Discretas Kenneth A. Ross, Charles R.B. Wright Prentice Hall Matemática Discreta y Lógica Winfried Karl, Jean Paul Tremblay Prentice Hall Matemáticas Discretas Richard Johnsonbaugh Gpo. Editorial Iberoamerica