Este documento describe el concepto de métricas sucesivamente variables, donde los cambios de métrica a lo largo de una obra musical son determinados por una sucesión matemática. Se define una sucesión que asigna valores racionales a números naturales para especificar las métricas. Se provee un ejemplo donde la sucesión Xn = n+1 genera las métricas 1/2, 2/3, 3/4, etc. Adicionalmente, se introduce el concepto de transformación métrica para poder tocar en una métrica equivalente mediante cambios en el tempo o agó

1. Métricas sucesivamente variables y transformación métrica.
El concepto de “métricas sucesivamente variables” consiste en que los cambios de métrica, a lo
largo del desarrollo de una obra, son determinados por una sucesión matemática.
Una sucesión matemática, es una función, que toma a los números naturales como entradas para
arrojar resultados que pueden estar en los enteros, los racionales, los naturales o los reales. Una
sucesión se denota
{Xn}
Para fines musicales, nos limitaremos por ahora a las sucesiones que van de los naturales a los
racionales, i.e. Xn: N Q
Para regir la métrica total o parcial de una obra definimos que Xn será el cambio n-ésimo de métrica:
término de la sucesión métrica número
X1 1
X2 2
... ...
Xn n
n
Tomemos como ejemplo la sucesión Xn =
n +1
conforme vamos ingresando números naturales en la sucesión, obtenemos las siguientes métricas:
1 2 3 4
Xn = , , , ,...
2 3 4 5
La primer métrica a utilizar es 1/2, es decir 2/4, con lo que la obra comienza con
e = λ b /m (donde λ representa el valor metronómico)
2
4
Después de algunos compases el cambio de métrica será a 2/3 de unidad, es decir
2/3 de q = 2/3 de w p w w , de manera que el cambio de métrica aparecería como:

2. -w- - - pw - - -w- -w- - - pw - - -w-
*
2 2
4 3
* O su equivalencia rítmica
Debido a los inconvenientes de esta notación, vamos a introducir el concepto de transformación
métrica.
Vamos a buscar un valor metronómico tal, que nos permita tocar y escribir en 4/4 exactamente lo
mismo que en el pulso original se escribiría en 2/3.
La transformación métrica nos permite, así, tocar en una métrica equivalente, por medio de un cambio
de agógica y del desplazamiento de acentos consecuente, lo mismo; es decir que
T1 = λ e m
p r
con un TEMPO (o pulso) tocar en es lo mismo que tocar en a un tempo
q s
T2 = αλ e ′ m
e ´ representa la duración de 1/4 en el nuevo tiempo T2, así mismo, α es la proporción que T2 es en
relación con T1, para lo cual definimos, por supuesto, que α es un número racional positivo.
Para transformar 2/3, procedemos como sigue:
4
4
q = 3
3
q = 3
3
w pw w
w pw w epzz epzz epzz epzz
pero 3 = 3
3 3
I_____ _____I
q,
3
Como necesitamos 2/3 de ajustemos T 2 de tal manera que la acentuación sea
epzz epzz epzz epzz
cada 2/8 de tresillo.
3
3 > > > > > >
I_____ _____I
3
Como 2/8 son 1/4 = e, vemos que 4/4 con T 2 es equivalente a 2/3 con T 1

3. si T1 = λ e m = λ epzz m
1 min x min
=
λ epzz epzz
entonces
donde X min es el número de minutos que ocupa epzz
de epzz
1 2 1 2
por lo tanto x min = min Ahora,   min es el tiempo que dura
λ 3 λ  3
2 1 2  60 seg  40
  min =   = seg
3 λ  3 λ  λ
60  veces 2/3 de epzz, es decir, que en un minuto epzz caben λ
 40 −1 2 3
En 60 segundos caben
veces, λ 3 2
∴T2 = λ e ′ min
2
3
2
e ′= epzz= e
2
3
donde
3
De este resultado concluimos que, con un pulso T1 = λ e m tocar en
p
es lo mismo que tocar en
e
q
a un pulso T2 = λ q min , que haciendo p/q e = e ´ nos queda:
p
r q
s p
λ e ′ min
q
T2 =
p
q  p
que es evidente, ya que   =1
p q
El siguiente cambio de métrica, según la sucesión que tomamos como ejemplo, es 3/4, la cual es
fácilmente manejable en T1 . Posteriormente, la sucesión nos lleva a la métrica 4/5 en T1 , pero
q e e e e e
sabemos que
5 5
=
5 5
5

4. exxxx exxxx exxxx exxxx
5 5 5 5
que es lo mismo que
5
5
I _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ I
5
exxxx exxxx exxxx exxxx
5 5 5 5
Necesitamos T3 , tal que 5
5 > > > >
I _ _> _ _ _ _ _ _ _ _ I
5
epzz = exxxx
5
1
con lo que 4/5 con T1 equivalga a 4/4 con T3 . Sabemos que dura
min.
λ
exxxx
 48 −1
seg. Por lo que en 60 segundos caben 60  veces exxxx
4 5 41 48 4 5
Entonces duran   min =
5 5 λ λ λ 5
es decir: 5 λ 4 exxxx , si hacemos e ´´ = exxxx = e , podemos escribir, como esperabamos:
 5  4 5 4
4 5  5 5
5 e′′
T3 = λ min
4
n
La métrica sucesivamente variable Xn = queda definida como
n +1
1 2 3 4 2 4 3 4
, , , , ... = , , , , ...
2 3 4 5 4 (T1 ) 4 (T2 ) 4 (T1 ) 4 (T3 )
en este caso, los subíndices nos indican el pulso al que debemos tocar cada métrica para que la
igualdad exista.
n n 4
El ejemplo Xn = es interesante auditivamente, ya que lim = 1 = , creando de esta
n +1 n →∞ n + 1 4
manera, una métrica cada vez más parecida auditivamente a 4/4 a medida que la sucesión se
desarrolla..