1. Estadística en señales
Señales y Sistemas

2. Agenda
• Media y desviación estándar
• SNR: Relación señal ruido
• Proceso subyacente
• Histogramas
• Función de probabilidad
• Precisión y Exactitud

3. Introducción
Numero
discreto de
elementos
X: Muestras
Y: Valores

4. Media
• Se representa con la letra griega µ. Es igual al
promedio del valor de la señal
Valor medio de la señal en el tiempo. Nos da una idea de
los valores que toma la señal si esta no varía demasiado. Las
señales por lo general varían mucho. Por tal motivo se usa
en conjunto con la desviación estándar

5. Media
• MatLab
• Suponga que tiene una señal x que contiene 256
muestras
media=0;
for i=1:256
media = media+x(i);
end;
media=media/256;
media

6. Media
• MatLab
• Suponga que tiene una señal x que contiene 256
muestras
media = sum(x)/256;
Versión eficiente

7. Desviación estándar
• La desviación estándar es una medida de
cuanto una señal varía alrededor de su media
• Se representa con la letra griega σ

8. Desviación estándar
• Si obtenemos el valor absoluto de la resta
entre la muestra y la media obtendríamos una
medida de cómo varía la señal (|xi- µ|)
• Si promediamos estos resultados obtenemos
la desviación promedio
• La desviación promedio no es muy utilizada en
estadística de señales No nos interesa la
amplitud de la desviación sino la potencia

9. Desviación estándar
• La desviación estándar se calcula
promediando la potencia de desviación
• Para calcular la potencia se eleva al cuadrado
la amplitud Luego se toma la raíz cuadrada
para compensar

10. Ejemplos

11. Ejemplos
• Relaciones entre Vpp y σ en señales comunes

12. Desviación estándar
• MatLab
• Suponga que tiene una señal x que contiene
256 muestras
desv_standar=0;
for i=1:256
desv_standar = desv_standar + (x(i)-media)^2;
end;
desv_standar=desv_standar/(256-1);
desv_standar

13. Media
• MatLab
• Suponga que tiene una señal x que contiene 256
muestras
desv_standar = sum((x-media).^2)/(256-1);
Versión eficiente

14. Cálculo sobre la marcha
• Otra manera de calcular es sobre la marcha:
Más eficiente
computacional
mente. Evita los
problemas de
presición

15. Ejemplo

16. Agenda
• Media y desviación estándar
• SNR: Relación señal ruido
• Proceso subyacente
• Histogramas
• Función de probabilidad
• Precisión y Exactitud

17. SNR: Relación señal ruido
• Las señales naturales y artificiales
normalmente están contaminadas con ruido.
• La “pureza” de una señal se mide comparando
la potencia que tiene la señal con la potencia
que tiene el ruido.
• A esta medida la conocemos como el SNR
(Signal to Noise Ratio)

18. SNR: Relación señal ruido
• Formula:
• Viene expresada normalmente en decibeles
(manera de expresar potencia o relaciones de
potencia)
• Los decibeles son una escala logarítmica
ruidoPotencia
señalPotencia
SNR
_
_

19. SNR: Relación señal ruido
• SNR(Decibeles)
ruidoPotencia
señalPotencia
dBSNR
_
_
log10)( 10

20. SNR: Relación señal ruido
• Formula en Decibeles: 30 dB
30 =10log10
Potencia_ señal
Potencia_ruido
3= log10
Potencia_ señal
Potencia_ruido
103
=
Potencia_ señal
Potencia_ruido
Potencia_ señal =1000xPotenia_ruido
Relacion(1:1000)
Equipos de
audio
profesional >
90dB

21. Agenda
• Media y desviación estándar
• SNR: Relación señal ruido
• Proceso subyacente
• Histogramas
• Función de probabilidad
• Precisión y Exactitud

22. Proceso subyacente
• La señal adquirida y el proceso subyacente
que la genera no son la misma cosa
• Generalmente cuando se mide una señal se
introduce un error inevitable
• Llamamos a esta variación aleatoria variación
estadística o ruido estadístico

23. Proceso subyacente
• Existe una diferencia entre la media y la
desviación estándar de la señal y la del
proceso
• Si N es pequeño el valor del error es grande.
No hay suficientes datos como para
representar el proceso
• En qué momento el error tiende a 0?

24. Agenda
• Media y desviación estándar
• SNR: Relación señal ruido
• Proceso subyacente
• Histogramas
• Función de probabilidad
• Precisión y Exactitud

25. Histogramas
• Una manera de representar una señal
• Si tomamos una señal digitalizada a 8 bits (256
posibles valores)
• Podemos graficar la cantidad de muestras que
tienen un valor determinado

26. Histogramas
• Que tal si tomamos más muestras
• La función hist de MatLab permite dibujar el
histograma de una señal

27. Utilidad de los histogramas
• Nos ayudan a visualizar el comportamiento de
la señal
• Nos ayudan a calcular más rápidamente la
media y la desviación estándar
El numero de todos
los valores del
histograma es el
numero de muestras
en la señal

28. Utilidad de los histogramas
• Nos ayudan a visualizar el comportamiento de
la señal
• Nos ayudan a calcular más rápidamente la
media y la desviación estándar

29. Agenda
• Media y desviación estándar
• SNR: Relación señal ruido
• Proceso subyacente
• Histogramas
• Función de probabilidad
• Precisión y Exactitud

30. Funciones de probabilidad
• Es el histograma pero del proceso subyacente.
• Considera la probabilidad de ocurrencia
• Un histograma se calcula con un número finito
de muestras
• Una función de probabilidad (Probability Mass
Function PMF) se debe calcular con un
numero infinito de muestras
• Se puede inferir del histograma o calcular por
métodos analíticos.

31. Funciones de probabilidad
Probabilidad
de ocurrencia
Ni/N

32. Funciones de probabilidad
• La función de probabilidad determina la probabilidad
de que un valor sea generado por el proceso
• Si hablamos en el ámbito de lo continuo la función de
probabilidad se convierte en la función de distribución.

33. Funciones de probabilidad
• Cuál será la Función de Probabilidad de:
– Señal cuadrada
– Señal triangular
– Ruido aleatorio

34. Funciones de probabilidad
• Función cuadrada

35. Funciones de probabilidad
• Función triangular

36. Funciones de probabilidad
• Ruido aleatorio
Campana de
Gauss

37. Funciones de probabilidad
• Cuando el número de valores es muy grande
se utilizan intervalos
• Esto es muy frecuente cuando se utilizan
números de punto flotante para representa la
señal
• Hay que tener cuidado de elegir un numero
adecuado de intervalos

38. Funciones de probabilidad
Poca
resolución
vertical
Poca
resolución
horizontal

39. Agenda
• Media y desviación estándar
• SNR: Relación señal ruido
• Proceso subyacente
• Histogramas
• Función de probabilidad
• Precisión y Exactitud

40. Precisión y exactitud
• Cuando medimos una señal queremos que
esta esté lo mas cerca posible de su valor real
• Varios factores impiden que el valor medido y
real sean iguales
• Cuando tomamos una medición debemos
tener presentes los conceptos de precisión y
exactitud

41. Precisión y exactitud
• Cuando tomamos una medición los valores
medidos tienen una distribución normal
(teorema del límite central)
• La media ocurre en la mitad de la distribución
y representa el mejor estimado del valor real.
• La desviación estándar nos indica cual es el
ancho de esta distribución normal

42. Precisión y exactitud
• Problemas en la calibración del aparato de
medición hacen que todas las mediciones
estén desviadas en cierto valor
• Si tomamos en cuenta estos dos errores
podemos dar una definición de precisión y
exactitud

43. Precisión y exactitud
• La diferencia entre la media de la medición y
el valor real se conoce como Exactitud de la
medición
• El ancho de la distribución normal de valores
se conoce como Precisión y se representa
generalmente con la desviación estándar.

44. Precisión y exactitud

45. Precisión y exactitud
• Si la medición es exacta pero poco precisa, el
histograma esta centrado en el valor
verdadero pero es muy ancho
• La baja precisión es el resultado de los errores
aleatorios
• Se corrige tomando más muestras
• La precisión es una medida del error aleatorio

46. Precisión y exactitud
• Si la medición es precisa pero poco exacta, el
histograma es delgado, pero no esta centrado
en el valor verdadero
• La baja exactitud es el resultado de los errores
sistemáticos
• Se corrige calibrando el sistema
• La exactitud es una medida del error de
calibración

47. Precisión y exactitud
• Si se desea saber que tipo de error es hay que
preguntar:
• ¿Se puede mejorar tomando más muestras?
– Si entonces Precisión
– No entonces Exactitud

48. Próxima clase
• Digitalización de señales