Galileo y el movimiento inercial

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UNIDAD 2

La audaz propuesta de Galileo de que, por principio, el
movimiento no se siente, y su singular manera de interrogar
a la naturaleza mediante experimentos mentales y reales
cuidadosamente ejecutados y hábilmente concebidos,
habría de trastocar el orden establecido por la filosofía
escolástica sobre el carácter natural o violento del
movimiento de los cuerpos, y de sus causas y efectos, para
sentar las bases de una nueva dinámica.

Los descubrimientos de Kepler sobre regularidades del
movimiento planetario y su revolucionaria abolición del
axioma de la circularidad en favor de las trayectorias
elípticas, constituyen las bases sobre las que Newton habrá
de sintetizar en una sola teoría de carácter universal, de
rigor matemático y gran capacidad predictiva, la solución al
problema del movimiento de los cuerpos, definiendo los
parámetros y la metodología para la actividad científica de
las posteriores generaciones.

El péndulo
La primera clave sobre el movimiento de
caída de los cuerpos proviene de la
observación del movimiento pendular.
Galileo se dio cuenta de que dos péndulos
idénticos oscilando a diferentes
amplitudes tenían el mismo periodo, es
decir, que un ciclo completo de sus
oscilaciones duraba lo mismo:
[T1/T2]² = L1/L2

Ley de la caída de los cuerpos
Galileo estableció que:
“Todos los cuerpos caen en el mismo tiempo desde la misma
altura, independientemente de su peso”
Esta ley contradice la concepción aristotélica de que la
velocidad es proporcional al peso.

El movimiento inercial
Galileo propone que:
“En ausencia de obstáculos los cuerpos conservan su estado
de movimiento”
Esta afirmación constituye la esencia del principio de
movimiento inercial, contraria a la idea aristotélica de que
un cuerpo pesado solo se puede mover horizontalmente
bajo la acción de una fuerza, y asume que el movimiento es
un estado que permanece invariable en tanto no exista la
acción de un elemento externo al móvil.

Experimentos sobre el plano inclinado
Galileo, para poder pasar del planteamiento
cualitativo al cuantitativo de la ley de caída
de los cuerpos, optó por alargar el tiempo
estudiando el movimiento de un cuerpo que se
desliza por un plano inclinado.
Para poder medir el tiempo Galileo utilizó una
clepsidra, y estimó el tiempo transcurrido
durante el recorrido del móvil bajo estudio en
base al peso del agua vertida. En resumen, se
puede decir que Galileo pesaba el tiempo.

La cuña rectangular
Si se considera una cuña rectangular que reposa sobre uno
de sus catetos se puede determinar que la relación entre el
peso Pa de la sección que cuelga perpendicularmente y el
peso Ph de la sección que descansa sobre la hipotenusa es:
Pa/Ph = a/h
Y podemos establecer que el peso necesario para equilibrar
a un cuerpo de peso P sobre un plano inclinado en un ángulo
α es:
F = P sen α

La relación anterior garantiza que a partir del análisis del
movimiento del plano inclinado se puede establecer el
comportamiento de un cuerpo en caída libre. Más
concretamente, se puede determinar la aceleración de
caída libre g a partir de la aceleración a del móvil sobre el
plano inclinado, a partir de la relación:
a = g sen α
La experimentación y la paciente recolección de datos, le
permitió a Galileo verificar que efectivamente la caída libre
de un cuerpo corresponde a un movimiento uniformemente
acelerado.

Movimiento uniforme
Decimos que un cuerpo realiza un movimiento uniforme o
con velocidad constante si en idénticos intervalos de tiempo
recorre espacios idénticos, por lo que el espacio total
recorrido es proporcional al tiempo de recorrido.
Si Δx = x – xo y Δt = t – to, entonces: v = Δx/ Δt
Si definimos que to = 0, de la ecuación anterior:
x = xo + vt

Movimiento uniformemente acelerado
Si la velocidad de desplazamiento de un cuerpo cambia
decimos que el movimiento es acelerado.
Si Δv = v – vo, entonces: a = Δv/ Δt
En el MUA a es constante. De la ecuación anterior:
v = vo + at

La regla de Oresme establece que el espacio recorrido en un
movimiento acelerado que se inicia con la velocidad vo y
aumenta hasta la velocidad v en el tiempo t, es igual al
espacio que se habría recorrido en el mismo tiempo con una
velocidad igual al promedio de las velocidades vo y v:
x = (v + vo)t/2
Si utilizamos las dos ecuaciones anteriores:
x = vot + at²/2
El espacio total recorrido en el MUA es proporcional al
cuadrado del tiempo.

El plano inclinado
Con el fin de comprobar sus hipótesis, Galileo obtuvo la
suficiente cantidad de datos como para poder concluir que
el movimiento de caída de los cuerpos es un MUA y el
análisis de los datos le indicó que el espacio total recorrido
es proporcional al cuadrado del tiempo de recorrido (s α t²).
Galileo encontró que todos los cuerpos que se dejaban rodar
por el plano inclinado satisfacían esta relación
independientemente de su peso, por lo que la ley de caída
se puede establecer en los siguientes términos:
“En el vacío todos los cuerpos caen con la misma
aceleración, independientemente de su peso”

El movimiento inercial
Consideremos inicialmente dos planos enfrentados con la
misma inclinación:
Si desde uno de ellos se deja descender un cuerpo se podrá
observar que asciende por el plano opuesto hasta una altura
aproximadamente igual a aquella desde la que descendió.

Si consideramos nuevamente los dos planos enfrentados
pero ahora disminuyendo la inclinación del segundo de
ellos, se puede observar que, siempre que se pueda
despreciar la fricción, el cuerpo alcanza la misma altura
desde la que descendió, aunque ahora su recorrido es
mayor. Puesto que el cuerpo alcanza su máxima velocidad
cuando llega a la parte inferior del plano, siempre tiene la
misma velocidad inicial antes de ascender por el plano
opuesto para alcanzar la altura h desde la que descendió.
Se puede concluir que la velocidad que alcanza un cuerpo
que desciende sin fricción por un plano inclinado depende
exclusivamente de la altura inicial.

El movimiento de los proyectiles
El movimiento de un proyectil lanzado horizontalmente se
puede descomponer en dos movimientos independientes: el
movimiento horizontal con velocidad uniforme y el
movimiento vertical uniformemente acelerado.
x = vt
y = gt²/2
Y obtenemos:
y = (g/2v²)x²
Y podemos concluir que el movimiento de un proyectil
corresponde a una trayectoria parabólica.

Relatividad galileana
El estudio de Galileo sobre el movimiento de los proyectiles
tenía como objetivo demostrar que era posible que la Tierra
estuviera en movimiento sin que este se hiciera evidente,
por la sencilla razón de que era un movimiento inercial que
no precisaba de la acción de ninguna fuerza.
El argumento de Galileo, respecto a la falta de evidencia
del movimiento, se puede resumir en el Principio de
Relatividad Galileana:
“Es imposible detectar el estado de movimiento de un
sistema inercial desde adentro del propio sistema”

En 1867 apareció la obra que habría de constituirse en el
punto de partida de la física y de toda la ciencia moderna:
Los principios matemáticos de la filosofía natural, escrita
por sir Isaac Newton. Esta obra contiene la solución
matemática del problema del movimiento astronómico y en
ella se plantea la extensión de las leyes naturales a todo el
universo.

Espacio y tiempo
Newton aclara lo que entiende por espacio absoluto y
establece la distinción con lo que se suele entender como
espacio relativo. Según él, el espacio absoluto es infinito,
existe por siempre y es independiente de su contenido, se
puede decir que es homogéneo.
El espacio relativo son las medidas sensibles que hacemos
para establecer la distancia entre dos puntos.
Respecto al tiempo absoluto, Newton afirma que fluye de
manera uniforme, independiente de los fenómenos. El
tiempo relativo, que también se llama duración, son las
medidas sensibles de tiempo que hacemos entre dos
fenómenos.

Ley de la inercia
“Todo cuerpo permanece en su estado de movimiento
uniforme y rectilíneo en tanto no actúe una fuerza sobre
él”
Se distingue de lo que había propuesto Galileo por el
carácter rectilíneo del movimiento y la posibilidad de que
este se prolongue de manera indefinida.

Momentum
Del contenido de la ley de la inercia se concluye que la
fuerza es aquello que cambia el estado del movimiento.
Definimos como momentum, o momento lineal, a esa
magnitud física que describe el estado de movimiento y la
designamos con la letra p.
El momentum de un cuerpo o de un sistema físico es
proporcional a la velocidad y a la masa (la cual no tiene
ningún significado especifico, por ahora):
p = mv

La segunda ley de Newton
A partir de la primera ley, es posible definir la fuerza que
actúa sobre un cuerpo como la rata de cambio en el tiempo
del momentum del cuerpo. De acuerdo con lo anterior,
Newton estableció que el cambio en el estado de
movimiento de un cuerpo es proporcional a la fuerza y al
tiempo que actúe sobre el cuerpo y tiene la misma
dirección que la fuerza. Se puede definir que:
Δp = FΔt » F = Δp/Δt, si la masa permanece invariante,
entonces:
F = mΔv/Δt = ma

El significado físico del concepto de masa
A partir de la expresión anterior es posible entender el
significado de la magnitud que hasta ahora denominada
como masa. Consideremos la situación en que diferentes
cuerpos experimentan la misma fuerza, pero diferentes
aceleraciones:
m1a1 = m2a2 » m1/m2 = a2/a1
El concepto de masa está directamente relacionado con el
de inercia, pues mientras mayor es la masa de un cuerpo,
mayor es la fuerza que hay que aplicarle para cambiar su
estado de movimiento.

La tercera ley de Newton
Consideremos un sistema aislado de toda acción externa
compuesto por dos partículas de masas m1 y m2, y
velocidades iniciales u1 y u2, de modo que el momentum
total inicial está dado por:
P = m1u1 + m2u2
Si las partículas chocan y después se separan con
velocidades finales v1 y v2, el momentum total final será:
P = m1v1 + m2v2

Como es un sistema aislado el momentum se debe
conservar:
m1u1 + m2u2 = m1v1 + m2v2 » m1v1 – m1u1 = -(m2v2 - m2u2)
Esto nos dice que cuando dos cuerpos chocan intercambian
momentum, es decir, que el momentum que gana un cuerpo
lo pierde el otro.

Si en la ecuación anterior dividimos ambos miembros por el
tiempo que duró la colisión, se puede escribir como:
ΔP1/Δt = - ΔP2/ Δt » F12 = -F21
Y podemos expresar la tercera ley de Newton en los
siguientes términos:
“Cuando dos cuerpos chocan las fuerzas que experimentan
son iguales y de sentido contrario”.

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