4.técnicasdereconto

MÉTODOS ESTATÍSTICOS
E NUMÉRICOS

UNIDADE 4

TÉCNICAS DE RECONTO

ÍNDICE
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas

Conceptos

1. Variacións sen repetición.
2. Variacións con repetición.
3. Permutacións sen repetición. Factorial dun
número.
4. Permutacións con repetición.
5. Combinacións sen repetición.
6. Combinacións con repetición.
7. Números combinatorios. Propiedades.
8. Potencia dun binomio. Binomio de Newton.

IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.

Diagramas de árbore:

Antes de comezar co tema propiamente
dito, convén evidenciar a utilidade dos
diagramas de árbore na resolución de
moitos tipos de problemas matemáticos;
en particular, de moitos dos que
presentamos nesta unidade .

Ver exemplos


1. Variacións ordinarias ou sen repetición:

Chámanse variacións ordinarias ou sen repetición de
m elementos tomados n a n (n≤m) ós distintos grupos
que se poden formar cos m elementos , de xeito que:

Cada grupo contén n elementos distintos.
Dous grupos son distintos se se diferencian nalgún
elemento ou na orde de colocación destes.

O número de variacións ordinarias de m elementos
tomados n a n representase por Vm,no Vmn.



Exemplo:
A bandeira dun país está formada por tres
franxas horizontais da mesma anchura e
distinta cor . Cantas bandeiras distintas podes
formar coas cores vermella, amarela, verde,
azul, violeta?.



1ª franxa

2ª franxa

3ª franxa



Como podes ver para a primeira franxa da bandeira tes cinco
posibilidades ( as cinco cores) .Unha vez elixida esta, dita cor tes
que descartala para a segunda franxa; quedan catro posibilidades
(catro cores). Finalmente ó decidir a terceira franxa hai dúas
cores xa descartadas por usadas e tes só tres posibilidades.
Polo tanto, podemos concluír que o número de bandeiras posibles
é:

Nº bandeiras = V53= 5 . 4 . 3

En xeral, concluímos que Vmn= m.(m-1).(m-2).….(m-n+1)



Chámanse variacións con repetición de m elementos
tomados n a n ós distintos grupos que se poden formar
cos m elementos , de xeito que:

Cada grupo contén n elementos repetidos ou non.
Dous grupos son distintos se se diferencian nalgún
elemento ou na orde de colocación destes.

O número de variacións con repetición de m elementos
tomados n a n represéntase por VRm,nou VRmn.



Exemplo:
A bandeira dun país está formada por
tres franxas horizontais da mesma
anchura. Cantas bandeiras distintas
podes formar coas cores vermella,
amarela, verde, azul, violeta?.
(Como podedes observar a única diferenza co exemplo anterior é
que as cores poden repetirse, pode haber unha franxa dobre da
mesma cor, ou ser a bandeira dunha soa cor por ter tres franxas
iguais)



1ª franxa
2ª franxa
3ª franxa



Como podes ver para a primeira franxa da bandeira
tes cinco posibilidades ( as cinco cores ). Unha vez
elixida esta, dita cor non tes que descartala, polo que
para a segunda franxa segues a ter as mesmas
posibilidades (cinco cores). E o mesmo ocorre coa
terceira franxa.
Polo tanto, podemos concluír que o número de bandeiras
posibles é:
Nº bandeiras = VR53= 5 . 5 . 5= 5 3

En xeral, concluímos que VRmn= m.m.n..m = mn


3. Permutacións sen repetición. Factorial dun
número.

Chámanse permutacións ordinarias de n elementos ós
distintos grupos que se poden formar de xeito que:

Cada grupo contén os n elementos.
Dous grupos diferéncianse na orde de colocación dos
elementos.

O número de permutacións ordinarias de n elementos
represéntase por Pn


3. Permutacións sen repetición

Exemplo:
Cantos números de 3 cifras se poden
formar cos díxitos 6,7,8?.



6 7 8

7 8 6 8 6 7

8 7 8 6 7 6

678 687 768 786 867 876



Como podes ver, para as centenas temos 3
posibilidades, para as decenas xa só nos quedan dúas e
para as unidades unha.

Podemos concluír que podemos atopar :
P3= 3.2.1 =6 números de tres cifras.

En xeral, podemos concluír:
Pn=n.(n-1).(n-2)…3.2.1
Observa que Pn =V33



Factorial dun número.
Chámase factorial dun número natural n maior co 1 ó
produto dos n primeiros números naturais.
n! = n.(n-1).(n-2)…3.2.1

Se n = 1, defínese 1!=1
Se n = 0, defínese 0!=1

Polo tanto, é evidente que Pn=n!
Por outra banda, Vmn=m.(m-1).(m-2)…(m-n+1)=m!/(m-n)!
No noso exemplo P3=3!=3.2.1=6


4. Permutacións con repetición:

Chámanse permutacións con repetición de n elementos onde o
primeiro elemento repítese a veces, o segundo b veces,…, o último
k veces (a+b+…+k=n), os distintos grupos que podemos formar de
tal xeito que:

Nun grupo o primeiro elemento repítese a veces, o segundo b
veces, e así ata o último que se repite k veces.
A diferenza entre dous grupos está na orde de colocación dos
seus elementos.

O número de permutacións con repetición de n elementos onde o
primeiro elemento repítese a veces, o segundo b veces,…, o último
k veces ,represéntase por Pna,b,…,k


4. Permutacións con repetición

Exemplo:
Un xogador de xadrez trata de ordenar
nunha fila, de tódalas formas posibles,
tres peóns brancos e dous negros. Cantas
maneiras atopará?



Se tódolos peóns fosen de distintas cores , trataríase de
permutacións ordinarias de 5 elementos e o seu número sería:
P5 = 5! =5.4.3.2.1 = 120

Pero temos tres peóns da mesma cor branca, polo que certo
número destas permutacións van ser iguais.

Dividimos polo tanto as 120 permutacións iniciais entre P3=3!
=3.2.1=6 , pois por cada P3 permutacións de tres peóns de distinta
cor temos unha cos tres ditos peóns brancos.

Polo mesmo motivo dividiremos o resultado por P2 = 2!=2.1=2.
Temos dous peóns negros; por cada P2 permutacións de dous peóns
de distinta cor temos unha cos dous peóns negros.



No noso problema concluímos, polo tanto, que:
P5 5! 120
P 5
3, 2
= = = = 10
P3 ⋅ P2 3!⋅2! 6 ⋅ 2
En xeral, razoando da mesma maneira concluiremos:

Pn n!
Pn
a ,b ,..., k
= =
Pa ⋅ Pb ⋅ ... ⋅ Pk a!⋅b!⋅... ⋅ k!


5. Combinacións sen repetición.

Chámanse combinacións ordinarias ou sen repetición de
m elementos tomados n a n (n≤m) ós distintos grupos
que podemos formar cós m elementos de xeito que:

Cada grupo contén n elementos distintos.
Dous grupos son diferentes se teñen elementos
distintos, pero non se están colocados en distinta orde.

O número de combinacións de m elementos tomados n a
n represéntase por Cm,n ou Cmn


5. Combinacións sen repetición

Exemplo:
No instituto decídese organizar un torneo de
baloncesto. Preséntanse catro equipos. Se na
primeira fase deben enfrontarse de tódalas
maneiras posibles na mesma cancha, de cantos
partidos debe constar dita fase?.



Representemos cada equipo por unha letra:
A,B,CeD

Tendo en conta que o partido que enfronta A con B, e o mesmo que
enfronta B con A (non hai local nin visitante), os emparellamentos
posibles serán 6. Haberá polo tanto 6 partidos, 6 combinacións :

AB BC CD
AC BD
AD



Podes observar no exemplo anterior que permutando
cada unha das combinacións obtés as variacións dos
catro equipos tomados 2a 2 (torneos onde hai partido
de ida e partido de volta):
AB BA BC CB CD DC
AC CA BD DB
AD DA
Podemos concluír que C42.P2=V42



Exemplo2:
Como resposta a un anuncio de traballo,
preséntanse 6 persoas para cubrir 3
postos de caixeira de supermercado.
Cantas posibilidades de contratación ten
a empresa?.



Representemos cada unha das persoas que se
presentaron por unha letra: A, B ,C , D, E, F .
Tendo en conta que contratados A, B e C os seus postos
de traballo son idénticos, polo que a orde de
contratación non inflúe en absoluto, as ternas que a
empresa podería contratar son 20, 20 combinacións:

ABC ACD ADE AEF BCD BDE BEF CDE CEF DEF
ABD ACE ADF BCE BDF CDF

ABE ACF BCF

ABF



Podes observar, como no exemplo 1, que se tomas cada unha das
combinacións e as permutas o que obtés son as variacións de 6
elementos tomados 3 a 3. Serían as posibilidades de contratación
que tería a empresa se a orde importara o tratarse de postos de
distinta categoría.

A partir de ABC obtés
ABC ACB BCA BAC CAB CBA
A partir de ABD obtés
ABD ADB BAD BDA DAB DBA
E así sucesivamente.
Concluímos que C63.P3=V63



En xeral, podemos concluír:

Cmn.Pn=Vmn

De onde podemos obter:
Vmn
m ⋅ ( m − 1) ⋅ ( m − 2 ) ⋅ ... ⋅ ( m − n + 1) m!
Cm =
n
= =
Pn n! ( m − n )!⋅n!



Chámanse combinacións con repetición de m elementos
tomados n a n (n≤m) ós distintos grupos que podemos
formar cos m elementos de xeito que:

Cada grupo contén n elementos distintos ou non.
Dous grupos son diferentes se teñen elementos
distintos ou en distinto número, pero non se están
colocados en distinta orde.

O número de combinacións con repetición de m
elementos tomados n a n represéntase por CRm,n ou CRmn



Exemplo:
Cantas fichas ten o xogo do dominó?


6. Combinacións con repetición



Unha ficha de dominó é un rectángulo con dúas partes;
en cada parte unha serie de puntos indica unha
puntuación dende 0 (en branco) a 6. Polo tanto, as
fichas de dominó son parellas de números elixidas
entre os números do 0 ó 6, podéndose repetir ditos
números (fichas dobres), e non importando a orde pois
a ficha de dominó (4,5) é a mesma que a ficha (5,4).

Temos as seguintes posibilidades...



(0,0) (1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5) (6,6)

(0,1) (1,2) (2,3) (3,4) (4,5) (5,6)

(0,2) (1,3) (2,4) (3,5) (4,6)

(0,3) (1,4) (2,5) (3,6)

(0,4) (1,5) (2,6)

(0,5) (1,6)

(0.6)



Nesta táboa observamos que o número de fichas de
dominó é de 28.

Tamén podemos observar que se nas fichas dobres
sustituímos o segundo nº polo nº 7, por exemplo,
obteriamos:



(0,7) (1,7) (2,7) (3,7) (4,7) (5,7) (6,7)

(0,1) (1,2) (2,3) (3,4) (4,5) (5,6)

(0,2) (1,3) (2,4) (3,5) (4,6)

(0,3) (1,4) (2,5) (3,6)

(0,4) (1,5) (2,6)

(0,5) (1,6)

(0.6)



Esta táboa corresponde a combinacións sen repetición
de 8 elementos (0,1,2,…,7) tomados 2 a 2.
É dicir:
CR = C 2
7
2
8

 m + n − 1
En xeral: CRm = Cm + n −1 = 
n n
 

 n 


Permutacións
Non sen repetición
Si Pódense
Interveñen Permutacións repetir
Si
tódolos elementos?
Permutacións
elementos? Si con repetición

Variacións sen
Non repetición
Non Pódense
É Variacións repetir Variacións sen
importante elementos? Si repetición
a orde?
Combinacións
Non sen repetición
Non Pódense
Combinacións repetir
elementos?

Combinacións
Si sen repetición


7. Números combinatorios. Propiedades.

O número Cmn recibe tamén o nome de número
m
combinatorio, represéntase por  n  , e lese m
 
 
sobre n.
m! m 
C n
= = 
m
( m − n )!⋅n!  n 
 


7. Nº combinatorio. Propiedades.

Propiedades dos números combinatorios:
 m  m
1.   = 1 e   = 1
 0  m
   

2. Dous números combinatorios co índice superior igual
e a suma dos índices inferiores igual ó índice
superior, son iguais.

 m  m 
 =
 n   m − n

   



3. A suma de dous números combinatorios cos índices
superiores iguais e os índices inferiores tales que
difiren nunha unidade, e igual a outro nº
combinatorio cuxo índice inferior é o maior dos
índices inferiores, e o índice superior é maior nunha
unidade ó índice superior dos sumandos.

 m   m   m + 1
 +
 n   n + 1 =  n + 1 
  
     



Triángulo de Tartaglia ou de
Pascal:
O triángulo de Tartaglia, foi popularizado por
Pascal quen atopou a súa relación cos números
combinatorios. Dito triángulo coñecíase tamén
nas matemáticas orientais como triángulo de
Yang Hui.
(Se queredes saber máis sobre este tema
podedes ir á páxina web:
www.estatísticaparatodos.es)



Este triángulo xérase comezando por colocar o número
1 no seu extremo superior e, a partir de aquí, as
sucesivas filas constrúense colocando un 1 en cada
esquina, o resto de casas é igual á suma dos dous
números que teñen xusto enriba, nunha infinita serie de
uns laterais e de sumas de casas que producen un
incesante aumento dos números que o compoñen.

Esta figura, que podería parecer un simple
entretemento de cálculo, esconde unha diversidade de
propiedades e curiosidades tan grande que o converten
nun pequeno universo matemático en si mesmo e unha
ferramenta de grande utilidade no campo numérico.



n
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
7 1 7 21 35 35 21 7 1
8 1 8 28 56 70 56 28 8 1
9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1



O curioso é que os números que compoñen dito
triángulo corresponden exactamente cos números
combinatorios.



Coñecendo esta relación, as propiedades dos
números combinatorios resultan evidentes.


8. Potencia dun binomio. Binomio de Newton.

Coñecemos fórmulas para potencias pequenas dun
binomio:

( a + b)1 = a + b
( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2
( a + b ) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3


8. Potencia dun binomio. Binomio de Newton

Podemos calcular algunha potencia máis :

( a + b ) 4 = ( a + b ) 3 ⋅ ( a + b ) = ( a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ) ⋅ ( a + b ) =
= a 4 + 4a 3b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4

( a + b ) 5 = ( a + b ) 4 ⋅ ( a + b ) = ( a 4 + 4a 3b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 ) ⋅ ( a + b ) =
= a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 + b 5



Podemos observar:

1. O desenvolvemento dunha potencia de orde n está formado por
n+1 sumandos.
Exemplo:
A potencia cúbica ten 4 sumandos
A potencia de orde catro ten 5 sumandos

2. Os coeficientes do desenvolvemento dunha potencia de orde n
corresponden cos elementos da fila n do triángulo de Tartaglia
Exemplo:
Os coeficientes da potencia cúbica son 1 3 3 1, fila 3 do
triángulo de Tartaglia.
Os coeficientes da potencia quinta son 1 5 10 10 5 1, fila 5 do
triángulo de Tartaglia.



3. As potencias de a e de b que compoñen cada sumando do
desenvolvemento da potencia de orde n actúan do seguinte
xeito:
As potencias de a diminúen dende an ata a0=1.
As potencias de b aumentan dende b0=1 ata bn.
Exemplo:
Orde 3: a3 a2b ab2 b3
Orde 4: a4 a3b a2b2 ab3 b4



Conclusión:
Tendo en conta a relación entre os elementos do
triángulo de Tartaglia e os números combinatorios,
chegamos á expresión coñecida como binomio de Newton:

( a + b) n = 
n  n  n  n −1  n  n − 2 2  n  2 n − 2  n  n −1  n  n

 a +  a b +  a b + ..... + 
 1  2  n − 2 a b +  n − 1ab +  n b
    
 0          
Analogamente:
 n  n  n  n−1  n  n− 2 2 n− 2  n  2 n− 2 n−1  n  n  n n
( a − b) =   a −   a b +   a b − ..... + ( − 1)   a b + ( − 1)   ab + ( − 1)   b
n n−1

 0  1  2  n − 2  n − 1  n


4.técnicasdereconto

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

Destacado

Destacado (18)

Similar a 4.técnicasdereconto

Similar a 4.técnicasdereconto (8)

Más de German Mendez

Más de German Mendez (12)

4.técnicasdereconto