Teoria de la medida

Teor´ de la medida
ıa

Pedro Alegr´ ıa
pedro.alegria@ehu.es

Departamento de Matem´ticas
a
Universidad del Pa´ Vasco
ıs
Bilbao - Espa˜a
n

Apuntes elaborados especialmente para mis alumnos del curso de Maestr´ en Matem´ticas
ıa a
de la Universidad Nacional de Asunci´n (Paraguay), en agosto de 2007.
o

´
Indice general

1. Integral de Lebesgue en R 7
1.1. Motivaciń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 7
1.1.1. Deficiencias de la integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.2. Nueva forma de contar rectńgulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a 8
1.2. Conceptos previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3. Tres principios de Littlewood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1. Todo conjunto medible es casi uniń finita de intervalos . . . . . . . .
o 12
1.3.2. Toda funciń medible es casi continua . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 23
1.3.3. Toda sucesiń convergente de funciones medibles es casi uniformemente
o
convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4. Integral de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4.1. Definiciones y primeros resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4.2. Teoremas de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.4.3. El espacio L1 de funciones integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.4.4. Convergencia en medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.5. Derivaciń e integraciń de funciones medibles . . . . . . . . . . . . . . . . .
o o 41
1.5.1. Diferenciaciń de funciones mon´tonas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o o 42
1.5.2. Funciones de variaciń acotada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 47
1.5.3. Derivaciń de una integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 49
1.5.4. Continuidad absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.5.5. Funciones convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.6. C´lculo integral de funciones integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a 55
1.6.1. F´rmulas de integraciń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o o 55
1.6.2. Integrales dependientes de un par´metro . . . . . . . . . . . . . . . . .
a 58
1.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2. Teor´ de la medida abstracta
ıa 73

3

4 ´
INDICE GENERAL

2.1. Espacios de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.2. Funciones medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.3. Integraciń de funciones medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 77
2.4. Teoremas generales de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.5. Medidas con signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.6. Teorema de Radon-Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3. Espacios Lp 97
3.1. Espacios normados. Definiciń y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 97
3.2. Desigualdades de H¨lder y Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 99
3.3. Espacios Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.4. Propiedades de los espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.5. Funcionales lineales acotados en Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.5.1. Teorema de representaciń de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
o
3.5.2. Espacio dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4. Construcciń de medidas abstractas
o 123
4.1. Medida exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.2. Teorema de extensiń de Carathódory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
o e
4.3. Medidas producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Cronolog´
ıa

1872 ... Construcciń de Weierstrass de una funciń diferenciable en ningń punto.
o o u

1881 ... Definiciń de Jordan de las funciones de variaciń acotada.
o o

1883 ... Definiciń de Cantor de medida de un conjunto acotado de Rn .
o

1890 ... Construcciń de Peano de la curva que llena el espacio.
o

1898 ... Definiciń de los conjuntos medibles Borel.
o

1902 ... Presentaciń de la teor´ de la medida e integraciń de Lebesgue.
o ıa o

1905 ... Construcciń de Vitali de conjuntos no medibles.
o

5

Cap´
ıtulo 1

Integral de Lebesgue en R

Lo que el an´lisis te da con una mano te lo quita con la otra. Retrocedo con pńico
a a
frente a esta lamentable plaga de funciones continuas que no tienen derivada.
C. Hermite

1.1. Motivaciń
o

La teor´ de integraciń de Riemann presentada en 1854 es una adaptaciń de la teor´ de
ıa o o ıa
Cauchy debilitando las hip´tesis necesarias para que una funciń sea integrable. Mientras
o o
Cauchy restring´ la integrabilidad a funciones continuas, Riemann dio una condiciń nece-
ıa o
saria y suficiente para la integrabilidad de una funciń: una funciń acotada f (x) es integrable
o o
en [a, b] si y s´lo si la suma de Cauchy
o

n
S= f (tk )(xk − xk−1 ),
k=1

donde a = x0 < x1 < . . . < xn = b y tk ∈ [xk−1 , xk ], se aproxima a un unico valor l´
´ ımite
cuando el tamaõ de la particiń del intervalo se aproxima a 0. Este unico valor l´
n o ´ ımite es
b
por definiciń
o f (x) dx. Aunque lo que Riemann hizo nos pueda parecer ahora un paso
a
casi trivial a partir de la integral de Cauchy, hist´ricamente represent´ un gran salto, ya
o o
que involucraba un concepto radicalmente diferente de funciń. De hecho, en su tiempo, la
o
teor´ de Riemann parec´ la m´s general posible: su condiciń de integrabilidad era la m´s
ıa ıa a o a
d´bil usando la definiciń tradicional de Cauchy; de hecho, permit´ extender el concepto de
e o ıa
integral a funciones cuyos puntos de discontinuidad forman un conjunto denso, funciones cuya
existencia ni siquiera hab´ sido sospechada por la mayor´ de los matem´ticos de la ´poca.
ıa ıa a e
Una nueva generalizaciń parec´ por lo tanto impensable. Impensable siempre y cuando la
o ıa
suma de Cauchy fuese tomada como punto de partida para la definiciń de integral. Es en
o
este sentido que la idea de medida se hace fundamental para sentar las bases de una nueva
definiciń de integral, la cual se hac´ cada vez m´s necesaria despu´s de los trabajos de
o ıa a e
Fourier y Dirichlet para admitir funciones cada vez m´s discontinuas.
a

7

8 1.1. Motivaciń
o

1.1.1. Deficiencias de la integral de Riemann

El nuevo concepto de integral que desarrollamos en este curso tratar´ de solventar las defi-
a
ciencias que presentaba la integral de Riemann y que se hicieron patentes a partir de 1890.
B´sicamente, deseamos que la integral de Lebesgue resuelva alguna de las limitaciones que
a
enumeramos a continuaciń.
o

1. La clase de funciones integrables Riemann es relativamente pequeã. S´lo alcanza las
n o
funciones con una cantidad numerable de puntos de discontinuidad finita.

2. La integral de Riemann no tiene propiedades de l´ ımite satisfactorias. Sin hip´tesis
o
adicionales, no se puede pasar al l´
ımite bajo el signo integral.

3. En muchos casos, la primitiva de una funciń integrable no es derivable. En muchos
o
otros, la derivada de una funciń no es integrable Riemann.
o

4. Los espacios Lp (p < ∞) no son completos bajo la integral de Riemann.

Ejemplo 1.
Si definimos la sucesiń fn : [0, 1] → R por
o

2n si 1/2n ≤ x ≤ 1/2n−1
fn (x) =
0 en el resto,
1 1
entonces 1 = l´
ım fn (x) dx = l´ fn (x) dx = 0.
ım
0 0
Ejemplo 2.
Si definimos la sucesiń fn : [0, 1] → R por
o

1 si x ∈ {r1 , . . . , rn }
fn (x) =
0 en el resto,

donde rn es el n-´simo n´mero racional en [0, 1], entonces fn son integrables Riemann (porque
e u
tienen una cantidad finita de puntos de discontinuidad) pero l´ fn (x), la funciń de Dirichlet,
ım o
no es integrable Riemann (es discontinua en todo [0, 1]).
Este ejemplo pone de manifiesto que los teoremas de la convergencia mon´tona y convergencia
o
dominada (ver secciń 1.4.2) no son ciertos para la integral de Riemann.
o

1.1.2. Nueva forma de contar rectńgulos
a

Los Ge´metras del siglo XVII consideraban la integral de f (x) - el t´rmino inte-
o e
gral no se hab´ inventado ań, pero esto no tiene ninguna importancia - como la
ıa u
suma de una infinidad de indivisibles cada uno de ellos siendo la ordenada, positiva
o negativa, de f (x). Y bien, nosotros simplemente hemos agrupado los indivisi-
bles de tamaõ comparable; hemos hecho, como se dice en ´lgebra, la reuniń, la
n a o

Cap´
ıtulo 1. Integral de Lebesgue en R 9

reducciń de los t´rminos semejantes. Se puede decir que, con el m´todo de Rie-
o e e
mann, se intentaba sumar los indivisibles tomńdolos en el orden suministrado
a
por la variaciń de x, se proced´ como lo har´ un comerciante desorganizado que
o ıa ıa
contara monedas y billetes segń fueran cayendo estos en sus manos; en cambio
u
nosotros procedemos como el comerciante met´dico que dice:
o
Tengo m(E1 ) monedas de 1 corona lo que hace 1 × m(E1 ), tengo m(E2 ) monedas
de 2 coronas lo que hace 2×m(E2 ), tengo m(E3 ) monedas de 5 coronas lo que hace
5 × m(E3 ), etc. As´ tengo en total: S = 1 × m(E1 ) + 2 × m(E2 ) + 5 × m(E3 ) + . . . .
ı
Ambos procedimientos conducirń al comerciante, sin ninguna duda, al mismo
a
resultado ya que, por muy rico que sea, no hay m´s que un n´mero finito de
a u
billetes que contar; pero para nosotros que tenemos que sumar una infinidad de
indivisibles, la diferencia entre los dos m´todos es capital.
e
“Sobre el desarrollo de la nociń de integral”
o
H. Lebesgue, conferencia en Copenhague 1926.

La integral de Riemann se define mediante particiones del dominio de la funciń y calculando
o
el valor de la funciń en los puntos de cada intervalo de la particiń. Sin embargo, para definir
o o
la integral de Lebesgue se realiza una particiń de la imagen de la funciń y se mide el tamaõ
o o n
del dominio para los cuales la imagen de la funciń est´ comprendida entre dichos valores.
o a
Para medir los conjuntos {x ∈ D(f ) : yj−1 ≤ y ≤ yj } es necesario desarrollar la teor´ de la
ıa
medida.
A grandes rasgos, se pretende generalizar la nociń de longitud en R, ´rea en R2 o volu-
o a
men en R 3 . M´s concretamente, buscamos una funciń no negativa m definida en todos los
a o
subconjuntos de R, que pueda tomar el valor +∞. Intuitivamente se necesita que verifique:

i) m([a, b]) = b − a (la medida de un intervalo es su longitud).

ii) m(A ∪ B) = m(A) + m(B), si A y B son disjuntos.
En realidad, los argumentos de l´
ımite que se aplican en la teor´ hacen necesaria la
ıa
condiciń
o

ii’) m( i∈N Ai ) = i∈N m(Ai ), con Ai disjuntos dos a dos.

iii) m(A + h) = m(A) (la medida es invariante bajo traslaciones).

Un resultado importante de la teor´ es la existencia y unicidad de tal medida, que llamaremos
ıa
medida de Lebesgue, cuando nos referimos a una clase razonable de conjuntos, los llamados
conjuntos medibles. Esta clase de conjuntos contiene en particular a los abiertos y ser´ cer-
a
rada bajo uniones numerables, intersecciones y complementos. Ahora bien, la idea previa de
poder asignar una medida a todos los subconjuntos de R no es posible. Demostraremos que
existen conjuntos que no son medibles cuando pedimos las condiciones i) a iii) anteriores. Esta
situaciń contraria a la intuiciń est´ relacionada con la famosa paradoja de Banach-Tarski:
o o a
se puede descomponer la bola unidad de R3 en cinco piezas, las cuales pueden recomponerse
mediante traslaciones y rotaciones para formar dos bolas unitarias disjuntas (lo que violar´ ıa
nuestra idea de conservaciń del volumen).
o

10 1.2. Conceptos previos

ı, ıdo ´
As´ el nacimiento de medida puede ser atribu´ a Emile Borel. Antes de que, en 1904,
´
Lebesgue publicara sus trabajos, Emile Borel public´ en 1898 el libro “Le¸ons sur la thórie
o c e
des fonctions”, donde investigaba sobre ciertos conjuntos del intervalo [0, 1]. Pretend´ asig-
ıa
nar medidas a subconjuntos m´s generales que los subintervalos, especialmente a aquellos
a
engendrados mediante uniones numerables o paso al complementario de intervalos. De forma
paralela ped´ que estos subconjuntos cumplieran la propiedad de que la medida de la uniń
ıa o
de cualquier familia finita o numerable de tales conjuntos disjuntos dos a dos es igual a la
suma de sus medidas; y por otra parte, todos los subintervalos tienen como medida su longi-
tud. Como podemos observar, esta definiciń de Borel es la definiciń de premedida, nombre
o o
que m´s adelante asignar´ Lebesgue. Borel no prob´ la existencia y unicidad de dicha defini-
a ıa o
ciń. Afirma que “el lema fundamental demostrado [...] nos asegura que estas definiciones
o
nunca serń contradictorias entre s´ y anot´ en el pie de p´gina de ese mismo libro que “He
a ı”, o a
omitido toda demostraciń ya que la redacciń me pareci´ tener que ser larga y fastidiosa
o o o
[...]”. Por otra parte, Borel no hace absolutamente ninguna referencia o insinuaciń sobre una
o
posible conexiń entre su concepto de medida y la teor´ de integraciń. Aunque Borel no fue
o ıa o
capaz de probar dicho resultado, gracias a las aportaciones de Lebesgue el resultado de Borel
queda incluido en la construcciń de la integral de Lebesgue. M´s adelante, a esos conjuntos
o a
a los que se refer´ Borel, Lebesgue los llam´ borelianos por deferencia a su amigo.
ıa o

1.2. Conceptos previos
Un conjunto A ⊂ R es abierto si
∀x ∈ A, ∃r > 0 : (x − r, x + r) ⊂ A.
Un conjunto F ⊂ R es cerrado si su complementario F c es abierto.
Una propiedad elemental de estos conjuntos es la siguiente:
La uniń arbitraria y la intersecciń finita de abiertos es abierto.
o o
Un conjunto E ⊂ R es acotado si existe r > 0 tal que E ⊂ (−r, r). Si adem´s es cerrado,
a
entonces es compacto y cumple la propiedad de Heine-Borel:
Si E es compacto y E ⊂ α∈I Aα , con Aα abierto, entonces existe una familia finita {Aα1 , . . . , Aαn }
tal que E ⊂ Aα1 ∪ · · · ∪ Aαn .
Definiciń. Se dice que F ∈ Fσ cuando F es uniń numerable de cerrados.
o o
An´logamente, se dice que G ∈ Gδ cuando G es intersecciń numerable de abiertos.
a o
Definiciń. Una colecciń A de conjuntos es un ´lgebra si
o o a
i) ∅ ∈ A.
ii) A, B ∈ A =⇒ A ∪ B ∈ A.
iii) A ∈ A =⇒ Ac ∈ A.
Un ´lgebra A de conjuntos se dice que es una σ-´lgebra cuando
a a
iv) (Ai )i∈N ⊂ A =⇒ i∈N Ai ∈ A.
Ejemplos. 1) P (R) es la mayor σ-´lgebra de R.
a
2) {∅, R} es la menor σ-´lgebra de R.
a

Cap´

3) Si A = {A ⊂ R : A ´ Ac es finito}, entonces A es un ´lgebra pero no una σ-´lgebra.
o a a
Definiciń. La colecciń B de conjuntos de Borel es la menor σ-´lgebra que contiene
o o a
todos los conjuntos abiertos.
Veremos a continuaciń (proposiciń 1.2.1) que dicho conjunto existe. Adem´s es tambiń
o o a e
la m´ınima σ-´lgebra que contiene todos los conjuntos cerrados y la m´
a ınima σ-´lgebra que
a
contiene los intervalos abiertos as´ como la m´
ı ınima σ-´lgebra que contiene los intervalos
a
semiabiertos.
Ejemplos de conjuntos de Borel son los conjuntos Fσ y Gδ .

Proposiciń 1.2.1. Dada cualquier colecciń de conjuntos C, existe la m´
o o ınima σ-´lgebra que
a
contiene a C.

Demostraciń. Llamamos F a la familia de todas las σ-´lgebras que contienen a C y definimos
o a
A = {B : B ∈ F }. Por definiciń, C ⊂ B, para todo B ∈ F, de modo que C ⊂ A. Adem´s A
o a
es una σ-´lgebra (por serlo B, para todo B ∈ F).
a
Por ultimo, si B es una σ-´lgebra que contiene a C, entonces B ⊃ A.
´ a

Proposiciń 1.2.2. Sea A un ´lgebra de conjuntos y (Ai )i∈N ⊂ A. Entonces existe (Bi )i∈N ⊂
o a
A tal que Bi ∩ Bj = ∅, para i = j, y Bi = Ai .
i∈N i∈N

Demostraciń. Definimos
o

B1 = A1
Bn = An (A1 ∪ . . . An−1 ) = An ∩ Ac ∩ . . . Ac .
1 n−1

Es evidente que Bn ∈ A y que Bn ⊂ An para todo n. Por tanto, Bi ⊂ Ai .
Adem´s, si suponemos m < n,
a

Bm ∩ Bn ⊂ Am ∩ Bn = Am ∩ An ∩ Ac ∩ · · · ∩ Ac = ∅.
1 n−1

Por ultimo, si x ∈ Ai , supongamos que n0 es el menor valor de i ∈ N tal que x ∈ Ai .
´
As´ pues, x ∈ Bn0 y x ∈ Bi .
ı

1.3. Tres principios de Littlewood
La cantidad de conocimientos necesarios en la teor´ de funciones de una variable
ıa
real no es tan grande como se puede suponer. Hay tres principios, que se expresan
a grandes rasgos de la siguiente manera:

Todo conjunto medible es casi una uniń finita de intervalos;
o
Toda funciń medible es casi continua;
o
Toda sucesiń convergente de funciones medibles es casi uniformemente con-
o
vergente.

12 1.3. Tres principios de Littlewood

La mayor´ de los resultados de la teor´ consiste en aplicaciones intuitivas de
ıa ıa
estas ideas.
H. Littlewood

Realizaremos en este apartado el proceso de construcciń de conjuntos medibles y funciones
o
integrables en la recta real con el objetivo de cumplir los tres principios establecidos por
Littlewood.

1.3.1. Todo conjunto medible es casi uniń finita de intervalos
o

El primer resultado en esta direcciń no necesita ningń concepto especial de medida.
o u

Teorema 1.3.1. Todo conjunto abierto A ⊂ R se puede escribir de forma unica como uniń
´ o
numerable de intervalos abiertos disjuntos.

Demostraciń. Para cualquier x ∈ A, sea Ix el mayor intervalo abierto que contiene a x y
o
est´ contenido en A. M´s concretamente, si Ix = (ax , bx ), entonces
a a

ınf{a < x : (a, x) ⊂ A}, bx = sup{b > x : (x, b) ⊂ A}.
ax = ´

De este modo, A = x∈A Ix . Veamos que la uniń es disjunta.
o
Para ello, supongamos que Ix ∩Iy = ∅. Como Ix ∪Iy ⊂ A y adem´s x ∈ Ix ∪Iy , necesariamente
a
Ix ∪Iy ⊂ Ix . De forma an´loga se prueba que Ix ∪Iy ⊂ Iy , lo cual s´lo puede ocurrir si Ix = Iy .
a o
Por ultimo, cada intervalo Ix debe contener un n´mero racional y, al ser disjuntos dos inter-
´ u
valos distintos, deben contener racionales diferentes. Esto quiere decir que la familia (Ix )x∈A
es numerable.

El primer concepto que nos permitir´ el desarrollo de la teor´ de la medida es el de medida
a ıa
exterior. Su definiciń obedece a ideas intuitivas pero carece de la propiedad de aditividad
o
numerable.
Definiciń. Dado un conjunto E ⊂ R, se define la medida exterior de E como
o

m∗ (E) = ´
ınf m(In ),
E⊂ In
n∈N

donde In son intervalos abiertos.
De la definiciń se deduce inmediatamente que m∗ (∅) = 0 y que m∗ (A) ≤ m∗ (B) si A ⊂ B.
o
Adem´s, si A tiene s´lo un punto, m∗ (A) = 0. Observemos adem´s que puede tomar el valor
a o a
+∞. Es tambiń evidente que m
e ∗ es invariante bajo traslaciones.

La definiciń intenta describir la medida de un conjunto aproximńdolo desde el exterior
o a
(de ah´ su nombre). Cuanto m´s fino sea el cubrimiento del conjunto, m´s pr´xima est´ su
ı a a o a
medida a la suma de las longitudes de los intervalos.
Una definiciń completamente an´loga se puede dar en Rk .
o a

Proposiciń 1.3.2. La medida exterior de un intervalo coincide con su longitud.
o

Cap´

Demostraciń. Caso 1. Dado el intervalo [a, b], para cualquier ε > 0, [a, b] ⊂ (a − ε, b + ε).
o
Entonces m∗ ([a, b]) ≤ b − a + 2ε, de modo que m∗ ([a, b]) ≤ b − a.
Falta ver que m∗ ([a, b]) ≥ b − a lo cual equivale a probar que, si (In )n∈N es una sucesiń de
o
intervalos que cubren a [a, b], entonces n∈N m(In ) ≥ b − a.
Por la compacidad de [a, b], podemos aplicar el teorema de Heine-Borel. As´ pues, basta
ı
N
probar que m(In ) ≥ b − a, donde {I1 , . . . , IN } es un cubrimiento finito de [a, b].
n=1
Podemos suponer que a ∈ I1 = (a1 , b1 ). Si b1 ≤ b, como b1 ∈ [a, b], debe existir I2 = (a2 , b2 )
tal que b1 ∈ I2 .
Siguiendo este proceso, obtenemos una familia (a1 , b1 ), . . . , (ak , bk ) contenida en (Ii )N tal
i=1
que ai < bi−1 < bi (i = 2, . . . , k).
Como el conjunto (Ii )N cubre al intervalo [a, b], necesariamente b ∈ (ak , bk ). Entonces
i=1

N k
m(In ) ≥ m(ai , bi ) = bk − ak + bk−1 − ak−1 + · · · + b1 − a1 > bk − a1 > b − a
n=1 i=1

porque ai < bi−1 , bk > b y a1 < a.
Caso 2. Si I es un intervalo finito, dado ε > 0, existe J intervalo cerrado tal que J ⊂ I y
m(J) > m(I) − ε. Entonces

m(I) − ε < m(J) = m∗ (J) ≤ m∗ (I) ≤ m∗ ( I) = m( I) = m(I),

con lo que m∗ (I) = m(I).
Caso 3. Si I es un intervalo infinito, dado cualquier M ∈ R, existe J intervalo cerrado tal
que J ⊂ I y m(J) = M . Entonces

m∗ (I) ≥ m∗ (J) = m(J) = M.

Por tanto, m∗ (I) = ∞ = m(I).

Ejemplo. El conjunto de Cantor juega un importante papel en la teor´ de conjuntos y es
ıa
un ejemplo de conjunto con medida exterior cero.
Para construirlo, empezamos con el intervalo cerrado

C0 = [0, 1].

Si dividimos el intervalo en tres partes iguales y eliminamos la central, obtenemos

C1 = [0, 1/3] ∪ [2/3, 1].

Repitiendo el proceso con los dos intervalos resultantes, tenemos

C2 = [0, 1/32 ] ∪ [2/32 , 1/3] ∪ [2/3, 7/32 ] ∪ [8/32 , 1].


C0
0 1
C1 1 2
0 1
3 3
C2
0 1 2 1 2 7 8 1
9 9 3 3 9 9
Con este procedimiento, obtenemos una sucesiń (Ck )k≥0 de conjuntos cerrados tales que
o
Ck+1 ⊂ Ck (k ≥ 0).
Por definiciń, el conjunto de Cantor es C =
o k≥0 Ck .
Sus propiedades m´s importantes son las siguientes:
a

Es compacto.
Basta observar que es cerrado y est´ contenido en [0, 1].
a
Es perfecto (todo punto de C es de acumulaciń).
o
Cada Ck es uniń de 2k intervalos cerrados disjuntos cuyos extremos estń en C (pues
o a
un extremo de cualquier intervalo de Ck es extremo de algń intervalo de Ck+1 . As´ pues,
u ı
si x ∈ C, para cualquier k ∈ N, x ∈ Ck . Por tanto x est´ contenido en alguno de los
a
2k intervalos de longitud 3−k . Basta elegir xk = x como uno de los extremos de dicho
intervalo para que |x − xk | ≤ 3−k .
Es denso en ninguna parte (int C = ∅).
Esto es consecuencia de que m∗ (C) = 0 pues, si existe (a, b) ⊂ C, entonces b − a ≤
m∗ (C) = 0.
Es totalmente disconexo (∀x, y ∈ C, x < y, ∃z ∈ (x, y) con z ∈ C).
Se deduce de la propia construcciń.
o
Es no numerable.
En primer lugar, establecemos la biyecciń entre el conjunto de sucesiones de ceros y
o
unos quitando aquellas sucesiones que tienen todos los t´rminos iguales a uno a partir
e
de un cierto elemento, y el conjunto [0, 1), definida por (xk )k∈N → x = k∈N xk (lo que
2
k

equivale a escribir x mediante su representaciń binaria). A continuaciń establecemos la
o o
biyecciń que a cada sucesiń anterior le asigna el punto de C {1} mediante (xk )k∈N →
o o
y
y = k∈N 2xk = k∈N 3k . De este modo 0, y1 y2 . . . es la representaciń ternaria de y,
3k k o
la cual corresponde a un punto de C si y s´lo si yk = 0 ´ yk = 2.
o o
Tiene medida exterior cero.
Por construcciń, C ⊂ Ck , donde Ck es uniń disjunta de 2k intervalos cerrados, de
o o
longitud 3−k . Por tanto, m∗ (C) ≤ (2/3)k , ∀k, con lo que m∗ (C) = 0.
Proposiciń 1.3.3. Si (An )n∈N es una sucesiń de conjuntos en R, entonces
o o

m∗ ( An ) ≤ m∗ (An ).
n∈N n∈N

Cap´

Demostraciń. Si algń An tiene medida exterior infinita, la desigualdad es evidente.
o u
Si m∗ (An ) < ∞, para todo n, dado ε > 0, existe una sucesiń (In,i )i∈N de intervalos abiertos
o
tal que An ⊂ i∈N In,i y i∈N m(In,i ) < m∗ (An ) + 2−n · ε. La sucesiń doble (In,i )n,i∈N cubre
o
a n∈N An y

m∗ ( An ) ≤ m(In,i ) < (m∗ (An ) + 2−n · ε) = m∗ (An ) + ε.
n∈N n∈N i∈N n∈N n∈N

En definitiva, m∗ ( n∈N An ) ≤ ∗
n∈N m (An ).

Corolario 1.3.4. Si A es numerable, m∗ (A) = 0.

Demostraciń. Basta escribir
o

A = {xk : k ∈ N} ⊂ (xk − εk , xk + εk ), con εk < ε/2.
k∈N k∈N

As´ m∗ (A) ≤
ı, m(xk − εk , xk + εk ) < ε.
k∈N

Corolario 1.3.5. El conjunto [0, 1] no es numerable.

Lema 1.3.6. Dado un conjunto E,
a) para cualquier ε > 0, existe un abierto A tal que E ⊂ A y m∗ (A) ≤ m∗ (E) + ε;
b) existe G ∈ Gδ tal que E ⊂ G y m∗ (E) = m∗ (G);
c) m∗ (E) = ´
ınf{m∗ (A) : A abierto, E ⊂ A}.

Demostraciń. a) Dado ε > 0, existe una sucesiń (In )n∈N de intervalos abiertos tal que
o o
E ⊂ n∈N In y m ∗ (E) + ε ≥
n∈N m(In ). Si llamamos A = n∈N In , entonces

m∗ (A) ≤ m(In ) ≤ m∗ (E) + ε.
n∈N

b) Por el apartado a), dado n ∈ N, existe An un abierto tal que m∗ (E) + 1/n ≥ m∗ (An ),
con E ⊂ An . Si llamamos G = n∈N An , entonces G ∈ Gδ , E ⊂ G y m∗ (G) ≤ m∗ (An ) ≤
m∗ (E) + 1/n. Adem´s m∗ (E) ≤ m∗ (G).
a
c) Si E ⊂ A, m∗ (E) ≤ m∗ (A), de donde m∗ (E) ≤ ´ m∗ (A).
ınf
Por otro lado, segń el apartado a), m∗ (A) ≤ m∗ (E) + ε. Entonces ´ m∗ (A) ≤ m∗ (E).
u ınf

Proposiciń 1.3.7. Si E = E1 ∪ E2 y d(E1 , E2 ) > 0, entonces m∗ (E1 ∪ E2 ) = m∗ (E1 ) +
o
m∗ (E2 ).

Demostraciń. Sea δ > 0 tal que d(E1 , E2 ) > δ > 0.
o
Dado ε > 0 arbitrario, sea (In )n∈N una sucesiń de intervalos abiertos tal que E ⊂
o n∈N In y
n∈N m(In ) ≤ m∗ (E) + ε.


Adem´s elegimos la sucesiń para que la longitud de cada intervalo sea menor que δ. De
a o
este modo, cada intervalo s´lo puede cortar a uno de los conjuntos E1 ´ E2 . Simb´licamente,
o o o
podemos escribir
E1 ⊂ Ij , E2 ⊂ Ij ,
j∈J1 j∈J2

donde J1 ∩ J2 = ∅. Entonces

m∗ (E1 ) + m∗ (E2 ) ≤ m(Ij ) + m(Ij ) ≤ m(Ij ) ≤ m∗ (E) + ε.
j∈J1 j∈J2 j∈N

Esto implica que m∗ (E1 ) + m∗ (E2 ) ≤ m∗ (E). La otra desigualdad es evidente.

Se puede probar tambiń que, si E = n∈N In , con In intervalos disjuntos, entonces m∗ (E) =
e
m(In ). A pesar de ello, no podemos concluir que, si E = E1 ∪ E2 , con E1 ∩ E2 = ∅,
n∈N
entonces m∗ (E) = m∗ (E1 ) + m∗ (E2 ). Har´ falta que dichos conjuntos sean medibles.
a

Definiciń. Un conjunto E es medible si, para todo conjunto A,
o

m∗ (A) = m∗ (A ∩ E) + m∗ (A ∩ E c ).

Lema 1.3.8. Si m∗ (E) = 0, entonces E es medible. En particular, si F ⊂ E y m∗ (E) = 0,
entonces F es medible.

Demostraciń. Dado un conjunto A, como A ∩ E ⊂ E, entonces m∗ (A ∩ E) ≤ m∗ (E) = 0.
o
Por otra parte, como A ∩ E c ⊂ A, entonces

m∗ (A) ≥ m∗ (A ∩ E c ) = m∗ (A ∩ E c ) + m∗ (A ∩ E).

La otra desigualdad es evidente.

De esta propiedad deducimos en particular que el conjunto de Cantor es medible.

Proposiciń 1.3.9. La familia M = {A : A es medible} es un ´lgebra de conjuntos.
o a

Demostraciń. Hay que demostrar, en primer lugar, que, si E1 y E2 son medibles, entonces
o
E1 ∪ E2 es medible.
Por una parte, m∗ (A ∩ E1 ) = m∗ (A ∩ E1 ∩ E2 ) + m∗ (A ∩ (E1 ∪ E2 )c ).
c c

Por otra parte, m∗ (A ∩ (E1 ∪ E2 )) ≤ m∗ (A ∩ E1 ) + m∗ (A ∩ E2 ∩ E1 ). Por tanto,
c

m∗ (A ∩ (E1 ∪ E2 )) + m∗ (A ∩ (E1 ∪ E2 )c ) ≤ m∗ (A ∩ E1 ) + m∗ (A ∩ E1 ) = m∗ (A).
c

Para que M sea un ´lgebra de conjuntos, falta probar que, si A es medible, entonces Ac es
a
medible, pero esto es consecuencia de la propia definiciń.
o

Veremos a continuaciń que la familia M es adem´s una σ-´lgebra.
o a a

Cap´

Lema 1.3.10. Si A es un conjunto y {E1 , . . . , En } una colecciń disjunta de conjuntos me-
o
dibles, entonces
n n
m∗ A ∩ ( Ei ) = m∗ (A ∩ Ei ).
i=1 i=1

Demostraciń. (Por inducciń) El caso n = 1 es evidente.
o o
Si suponemos cierta la propiedad para n − 1, teniendo en cuenta que
n n n−1
c
A∩( E i ) ∩ En = A ∩ En y A ∩ ( Ei ) ∩ En = A ∩ ( Ei ),
i=1 i=1 i=1

resulta
n n−1 n
∗ ∗ ∗
m A∩( Ei ) = m (A ∩ En ) + m A∩( Ei ) = m∗ (A ∩ Ei ).
i=1 i=1 i=1

Proposiciń 1.3.11. La familia M es una σ-´lgebra de conjuntos.
o a

Demostraciń. Basta ver que, si E =
o i∈N Ei , con Ei ∈ M, entonces E ∈ M.
Por la proposiciń 1.2.2, podemos suponer Ei ∩ Ej = ∅, si i = j.
o
Dado cualquier conjunto A, si llamamos Fn = n Ei , entonces Fn ∈ M y E c ⊂ Fn . Por
i=1
c

tanto,
m∗ (A) = m∗ (A ∩ Fn ) + m∗ (A ∩ Fn ) ≥ m∗ (A ∩ Fn ) + m∗ (A ∩ E c ).
c

Por el lema 1.3.10,
n
m∗ (A ∩ Fn ) = m∗ (A ∩ Ei ),
i=1

de modo que
n
∗
m (A) ≥ m∗ (A ∩ Ei ) + m∗ (A ∩ E c ).
i=1

Como la desigualdad es cierta para todo n,

m∗ (A) ≥ m∗ (A ∩ Ei ) + m∗ (A ∩ E c ) ≥ m∗ (A ∩ E) + m∗ (A ∩ E c )
i∈N

por la subaditividad numerable de m∗ .

Veamos a continuaciń que la clase de conjuntos medibles contiene a la clase de conjuntos de
o
Borel en R.

Lema 1.3.12. El intervalo (a, ∞) es medible.


Demostraciń. Dado A, sean A1 = A ∩ (a, ∞) y A2 = A ∩ (−∞, a].
o
Si m∗ (A) = ∞, es evidente que m∗ (A1 ) + m∗ (A2 ) ≤ m∗ (A).
Si m∗ (A) < ∞, dado ε > 0, existe una sucesiń de intervalos abiertos (In )n∈N tal que
o
A ⊂ n∈N In y n∈N m(In ) ≤ m∗ (A) + ε.
Llamamos In,1 = In ∩ (a, ∞) e In,2 = In ∩ (−∞, a]. Entonces

m(In ) = m(In,1 ) + m(In,2 ) = m∗ (In,1 ) + m∗ (In,2 ).

Como A1 ⊂ n∈N In,1 , tenemos:

m∗ (A1 ) ≤ m∗ ( In,1 ) ≤ m∗ (In,1 )
n∈N n∈N

y, como A2 ⊂ n∈N In,2 , tenemos

m∗ (A2 ) ≤ m∗ ( In,2 ) ≤ m∗ (In,2 ).
n∈N n∈N

As´ pues,
ı

m∗ (A1 ) + m∗ (A2 ) ≤ (m∗ (In,1 ) + m∗ (In,2 )) ≤ m(In ) ≤ m∗ (A) + ε.
n∈N n∈N

Al ser ε arbitario, m∗ (A1 ) + m∗ (A2 ) ≤ m∗ (A).

Proposiciń 1.3.13. Todo conjunto de Borel es medible. En particular todos los conjuntos
o
abiertos y cerrados son medibles.

Demostraciń. Como (a, ∞) ∈ M, entonces (−∞, a] ∈ M.
o
Adem´s, como (−∞, b) =
a n∈N (−∞, b − 1/n], entonces (−∞, b) ∈ M.
Como (a, b) = (−∞, b) ∩ (a, ∞), entonces (a, b) ∈ M.
Si A es abierto, A = n∈N In , con In intervalos abiertos. Entonces A ∈ M.
Como B es la menor σ-´lgebra que contiene los conjuntos abiertos, B ⊂ M.
a

Observaciń. No todos los conjuntos medibles son de Borel (una demostraciń constructiva
o o
puede verse en [AB]).
Definiciń. Dado un conjunto medible E, se define la medida de Lebesgue de E como
o
m(E) = m∗ (E). De este modo, m es la restricciń de m∗ a la familia M.
o
Proposiciń 1.3.14. Si (En )n∈N es una sucesiń de conjuntos medibles, entonces
o o

m( En ) ≤ m(En ).
n∈N n∈N

Si Ei ∩ Ej = ∅, para i = j, entonces

m( En ) = m(En ).
n∈N n∈N

Cap´

Demostraciń. La primera parte consiste precisamente en la subaditividad de la medida
o
exterior (proposiciń 1.3.3).
o
Si (E1 , . . . , Ek ) es una familia finita de conjuntos medibles disjuntos, por el lema 1.3.10 con
A = R, resulta que
k k
m( En ) = m(En ).
n=1 n=1

Por ultimo, si (Ei )i∈N es una sucesiń infinita de conjuntos medibles disjuntos, entonces
´ o
n
Ei ⊃ Ei , de modo que
i∈N i=1

n n
m( Ei ) ≥ m( Ei ) = m(Ei ).
i∈N i=1 i=1

Como la desigualdad es cierta para todo n,

m( En ) ≥ m(Ei ).
i∈N i∈N

Proposiciń 1.3.15. Si (Ei )i∈N es una sucesiń de conjuntos medibles y Ek ⊂ Ek+1 , para
o o
todo k ∈ N, entonces
m( Ei ) = l´ m(En ).
ım
n→∞
i∈N

Demostraciń. Construimos los conjuntos F1 = E1 , Fk = Ek Ek−1 , k ≥ 2. As´ (Fk )k∈N es
o ı,
una sucesiń de conjuntos medibles disjuntos y Fk = Ek . Por tanto,
o
n n
m( Ek ) = m(Fk ) = l´
ım m(Fk ) = l´ m(
ım Fk ) = l´ m(En ).
ım
n→∞ n→∞ n→∞
k∈N k∈N k=1 k=1

Proposiciń 1.3.16. Si (En )n∈N es una sucesiń infinita de conjuntos medibles, tal que
o o
Ek+1 ⊂ Ek , para todo k, y m(E1 ) es finita, entonces

m( Ei ) = l´ m(En ).
ım
n→∞
i∈N

Demostraciń. Llamamos E =
o i∈N Ei y Fi = Ei Ei+1 . Entonces

E1 E = Fi ,
i∈N

y los conjuntos Fi son disjuntos dos a dos. Por tanto,

m(E1 E) = m(Fi ) = m(Ei Ei+1 ).
i∈N i∈N


Ahora bien,

m(E1 ) = m(E) + m(E1 E) y m(Ei ) = m(Ei+1 ) + m(Ei Ei+1 ),

debido a que E ⊂ E1 y Ei+1 ⊂ Ei .
Teniendo en cuenta que m(Ei ) ≤ m(E1 ) < ∞, resulta que

m(E1 E) = m(E1 ) − m(E) y m(Ei Ei+1 ) = m(Ei ) − m(Ei+1 ).

As´ pues,
ı
n
m(E1 ) − m(E) = [m(Ei ) − m(Ei+1 )] = l´
ım [m(Ei ) − m(Ei+1 )]
n→∞
i∈N i=1
ım[m(E1 ) − m(En )] = m(E1 ) − l´ m(En ).
= l´ ım

Como m(E1 ) < ∞, resulta que m(E) = l´ m(En ).
ım

Observemos que el resultado puede ser falso si m(E1 ) = ∞. Basta considerar los conjuntos
En = (n, ∞).
Veremos a continuaciń lo establecido por el primer principio de Littlewood, que todo con-
o
junto medible es casi uniń finita de intervalos.
o

Proposiciń 1.3.17. Dado un conjunto E ⊂ R, son equivalentes:
o

a) E es medible.

b) Dado ε > 0, existe un abierto A ⊃ E tal que m∗ (A E) < ε.

c) Dado ε > 0, existe un cerrado F ⊂ E tal que m∗ (E F ) < ε.

d) Existe G ∈ Gδ , con E ⊂ G, tal que m∗ (G E) = 0.

e) Existe F ∈ Fσ , con F ⊂ E, tal que m∗ (E F ) = 0.
Si adem´s m∗ (E) es finita, las proposiciones anteriores son equivalentes a
a

f ) Dado ε > 0, existe U uniń finita de intervalos abiertos tal que m∗ (U ∆E) < ε.
o

Demostraciń. a) =⇒ b): Si m(E) < ∞, por el lema 1.3.6, dado ε > 0, existe un abierto A
o
tal que E ⊂ A y m∗ (A) ≤ m∗ (E) + ε. Como E es medible,

m∗ (A) = m∗ (A ∩ E) + m∗ (A ∩ E c ) = m∗ (E) + m∗ (A E)
=⇒ m∗ (A E) = m∗ (A) − m∗ (E) ≤ ε.

Si m(E) = ∞, sea En = E ∩ {x : n − 1 ≤ |x| < n}. Dado ε > 0, como m(En ) < ∞, para cada
n existe un abierto An ⊃ En tal que m∗ (An En ) < ε/2n . Ahora el conjunto A = n∈N An es
abierto y E ⊂ A. Como A E ⊂ n∈N (An En ), entonces m∗ (A E) ≤ m∗ (An En ) < ε.
n∈N

Cap´

b) =⇒ d): Para cada n ∈ N, existe An abierto, con E ⊂ An , tal que m∗ (An E) < 1/n. Si
G = n∈N An , entonces G ∈ Gδ , E ⊂ G y

m∗ (G E) ≤ m∗ (An E) < 1/n, ∀n ∈ N.

Por tanto, m∗ (G E) = 0.
d) =⇒ a): Si m∗ (GE) = 0, entonces GE es medible. Como G es medible y E = (GE)c ∩G,
entonces E es medible.
a) =⇒ c): Como E c es medible, existe A abierto tal que E c ⊂ A y m∗ (A E c ) < ε. Entonces
Ac es cerrado y Ac ⊂ E. Adem´s
a

m∗ (E Ac ) = m∗ (E ∩ A) < ε.

c) =⇒ e): Para cada n ∈ N, existe Fn cerrado, con E ⊃ Fn , tal que m∗ (E Fn ) < 1/n. Si
F = n∈N Fn , entonces F ∈ Fσ , F ⊂ E y

m∗ (E F ) ≤ m∗ (E Fn ) < 1/n, ∀n ∈ N.

Por tanto, m∗ (E F ) = 0.
e) =⇒ a): Como m∗ (E F ) = 0, entonces E F es medible. Escribiendo E = (E F ) ∪ F ,
deducimos que E es medible.
a) =⇒ f): Sea (Ij )j∈N una sucesiń de intervalos abiertos tal que E ⊂
o j∈N Ij y m∗ (E)+ε/2 ≥
j∈N m(Ij ).
∞
Como m∗ (E) < ∞, la serie es convergente y existe n0 ∈ N tal que j=n0 +1 m(Ij ) < ε/2.
n0
Si llamamos U = j=1 Ij , entonces

∞
m∗ (U ∆E) = m∗ (U E) + m∗ (E U ) ≤ m∗ ( Ij E) + m∗ ( Ij )
j∈N j=n0 +1
∞
∗
≤ m(Ij ) − m (E) + m(Ij ) < ε.
j∈N j=n0 +1

Corolario 1.3.18. Todo conjunto medible con medida positiva contiene un conjunto cerrado
con medida positiva.

Demostraciń. Si E es medible, dado ε > 0, existe F cerrado tal que F ⊂ E y m∗ (E F ) < ε.
o
Entonces
m(F ) = m(E) − m(E F ) > m(E) − ε.
Basta elegir ε < m(E)/2 para que m(F ) > 0.

Otras propiedades deseables de la medida se refieren a la invariancia, como indicamos a
continuaciń.
o


Proposiciń 1.3.19. Sea E un conjunto medible. Entonces:
o
a) Para todo k ∈ R, el conjunto Ek = E + k = {x + k : x ∈ E} es medible y m(Ek ) = m(E).
b) Para todo λ > 0, el conjunto λE = {λ · x : x ∈ E} es medible y m(λE) = λ · m(E).
c) El conjunto −E = {−x : x ∈ E} es medible y m(−E) = m(E).

Demostraciń. Veamos el apartado a) (el resto es similar).
o
Dado A ⊂ R, llamamos A = A − k = {u ∈ R : u + k ∈ A}. Entonces
m∗ (A ∩ Ek ) + m∗ (A ∩ Ek ) = m∗ (A ∩ E) + m∗ (A ∩ E c ) = m∗ (A ) = m∗ (A).
c

Para terminar la secciń, hagamos la construcciń de un conjunto no medible, lo que de-
o o
muestra que no puede extenderse la nociń de longitud a cualquier subconjunto de R si se
o
quiere que se cumpla la propiedad m∗ (A ∪ B) = m∗ (A) + m∗ (B), con A y B disjuntos. Este
resultado fue probado por Vitali en el trabajo “Sul problema della misura dei gruppi di punti
di una retta” publicado en 1905.
En primer lugar, establecemos la siguiente relaciń de equivalencia en [0, 1]:
o
x ∼ y cuando x − y ∈ Q.

Esta relaciń permite escribir [0, 1] =
o α Eα , uniń disjunta de clases de equivalencia.
o
A continuaciń, definimos N = {xα : xα ∈ Eα } (llamado conjunto de Vitali) eligiendo
o
exactamente un elemento de cada clase Eα (por el axioma de elecciń). Veamos que N no es
o
medible.
Si numeramos los racionales en [0, 1] como {rk : k ∈ N}, consideramos los conjuntos traslada-
dos Nk = N + rk . Probaremos que estos conjuntos son disjuntos:
Si Nk ∩ Np = ∅, existen rk , rp racionales distintos, y existen α, β tales que xα + rk = xβ + rp ,
o bien xα − xβ = rp − rk ∈ Q. Esto significa que xα ∼ xβ , luego xα = xβ pues N tiene un
solo elemento de cada clase. Por tanto, rp = rk , lo que es absurdo.
Tambiń es fćil probar que
e a
[0, 1] ⊂ Nk ⊂ [0, 2].
k∈N
En efecto, si x ∈ [0, 1], x ∼ xα para algń α, de donde x − xα = rk para algń k. As´ x ∈ Nk .
u u ı
La segunda inclusiń es evidente.
o
Por ultimo, supongamos que N es medible. Entonces, para todo k, Nk tambiń lo es. Como
´ e
(Nk ) son disjuntos, las inclusiones anteriores implican
1≤ m(Nk ) ≤ 2 =⇒ 1 ≤ m(N ) ≤ 2.
k∈N k∈N

ıamos 1 ≤ 0 ≤ 2 y, si
Esto es una contradicciń, porque, si m(N ) = 0, entonces tendr´
o
m(N ) > 0, entonces 1 ≤ ∞ ≤ 2.
Observaciń. La construcciń anterior de un conjunto no medible utiliza el axioma de
o o
elecciń. De hecho, R. Solovay, en Notices Am. Math. Society, 12 (1965), demuestra que no
o
es posible construir conjuntos no medibles sin utilizar el axioma de elecciń.
o

Cap´

1.3.2. Toda funciń medible es casi continua
o

Una vez establecida la nociń de conjunto medible, vamos a utilizarla para definir las funciones
o
medibles. En primer lugar, estableceremos algunas propiedades equivalentes.

Proposiciń 1.3.20. Sea f : R → R una funciń cuyo dominio D es medible. Son equiva-
o o
lentes:
i) ∀α ∈ R : {x : f (x) > α} es medible.
ii) ∀α ∈ R : {x : f (x) ≥ α} es medible.
iii) ∀α ∈ R : {x : f (x) < α} es medible.
iv) ∀α ∈ R : {x : f (x) ≤ α} es medible.
Todas estas proposiciones implican
v) ∀α ∈ R : {x : f (x) = α} es medible.

Demostraciń. i) ⇐⇒ iv) porque {x : f (x) ≤ α} = D {x : f (x) > α}.
o
ii) ⇐⇒ iii) por la misma razń.
o
i) =⇒ ii) porque {x : f (x) ≥ α} = n∈N {x : f (x) > α − 1/n}.
ii) =⇒ i) porque {x : f (x) > α} = n∈N {x : f (x) ≥ α + 1/n}.
Por ultimo, si α ∈ R, {x : f (x) = α} = {x : f (x) ≤ α} ∩ {x : f (x) ≥ α} de modo que, en este
´
caso, ii) y iv) implican v).
Adem´s, {x : f (x) = ∞} =
a n∈N {x : f (x) ≥ n} con lo que ii) implica v) si α = ∞
(an´logamente con α = −∞).
a

Observaciń. En el caso de que la funciń s´lo tome valores reales, las propiedades ante-
o o o
riores son equivalentes a que la imagen inversa de cualquier abierto sea medible y a que la
imagen inversa de cualquier cerrado sea medible.

Definiciń. Una funciń f : R → R se dice que es medible Lebesgue cuando su dominio
o o
es medible y verifica una cualquiera de las cuatro afirmaciones equivalentes de la proposiciń
o
anterior.
La definiciń involucra as´ a los conjuntos m´s importantes relacionados con una funciń
o ı a o
como son las im´genes inversas de intervalos.
a
De la definiciń se deduce que toda funciń continua es medible; toda funciń escalonada
o o o
es medible; la restricciń de una funciń medible a un subconjunto medible del dominio es
o o
tambiń medible.
e
Una caracterizaciń interesante se demuestra en el siguiente resultado.
o

Proposiciń 1.3.21. Sea E ⊂ R un conjunto medible y f : E → R. Entonces f es medible
o
si y s´lo si f −1 (B) es medible, para todo B de Borel en R.
o

Demostraciń. Si f es medible, definimos
o

A = {A ⊂ R : f −1 (A) es medible}.


Es claro que ∅ ∈ A. Adem´s, f −1 (Ac ) = f −1 (R) f −1 (A) = E f −1 (A). Por tanto, si A ∈ A,
a
entonces A c ∈ A.

Por ultimo, si (An )n∈N ⊂ A, entonces
´

f −1 An = f −1 (An ) es medible.
n∈N n∈N

As´ pues, A es una σ-´lgebra. Como adem´s
ı a a

f −1 (a, b) = f −1 (a, ∞) ∩ f −1 (−∞, b],

entonces (a, b) ∈ A.
Por tanto, A contiene todos los conjuntos abiertos, con lo que contiene tambiń a todos los
e
conjuntos de Borel.
El rec´
ıproco es trivial.

Proposiciń 1.3.22. Si c ∈ R y f, g : D ⊂ R → R son funciones medibles, entonces f + g,
o
c · f y f · g son medibles. En consecuencia, f k es medible para todo k ∈ N.

Demostraciń. a) Dado α ∈ R, sea x ∈ D tal que f (x) + g(x) < α. Entonces f (x) < α − g(x)
o
y, como consecuencia de la propiedad arquimediana de los n´meros reales, existe r ∈ Q tal
u
que f (x) < r < α − g(x). Por tanto,

{x : f (x) + g(x) < α} = {x : f (x) < r} ∩ {x : g(x) < α − r}.
r∈Q

Como Q es numerable, este conjunto es medible.
b) Como {x : c · f (x) < α} = {x : f (x) < α/c}, entonces c · f es medible.
c) Si α ≥ 0, entonces
√ √
{x : f 2 (x) > α} = {x : f (x) > α} ∪ {x : f (x) < − α}

y, si α < 0, entonces
{x : f 2 (x) > α} = D.
En ambos casos, se deduce que f 2 es medible.
1
Como f · g = 2 (f + g)2 − (f 2 + g 2 ) , entonces f · g es medible.

Teorema 1.3.23. Para cada n ∈ N, sea fn : D → R medible. Entonces supn∈N fn , ´ n∈N fn ,
ınf
l´ sup fn y l´ inf fn son medibles.
ım ım

Demostraciń. Si llamamos g(x) = supn∈N fn (x), entonces
o

{x : g(x) > α} = {x : fn (x) > α},
n∈N

a ınfimo pues ´ fn = − sup(−fn )).
de modo que g es medible (an´logamente con el ´ ınf
Como l´ sup fn = ´ k∈N supn≥k fn , entonces es una funciń medible (an´logamente con el
ım ınf o a
l´
ımite inferior).

Cap´

Corolario 1.3.24. Si (fn )n∈N es una sucesiń de funciones medibles y f (x) = l´ fn (x),
o ım
entonces f es medible.

Ejemplo. Para probar que la funciń de Dirichlet f = χQ es medible en [0, 1], consideramos
o
1 si x ∈ {r1 , . . . , rn }
la sucesiń fn (x) =
o donde {r1 , . . . , rn , . . . } es una ordenaciń de los
o
0 en el resto,
racionales en [0, 1]. Es fćil comprobar que cada fn es medible (basta determinar el conjunto
a
{x : fn (x) > r} en los casos r ≥ 1, 0 ≤ r < 1 y r < 0). Como l´ fn (x) = f (x), ∀x ∈ [0, 1],
ım
entonces f es medible.
Definiciń. Decimos que una propiedad se cumple en casi todo punto (o casi seguramente,
o
abreviadamente c.s.) cuando el conjunto donde no es cierta tiene medida cero.
En particular se dice que f = g c.s. cuando ambas funciones tienen el mismo dominio y
m({x : f (x) = g(x)}) = 0. Del mismo modo, decimos que fn → f c.s. cuando existe un
conjunto E de medida cero tal que fn (x) → g(x), para todo x ∈ E.
Proposiciń 1.3.25. Si f es medible y f = g c.s., entonces g es medible.
o

Demostraciń. Sean A = {x : f (x) > α} y B = {x : g(x) > α}. Por hip´tesis, A es medible
o o
y m(A B) = m(B A) = 0. Entonces
B = (B A) ∪ (B ∩ A) = (B A) ∪ (A (A B))
es medible.

Los ejemplos b´sicos de funciones medibles son las funciones escalonadas y las funciones sim-
a
ples: las primeras son los elementos b´sicos en la teor´ de integraciń de Riemann mientras
a ıa o
las segundas lo serń en la teor´ de integraciń de Lebesgue.
a ıa o

Definiciń. Se llama funciń escalonada a una funciń que se puede escribir como combi-
o o o
naciń lineal de funciones caracter´
o ısticas de intervalos en R. As´ si f es escalonada, existen
ı,
constantes {a1 , . . . , , aN } e intervalos {I1 , . . . , IN } tales que
N
f (x) = ai χIi (x).
i=1

Por otra parte, diremos que ϕ es una funciń simple si
o
N
ϕ(x) = ai χEi (x),
i=1

donde Ei son medibles y de medida finita.
Esta representaciń no es unica pero una funciń es simple si y s´lo si es medible y toma s´lo
o ´ o o o
un n´mero finito de valores.
u
n
Si ϕ es simple y su conjunto de valores no nulos es {a1 , . . . , an }, entonces ϕ = ai χAi , con
i=1
Ai = {x : ϕ(x) = ai }. Esta es la llamada representaciń canńica de ϕ y se caracteriza
o o
porque Ai son disjuntos y ai son distintos y no nulos.


Veamos que las funciones medibles pueden aproximarse por funciones simples.
Proposiciń 1.3.26. Sea f : D → R.
o
a) Existe una sucesiń de funciones simples que converge puntualmente a f .
o
b) Si f es acotada, se puede elegir la sucesiń para que converja uniformemente a f .
o

Demostraciń. Supondremos que f ≥ 0 (en el caso general se descompone f como diferencia
o
de funciones no negativas a las que se aplica el razonamiento siguiente).
a) Para cada n ∈ N y cada i con 1 ≤ i ≤ n · 2n , sea

i−1 i
Eni = x∈D: n
≤ f (x) < n .
2 2

As´ Eni ∩ Enj = ∅, si 1 ≤ i, j ≤ n · 2n , i = j, y
ı,
n·2n
En = Eni = {x ∈ D : f (x) < n}.
i=1

Definimos
n·2n
i−1
ϕn (x) = · χEni + n · χEn , n ≥ 1,
c
2n
i=1

la cual es una funciń simple. Veamos que l´ ϕn (x) = f (x), ∀x ∈ D:
o ım
Dado x ∈ D, si f (x) < ∞, para cualquier ε > 0, existe n0 ∈ N tal que 1/2n0 < ε y f (x) < n0 .
Por tanto, x ∈ En , para todo n ≥ n0 , con lo que existe i ∈ [1, n · 2n ] tal que x ∈ Eni . Entonces
i−1 i i−1
n
≤ f (x) < n y ϕn (x) = n .
2 2 2
As´ pues, 0 ≤ f (x) − ϕn (x) < 1/2n < ε, ∀n ≥ n0 .
ı
c
En el caso de que f (x) = ∞, entonces f (x) ≥ n, ∀n ∈ N, es decir x ∈ En , ∀n ∈ N. Por tanto,
ϕn (x) = n con lo que l´ ϕn (x) = ∞ = f (x).
ım
b) Si f es acotada, existe M tal que f (x) < M , ∀x ∈ D. En este caso, D = En , ∀n ≥ M , con
lo que, dado ε > 0, podemos elegir n0 ∈ N tal que 1/2n0 < ε. Entonces 0 ≤ f (x) − ϕn (x) < ε,
∀x ∈ D, ∀n ≥ n0 , con lo que la convergencia es uniforme.

Observaciń. Tambiń es posible aproximar una funciń medible por una sucesiń de fun-
o e o o
ciones escalonadas. En este caso, sin embargo, la convergencia s´lo ser´ en casi todo punto. El
o a
caso particular de las funciones continuas en un intervalo cerrado s´ permite la convergencia
ı
uniforme mediante funciones escalonadas como veremos a continuaciń. o
Si f es continua en [a, b], entonces es uniformemente continua. Por tanto, para cada m ∈ N,
existe δ > 0 tal que, ∀x, y ∈ [a, b],

|x − y| < δ =⇒ |f (x) − f (y)| < 1/m.
i(b−a)
Dado n ∈ N tal que δ > 1/n, sea ai = a + n , 0 ≤ i ≤ n. Entonces, si x ∈ [ai−1 , ai ),
|x − ai−1 | ≤ 1/n < δ.

Cap´

Definimos gm (x) = n f (ai−1 ) · χ[ai−1 ,ai ) (x), ∀x ∈ [a, b), gm (b) = f (b). Entonces (gm ) es
i=1
una sucesiń de funciones escalonadas que converge uniformemente a f .
o

A continuaciń enunciamos el segundo principio de Littlewood, mediante el que aproximamos
o
cualquier funciń medible por funciones continuas.
o
Proposiciń 1.3.27. Sea f : [a, b] → R una funciń medible tal que {x : f (x) = ±∞} tiene
o o
medida cero. Entonces, dado ε > 0, existe una funciń escalonada g y una funciń continua
o o
h tales que |f − g| < ε y |f − h| < ε, excepto en un conjunto de medida menor que ε.
Si, adem´s, m ≤ f ≤ M , entonces podemos elegir g y h de modo que m ≤ g ≤ M y
a
m ≤ h ≤ M.

Esquema de la prueba.
Paso 1. Sea f : [a, b] → R una funciń medible tal que {x : f (x) = ±∞} tiene medida cero.
o
Entonces, dado ε > 0, existe M ∈ R tal que |f | ≤ M excepto en un conjunto de medida
menor que ε/3.
Paso 2. Sea f : [a, b] → R una funciń medible. Dados ε > 0 y M ∈ R, existe una funciń
o o
simple ϕ = n αi χAi , con Ai = {x : ϕ(x) = αi }, tal que |f (x) − ϕ(x)| < ε excepto donde
i=1
|f (x)| ≥ M .
Si m ≤ f ≤ M , podemos elegir ϕ de modo que m ≤ ϕ ≤ M .
Paso 3. Dada una funciń simple ϕ en [a, b], existe una funciń escalonada g en [a, b] tal que
o o
ϕ(x) = g(x), excepto en un conjunto de medida menor que ε/3 (usar la proposiciń 1.3.17).
o
Si m ≤ ϕ ≤ M , podemos elegir g de modo que m ≤ g ≤ M .
Paso 4. Dada una funciń escalonada g en [a, b], existe una funciń continua h tal que
o o
g(x) = h(x), excepto en un conjunto de medida menor que ε/3.
Si m ≤ g ≤ M , podemos elegir h de modo que m ≤ h ≤ M .

1.3.3. Toda sucesiń convergente de funciones medibles es casi uniforme-
o
mente convergente

El tercer principio de Littlewood establece la casi convergencia uniforme de las sucesiones
convergentes de funciones medibles. Su formulaciń exacta es la siguiente.
o
Proposiciń 1.3.28 (teorema de Egorov). Sea E un conjunto medible con m(E) < ∞
o
y, para cada n ∈ N, fn : E → R una funciń medible. Sea f : R → R una funciń tal que
o o
fn (x) → f (x), para casi todo x ∈ E. Entonces, dados ε > 0 y δ > 0, existe un conjunto
medible A ⊂ E, con m(A) < δ, y N ∈ N tales que |fn (x) − f (x)| < ε, ∀x ∈ A y n ≥ N .

Demostraciń. Sin p´rdida de generalidad, podemos suponer que fn (x) → f (x) para todo
o e
x ∈ E. Esto asegura que la funciń f es medible.
o
Sea Gn = {x ∈ E : |fn (x) − f (x)| ≥ ε} y, para cada N ∈ N, llamamos
∞
EN = Gn = {x ∈ E : |fn (x) − f (x)| ≥ ε, para algń n ≥ N }.
u
n=N

28 1.4. Integral de Lebesgue

As´ EN +1 ⊂ EN y, si x ∈ E, existe n0 tal que x ∈ En0 (debido a que fn (x) → f (x)). Esto
ı,
quiere decir que N ∈N EN = ∅, de donde l´ m(EN ) = 0 (por la proposiciń 1.3.16).
ım o
De este modo, dado δ > 0, existe N tal que m(EN ) < δ, o bien

m({x ∈ E : |fn (x) − f (x)| ≥ ε, para algń n ≥ N }) < δ.
u

Si llamamos A a dicho conjunto EN , entonces m(A) < δ y

Ac = {x ∈ E : |fn (x) − f (x)| < ε, ∀n ≥ N }.

Por tanto, (fn ) converge uniformemente a f en Ac .

Observaciones. 1) El teorema no asegura que puede obtenerse la convergencia uniforme en
n2 x
 si x ∈ [0, 1/n]
todo el conjunto. Si consideramos, por ejemplo, la sucesiń fn (x) = −n2 x + 2n
o si x ∈ [1/n, 2/n]

0 en el resto,

entonces fn → 0 en [0, 1] pero la convergencia no es uniforme en todo [0, 1].
2) Ni siquiera puede asegurarse la convergencia uniforme salvo en un conjunto de medida
cero. Para comprobarlo, sea gn = χ(0,1/n) , n ∈ N. La sucesiń (gn )n∈N converge puntualmente
o
a cero en [0, 1] y, por el teorema de Egorov, la convergencia es casi uniforme. Sin embargo,
dicha sucesiń no converge uniformemente salvo un conjunto de medida nula.
o
3) La hip´tesis m(E) < ∞ es esencial. Un ejemplo que lo prueba es la sucesiń (χ[n,n+1) )
o o
definida en E = [0, ∞).

1.4. Integral de Lebesgue
Los conjuntos medibles y las funciones medibles serń los elementos b´sicos en la definiciń
a a o
de la integral de Lebesgue. Dicha integral ser´ una generalizaciń de la integral de Riemann,
a o
manteniendo las propiedades b´sicas de linealidad pero aplicable a familias m´s amplias de
a a
funciones. En particular, su interpretaciń como ´rea de figuras planas tambiń es v´lida en
o a e a
los casos usuales.
Definiremos el concepto de integral de Lebesgue progresivamente para familias de funciones
cada vez mayores. En cada paso estableceremos las propiedades b´sicas, como la linealidad,
a
aditividad y monoton´ las cuales deberń mantenerse en las sucesivas extensiones.
ıa, a
El primer paso ser´ establecer la integral de funciones simples, para luego extenderla a fun-
a
ciones medibles acotadas y medibles no negativas.

1.4.1. Definiciones y primeros resultados

Definiciń. Si ϕ es una funciń simple que se anula fuera de un conjunto de medida finita,
o o
se define su integral de Lebesgue como
n
ϕ= ϕ(x) dx = ai · m(Ai )
i=1

Cap´

n
si ϕ = ai · χAi es la representaciń canńica de ϕ.
o o
i=1
Si E es un conjunto medible, definimos

ϕ= ϕ · χE .
E

Veamos en primer lugar que la definiciń de integral no depende de la representaciń de la
o o
funciń.
o
n
Lema 1.4.1. Sea ϕ = ai · χEi , con Ei ∩ Ej = ∅, para i = j. Si cada Ei es un conjunto
i=1
medible con medida finita, entonces
n
ϕ= ai · m(Ei ).
i=1

Demostraciń. Llamamos
o
Ea = {x : ϕ(x) = a} = Ei .
ai =a

Entonces los conjuntos Ea son disjuntos y a · m(Ea ) = ai · m(Ei ) por la aditividad de m.
ai =a
Adem´s, ϕ =
a aa · χEa , de donde

ϕ= a · m(Ea ) = ai · m(Ei ).

Proposiciń 1.4.2. Sean ϕ, ψ funciones simples que se anulan fuera de un conjunto de
o
medida finita. Entonces

a) (a · ϕ + b · ψ) = a · ϕ+b· ψ.

b) Si ϕ ≥ ψ c.s., entonces ϕ≥ ψ.

c) Si A ∩ B = ∅, entonces ϕ= ϕ+ ϕ.
A∪B A B

d) |ϕ| es tambiń una funciń simple y
e o ϕ ≤ |ϕ|.

Demostraciń. a) Sean {Ai } y {Bj } los conjuntos correspondientes a las representaciones
o
canńicas de ϕ y ψ, y A0 y B0 los conjuntos donde sea anulan ϕ y ψ, respectivamente.
o
Entonces los conjuntos Ek = Ai ∩ Bj forman una familia disjunta de conjuntos medibles y
podemos escribir
N N
ϕ= ak · χEk , ψ = bk · χEk
k=1 k=1


de modo que
N
aϕ + bψ = (a · ak + b · bk ) · χEk .
k=1

Por el lema anterior, (aϕ + bψ) = a ϕ+b ψ.

b) Como la integral de una funciń simple no negativa c.s. es no negativa, entonces
o

ϕ− ψ= (ϕ − ψ) ≥ 0.

c) Teniendo en cuenta que, si A y B son disjuntos, χA∪B = χA + χB , de modo que

ϕ= ϕ · χA∪B = ϕ · χA + ϕ · χB = ϕ+ ϕ.
A∪B A B

N N
d) Si ϕ(x) = ak ·χEk (x) es la representaciń canńica de ϕ, entonces |ϕ(x)| =
o o |ak |·χEk .
k=1 k=1
Por tanto,
N N
ϕ = ak · m(Ek ) ≤ |ak | · m(Ek ) = |ϕ|.
k=1 k=1

Observaciń. De este resultado deducimos que la restricciń establecida en el lema anterior
o o
de que Ei ∩ Ej = ∅ no es necesaria.

El siguiente paso del proceso consiste en definir la integral para funciones acotadas. Para ello,
necesitaremos el siguiente resultado previo.
Proposiciń 1.4.3. Sea f : E → R acotada con m(E) finita. Son equivalentes:
o

a) ´
ınf ψ = sup ϕ, para todas las funciones simples ϕ, ψ.
f ≤ψ E f ≥ϕ E
b) f es medible.

Demostraciń. Supongamos que |f (x)| ≤ M , ∀x ∈ E y que f es medible. Los conjuntos
o

Ek = {x : kM/n ≥ f (x) > (k − 1)M/n}, −n ≤ k ≤ n
n n
son medibles y disjuntos y k=−n Ek = E. Entonces m(E) = k=−n m(Ek ).
Si definimos las funciones simples
n
M
ψn (x) = k · χEk (x)
n
k=−n
n
M
ϕn (x) = (k − 1) · χEk (x)
n
k=−n

Cap´

entonces ϕn (x) ≤ f (x) ≤ ψn (x), de donde
n
M
´
ınf ψ ≤ ψn = k · m(Ek )
ψ≥f E E n
k=−n
n
M
sup ϕ ≥ ϕn = (k − 1) · m(Ek ).
ϕ≤f E E n
k=−n

Por tanto,
n
M M
0≤´
ınf ψ − sup ϕ≤ m(Ek ) = m(E).
ψ≥f E ϕ≤f E n n
k=−n

Como n es arbitrario, ´
ınf ψ = sup ϕ.
ψ≥f E ϕ≤f E

Rec´
ıprocamente, supongamos que ´
ınf ψ = sup ϕ. Dado n ∈ N, existen ϕn y ψn tales
ψ≥f E ϕ≤f E

que ϕn (x) ≤ f (x) ≤ ψn (x) y ψn − ϕn < 1/n.

Entonces las funciones ψ ∗ = ´ ψn y ϕ∗ = sup ϕn son medibles y ϕ∗ (x) ≤ f (x) ≤ ψ ∗ (x).
ınf
Por otra parte, el conjunto ∆ = {x : ϕ∗ (x) < ψ ∗ (x)} es uniń de los conjuntos ∆ν = {x :
o
ϕ ∗ (x) < ψ ∗ (x) − 1/ν}. Como ∆ ⊂ {x : ϕ (x) < ψ (x) − 1/ν} y la medida de este ultimo
´
ν n n
conjunto es menor que ν/n, entonces m(∆ν ) = 0.
En consecuencia, m(∆) = 0, lo que significa que ϕ∗ = ψ ∗ excepto en un conjunto de medida
cero, y ϕ∗ = f excepto en un conjunto de medida cero, con lo que f es tambiń medible.
e

Definiciń. Si f : E → R, con m(E) < ∞, es medible y acotada, se define la integral de
o
Lebesgue de f sobre E como

f =´
ınf ψ : ψ es una funciń simple con ψ ≥ f
o .
E E

Proposiciń 1.4.4. Sea f : [a, b] → R acotada. Si f es integrable Riemann en [a, b], entonces
o
b b
es medible y R f= f (donde indicamos por R f a la integral de Riemann de f ).
a [a,b] a

Demostraciń. Como toda funciń escalonada es simple,
o o
b b
R f ≤ sup ϕ≤´
ınf ψ≤R f.
ϕ≤f [a,b] ψ≥f [a,b] a
a

Como f es integrable Riemann, todas las desigualdades son igualdades y f es medible.

Proposiciń 1.4.5. Si f, g : E → R, con m(E) < ∞, son medibles y acotadas, entonces
o

i) (af + bg) = a f +b g.
E E E

ii) Si f = g c.s., f= g.
E E


iii) Si f ≤ g, c.s., f≤ g. En consecuencia, f ≤ |f |.
E E E E

iv) Si α ≤ f (x) ≤ β, α · m(E) ≤ f ≤ β · m(E).
E

v) Si A y B son conjuntos medibles disjuntos de medida finita, f= f+ f.
A∪B A B

Demostraciń. i) Si ψ es simple, aψ tambiń. Entonces
o e

- si a > 0, a·f = ´
ınf aψ = a · ´
ınf ψ=a f.
E ψ≥f E ψ≥f E E

- si a < 0, a·f = ´
ınf aϕ = a · sup ϕ=a· ´
ınf ψ=a f.
E ϕ≤f E ϕ≤f E ψ≥f E E
Si ψ1 y ψ2 son funciones simples mayores o iguales que f y g, respectivamente, entonces
ψ1 + ψ2 es una funciń simple mayor o igual que f + g. As´ pues,
o ı

(f + g) ≤ (ψ1 + ψ2 ) = ψ1 + ψ2 .
E E E E

Tomando ´
ınfimos en el miembro de la derecha, resulta

(f + g) ≤ f+ g.
E E E

An´logamente, si ϕ1 ≤ f y ϕ2 ≤ g, entonces ϕ1 + ϕ2 ≤ f + g, de donde
a

(f + g) ≥ (ϕ1 + ϕ2 ) = ϕ1 + ϕ2 .
E E E E

Tomando supremos sobre las funciones simples ϕ1 y ϕ2 , resulta

(f + g) ≥ f+ g.
E E E

ii) Como f − g = 0 c.s., si ψ ≥ f − g, entonces ψ ≥ 0 c.s., de donde

ψ ≥ 0 =⇒ (f − g) ≥ 0.
E E

An´logamente se prueba que
a E (f − g) ≤ 0.
iii) Visto en ii).
iv) Basta observar que E 1 = m(E).
v) Basta observar que χA∪B = χA + χB y aplicar i).

1.4.2. Teoremas de convergencia

Llegados a este punto, ya estamos en condiciones de probar los resultados de convergencia
que convierten a la integral de Lebesgue en una herramienta b´sica del an´lisis y a la que no
a a
puede llegar la integral de Riemann.

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