DIAGRAMA DE VENN

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DE EDUCACION SUPERIOR
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE LA FRONTERA “IUFRONT”
SAN CRISTOBAL EDO TACHIRA
REALIZADO POR
HERNADEZ ORANGELI C.I 19777519
PROF
I4NA
San Cristóbal Mayo 2011

2. Diagrama de Venn
• Origen
Los diagramas de Venn reciben su nombre de su creador, John Venn,
matemático y filósofo británico. Estudiante y más tarde profesor en el
Caius College de la Universidad de Cambridge, desarrolló toda su producción
intelectual entre esas cuatro paredes.
Venn introdujo el sistema de representación que hoy conocemos con su
nombre en julio de 1880 con la publicación de su trabajo titulado “De la
representación mecánica y diagramática de proposiciones y razonamientos”
(On the Diagrammatic and Mechanical Representation of Propositions and
Reasonings) en el Philosophical Magazine and Journal of Science,
provocando un cierto revuelo en el mundo de la lógica formal.
Aunque la primera forma de representación geométrica de silogismos
lógicos se atribuye comúnmente a Gottfried Leibniz, y fue luego ampliada
por George Boole y Augustus De Morgan, el método de Venn superaba en
claridad y sencillez a los sistemas de representación anteriores, hasta el
punto de convertirse con el tiempo en un nuevo estandar. Venn fue el
primero en formalizar su uso y en ofrecer un mecanismo de generalización
para los mismos.
Más adelante desarrolló algo más su nuevo método en su libro “Lógica
simbólica”, publicado en 1881 con el ánimo de interpretar y corregir los
trabajos de Boole en el campo de la lógica formal. Aunque no tuvo demasiado
éxito en su empeño, su libro se convirtió en una excelente plataforma de
ejemplo para el nuevo sistema de representación.
Siguió usándolo en su siguiente libro sobre lógica (Los principios de la
lógica empírica, publicado en 1889), con lo que los diagramas de Venn fueron
a partir de entonces cada vez más empleados como representación de
relaciones lógicas.
Sin embargo, la primera referencia escrita al término “diagrama de
Venn” de la que se tiene constancia es muy tardía (1918), en el libro “A
Survey of Symbolic Logic”, de Clarence Irving Lewis.
Los diagramas de Venn se emplean hoy día para enseñar matemáticas
elementales y para reducir la lógica y la Teoría de conjuntos al cálculo
simbólico puro. Se suelen usar también en el aula diagramas de Venn de dos

3. o tres conjuntos como herramienta de síntesis, para ayudar a los
estudiantes a comparar y contrastar dos o tres de elementos; en este uso,
se incluyen dentro de cada elemento las características exclusivas, y en las
intersecciones, las comunes con los otros.
• Concepto
A cada conjunto se le considera encerrado dentro de una curva (plana)
cerrada. Los elementos del conjunto considerado pueden ser
específicamente dibujados o pueden quedar (implícitamente)
sobreentendidos. Los diagramas son empleados, para representar tanto a
los conjuntos como a sus operaciones, y constituyen una poderosa
herramienta geométrica, desprovista de validez lógica.
Los diagramas de Venn son ilustraciones usadas en la rama de las
matemáticas conocida como teoría de conjuntos.
Estos diagramas se usan para mostrar gráficamente la relación
matemática o lógica entre diferentes grupos de cosas (conjuntos),
representando cada conjunto mediante un óvalo o círculo.
La forma en que esos círculos se sobreponen entre sí muestra todas las
posibles relaciones lógicas entre los conjuntos que representan. Por
ejemplo, cuando los círculos se superponen, indican la existencia de
subconjuntos con algunas características comunes.
• Tipos de diagramas
Diagrama de la intersección de dos conjuntos.
En teoría la intersección de dos
conjuntos podemos definirla como la
parte común que tienen dos
conjuntos, si es que existe (Ejemplo
de inexistencia: la intersección de los
números pares con los impares) . Pues
el diagrama que viene a continuación
representa dicha situación.

4. La intersección de los conjuntos A y B es la parte azulada, en efecto
vemos que la parte común que comparte el conjunto A con el B es la parte
azul.
Diagrama de la intersección de dos conjuntos.
En teoría la intersección de dos
conjuntos podemos definirla como la
parte común que tienen dos
conjuntos, si es que existe (Ejemplo
de inexistencia: la intersección de los
números pares con los impares). Pues
el diagrama que viene a continuación
representa dicha situación.
La intersección de los conjuntos A y B es la parte azulada, en efecto
vemos que la parte común que comparte el conjunto A con el B es la parte
azul.
Diagrama del complementario de un conjunto.
En teoría el complementario de un
conjunto se hace en referencia a un
conjunto universal y se define como los
elementos que no pertenecen al conjunto.
Tan raro se entiende mejor con el
siguiente diagrama.
El conjunto U es el universal (parte
amarilla y blanca) y el complementario de
A es solo la parte amarilla del dibujo. El
complementario de un conjunto se
representa Ac.
Diagrama de la diferencia de conjuntos.
La diferencia B - A es la parte de B que
no está en A.
La diferencia de conjuntos en

5. matemáticas se expresa BA, para este
caso.
Diagrama de la inclusión de conjuntos.
En el diagrama se puede observar como
el conjunto B esta contenido (o incluido)
en el conjunto A. Esto matemáticamente
se expresa BÌA.
Probabilidades
Las Probabilidades pertenecen a la rama de la matemática que estudia
ciertos experimentos llamados aleatorios, o sea regidos por el azar, en que
se conocen todos los resultados posibles, pero no es posible tener certeza
de cuál será en particular el resultado del experimento. Por ejemplo,
experimentos aleatorios cotidianos son el lanzamiento de una moneda, el
lanzamiento de un dado, extracción de una carta de un mazo de naipes.
La probabilidad de un resultado se representa con un número entre 0
y 1, ambos inclusive. La probabilidad 0 indica que el resultado no ocurrirá
nunca, y la probabilidad 1 que el resultado ocurrirá siempre. Los problemas
más sencillos estudian la probabilidad de un suceso favorable en un
experimento o acontecimiento con un número finito de resultados, todos
ellos con igual probabilidad de ocurrir.
Si un experimento tiene n posibles resultados, y f de ellos se
consideran favorables, la probabilidad de un suceso favorable es f/n. Por
ejemplo, un dado no trucado se puede lanzar de seis formas posibles, por
tanto, la probabilidad de que salga un 5 ó un 6 es 2/6.
Problemas más complicados estudian acontecimientos en que los
distintos resultados tienen distintas probabilidades de ocurrir. Por ejemplo,
encontrar la probabilidad de que salga 5 ó 6 al lanzar un par de dados: los
distintos resultados (2, 3,…12) tienen distintas probabilidades. Algunos
experimentos pueden incluso tener un número infinito de posibles
resultados, como la probabilidad de que una cuerda de circunferencia
dibujada aleatoriamente sea de longitud mayor que el radio

6. Entonces se puede decir que para calcular la probabilidad de que
ocurra algo simplemente se divide el número de eventos entre las opciones
posibles. Por ejemplo si tiras una moneda al aire ¿cuál es la probabilidad de
que salga cruz? El evento es uno sólo (sólo lanzas la moneda una vez) y las
opciones son dos: cara o cruz. Por tanto la probabilidad de que salga cruz es
de 1/2, o sea 50%. Si lanzas la moneda dos veces, la probabilidad de que
alguna salga cruz es de 1/2 + 1/2, o sea 1. La probabilidad es que salga al
menos una vez cruz. Por supuesto esto es sólo una probabilidad, no
necesariamente tiene por qué ocurrir. Sin embargo, cuando repites el
experimento muchas veces, digamos cien veces, la probabilidad de que salga
cruz, será de 100/2 o sea es probable que salga cruz cincuenta veces de
cien. Prueba a hacerlo y verás como a medida que aumentas el número de
veces que lanzas la moneda al aire, las veces que sale cruz se aproximan a la
mitad.
Permutación
Es un reacomodo de objetos o símbolos en secuencias diferenciables.
A cada ordenación única se le llama una permutación. Por ejemplo, con los
números del uno al tres, cada ordenación posible de éstos, sin repetirlos, es
una permutación. En total existen 6 permutaciones para estos elementos las
cuales son: "1,2,3", "1,3,2", "2,1,3", "2,3,1", "3,1,2" y "3,2,1".
Hay dos tipos de permutaciones:
1. Se permite repetir: como la cerradura de arriba, podría ser "333".
2. Sin repetición: por ejemplo los tres primeros en una carrera. No
puedes quedar primero y segundo a la vez.
Veamos un Ejemplo
Si nueve estudiantes toman un examen y todos obtienen diferente
calificación, cualquier alumno podría alcanzar la calificación más alta. La
segunda calificación más alta podría ser obtenida por uno de los 8
restantes. La tercera calificación podría ser obtenida por uno de los 7
restantes.

7. La cantidad de permutaciones posibles sería: P (9,3) = 9*8*7 = 504
combinaciones posibles de las tres calificaciones más altas.
Combinaciones
Una combinación es un arreglo donde el orden NO es importante. La
notación para las combinaciones es C(n,r) que es la cantidad de
combinaciones de “n” elementos seleccionados, “r” a la vez. Es igual a la
cantidad de permutaciones de “n” elementos tomados “r” a la vez dividido
por “r” factorial. Esto sería P(n,r)/r! en notación matemática.
Ejemplo: Si se seleccionan cinco cartas de un grupo de nueve, ¿cuántas
combinaciones de cinco cartas habría?
La cantidad de combinaciones posibles sería: P(9,5)/5! =
(9*8*7*6*5)/(5*4*3*2*1) = 126 combinaciones posibles.
Coeficiente Binominal
Los coeficientes binomiales son una serie de números estudiados en
combinatoria que indican el número de formas en que se pueden extraer
subconjuntos a partir de un conjunto dado. Sin embargo, dependiendo del
enfoque que tenga la exposición, se suelen usar otras definiciones
equivalentes.
Aproximación de Sticling an
La utilidad de la aproximación de Stirling es para manejar grandes
números como son las factoriales.
Se dice que, los logaritmos son útiles (entre muchas otras cosas) para
transformar las progresiones geométricas en aritméticas (transforman, en
definitiva, productos en sumas). De modo que la aproximación de Stirling
hace uso del logaritmo de un factorial.

8. De esa manera, se tiene una aproximación para calcular el factorial de
n cuando n tiende a valores grandes.
Se usa siempre que aparezcan factoriales grandes, como en la
mecánica estadística donde se suelen encontrar factoriales de un número
enorme de partículas.
Esta aproximación no es válida para valores pequeños de n.