Asignación de Matemática II

1. GRAFICAS EN COORDENADAS POLARES
Autor: José Albert
C.I: 13.193.893
Septiembre, 2018
República bolivariana de venezuela
Instituto universitario politécnico “santiago mariño”

2. COORDENADAS POLARES
• Las coordenadas polares o sistema de
coordenadas polares, son un sistema de
coordenadas bidimensional en el que
cada punto del plano se determina por
una distancia y un ángulo. Para ello se aplican
las siguientes transformaciones:

3. Para representar un punto en el plano,
conociendo sus coordenadas polares, se debe de
disponer de un plano que contenga como
referencia ángulos y magnitudes, a esto se le
conoce Sistema Polar o Plano Polar (ver figura).

4. • Se le llama ecuación polar a la ecuación que define una curva expresada
en coordenadas polares. En muchos casos se puede especificar tal
ecuación definiendo r como una función de θ. La curva resultante
consiste en una serie de puntos en la forma (r(θ), θ) y se puede
representar como la gráfica de una función r.
• Se pueden deducir diferentes formas de simetría de la ecuación de una
función polar r. Si r(−θ) = r(θ) la curva será simétrica respecto al eje
horizontal (0°/180°), si r(180°−θ) = r(θ) será simétrica respecto al eje
vertical (90°/ 270°), y si r(θ−α°) = r(θ) será simétrico rotacionalmente α°
en sentido horario respecto al polo.
• Debido a la naturaleza circular del sistema de coordenadas polar,
muchas curvas se pueden describir con una simple ecuación polar,
mientras que en su forma cartesiana sería mucho más intrincado.
Algunas de las curvas más conocidas son la rosa polar, la espiral de
Arquímedes, la lemniscata, el caracol de Pascal y la cardioide.

5. • Las coordenadas de las ecuaciones polares se expresan de la forma
(r, θ), donde r representa al radio y θ representa al ángulo. Esto
significa que debes rotar θ radianes y desplazarte r unidades hacia
afuera.
• Toma algunos valores aleatorios para θ (unos 10 valores serán
suficientes) y calcula r para cada uno de los valores usando la
relación que existe entre r y θ, de acuerdo a la expresión de la curva
a representar.
• Marca en el gráfico los distintos puntos (r, θ) que están en la tabla.
• Une con una curva suave los puntos que marcaste
Para graficar en COORDENADAS POLARES

6. • La ecuación cartesiana de una recta tal, que el origen pertenecen a
ella, es de la forma
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
• Al transformarla a polares queda:
• Cuando la recta tiene una distancia “d”, del origen, la forma polar es:
r=
𝑑
cos(𝜃−𝜑 )
rectas
𝜃 = 𝜑

7. • La ecuación general para
una circunferencia con centro en (r0, 𝜃) y
radio 𝜑 es: 𝑎2
= 𝑟2
−2𝑟r0cos(𝜃-𝜑) + r0
2
• En ciertos casos específicos, la ecuación
anterior se puede simplificar. Por ejemplo,
para una circunferencia con centro en el polo
y radio a, se obtiene: r(𝜃)= 𝑎
circunferencia

8. • La rosa polar es una famosa curva matemática que parece una
flor con pétalos, y puede expresarse como una ecuación polar
simple, 𝑟 𝜃 = acos(𝑘𝜃 + ∅)
• Para cualquier constante ∅ (incluyendo al 0). Si k es un número
entero, estas ecuaciones representan una rosa de k pétalos
cuando k es impar, o 2k pétalos si k es par. Si k es racional pero
no entero, la gráfica es similar a una rosa pero con los pétalos
solapados. Nótese que estas ecuaciones nunca definen una
rosa con 2, 6, 10, 14, etc. pétalos. La variable a representa la
longitud de los pétalos de la rosa.
• Si tomamos solo valores positivos para r y valores en el
intervalo [0,2╥ ) para α, la gráfica de la ecuación:
La rosa polar

9. • La espiral de Arquímedes es una famosa espiral descubierta
por Arquímedes, la cual puede expresarse también como una ecuación
polar simple. Se representa con la ecuación: 𝑟 𝜃 = 𝑎 + 𝑏𝜃
• Un cambio en el parámetro a producirá un giro en la espiral, mientras
que b controla la distancia entre los brazos, la cual es constante para una
espiral dada. La espiral de Arquímedes tiene dos brazos, uno para θ > 0 y
otro para θ < 0. Los dos brazos están conectados en el polo. La imagen
especular de un brazo sobre el eje vertical produce el otro brazo. Esta
curva fue una de las primeras curvas, después de las secciones cónicas,
en ser descritas en tratados matemáticos. Además es el principal
ejemplo de curva que puede representarse de forma más fácil con una
ecuación polar.
La espiral de Arquímedes

10. • Los caracoles tiene la ecuación polar de la forma:
𝑟 = 𝑎 ± 𝑏 cos 𝜃 o de la forma 𝑟 = 𝑎 ± 𝑏 sen 𝜃. Para
ello se considera:
• Si a = b, se llama Cardioides, la forma es:
• Si a > b, se llama Limacon o Caracol sin rizo, la forma
es:
• Si a < b, se llama Limacon o Caracol con rizo, la
forma es:
CARACOLES

11. • Tienen la ecuación polar de la forma:
𝑟2
= 𝑏 sen 𝜃 𝑜 𝑟2
= 𝑏 cos 𝜃.
lemniscatas