Repaso de teoría de conjuntos Fenómenos determinísticos vs. fenómenos aleatorios Definición de probabilidad Interpretación frecuentista y Bayesiana de la probabilidad Espacio muestral, eventos Sigma-álgebra Medida de probabilidad, definición, propiedades Axiomas de Kolmogorov Probabilidad conjunta, marginal, condicional Eventos independientes Teorema de las probabilidades totales, teorema de Bayes Técnicas de conteo: factorial, permutación, combinatoria

1. 02 - Introducción a la teoría de probabilidad Diego Andrés Alvarez Marín Profesor Asistente Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales

3. Repaso de la teoría de conjuntos

4. Operaciones con conjuntos

5. Diagramas de Venn

6. Propiedades

9. Conjunto potencia (power set)

10. Ejemplos de teoría de conjuntos

14. De este modo para un frecuentista, la definición de probabilidad sería: Definición: si un experimento que está sujeto al azar resulta de n formas igualmente probables y mutuamente excluyentes (es decir que ocurren bajo las mismas condiciones), y su n A de estos resultados tienen un atributo A , la probabilidad del atributo A es: Interpretación frecuentista de probabilidad

16. Nota 1: A veces el futuro no se puede predecir y solo se puede calcular la probabilidad de que algo suceda. Nota 2: En el lanzamiento de un dado los resultados son mutuamente excluyentes y mutuamente probables. La probabilidad de obtener un 4 es 1/6. Esto no significa que en 6 tiradas tengamos necesariamente que obtener un 4. Nota 3: El desarrollo inicial de la teoría de probabilidades se asocia al estudio de los juegos de azar.

24. Espacio muestral en experimentos con reemplazo y sin reemplazo

25. Diagrama del árbol

26. Sigma-algebra: motivación Cuando analizamos eventos aleatorios, generalmente no estamos interesados en Ω sino en un subconjunto E ∈ Ω. Cuando analizamos las probabilidades de ocurrencia del evento E, tambien nos interesan las probabilidades de la no ocurrencia del evento E. Además si nos interesa la probabilidad de ocurrencia de los eventos A 1 y A 2 también nos interesaría la probabilidad de su unión.

27. Sigma-álgebra

28. Ejemplos

30. Andrey Nikolaevich Kolmogorov (Abril 25, 1903 – Octubre 20, 1987)

31. Axiomas de probabilidad de Kolmogorov

32. Axiomas de probabilidad de Kolmogorov

33. Consecuencias de los tres axiomas de probabilidad

34. Consecuencias de los tres axiomas de probabilidad

35. Consecuencias de los tres axiomas de probabilidad

36. Consecuencias de los tres axiomas de probabilidad

37. Ejemplos

43. Diagrama del árbol

46. La paradoja del falso positivo

51. Propiedades de la probabilidad condicional

52. Ejemplos

53. Probabilidad condicional con varias variables aleatorias

54. Ejemplo Una bolsa tiene 10 bolas blancas y 30 rojas. ¿Cuál es la probabilidad de muestrear BBRB? Muestreo sin reemplazo Muestreo con reemplazo

55. Ejemplo

56. Arboles de decisión

57. Ejemplo

59. Ejemplo Una pareja planifica utilizando DemoProvera (confiabilidad = 99.7%/año) y condón de latex masculino (confiabilidad = 98%/año) simultáneamente. Si la probabilidad de quedar en embarazo al tener relaciones sin protección es del 85%/año, ¿cuál es la probabilidad de un embarazo no deseado? Porcentajes sacados de: http://en.wikipedia.org/wiki/Comparison_of_birth_control_methods

60. Eventos independientes

62. Ejemplo

63. Ejemplo Suponga que se quiere diseñar el acueducto de un parque industrial que tendrá dos fábricas. Supongamos que existen dos niveles de demanda de agua: W 1 = 1 m 3 /min y W 2 = 2 m 3 /min. La probabilidad que cualquier fábrica requiera dichos niveles de demanda son 0.3 y 0.7 respectivamente (P(W 1 )=0.3, P(W 2 )=0.7). Dichos niveles de demanda de ambas fábricas son estádísticamente independientes. ¿Cuál es la combinación de niveles de demanda menos probable? más probable? Fabrica 1 Fabrica 2

64. P(W 1 W 1 ) = P(W 1 )P(W 1 )=0.3 x 0.3 = 0.09 2 P(W 1 W 2 ) = P(W 1 )P(W 1 )=0.3 x 0.7 = 0.21 3 P(W 2 W 1 ) = P(W 2 )P(W 1 )=0.7 x 0.3 = 0.21 3 P(W 2 W 2 ) = P(W 2 )P(W 2 )=0.7 x 0.7 = 0.49 4 1.00 Nivel total de demanda 0.42

65. Si los costos de instalación inicial y de ensanche son los siguientes: Costos de instalación inicial: Dos unidades = $2500 Tres unidades = $3000 Cuatro unidades = $4000 Costo de ensanche: Dos a tres unidades = $1200 Tres a cuatro unidades = $1500 Dos a cuatro unidades = $2000 Que capacidad inicial instalaría usted de modo que el costo total esperado del proyecto sea el mínimo?

66. Lo mejor será instalar 3 unidades = 3 m 3 /min

67. Regla de la multiplicación para eventos independientes

68. Ejemplo

74. serie paralelo

76. Relación entre eventos independientes y eventos mutuamente excluyentes

77. Teorema de las probabilidades totales

78. Para un chip se sabe que:

79. Thomas Bayes (aprox. 1702 – Abril 7, 1761) Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances (1764)

80. Teorema de Bayes

82. Ejercicio Suponga que tenemos dos urnas: A y B. Las cuales se muestran en la figura. En A hay siete bolas rojas (red - R) y tres bolas blancas (white - W). En B hay una bola roja y nueve blancas. Se lanza una moneda. Si caen caras se saca una bola de la urna A y si cae en sellos se saca una bola de la urna B. Si se lanzó la moneda y se sacó una bola roja, cual es la probabilidad que esta bola provenga de la urna A?

84. Redes bayesianas

85. Ejercicios

87. Factorial

88. Factorial

89. Factorial en MS EXCEL Se calcula utilizando la función FACT

90. Factorial en MATLAB FACTORIAL(N): como los números de doble precision solo almacenan 15 dígitos, la respuesta es exacta para N ≤ 21. Si N>21, la respuesta solo será aproximada.

91. La función gamma La función gamma en MS EXCEL y en MATLAB

92. Es el número de arreglos en un orden en particular de los elementos que forman un conjunto. De cuantas formas diferentes se pueden ubicar a, b y c? a b c a c b b a c b c a c a b c b a Permutación P(n,r) Para la primera posición se escoje cualquiera de las letras Para la segunda posición se puede escoger dos letras para la primera posición Para la última posición se escoje la letra restante En este caso tenemos 3x2x1 = 6 posibilidades

93. Permutación P(n,r)

94. Combinatoria C(n,r) De los objetos de un conjunto, es una selección de estos sin importar el orden. Se divide por r ! ya que en cada combinación existen r ! permutaciones

95. Ejemplo Supongamos que el grupo de probabilidad y estadística está formado por 35 estudiantes. Cuantos grupos de tres estudiantes podrían formarse para hacer un trabajo? La solución es

96. Combinatoria vs Permutación La diferencia entre una permutación y una combinatoria es que en la primera el interés se centra en contar todas las posibles selecciones y todos los arreglos de estas, mientras que en la segunda el interés sólo recae en contar el número de selecciones diferentes. Ejemplo: abc y acb son diferentes permutaciones pero son iguales combinación de las letras

97. Permutación y combinación en MS EXCEL y MATLAB

98. Ejemplo

99. Ejemplo

100. Ejemplo

101. Ejemplo