1. Modulación Digital
COMUNICACIONES II
Prof. Joaquín Vicioso

2. Qué es la Modulación Digital?
Modulación es el proceso de conversión de un
sistema de datos de origen a otro de destino.
La información contenida en los datos
resultantes deberá ser equivalente a la
información de origen.
Un modo sencillo de entenderlo es traducir
entre idiomas. Por ejemplo home = hogar.
Podemos entender que hemos cambiado una
información de un sistema (inglés) a otro
sistema (español) y que esencialmente la
información sigue siendo la misma.
En Comunicación electrónica esto se logra
haciendo una conversión de análogo a digital.

3. CONVERSION ADC
 Para que la señal analógica pueda ser transformada
en una onda digital (discreta), son necesarias tres
etapas:
 Muestreo,
 Cuantización y
 Codificación.
Muestreo Cuantización Codificador
Señal
Digital
Señal
Analógica
Señal Discreta en Tiempo
Continua en Amplitud
Señal Discreta en Tiempo
Discreta en Amplitud

4. Muestreo
 El primer componente es un muestreador que extrae
valores de muestra de la señal de entrada en intervalos
de tiempo regular.
 La salida del muestreador es una señal discreta de
tiempo pero continua de amplitud, puesto que los
valores de muestras seguirán siendo continuos en el
rango de valores de la señal de entrada x(t).
Muestreo Cuantización Codificador

5. Cuantificación
 El segundo componente es un cuantificador, el cual
asigna un rango continuo de valores en un número
finito de valores de muestras, de tal manera que cada
valor de muestra puede ser representado por una
palabra digital.
Muestreo Cuantización Codificador

6. Codificador
 El codificador mapea cada valor de muestra y asigna
una palabra digital de 8 bits. La palabra de 1 byte
contiene 7 bits de información y 1 bit de signo.
Muestreo Cuantización Codificador

7. Consideraciones especiales
 El muestreo deja de lado mucha información, es
decir que se producen “pérdidas por muestreo”.
 También es posible que señales diferentes
produzcan las mismas muestras.

8. Muestreo
 Para extraer muestras de una señal x(t) un conmutador
electrónico puede ser utilizado, cuando esté cerrado toma
brevemente el valor de x(t) y abierto toma el valor de cero.
x(t) xs(t)
Dispositivo de Muestreo
x
p(t)
x(t) xs(t)
Modelo Matemático del Dispositivo de Muestreo

9. Muestreo
 Para que el proceso de muestreo sea útil, se debe mostrar
que es posible recuperar x(t) de las muestras de xs(t).
 Si se sabe que x(t) muestreada es xs(t) y esta definida por:
 p(t) es conocida como la función de muestreo, modelando
la acción del conmutador electrónico. Consideraremos a
esta función como un tren de pulsos periódico. De allí, que
p(t) puede ser escrita como una serie de Fourier
)()()( tptxtxs =
∫∑
−
−
∞
−∞=
==
2/
2/
22
)(
1
,)(
T
T
tnfj
n
n
tnfj
n dtetp
T
CeCtp ss ππ

10. x(t)
T 2T 3T 4T t
p(t)
tT 2T 3T 4T
Señal Analógica y Tren de Pulsos

11.  Entonces la señal muestreada puede ser escrita como:
 Por definición la transformada de Fourier de xs(t) es:
∑
∞
−∞=
=
n
tnfj
ns
s
etxCtx π2
)()(
dtetxfX tfj
ss ∫
∞
∞−
−
= π2
)()(
dteetxCfX tfj
n
tnfj
ns
s
∫ ∑
∞
∞−
−
∞
−∞=
= ππ 22
)()(
∑ ∫
∞
−∞=
∞
∞−
−−
=
n
nfftj
ns dtetxCfX s )(2
)()( π
∑
∞
−∞=
−=
n
sns nffXCfX )()(
Muestreo

12. X(f)
ffh
-fh
Xs(f)
ffh
-fh fs+fhfs-fh
-fs+fh-fs-fh
ESPECTROS DE LA SEÑAL Y LA SEÑAL
MUESTREADA
Filtro de
Reconstrucción

13.  El teorema demuestra que la reconstrucción exacta de
una señal periódica continua en banda base a partir de
sus muestras, es matemáticamente posible si la señal
está limitada en banda y la tasa de muestreo es superior
al doble de su ancho de banda.
f >2fh
Teorema del Muestreo

14.  Esta es la mínima frecuencia de muestreo, y fh es la mas
alta frecuencia en la señal x(t).
 Esto es lo que se conoce como el teorema de Muestreo
de señales de banda limitada pasa bajos.
Una señal de banda limitada x(t), sin componentes de frecuencia
mayores que fh Hertz, esta completamente definida por muestras que son
tomadas a una tasa de 2fh Hertz. En otras palabras, el tiempo entre
muestras no debe ser mayor a 1/2fh.
Teorema del Muestreo (Nyquist)

15. Muestreo Impulsional
 El muestreo impulsional es el muestreo ideal, es decir, con
una secuencia de funciones impulsos unitarios.
donde Ts es el período de muestreo igual al inverso de fs. Y
δ(t) es la función delta de Dirac o la función impulso.
La señal muestreada seria:
Utilizando la propiedad de desplazamiento de delta, se puedeUtilizando la propiedad de desplazamiento de delta, se puede
determinar que la función x(t) muestreada es;determinar que la función x(t) muestreada es;
∑
∞=
−∞=
−=
n
n
snTttx )()( δδ
)()()( txtxtxs δ=
∑
∞=
−∞=
−=
n
n
sss nTtnTxtx )()()( δ

16.  Para obtener la señal en el dominio de la frecuencia,
utilizamos la propiedad de multiplicación en el tiempo,
convolución en frecuencia. La transformada de Fourier de
la señal de impulsos es:
 Y recordando que la convolución con la función impulso es la
función original desplazada, de la siguiente manera.
 La transformada de Fourier de la señal muestreada queda:
∑
∞=
−∞=
−=
n
n
s
s
nff
T
fX )(
1
)( δδ
)()(*)( ss nffXnfffX −=−δ






−== ∑
∞
−∞=n
s
s
s nff
T
fXfXfXfX )(
1
*)()(*)()( δδ
∑
∞
−∞=
−=
n
s
s
s nffX
T
fX )(
1
)(
Muestreo Impulsional

18. Muestreo Natural (Gating)
Si x(t) es una forma de onda analógica de ancho de banda
limitado B Hz, la señal PAM que usa muestreo natural es
El ciclo de trabajo de s(t) es d = τ/Ts.
El espectro de la señal naturalmente muestreada se calcula en
función de la propiedad de multiplicación en el tiempo,
convolución en frecuencia. s(t) puede ser representada
también por las series de Fourier
∑ ∏
∞
−∞=





 −
==
k
s
s
kTt
txtstxtx
τ
)()()()(
,)( ∑
∞
−∞=
=
n
tjn
n
s
eCts ω
dn
dnSin
dCn
π
π )(
=

19.  Ya que s(t) es una señal periódica puede obtenerse el
espectro como:
Para obtener el espectro de la señal muestreada natural
∑
∞
−∞=
−=
n
sn nffCfS )()( δ
∑∑
∞
−∞=
∞
−∞=
−=





−=
n
sn
n
sns nfffXCnffCfXfX )(*)()(*)()( δδ
∑
∞
−∞=
−=
n
sns nffXCfX )()(
Muestreo Natural (Gating)

21. Muestreo Instantáneo (FLAT-TOP)
 Si la señal x(t) es una señal analógica de ancho de
banda limitado B Hz, la señal PAM muestreada
instantáneamente está dada por:
,)()(*)()( ∑
∞
−∞=
−=
k
ss kTttxthtx δ
El espectro para la señal flat-top PAM es:
∑
∞
−∞=
−=
n
s
s
s nffXfH
T
fX )()(
1
)(
en donde H(f) esta dada por:






=
f
fSin
fH
τπ
τπ
τ
)(
)(

23. Observaciones sobre el Muestreo
 En la práctica,
lógicamente no se
muestrean impulsos ni
se implementan filtros
de paso bajo ideales.
 Un ejemplo práctico: El
retenedor de orden cero

24. Observaciones sobre el Muestreo
 El muestreo es una operación intermitente, ya que
multiplicamos x(t) por la función intermitente p(t). Sin
embargo,
 Evidentemente el muestreo no es un operación exacta y
se introduce un “error” al muestrear la señal.

25. Reconstrucción de Datos
 Retomando el muestreo impulsional para nuestra
señal
 Puesto que la función delta es cero excepto en los
instantes de muestreo t=kT. El filtro de
reconstrucción, el cual es un sistema LTI, tiene una
respuesta al impulso h(t), la salida del filtro de
reconstrucción y(t).
∑∑
∞
−∞=
∞
−∞=
−=−=
kk
s kTtkTxkTttxtx )()()()()( δδ
∫ ∑
∞
∞−
∞
−∞=
−−== λλλδ dthkTkTxthtxty
k
s )()()()(*)()(

26.  Cambiando el orden de la sumatoria e integración
 Ya que la entrada del filtro es una suma de impulsos,
se sigue que la salida del filtro es la suma de las
respuestas al impulso. La salida y(nT) es la
simplemente la suma de las respuestas al impulso
individuales.
 El problema ahora es determinar la forma de la función
de respuesta al impulso para que y(t) sea una buena
aproximación de x(t).
∑ ∫
∞
−∞=
∞
∞−
−−=
k
dthkTkTxty λλλδ )()()()(
∑
∞
−∞=
−=
k
kTthkTxty )()()(
Reconstrucción de Datos

27. Filtro de Reconstrucción Ideal
 Asumiendo que la señal x(t) es muestreada a la
frecuencia que excede la tasa de Nyquist, el filtro de
reconstrucción ideal esta definido por
 Sustituyendo en la respuesta del filtro


 <
=
d.o.m0
5.0
)( sffT
fH tSincfth s=)(
∑∑
∞
−∞=
∞
−∞=
−=−=
kk
s k
T
t
SinckTxkTtSincfkTxty )()()()()(

28. Filtro de
Reconstrucción
Ideal
∑
∞
−∞=
−=
k
s kTtkTxtx )()()( δ


 <
=
d.o.m0
5.0
)( sffT
fH
x(t)
Filtro de Reconstrucción Ideal

29. Ilustración gráfica de la interpolación
del dominio del tiempo

30.  Este filtro es claramente no causal, y la respuesta al
impulso unitario no es limitada en el tiempo, no puede
ser usada para aplicaciones de tiempo real.
 Ya que h(t) no es limitada en el tiempo, un número
infinito de respuestas al impulso deben ser usadas para
la interpolación de valores entre muestras, si
resultados exactos son obtenidos.
 Sin embargo, se puede aproximar
TnTtnT,)()()(
1
+<<





−=≈ ∑
+
+−=
ln
lnk
k
T
t
SinckTxtytx
Filtro de Reconstrucción Ideal

31. Submuestreo y Aliasing
 Cuando ωs≤ 2 ωM  Submuestreo

32. Submuestreo y Aliasing
Xr(jω) ≠ X(jω)
Distorsión debida al
aliasing
• Las frecuencias superiores de x(t) se "pliegan" y toman los
"alias" de las frecuencias inferiores.
• Observe que el tiempo de muestreo, xr(nT) = x(nT)

35. Interpolación Lineal
 Si la frecuencia de muestreo es mucho mayor que
la tasa de Nyquist, fs >>>2fh, la interpolación
lineal puede ser usada para reconstruir una
aproximación cercana d la señal analógica x(t) a
partir de la señal muestreada.




<−






Λ=
d.o.m0
1)( Tt
T
t
T
t
th
∑
∞
−∞=






−Λ=
k
k
T
t
kTxty )()(

36.  Para t entre t=nT-T y t=nT
 Solo dos valores de la muestra son necesarios para
interpolar valores entre muestra.
 La naturaleza de la aproximación puede ser vista en
la siguiente gráfica, observando que
H(f)=TSinc2
fT
 Para este filtro hay dos fuentes de error:
 H(f) no es cero para |f| ≥0.5fs
 H(f) no es exactamente una constante para |f| ≤fh






++





−−= 1)()()( n
T
t
nTx
T
t
nTnTxtx
Interpolación Lineal

38. Reconstrucción con Filtro RC
 Los filtros vistos anteriormente son filtros de
reconstrucción no causales y por lo tanto no son de
aplicación en tiempo real.
 Para muchas aplicaciones un filtro práctico causal de
reconstrucción es el filtro de primer orden RC cuya
función de transferencia es:
 Donde f3 es la frecuencia de la mitad de potencia o de
3 dB
)/(1
)(
3ffj
T
fH
+
=
RC
f
π2
1
3 =

39.  Remplazando para la respuesta del filtro
 Las fuentes de error para este filtro son los mismos que
para el filtro de interpolación lineal.
 Esto puede ser visto ya que el espectro resultante para
la operación de muestreo no es completamente
atenuado, y por lo tanto y(t) es solo una aproximación
de la señal analógica x(t).
 La aproximación es buena, si f3 es mucho mayor que fh,
el ancho de banda de la señal analógica.
( ) )(2)()( )(2
3
3
kTtueTfkTxty kTtfj
k
−= −−
∞
−∞=
∑ π
π
Reconstrucción con Filtro RC

41. Cuantización y Codificación
 Cuantización es el proceso de limitar los valores de
amplitud de la señal muestreada en un conjunto de
valores finitos de amplitud.
 Cuantización Escalar:
 Cuantización Uniforme (Lineal)
 Cuantización no Uniforme (Logarítmica)
 Cuantización Vectorial
 El proceso de codificación es representar los valores
permitidos por una palabra digital de longitud fija.

42. Cuantización y Codificación
 Para una representación binaria, el número de
niveles de cuantización será
M=2n
donde n es la longitud de la palabra binaria.
 El paso de cuantización es
nn
VVD
22
minmax −
==δ

43. Cuantización y Codificación

44. Cuantización Uniforme o Lineal
Valor Cuantizado
Valor de Muestra
-1-2-3-4
4321
0.5
1.5
2.5
3.5
-3.5
-2.5
-1.5
-0.5

45. Error de Cuantización
 La medida del error de cuantización puede ser
deducida si se observa que para un intervalo de
valores el error máximo puede ser δ/2.
 Si se integra para un intervalo de cuantización desde
–0 a t1 y se divide para t1, tendríamos el error de
cuantización promedio.
0 1
0.5
-0.5

46. Error de Cuantización
donde la función Є(α) es:
∫−
∈=
1
1
)(
2
1 2
1
t
t
q d
t
E αα
α
δ
α
12
)(
t
=∈
121222
1
2
1 2
0
3
3
1
2
0
2
11
2
11
1
11
1
δ
α
δ
αα
δ
αα
δ
==





=





= ∫∫−
t
tt
t
q
t
d
tt
d
tt
E
n
q
D
E 2
2
2
12
−
=

47. SNR de un cuantizador
 La relación señal a ruido de un cuantizador es
 Expresando esta relación señal a ruido en dB, se
tiene:
n
s
q
s
DP
E
P
SNR 22
212 −
==
2log20log20log1012log10 nDPSNR sdB +−+=
DPnSNR sdB log20log1002.679.10 −++=

48. PAM
Modulación por amplitud del pulso
 Una señal PAM es una señal muestreada constituida
por una serie de impulsos cuya amplitud es
proporcional a la amplitud de la señal analógica.
 Esta técnica recoge información análoga, la
muestra, y genera una serie de pulsos basados en
los resultados de la prueba.

49. PAM – Cómo se genera?
A) Señal analógica
B) Pulsos de Muestreo
C) Salida
D) PAM instantánea

50. PAM
El espacio libre,
entre dos muestras
se aprovecha para
enviar otras señales.
(Time División
Multiplexión = TDM)

51. PAM
 La amplitud de cada muestra de pulso es
proporcional a la amplitud de la señal de mensaje en
el momento de muestreo.

52. PAM – Muestreo natural

53. PAM – Muestreo Instantáneo

54. PCM

55. PAM – Muestreo Instantáneo
La modulación por impulsos codificados PCM por
sus siglas inglesas de Pulse Code Modulation) es un
procedimiento de modulación utilizado para
transformar una señal analógica en una secuencia
de bits (señal digital). Una trama o stream PCM es
una representación digital de una señal analógica.
Cada muestra que entra al codificador se cuantifica
en un determinado nivel de entre un conjunto finito
de niveles de reconstrucción. Cada uno de estos
niveles se hace corresponder con una secuencia de
dígitos binarios, y esto es lo que se envía al
receptor. Se pueden usar distintos criterios para
llevar a cabo la cuantificación, siendo el más usado
el de la cuantificación logarítmica.

56. PCM – Cómo se genera?

57. PCM – Modelo
Las salidas de los comparadores se aplican a un conversor de
código con 256 entradas y 8 salidas, de modo que a la salida
del codificador se tendrá una palabra o símbolo de 8 bits en
paralelo, correspondiente al nivel de cuantificación en el punto
de muestreo de la señal de entrada. Mediante un registro de
desplazamiento de entrada en paralelo y salida en serie, es
posible convertir la salida en paralelo del codificador en una
secuencia de bits en serie.

58. PCM – Qué es el Aliasing?
 El muestreo con una frecuencia inferior
a la teórica, o bien, la utilización para
la reconstrucción de un filtro de banda
no suficientemente limitada, provoca
un fenómeno conocido como aliasing
(solapamiento espectral). El efecto es
la reconstrucción de frecuencias
totalmente diferentes que las de
partida.