1. MATEMATICA GENERAL 10.052, HERALDO GONZALEZ SERRANO
EJERCICIOS DIVERSOS Nº 1
Lógica y conjuntos
[ ]
1) Demuestre que B ∩ ( B C ∪ A) C ∪ ( A ∪ B) C = B − A
Solución.
[ ] [
B ∩ ( B C ∪ A) C ∪ ( A ∪ B) C = B ∩ (( B C ) C ∩ A C ) ∪ ( A C ∩ B C ) ]
[
= B ∩ ( B ∩ AC ) ∪ ( B C ∩ AC ) ]
[
= B ∩ ( B ∪ B C ) ∩ AC ]
= B ∩ (U ∩ A C )
= B ∩ AC = B − A
2) Demuestre , usando el álgebra de proposiciones que ( p ⇒ q ) ⇒ [(~ q ) ⇒ (~ p )]
es una tautología
Demostración
Debemos demostrar que {( p ⇒ q) ⇒ [(~ q) ⇒ (~ p )]} ⇔ I
( p ⇒ q) ⇒ [(~ q) ⇒ (~ p)] ⇔ ~ ( p ⇒ q) ∨ [(~ q) ⇒ (~ p)]
⇔ [~ ((~ p ) ∨ q )] ∨ [~ (~ q ) ∨ (~ p )]
⇔ ( p ∧ (~ q )) ∨ (q ∨ (~ p ))
⇔ [( p ∧ (~ q)) ∨ q ] ∨ (~ p )
⇔ [( p ∨ q ) ∧ ((~ q ) ∨ q )] ∨ (~ p )
⇔ [( p ∨ q ) ∧ I ] ∨ (~ p )
⇔ ( p ∨ q ) ∨ (~ p )
⇔ (q ∨ p ) ∨ (~ p )
⇔ q ∨ [ p ∨ (~ p)]
⇔ q∨I ⇔ I
3) Exprese ( p ∧ q) ∨ (r ∨ s ) usando sólo los conectivos “~” y “ ⇒ ”
Solución.
( p ∧ q) ∨ (r ∨ s) ⇔ ~ ( p ∧ q ) ⇒ (r ∨ s)
⇔ [(~ p) ∨ (~ q)] ⇒ (r ∨ s )
⇔ [~ (~ p) ⇒ (~ q )] ⇒ [(~ r ) ⇒ s ]
⇔ [ p ⇒ (~ q)] ⇒ [(~ r ) ⇒ s ]
UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE
FACULTAD DE CIENCIA – DEPTO. DE MATEMATICA Y C.C.
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2. MATEMATICA GENERAL 10.052, HERALDO GONZALEZ SERRANO
4) En una encuesta a 250 personas, realizada para conocer el contenido de su
desayuno, en relación al consumo de café, té y leche, se obtuvieron los siguientes
resultados:
30 personas tomaban té con leche
40 personas tomaban café con leche
80 personas tomaban leche
130 personas tomaban café o leche
150 personas tomaban café o leche
a) ¿Cuántas personas toman té?
b) ¿Cuántas personas tomaban sólo leche?
Solución.
Considere los siguientes conjuntos: U = población encuestada , T = personas que
toman té , C = personas que toman café , L = personas que toman leche; así, del enunciado
conseguimos los siguientes datos
n(u ) = 250 , n(T ∩ L) = 30 , n(C ∩ L) = 40 , n( L) = 80 , n(T ∪ L) = 130 , n(C ∪ L) = 150 , se
pide a) n(T ) b) n( L ∩ C C ∩ T C )
a) Como n(T ∪ L) = n(T ) + n( L) − n(T ∩ L) entonces 130 = n(T ) + 80 − 30 , de donde
n(T ) = 80
b) n( L ∩ C C ∩ T C ) = n( L ∩ (C ∪ T ) C )
= n( L) − n( L ∩ (C ∪ T ))
= n( L) − [n( L ∩ C ) + n( L ∩ T ) − n( L ∩ C ∩ T )]
= 80 − (40 + 30 − 0) = 10
Naturalmente que podemos encontrar la solución usando un diagrama
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FACULTAD DE CIENCIA – DEPTO. DE MATEMATICA Y C.C.
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