2. Introducción
Las soluciones matemáticas para el cálculo de impedancias en las
líneas de transmisión son laboriosas. En consecuencia, se
acostumbra usar gráficas.
Hay varias gráficas en las que se presentan las propiedades de las
líneas de transmisión. Sin embargo, las más útiles son aquellas
que expresan las relaciones de impedancia que existen a lo largo
de una línea de transmisión sin pérdida, para diversas
condiciones de carga. El diagrama de Smith es la calculadora
más usada en líneas de transmisión de este tipo. Es un tipo
especial de sistema de coordenadas de impedancia, que retrata la
relación entre la impedancia en cualquier punto a lo largo de una
línea de transmisión uniforme, y la impedancia en cualquier otro
punto de la línea.

3. Deducción
La impedancia de una línea de transmisión está formada por
componentes real e imaginario de cualquier signo (Z = R +/- jX).
Todos los valores de Z que corresponden a redes pasivas se deben
graficar en o hacia la derecha del eje imaginario del plano Z; esto
se debe a que un componente real negativo implica que la red es
capaz de suministrar energía. Para mostrar la impedancia de
todas las redes pasivas posibles en una gráfica rectangular, esa
gráfica se debería prolongar al infinito en tres
direcciones, +R, +jX y –jX. El diagrama de Smith supera esta
limitación, porque se gráfica el coeficiente de reflexión
complejo,
Γ = z – 1/z + 1

4. en donde z es la impedancia normalizada a la impedancia
característica, es decir, z = Z/Zo. De acuerdo con la primer
ecuación, para todos los valores z de impedancia pasiva, la
magnitud de Γ está entre 0 y 1. También, como lΓl ≤ 1, todo el
lado derecho del plano z se puede trazar en un área circular en el
plano Γ. El círculo que resulta tiene un radio r = 1 y su centro está
en Γ = 0, lo cual corresponde a z = 1 o a Z = Zo.

5. Líneas de Re (z) constante:

6. La figura a) muestra la gráfica rectangular de cuatro líneas de
resistencia constante Re(z) = 0, 0.5, 1 y 2. Por ejemplo, toda
impedancia cuya parte real sea Re = 1, estará en la recta R = 1.
Ahora en la figura b) Re(z) son círculos de Re(Γ). La diferencia
principal entre las dos gráficas es que en la gráfica circular las
líneas ya no se prolongan al infinito.

7. Líneas de X(z) constante:

8. La figura a) muestra la gráfica rectangular de tres líneas de
reactancia inductiva constante, X = 0.5, 1 y 2, tres líneas de
reactancia capacitiva constante, X = -0.5, -1 y -2, y una línea de
reactancia cero, X = 0. La figura b) muestra los mismos siete
valores de jX, graficados en el plano Γ. Todo el plano rectangular
z se enrosca hacia la derecha, y sus tres ejes, que antes se
prolongaban al infinito, se encuentran en la intersección del
círculo Γ = 1 con el eje horizontal.

9. Graficación de la impedancia y
SWR
Toda impedancia Z se puede graficar en el diagrama de Smith
sólo normalizando su valor respecto a la impedancia
característica, es decir, z = Z/Zo, y graficando las partes real e
imaginaria. Por ejemplo, para una impedancia característica Zo =
50 Ω y una impedancia resistiva Z = 25 Ω, la impedancia
normalizada z se calcula como sigue
z = Z/Zo = 25/50 = 0.5
Como z es puramente resistiva, esta gráfica debe estar
directamente sobre el eje horizontal.

11. Una característica muy importante del diagrama de Smith es que
cualquier línea sin pérdida se puede representar por un círculo
con origen en 1 +/- j0, el centro de la gráfica, y con radio igual a la
distancia entre el origen y la gráfica de impedancia. Por
consiguiente, la relación de onda estacionaria (SWR) que
corresponde a algún círculo determinado es igual al valor de
Z/Zo en el que el círculo cruza el eje horizontal al lado derecho
de la gráfica. En consecuencia, para este ejemplo, SWR = 2.

12. Para una impedancia característica Zo = 50 Ω y una carga
inductiva Z = +j25, la impedancia normalizada z se determina
como sigue:
z = +j25/50 = +j0.5
Como z es puramente inductiva, su gráfica debe estar en el eje R
= 0, que es el círculo exterior de la gráfica (punto A). En este
ejemplo, SWR debe estar en el extremo derecho del eje
horizontal (punto C ) y corresponde a SWR = ∞, inevitable para
una carga puramente reactiva.

14. Para una impedancia compleja Z = 25 + j25, z se determina como
sigue:
z = 25 + j25/50 = 0.5 + j0.5
La impedancia z se determina en la gráfica de Smith ubicando el
punto donde el arco R = 0.5 intersecta el arco X = 0.5 en la mitad
superior de la gráfica. En la siguiente figura se grafica el punto z
= 0.5 + j0.5 en el punto A. Según esta gráfica, SWR es
aproximadamente 2.6 (punto C).

16. Impedancia de entrada
Con la gráfica de Smith se puede determinar la impedancia de
entrada de una línea de transmisión a cualquier distancia de la
carga. Las dos escalas externas de la gráfica de Smith indican la
distancia, en longitudes de onda. La escala externa muestra la
distancia de la carga al generador, y aumenta en dirección de las
manecillas del reloj, y la segunda escala muestra la distancia de la
fuente a la carga y aumenta en dirección contraria a las
manecillas del reloj. Sin embargo, ninguna de las escalas indica
necesariamente la posición de la fuente o de la carga. Una
revolución completa (360°) representa una distancia de la mitad
de una longitud de onda (0.5λ), y la mitad de una revolución
(180°) representa una distancia de un cuarto de longitud de onda
(0.25λ), etcétera.

17. Por ejemplo, para una impedancia de carga ZL = 37.5 Ω, y una
impedancia característica de línea de transmisión Zo = 75 Ω, la
impedancia de entrada a varias distancias de la carga se
determina como sigue,
z = ZL/Zo = 37.5/75 = 0.5
Se grafica z = 0.5 en la gráfica de Smith (punto A). Se traza un
círculo que pase por el punto A, con su centro ubicado en la
intersección del círculo R = 1 y el arco x = 0.
Se lee SWR en forma directa en la intersección del círculo z
= 0.5 con la recta X = 0 en el lado derecho (punto F). En
este caso, SWR = 2. Con el círculo de impedancia se
pueden describir todas las impedancias a lo largo de la
línea de transmisión.

19. Por consiguiente, la impedancia de entrada (Zi), a la distancia a
la queremos ubicarla que es de 0.125λ de la carga, se determina
proyectando el círculo z hasta el exterior de la gráfica; el punto A
se mueve hacia su posición correspondiente en la escala externa
(punto B), y recorriendo la escala en dirección de las manecillas
del reloj, a una distancia de 0.125λ.
Se da la vuelta del punto B hasta una distancia igual a la longitud
de la línea de transmisión (punto C). Se proyecta este punto a
una posición correspondiente en el círculo z = 0.5 (punto D).

20. La impedancia de entrada normalizada está en el punto D (0.8 +
j0.6). La impedancia real se determina multiplicando la
impedancia normalizada por la impedancia característica de la
línea. Entonces, la impedancia de entrada Zi es:
Zi = (0.8 + j0.6) x 75 = 60 + j45
Para distancias mayores que 0.5λ se continúa girando sobre el
círculo, y cada giro completo corresponde a 0.5λ.

21. Línea de acoplamiento
mediante stub
Los stub en corto y abiertos se pueden usar para cancelar la parte
reactiva de una impedancia compleja de carga, y con ello acoplar
la carga a la línea de transmisión. Se prefieren los stub en
corto, porque los abiertos tienen mayor tendencia a irradiar.
El acoplamiento de una carga compleja ZL = 50 – j100 a una línea
de transmisión de 75 Ω, usando un stub en corto, se hace en
forma muy sencilla con un diagrama de Smith. El procedimiento
es:
z = 50 – j100/75 = 0.67 – j1.33

22. Se grafica z = 0.67 – j1.33 en la gráfica de Smith (punto A), y se
traza el círculo de impedancia. Como los stub están en paralelo
con la carga, se usan admitancias, más que impedancias, para
simplificar los cálculos.
La admitancia normalizada y se determina en la gráfica de Smith
girando 180° la gráfica de impedancia z. Para ello se traza una
recta del punto A que pase por el centro de la gráfica, hasta el
lado opuesto del círculo (punto B).
Se gira el punto de admitancia en sentido de las manecillas del
reloj hasta un punto sobre el círculo de impedancia donde cruce
el círculo R = 1 (punto C). El componente real de la impedancia
de entrada en este punto es igual a la impedancia característica
Zo; Zent = R +/- jX, donde R = Zo. En el punto C, la admitancia
es y = 1 + j1.7

24. La distancia del punto B al punto C es la que debe haber entre la
carga y el stub. Para este ejemplo, la distancia es 0.18λ – 0.09λ =
0.09λ. El stub debe tener impedancia con componente resistivo
cero, y con una susceptancia que tenga la polaridad opuesta, es
decir, ys = 0 – j1.7.
Para determinar la longitud del stub con admitancia ys = 0 –
j1.7, se avanza por el círculo externo (donde R = 0), con una
longitud de onda identificada en el punto D, hasta que se
determine una admitancia y = 1.7 (el valor de la longitud de onda
se identifica en el punto E). Se comienza en D, porque un stub
en corto tiene resistencia mínima (R = 0). La distancia del
punto D al punto E es la longitud del stub. Es decir, 0.334λ –
0.25λ = 0.084λ.