Mecanica del medio continuo 1

1
1

GEOLOGIA ESTRUCTURAL
AVANZADA

Dr. Luis Mariano Cerca Martínez
Consultor Intercade

2

INDICE
1. Introducción
2. Nociones fundamentales de mecánica de materiales geológicos
• Continuum mechanics y esfuerzos
3. Estados de esfuerzos en la corteza
4. Reología
• Elasticidad (66), plasticidad (70), Est. experimentales (116), viscosidad
5. Introducción a la deformación
• Cinemática
6. Ejemplos de deformación en la corte
• Deformación frágil o quebradiza: fallas y diaclasas
• Deformación dúctil: pliegues y foliaciones
• Estructura general de zonas de acortamiento en la corteza
• Estructura general de zonas de extensión en la corteza
• Técnicas y herramientas de cartografía estructural
– Cartografía geológica, intersección de planos, proyecciones estereográficas
• Taller con software libre
7. Bibliografía

Dr. Luis Mariano Cerca Martínez - lcerca@expo.intercade.org – Consultor Intercade

INTERCADE www.intercade.org
CONSULTANCY & TRAINING

2
3

INTRODUCCION


4

PRACTICAS MODERNAS EN GEOLOGIA
ESTRUCTURAL
OBSERVACIONES DE
CAMPO
Mapas
Fotografías
Mediciones
Descripciones

Idealización VISUALIZACION
Relaciones Gráficas
fundamentales Mapas
Ecuaciones que Animaciones
gobiernan el sistema

SOLUCION
Analítica
Numérica
Analógica
Inversión



3
5

1.er orden: MAPA
SYMBOLS Undifferential rocks Silicic and andesitic
Miocene-Recent Volcanic centers

2.º orden: SECCION
Major Strike-Stip Fault
Eocene-Olgacene
Interred Strike-Slp Fault Major Thrust Intrusives
Undiferentiated in agel
Inferred Thrust
S - Stratification
Anticline Continental sediments
And volcanic rocks
Overtumed anidine
Maastrichtian-Ecoene
S - Foliation
Telecingo Balsas and
Oapan Fm
Camparian - Eocene

Arcelia-Palmar Chico Tejulpico Anticlinorium PGM 18º 00’
Reeñal Limestone Amabepac Petagic Mezcala Flysh
And redbeds Limestone Turonisn-Msastrichtian
Aptian-Cenomarian Aptian-Cenomanian
Morelos Plataform Limestone Teloloapan Arc
San Lucas Flysh Metamorphic Aptian-Cenomanian Huetamo-Arcelia Palmar Chico basin Guerrero-Morelos Platform
Metamorphic Paleozoic
Berriasian-Barrerrian Volcanic rocks 99º 45’
Early Cretaceous Zicapa Formation basement
Massive and pilow lavas Early Cretaceous Tejupilco Anticlinorium
Metamorphic
With petagic limestone Volcanic lastic rocks Tecocoyunca Group
Aptian-Turonian Early Cretaceous ? Jurassic
Sedimentary pelagic rocks TejupilcoSchist Acatilan complex
Vlanginian-Hauterivian Jurassic ? Paleozoic

+ restricciones geológicas empíricas (datos duros)

3.er orden:
CONCEPTUAL
TEORICO

Cerca et al., 2007


6

El modelado matemático (numérico) es necesario
para generalizar nuestro conocimiento de procesos
geológicos y hacer predicciones bajo condiciones o
circunstancias específicas.



4
7

El modelado analógico es un conjunto de
experimentos físicos controlados que sirven para
explorar y observar sistemáticamente fenómenos, y
pueden servir como una base para el modelo
geológico y verificarlo.
17 cm

25 cm

d
f

f


8

Un buen modelo mecánico nos da información valiosa
sobre la estructura geológica.
basin 2 basin 1
weak zone 2 weak zone 1 Model Laramide 04

wide inversion narrow inversion
cratonic area

lower crust detachment
and foreland transport of
The inverted basin advancing wall
opposite vergence
of the narrow basin
Simulated materials

Brittle upper crust

Lower ductile crust

Weak ductile lower crust

Brittle upper lithospheric mantle

Weak ductile lithosphere mantle

Lower ductile lithosphere mantle

Fuente: Cerca et ál., 2010, Lithosphere


5
9

Un buen modelo mecánico nos da información valiosa
sobre la estructura geológica.
Algunas consideraciones
Proceso mecánico (resistencia relativa de los
materiales geológicos).
• Geometría
• Cinemática
• Dinámica (reológico)

No se consideran otros factores que pueden afectar el
resultado de la deformación.
• Evolución térmica
• Cambios de fases
Fuente: Cerca et ál., 2010, Lithosphere

10

NOCIONES FUNDAMENTALES
DE MECANICA
DE MATERIALES GEOLOGICOS



6
11

NOCIONES FUNDAMENTALES
DE MECANICA

Dimensiones y magnitudes del Sistema Internacional (SI)
Escalares, vectores y tensores
Fuerza, momento de una fuerza
Diagramas de cuerpo libre
Cuerpos rígidos y deformables


12

CANTIDADES FISICAS Y EL CONTINUUM

Importancia de la cuantificación
Medir cantidades físicas y expresarlas en números
El continuum, una idealización matemática con
cantidades de campo que se pueden medir en una roca
Cantidades físicas fundamentales: longitud (L), masa
(M), tiempo (T) y temperatura
Unidades de medición: el sistema SI



7
13

EL CONTINUUM

Una idealización o abstracción de la naturaleza
Tiempo y espacio como continuos
Material continuo


14

GRAFICA DE DENSIDAD CONTRA ESCALA
Mass Density, kg/m3

rock mass
density

continuum mass
density
lattice
defect pore

molecular grain rock crustal
Length Scale



8
15

CANTIDADES FISICAS Y EL CONTINUUM

Cuatro cantidades fundamentales para los sistemas
mecánicos:
Longitud
Masa
Tiempo
Temperatura
Estas están asociadas con objetos o aparatos que tienen
una metodología establecida.
No es útil el número, sino el número asociado a una
unidad de medición apropiada.


16

DEFINICIONES DE LAS UNIDADES BASICAS

Kelvin (K). Temperatura termodinámica correspondiente
a la fracción 1/273.15 de la temperatura termodinámica
del agua.

Segundo (s). El segundo es la duración de 9 192 631
770 periodos de la radiación correspondiente a la
transición entre los dos niveles hiperfinos del estado
fundamental del átomo de cesio 133.



9
17


Metro (m). Un metro es la longitud de trayecto recorrido
en el vacío por la luz durante un tiempo de 1/299 792 458
de segundo.

Kilogramo (kg). Un kilogramo es una masa igual a la
masa del prototipo internacional del kilogramo cilindro de
platino e iridio, almacenado en una caja fuerte de la
Oficina Internacional de Pesos y Medidas.


18


Amperio (A). Intensidad de una corriente constante que
manteniéndose entre dos conductores paralelos,
rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular
despreciable y situados a una distancia de un metro uno
de otro en el vacío, produciría una fuerza igual a 2 x 107
newton por metro de longitud.

Mol (mol). Un mol es la cantidad de sustancia de un
sistema que contiene tantas entidades elementales como
átomos hay en 0,012 kilogramos de carbono 12. Cuando
se emplea el mol, es necesario especificar las unidades
elementales, que pueden ser átomos, moléculas, iones,
electrones u otras partículas o grupos específicos de tales
partículas.


10
19


Candela (cd). Una candela es la intensidad luminosa, en
una dirección dada, de una fuente que emite una radiación
monocromática de frecuencia 540•1012 hertz y cuya
intensidad energética en dicha dirección es 1/683 vatios
por estereorradián.


20

Ejemplos de unidades derivadas del SI
Cantidad Unidad
Nombre (símbolo) Equivalencia
Simbolo
Angulo plano
Ángulo plano radian
radián rad m/m=1
Angulo sólido
Ángulo sólido estereorradián
estereorradian sr m2/m2 =1
Velocidad m/s
Aceleración m/s2
Velocidad angular rad/s
Aceleración angular rad/s2
Frecuencia hertz Hz s-1
Fuerza newton N kg—m/s2
Presión, esfuerzo pascal Pa N/m2
Temperatura Celsius grado Celsius °C K
Flujo luminoso lumen lm cd—sr
Iluminancia lux lx lm/m2
Radioactividad becquerel Bq s-1



11
Prefijos del SI 21

Factor Prefijo Símbolo
Simbolo Factor Prefijo Símbolo
Simbolo

1024 yotta Y 10-1 deci d

1021 zetta Z 10-2 centi c

1018 exa E 10-3 milli m

1015 peta P 10-6 micro

1012 tera T 10-9 nano n

109 giga G 10-12 pico p

106 mega M 10-15 femto f

103 kilo k 10-18 atto a

102 hecto h 10-21 zepto z

101 deka da 10-24 yocto y


22
Unidades aceptadas para uso con SI

Cantidad Unidad

Nombre Simbolo
Símbolo Definición

Tiempo minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h=60 min=3600 s

día d 1 d=24 h=86 400 s

Ángulo plano grado ° 1°=(π/180) rad

minuto ′ 1 =(1/60)°=(π/10 800) rad

1 =(1/60)′ =( π/648 000)
segundo ″
rad

Volumen litro L 1 L=1 dm3 =10-3 m3

Ton
Masa t 1 t=1000 kg
métrica



12
23

unit weight
1m = 26,670 N/m3

Newton y pascal
en contexto stress on base
geológico = 26,670 N/m2
1000m

998

999

stress on base of column
1000
≈ 27 MN/m2 = 27 MPa


24

ECUACIONES DIMENSIONALMENTE
HOMOGENEAS
Área, A {=}
L2
Volumen, V {=}
L3
Desplazamiento, u {=} L
Velocidad, v {=} L
T-1
Aceleración, a {=} L
T-2
Densidad, ρ {=}
M L -3
Fuerza, F {=}
M L T -2
Esfuerzo, σ {=}
M L -1 T -2
Expansión térmica, α {=}
Θ -1
3.14159265…, π {=} 1



13
25

ANALISIS DIMENSIONAL

Pa kt atmosphere
∆E:= .2α(TW Ta ( sea waterç: TW , PW
π
Pa Pw
∆E

Cambio de elevación: ∆E {=} L
Densidad: ρa y ρw {=} M L-3 plate
oceanic
motion
Temperatura: Ta y Tw {=} Θ lithosphere

Expansión térmica: α {=} Θ-1
Difusividad térmica: k {=} L2 T-1 magma flow
Tiempo: t {=} T
aesthenosphere: Ta , Pa


26

MEDICIONES DE DESPLAZAMIENTO
A LO LARGO DE UNA FALLA

b) X

100 m

O
W

Y
Offset, O, is
exaggerated.



14
27

ECUACION DE DESPLAZAMIENTO
RELATIVO 2D EN UN MATERIAL ELASTICO

1-v 2 2
∆u:= 2∆ σ a - x
G
u {=} L

Coordenada: x {=} L


28

ECUACIONES Y GRAFICAS
ADIMENSIONALES

(a) (c) ∆u/a
fault #3
C3
o(m)
0.4 fault #2
C2

fault #1
a. Graficar datos de
0.2 C1 campo o laboratorio
x(m) x/a
0.0
0 100 200 300 400 -1.0 0.0 +1.0

(b) ∆u(m) (d)
∆uG/2∆σa(1 - v)
0.4 m
+1.0

0.2 m
x(m) x/a
-192m 0.0 +192m -1.0 0.0 +1.0



15
29

ECUACIONES Y GRAFICAS
ADIMENSIONALES

(a) (c) ∆u/a b. Establecer una
fault #3
C3
o(m)
fault #2
estrategia de graficado
0.4 C2
para simplificar la
fault #1
0.2 C1 ecuación
x(m) x/a
0.0
0 100 200 300 400 -1.0 0.0 +1.0

(b) ∆u(m) (d)
∆uG/2∆σa(1 - v)
0.4 m
+1.0

0.2 m
x(m) x/a
-192m 0.0 +192m -1.0 0.0 +1.0


30

c. Generalizar dividiendo los
desplazamientos entre la
longitud media de la falla
para poder comparar
datos de diferentes fallas (a) (c) ∆u/a
fault #3
C3
o(m)
0.4 fault #2
C2

fault #1
0.2 C1
x(m) x/a
0.0
0 100 200 300 400 -1.0 0.0 +1.0

(b) ∆u(m) (d)
∆uG/2∆σa(1 - v)
0.4 m
+1.0

0.2 m
x(m) x/a
-192m 0.0 +192m -1.0 0.0 +1.0



16
31

d. Construir el modelo más
genérico posible
(a) (c) ∆u/a
fault #3
C3
o(m)
0.4 fault #2
C2

fault #1
0.2 C1
x(m) x/a
0.0
0 100 200 300 400 -1.0 0.0 +1.0

(b) ∆u(m) (d)
∆uG/2∆σa(1 - v)
0.4 m
+1.0

0.2 m
x(m) x/a
-192m 0.0 +192m -1.0 0.0 +1.0


32

ESTADOS DE ESFUERZO
EN LA CORTEZA



17
33

ESCALAR, VECTOR Y TENSOR

¿Qué son?


34

a) Fuerza
b) Momento de una fuerza, torque
c) Tracción
d) Tensor de esfuerzos
a) b) y σyy
y F σyx
σyz
f σxy
a σzy
σzx σxx
z r x σxz
x
m σzz
z T d) y
point
volumen

c) t(n)
n x

z

t(n) n
area



18
35

a) Fuerza de cuerpo, b) Secuencia de volúmenes finitos
δy i =1
a) b)
i =2
b δz

i =3
dv

z δv P
z δx
y
y
x
x
δf3
δf2 δf
1

pb dv= ex pbx dv + e y pby dv + e z pbz dv
δV δV δV δV

z2 y2 x2 δfn
pb dx dy dz
b := lim
n ∞ PnδVn
z1 y1 x1


36

Para la mayoría de los problemas geológicos, b = g.
bx = 0
by = 0
bz = -g*
g* = 9.80665 m/s2

z2 y2 x2
pbZ dx dy dz = -pgδxδyδz γ∗
= - γ∗V
z1 y1 x1

ρbx = 0, by =0, bz = -g*



19
37

Fuerzas de superficie: tracción, t(n)

x δτ δf
δA
δfn
lim P P
t (n) = - δA n
n ∞

n
δτn
P
lim
δA n = 0
n ∞ Rock mass
S


38

a) Superficies con diferente curvatura, pero n y t(n) similar
b) Superficies con diferentes n y diferentes tracciones sin
importar su curvatura



20
39

TRACCIONES IGUALES EN MAGNITUD PERO
DE SENTIDO OPUESTO: LA TERCERA
LEY DE NEWTON
a) b)
t[n(1)]
part 2 Surface, S
n(1)
part 2
P
part 1 Surface, S part 1 P

n(2)

t[n(2)]

t[n(2)] = -t[n(1)]

40

La conceptualización del vector de tracción es un gran
logro en el desarrollo de la mecánica del continuum.

Es un vector que actúa en un punto en una superficie
real o imaginaria de orientación arbitraria, especificado
por el vector normal, en el interior o exterior de un
cuerpo.
Mide la relación restrictiva entre la fuerza resultante y
la fuerza de superficie en un “parche”, cuando este
“parche” se vuelve un punto.
Diferentes superficies con la misma orientación tienen
el mismo vector de tracción en un punto común, pero
superficies con diferente orientación tienen diferentes
tracciones en el mismo punto común.



21
41

La conceptualización del vector de tracción es un gran
logro en el desarrollo de la mecánica del continuum.

El vector de tracción puede variar en orientación de
normal a tangencial en la superficie.
La tracción en un punto sobre una superficie es igual
pero opuesto a la tracción que actúa al mismo tiempo
en la misma superficie, pero con vector normal opuesto
Las dimensiones físicas de tracción son fuerza por
área M L T-2 L-2= M L-1 T-2.
Las unidades SI son N m-2 = Pa.


42

EVIDENCIAS SOBRE EL ESTADO
DE ESFUERZOS EN LA NATURALEZA
TEORIA Y PRACTICA
Vertical stress,σv (Mpa)
0 20 40 60 80
0
Depth below surface, z (m)

1000

σv = 0.027z

2000

3000

Hoek and Brown 1978



22
43

DESCRIPCION DE LOS ESFUERZOS
INDUCIDOS POR LA EXCAVACION
DE UN TUNEL

Vertical in situ stress σv

Maximum principal stress σ1 / σv

4
Horizontal in situ stress

Horizontal in situ stress σ 3
h2
8
1
2
0
σh1 1.2
Horizontal
tunnel

0.6 1.0
Induced principal stresses 0.8
1.2 1.0
Miximum principal stress σ3 / σ v

σh1equal to 3σv

44

EVIDENCIAS SOBRE EL ESTADO
DE ESFUERZOS EN LA NATURALEZA

La presión de
magma es
suficiente para
fracturar la roca
encajonante.



23
45

EL TENSOR DE ESFUERZOS

Cuando la t(a) empuja, el esfuerzo es compresivo
(negativo).
Cuando t(b) jala, el esfuerzo de tensión (positivo).
El tensor tiene componentes normales de esfuerzo,
cambio de dirección y magnitud de los esfuerzos.
El elemento C tiene tracciones oblicuas.


46

RELACION ENTRE TRACCION Y ESFUERZO

tx(c)=-tx(a), ty(c)=-ty(a),

Componente normal de
esfuerzo
Sobre planos opuestos
perpendiculares a x, en
dirección paralela a x.
Componente de cizalla
Sobre planos opuestos
perpendiculares a x, en
dirección paralela a y.
Tensión (+)
Compresión (-)



24
47

TENSOR DE ESFUERZOS EN VOLUMEN

El estado de esfuerzos está
definido por nueve
componentes, seis de los
cuales son independientes.
De los seis vectores de
tracción, tres son
independientes.


48

EQUILIBRIO DE FUERZAS

Las fuerzas en los tres ejes
coordinados se balancean en un
estado homogéneo de esfuerzos.
La condición de equilibrio de
fuerzas no restringe los
componentes de esfuerzo.

Fuerzas en el lado -x Fuerzas en el lado x
- σxx δy δ z - σxy δ y δ z σxx δ y δ z σxy δ y δ z

- σxz δ y δ z x=-½δx σxz δ y δ z x= ½δx



25
49

EQUILIBRIO DE MOMENTOS

Momento alrededor del eje z:
esfuerzo x área x brazo.

El momento es cero solo si los
dos esfuerzos de cizallamiento
son iguales.


50

σxx σxy σxz
σyx σyy σyz
Representación del
estado de esfuerzos como σzx σzy σzz
matriz simétrica



26
51

EL ESTADO DE ESFUERZOS

Tensor de segundo orden
Se define completamente por los σij = σji
nueve componentes, de los cuales
solo seis son independientes. i=1,2,3
Debe incluir la unidad de medición j=1,2,3
apropiada y las tres coordenadas
del punto. σ11 σ12 σ13
T, si el estado de esfuerzos es σ21 σ22 σ23
función del tiempo.
σ31 σ32 σ33


52

FORMULA DE CAUCHY

=0



27
53

VARIACION DE LA TRACCION RESPECTO
A LA ORIENTACION DE LA SUPERFICIE

Tetraedro de Cauchy

Los ángulos de dirección
son los menores respecto
a los ejes.

nx = cosαx

ny = cosαy

nz = cosαz


54

VARIACION DE LA TRACCION RESPECTO
A LA ORIENTACION DE LA SUPERFICIE

Tetraedro de Cauchy
Componentes de n

(nx)2 +(ny)2+(nz)2

δ A = δ A .|nx|

δ A = δ A .|ny|

δ A = δ A .|nz|



28
55

VECTORES DE TRACCION ACTUANDO
PARALELOS A LOS EJES DE COORDENADAS

(t1,0,0), (0,t2,0), (0,0,t3)
En equilibrio estático, la
fuerza neta en cada
dirección coordenada es
cero (F = ma) y a = 0.

Σfx = δ A . [tx . (n)]+ t1 . δ A

Σfx = δ A . [tx . (n)]- t1 . δ A


56

ELIPSE EN ESPACIO DE TRACCION

tx(n) = t1nx ty(n) = t2ny ty(n) = t3nz



29
57

ELIPSE EN ESPACIO DE TRACCION

Casos especiales
t1 ≥ t2 = t3 elipse prolata como cigarro
t1 = t2 ≥ t3 elipse oblata como tortilla
t1 = t2 = t3 esfera


58

ELIPSOIDE DE LAME



30
59

RELACION 3D ENTRE T(N) Y N
EN CUALQUIER SUPERFICIE
Ángulo menor (θ)
t = (t*n)n + nx(txn)
Descompone t en normal y
tangente a la superficie.
Para calcular la componente
normal de t, la componente
paralela de cualquier vector
paralelo a un vector unitario
está dada por su producto
escalar.
|t*n| = |tn| cosθ = |t| cosθ = tn Ojo: Puede ser positivo o
negativo y dependiendo de su
signo empuja o jala.


60

COMPONENTE NORMAL DE T
t*n = txnx +tyny +tznz

Usando la fórmula de Cauchy

tn = σx (nx) 2 + σyy(ny)2 + σzz(nz)2 + 2σxynxny + 2σyznynz = 2σzxnztn = σxx(nx)2 + σyy(ny)2 + σzz(nz)2 + 2σxynxny +2σyznynz + 2σzxnznx

Dado el estado de esfuerzos y la orientación de una
superficie en un punto, esta ecuación se utiliza para
calcular el componente normal del vector de tracción.



31
61

COMPONENTE DE CIZALLA DE T
|t x n| = |t| |n| senθ = |t | sen θ = |ts|
Esta cantidad es siempre positiva, no podemos distinguir
signos positivos o negativos.
|t x n| es perpendicular al plano definido por t y n, y está
sobre el área en la que actúa t.
t x n = (tynz-tzny)ex+(tznx-txnz)ey+(txny-tynx)ez

n x (t x n) = [1-(nx)2]tx-nxnztz-nxnztz]ex+[-nxnytx+[1-(ny)2]ty-nynztz]ey+[-nznxtx-nznyty+[1-(nz)2]tz]ez

Solución de la
tracción sobre la
superficie con
vector normal n.
|ts|= |t|2 - |tn|2

62

SOLUCION 2D

tn = tx cosαx + ty sen αx
ts = -tx sen αx + ty cos αx

tn = σxxcos2 αx + σyy sen2 αx + 2σxysenαxcosαx

ts = -(σxx-σyy)senαxcosαx + σxy(cos2αx – sen2αx)



32
63

VALORES Y EJES DE LOS ESFUERZOS
PRINCIPALES

tx(n) =σnn nx
ty(n) = σnn ny
tz(n) = σnnnz

(σxx - σnn)nx + σyxny + σzxnz = 0
σxynx + (σyy- σnn)ny + σzynz = 0
σxznx + σyzny + (σzz- σnn)nz =0

(nx)2 + (ny)2 + (nz)2 - 1


64

TRES ESFUERZOS PRINCIPALES

σ xx – σ nn σyx σzx
σxy σ yy – σ nn σzy
σxz σyz σ zz – σ nn

-(σnn)3+(σxx+ σyy+ σzz)(σnn)2-[σxxσyy+σyyσzz+σzzσxx-(σxy)2-(σyz)2-(σzx)2] σnn+[σxxσyyσzz+2σxyσyz σzx-
σxx(σyz)2-σyy(σzx)2-σzz(σxy)2] = 0

Tres raíces: S1>=s2>=s1



33
65

¿Qué pasa cuando aplicamos una fuerza a un cuerpo,
es posible que este se deforme (cambie de forma)?

Change in relative displacement during deformation
Undeformed

u + δu
δx

δu
u
x + δx
x Deformed


66

Las ecuaciones constitutivas nos dan la relación entre
los esfuerzos y las deformaciones.

La relación más sencilla entre estos procesos es una
relación lineal.

Esto nos lleva a lo que llamamos materiales linealmente
elásticos.

Si tenemos otro tipo de relación, podemos referirnos a
materiales plásticos, viscosos (newtonianos y no
newtonianos), elastoplásticos, etc.



34
67

REOLOGIA DE LAS ROCAS
(COMPORTAMIENTO MECANICO)

Deformación elástica. Es la deformación recuperable
instantáneamente al remover el esfuerzo.


68

Un material isotrópico homogéneo elástico obedece la ley
de Hooke.
σ = Ee

Stress

dx
E (módulo de Young). Mide la “firmeza” del material en
experimentos.



35
69

Recordando otros módulos elásticos de utilidad

Razón de Poisson (ν). Es la cantidad que el material se
abulta en una dirección, mientras se encoge en la otra:
elat./elong. Un valor típico para rocas es 0,25 y para el agua
es 0,5.
Módulo de rigidez (G). Resistencia al corte.
Módulo volumétrico o compresibilidad (K).
Resistencia al cambio de volumen.


70

La relación más general para el caso de elasticidad lineal
es la siguiente:

σ ij = c ijkl e kl

Donde

Es el tensor de deformación (no nos preocuparemos de
los elementos por ahora).


36
71

Las constantes c ijkl, nos dan la relación de proporcionalidad;
se conocen como módulos elásticos y describen el
comportamiento del cuerpo.

Como los subíndices van de 1 a 3, entonces tenemos en
el caso más general 34 o sea 81 constantes.

¿Qué podemos hacer para operar con esto?

(Y este es el caso más simple…)


72

Por fortuna como los tensores de esfuerzo y
deformación son simétricos, tenemos lo siguiente:

c ijkl = c jikl c ijkl = c jilk
Esto nos reduce el número de 81 a 36 constantes.

Las condiciones de preservación de la energía de
deformación nos lleva a otro tipo de simetría.

c ijkl = c klij
Lo cual reduce el problema a 21 constantes; este es el
caso conocido como anisotropía general, pero notar
que sigue siendo elástico lineal.



37
73

Por último, si consideramos que el medio tiene las
mismas propiedades sin importar la dirección, entonces
estamos en el caso de isotropía lineal.
Esto nos reduce considerablemente el problema, ya que
solo requerimos de dos constantes (módulos elásticos)
independientes.

Estos módulos pueden ser dos de varias posibilidades; de
acuerdo a lo que podamos o queramos medir.

Ejemplos

λ, µ ; Ε, G ; ν, Κ


74

Si usamos las constantes de Lamé (λ, µ )

Cijkl = λ δ ij δ kl + µ (δ ik δ jl + δ il δ jk)

σjkl = λekk δ ij+ 2µeij = λθ δ ij +2 µeij

Por ejemplo, podemos calcular lo siguiente:

σ11 = λθ + 2µe11 and σ12 = 2µe12

µ se conoce como la rigidez del medio (resistencia al
esfuerzo de corte).

θ es la dilatancia (qué tanto se expande o se contrae el
cuerpo).


38
75

Si queremos módulos que podemos medir en el
laboratorio, entonces podemos usar µ y K.

K es el módulo de incompresibilidad que resulta si
sometemos el cuerpo a una presión litostática de forma
que lo que medimos es la razón entre la presión y el
cambio de volumen (dilatancia o θ).
dσij = - dp δ jk
Si

- dp δ ij = λdθ δ ij + 2µdeij
Entonces

Lo que nos da


76

RELACION ENTRE DIFERENTES MODULOS
ELASTICOS



39
77

ELASTICIDAD VS. PLASTICIDAD

Elástico: Ley de
Hooke, “As the
extension, so the Stress X
Fracture
force”. Plastic region
Plástico:
Deformación no
recuperable en un
material. Elastic region

Strain


78

MODELOS REOLOGICOS



40
79

COMPORTAMIENTO QUEBRADIZO

Un material es
quebradizo si tiende
a la ruptura cuando
se le aplica un
esfuerzo.


80

TRES TIPOS DE FRACTURA



Mecanica del medio continuo 1

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